上海市交大附中高二上学期期末考试数学试卷(2016.01)
AB 2 3 ，则 | OA OB | 的取值范围是 ； 13. 设 A 是平面向量的集合， a 是定向量，对 x A ，定义 f ( x ) x 2( a x) a ，现给出
2 2 2 2 1 3 , ) ；③ a ( , ) ；④ a ( , ) ； 4 4 2 2 2 2 那么对于任意 x, y A ，使 f ( x ) f ( y ) x y 恒成立的向量 a 的所有序号是 ；
lh ，柱体体积为底面积乘以高，本题结果 4
21. 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量，其中 a (1, 2) ； （1）若 | c | 2 5 ，且 c ∥ a ，求 c 的坐标；
5 ，且 a 2b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角 ； 2 （3）若 b (1,1) ，且 a 与 a b 的夹角为锐角，求实数 的取值范围；
1 1 2 ，则 x y 0 1 2
；
；
4 3
3. 行列式 2
1 k 的元素 3 的代数余子式的值为 7 ，则 k 2
；
5 4
1
4. 若直线 3x y 1 0 与 x ay 0 的夹角是
，则实数 a 的值为 6
； ；
5. 与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有相同焦点，且短轴长为 4 5 的椭圆方程是
二. 选择题 15. 已知关于 x, y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为
a (a1 , a2 ) ，b (b1 , b2 ) ，c (c1 , c2 ) ，则此方程组有无穷多组解的充要条件是（ A. a b c 0 B. a, b, c 两两平行 C. a ∥ b D. a, b, c 方向都相同
2
；
；
9 x 2 有且只有一个交点，则实数 k 的取值范围
9. 设 F1 , F2 是双曲线 x 则△ PF1 F2 的周长为
y2 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点， 且 3 | PF1 | 4 | PF2 | ， 24
；
10. 在△ ABC 中，AB 5 ，AC 6 ， 点 P 是△ ABC 的外接圆圆心， 则 AP BC
x2 y 2 x2 y2 1 和 M : (a b 0 ， a 2 b2 a 2 b2 0 1) 分别交于点 A, B 和点 C , D ， 试在椭圆 M 和椭圆 M 上分别作出点 E 和点 F （非
椭圆顶点） ， 使△ CDF 和△ ABE 组成以 为相似比的两个相似三角形， 写出具体作法； （不 必证明）
（2）若 | b |
22. 已知点 D (1, 2) 在双曲线 C : 方程是 3x y 0 ； （1）求双曲线 C 的方程；
x2 y 2 1 (a 0, b 0) 上，且双曲线的一条渐近线的 a2 b2
（2）若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点，求实数 k 的取值范围； （3）设（2）中直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两个不同点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标 原点，求实数 k 的值；
16. 方程
a1 b1 c1 ，记三个非零向量 a2 b2 c2
）
x2 y2 1 的图像表示曲线 C ，则以下命题中正确的有（ ） 4 t t 1 ① 若1 t 4 ，则曲线 C 为椭圆； ② 若 t 4 或 t 1 ，则曲线 C 为双曲线；
③ 曲线 C 不可能是圆； A. 1 个 B. 2 个 ④ 若曲线 C 表示椭圆，且长轴在 x 轴上，则1 t 2.5 ； C. 3 个 D. 4 个
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上海交大附中 2015-2016 学年第一学期 高二年级数学期末试卷
2016.01 一. 填空题 1. 已知一个关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 已知向量 a (1, 2) ， b ( x, 2) ，若 a b ，则 | b |
x y S 17. 在约束条件 2 x y 4 下，若 3 S 5 ，目标函数 Z 3 x 2 y 的最大值变化范围是 x 0, y 0
（ ） B. [6,15] C. [7,8] D. [7,15] ） A. [6,8] 18. 若 P 是双曲线 C :
y x 6. 设变量 x, y 满足约束条件 x y 2 ，则目标函数 z 2 x y 的最小值为 y 3x 6
7. 直线 l1 : 3 x y 3 0 关于 l2 : x y 2 0 对称的直线 l 方程为 8. 若直线 y k ( x 3) 4 和曲线 y 是 ；
；
x2 y2 11. 已知椭圆 1 及以下 3 个函数： ① f ( x) x ； ② f ( x) sin x ； ③ f ( x) x sin x ； 16 9
其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有 个；
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x 2 y 2 6 x 5 0 ，点 A, B 在圆 C 上，且
x2 y 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线上任意一点， 下列正确的是 （ a2 b2
A. 存在过点 P 的直线与该双曲线相切 B. 不存在过点 P 的直线与该双曲线相切 C. 至少存在一条过点 P 的直线与该双曲线没有交点 D. 存在唯一过点 P 的直线与该双曲线没有交点
三. 解答题 19. 已知圆 C : x 2 y 2 8 y 12 0 ，直线 l : ax y 2a 0 ； （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，且 AB 2 2 时，求直线 l 的方程；
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20. 如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全 长 2.5km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状； （1）若最大拱高 h 为 6m ，则隧道设计的拱宽 l 是多少？ （2）若最大拱高 h 不小于 6m ，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ，才能使半个椭圆形隧道的土 方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为 S 均精确到 0.1m ）
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如下四个向量：① a (0, 0) ；② a (
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14. 记椭圆
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x2 ny 2 1 围成的区域（含边界）为 n (n 1, 2,3...) ，当点 ( x, y ) 分别在 4 4n 1
；
n
1 , 2 ,... 上时， x y 的最大值分别是 M 1 , M 2 ,... ，则 lim M n
x2 y2 1 ； 4
x2 y 2 1 ，判断 C2 与 C1 是否相似？如果相似，求出 C2 与 C1 的相似比； 16 4
如果不相似，请说明理由； （ 2） 写出与椭圆 C1 相似且焦点在 x 轴上， 短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的标准方程； 若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、 N 关于直线 y x 1 对称，求实数 b 的取值范围； （ 3） 如图： 直线 y x 与两个 “相似椭圆”M :
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23. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” ； 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆” ，并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆 C1 : （1）若椭圆 C2 :
上海交大附中09-10学年高二数学上学期期末试卷 沪科版 新课标
上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷高二数学本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(3分×12=36分 )1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 3、行列式1023的值为__________4、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y +=5、若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于_________6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=，AB DC =，则四边形ABCD 的形状是_______7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。
8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11(,)2n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________9、右上图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。
AD 与BE 的交点为F 。
若设AB a =，AC b =，AF AD λ=，于是可得出：34BE a b =-+，BF AF AB =-()AD AB AB BD AB λλ=-=+-=，于是由开始01s i ←←12s s i←+1i i ←+s 输出结束是否（第9题）//BE BF ，可求出λ=_________11、在共有2009项的等差数列na中，有等式1320092420081005()()a a a a a a a 成立,类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列n b 中，有等式 成立。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020学年交大附中高二年级上学期期末试卷一、填空题1. 复数21i-的虚部为____________． 【答案】1【解析】【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部. 【详解】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1.2. 直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________． 【答案】12【解析】【分析】将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=， 2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 3. 已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．4. 若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 【答案】4-【解析】【分析】将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.【详解】因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根，所以0x =，所以40k +=，所以4k =-，故答案为：4-.5. 抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =-【解析】 试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程6. 已知圆锥底面半径为1_____．【答案】2π【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，2=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.7. 已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________．【答案】3 【解析】【分析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，计算可得结果.【详解】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CODO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为AC BC AD BD ====，AB CD ==2CO DO ===，所以112CDO S ==，又因为111333A BCD CDO V AB S -=⨯⨯==，故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.8. 在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 【答案】3R π 【解析】【分析】由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．【详解】由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒， 故连接两座城市的弦长22L R R ==， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=， 所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 【点睛】本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠． 9. 设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 【答案】13 【解析】【分析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.【详解】由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =，的所以21PF =，或213PF = 经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =.故答案为：13.10. 设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．【解析】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为12z z i +，所以122z z ==+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .11. 已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条．【答案】3【解析】【分析】根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数.【详解】将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ，此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条，故答案为：3.【点睛】结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条； （4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条； （5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.12. 三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．【答案】90或arccos3 【解析】【分析】对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小.【详解】分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =-=，在ABC 中，AC 2a =，BC =，AB =，由余弦定理可得222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，0180ACB <∠<，所以，arccos3ACB ∠=.综上所述，90ACB ∠=或arccos3.故答案为：90或arccos 3. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解.二、选择题13. 设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.【详解】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B . 14. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（ ）A. 存在k ，1P ，2P 使之无交点B. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D. 无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点【答案】D【解析】【分析】根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b-≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.【详解】因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.【点睛】关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.15. 平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A. 外心、重心B. 内心、垂心C. 外心、垂心D. 内心、重心【答案】C【解析】【分析】 将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ，所以11111AA A D A B === 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.16. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】 【分析】先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．【详解】由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==， 2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ，由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.三、解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =． (1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则11sin 2n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值．的【答案】（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．【解析】 【分析】（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBCABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.【详解】（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=， 因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=，所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可.20. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．【答案】（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围． 【详解】（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 303AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ， 11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）12233ABD S =⨯⨯=△，11339F ABD V -=⨯⨯=，由长方体性质可得BF =3BD =，3DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥，∴12BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得13=h = （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21. 设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =的以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切；（3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因NC ND NC ND +=-，所以0NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=， 所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=，所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=， 所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m k km k m λλμλμμ-++++++-=， 又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=，所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=， 所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+，所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：B分析：本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.解：若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.2．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（）A ．存在k ，1P ，2P 使之无交点B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D ．无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点答案：D分析：根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b -≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.解：因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.点评：关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.3．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心答案：C分析：将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.解：三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案：A分析：先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．解：由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ， 由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．点评：关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹. 二、填空题 5．复数21i-的虚部为____________． 答案：1分析：根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部.解：因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1. 6．直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________．答案：12分析：将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值. 解：将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=，2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 7．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．答案：11试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．简单的线性规划．8．若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 答案：4-分析：将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.解：因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根， 所以0x =，所以40k +=，所以4k =-， 故答案为：4-.9．抛物线24y x =的准线方程为______. 答案：116y =-试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程10．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π分析：由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．点评：本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________． 答案：23分析：取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，计算可得结果.解：取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==，所以()22210322CO DO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDOS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为11221333A BCD CDOV AB S -=⨯⨯==， 故答案为：23. 点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.12．在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 答案：3R π 分析：由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒的纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．解：由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒，故连接两座城市的弦长22L R R ==，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=，所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠．13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________.答案：13分析：根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 答案：6分析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.解：设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==， 6.点评：结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应平面向量OZ .15．已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条． 答案：3分析：根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数. 解：将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ， 此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条， 故答案为：3.点评：结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条；（4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条；（5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.16．三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．答案：90或22分析：对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小. 解：分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==3DE ∴=， 2223CE CD DE ∴=+=， CE AB ⊥，22263AE AC CE ∴=-=，2263BE BC CE a =-=， 所以，6AB AE BE a =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==33DE a ∴=， 22233CE CD DE a ∴=+=， CE AB ⊥，2226AE AC CE ∴=-=，226BE BC CE =-=， 所以，6AB AE BE =-=， 在ABC 中，AC 2a =，2BC a =，6AB =， 由余弦定理可得22222cos 23AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅， 0180ACB <∠<，所以，22arccos3ACB ∠=. 综上所述，90ACB ∠=或2arccos3. 故答案为：90或22点评：关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解. 三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1BM AC ⊥，求h 的值；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．答案：（1）1h =（2）10sin5arc 试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =．(2)解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值． 答案：（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．分析：（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值. 解：解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 点评：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 答案：（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．分析：（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBC ABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.解：（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥， 在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=，因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=， 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭ 2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.点评：关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可. 20．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．答案：（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．分析：（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围．解：（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）1232322ABD S ==△，1232313F ABD V -=⨯=由长方体性质可得2BF =33BD =，303DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥， ∴130152233BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得 11523339h ⨯=，∴55h =． （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 点评：方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21．设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆的方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切； （3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因为NC ND NC ND+=-，所以NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=，所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=， 所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=，所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m kkm k m λλμλμμ-++++++-=，又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=， 所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=，所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+， 所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫-⎪⎝⎭. 点评：方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
上海交大附中高二期末考试数学真题
上海交大附中高二期末考试数学真题近年来，随着教育的不断发展和进步，学生们面临着越来越大的学习压力。
而对于高中生来说，期末考试则是一个非常重要的环节。
今天，我们就来一起解析一下上海交大附中高二期末考试的数学真题。
第一部分：选择题题目一：若函数f(x)=x^2-x，则f(-1)的值为多少？解析：根据题目中给出的函数f(x)=x^2-x，我们只需要将x替换为-1，得到f(-1)=(-1)^2-(-1)=1+1=2。
因此，f(-1)的值为2。
题目二：已知三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，则AC的长度为多少？解析：根据题目中给出的信息可知，三角形ABC是一个直角三角形，且已知两个边的长度为AB=3和BC=4。
我们可以使用勾股定理来计算AC的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两个直角边的平方和的平方根。
因此，AC的长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
第二部分：填空题题目三：已知函数f(x)=4x^2+6x+2，求f(-2)的值。
解析：根据题目中给出的函数f(x)=4x^2+6x+2，我们只需要将x替换为-2，得到f(-2)=4(-2)^2+6(-2)+2=4(4)-12+2=16-12+2=6。
因此，f(-2)的值为6。
题目四：在平面直角坐标系中，已知一点A(3,4)，则该点关于y轴的对称点的坐标是(____, ____）。
解析：根据题目中给出的点A的坐标为(3,4)，我们可以通过求解对称点的坐标来确定。
由于点A关于y轴对称，因此对称点的x坐标不变，y坐标取相反数。
所以，对称点的坐标为(-3,4)。
第三部分：解答题题目五：已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2x，且f(1)=1，求f(5)的值。
解析：我们可以使用递推的方法来解决这道题。
首先，将x替换为1，得到f(2)=f(1)+2(1)=1+2=3。
然后，将x替换为2，得到f(3)=f(2)+2(2)=3+4=7。
上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷2016
上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷 2016.11.11一、填空题1.系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是___________. 2.已知两条直线：12:,:0,l y x l ax y a R =-=∈,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是___________.3.已知直线l经过点()且方向向量为()2,1-,则原点O 到直线l 的距离为___________. 4.方程212410139x x =-的解为___________.5.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足:{}11122122,,,1,1a a a a ∈-,且111221220a a a a =,则这样的互不相等的矩阵共有___________个.6.在平面直角坐标系xOy 中,设()11,,0,12OM ON ⎛⎫== ⎪⎝⎭,动点(),P x y 同时满足0101OP OM OP ON ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩,则z x y =+的最大值是___________.7.设122016,,,A A A 是平面中给定的2016个不同的点,则使1220160MA MA MA +++=成立的点M 的个数为___________个.8.已知函数()arcsin +5f x x x =,如果()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是___________. 9.将一张坐标纸折叠，使得点()1,2与点()0,1重合,且点()2016,2017与点(),m n 重合,则m n -的值为___________.10.已知平面上的线段l 及点P ,在l 上取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l ，则点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l =___________.11.已知O 是ABC ∆的外心，2,3,2A B A C x y ==+=若()0AO xAB yAC xy =+≠，则c o s B AC ∠=___________.12.已知向量序列123,,,,n a a a a 满足如下条件：112,21a a d =⋅=-且()12,3,4n n a a d n --==，若10k a a ⋅=，则k =___________.13.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_________.14.已知向量,,αβγ满足()()1,,0ααββαγβγ=-=-⋅-=,若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则对任意β，m n -的最小值是_________. 二、选择题（2045=⨯分）15，已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情况是（ ） A.无论21,,p p k 如何，总是无解 B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解16.定义平面向量之间的一种运算""*如下：对于任意的()(),,,,q p n m ==令np mq -=*，以下四个命题：A.若a 与b 共线，则0=*b aB.*=*C.对于任意的,R ∈λ有()()*=*λλD.()()22ba b a =⋅+*（b a ⋅指的是a 与b 数量积）17.设321,,a a a 是单位向量，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=36,331a 是()6,3321=++a a a 的（ ）A 充分不必要B 。
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。
3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。
4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。
7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。
10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。
-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。
11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
上海市交大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知复平面内的平行四边形ABCD 中，定点A 对应的复数为i ，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i ，则点D 对应的复数为( )A. 2B. 2+2iC. −2D. −2−2i3. 过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A. 有且只有一条B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有且只有四条4. 方程(x −y)2+(xy −1)2=0表示的曲线是( )A. 一条直线和一条双曲线B. 两条双曲线C. 两个点D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z =i(2−z)，则z = ______ ．6. 设抛物线y =4x 2的焦点为F ，则点F 的坐标为______ ．7. 已知z =1−3i 1+i(i 是虚数单位)，则|z|=________．8. 直线{x =−tcos20∘y =3+tsin20∘ (t 为参数)的倾斜角是______． 9. 方程x 2m+2+y 2m−2=1表示双曲线，则m 的取值范围是______．10. 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0，且点P(−3,2√2)在双曲线上，则双曲线的方程为______ ．11. 点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x −4y −10=0的距离的最小值为_________． 12. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =______．13. 已知经过点(m,3)和(2,m)的直线l 与斜率为−4的直线互相垂直，则m 的值是________． 14. 已知向量a ⃗ =(sinθ,−2)与b ⃗ =(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).则cosθ=______．15.设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的实数a的所有值为 ________16.设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=−x相交于点P，若P在抛物线y2=−ax上，则椭圆M的离心率等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知复数z满足|z|2+(z+z)i=3−i2+i(i为虚数单位)，求z．18.如图，在△ABC中，已知AB=4√2，且角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，求顶点C的轨迹．19. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．20. 如图所示，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，已知当直线l 的斜率为1时，|AB|=8． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点A 作抛物线C 的切线交直线x =p2于点D ，试问：是否存在定点M 在以AD 为直径的圆上？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由21. 椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为 ΔPQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。
上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共5套)
上海市高二第一学期期末考试数学试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一、填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1、计算=-+ii11 。
（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。
3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线y x m =+被圆221x y +=，则m =_______________。
5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。
6、椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为 。
7、以抛物线x y 162=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以()1,3-=p、()1,3=q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S 。
9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[,]44p pa ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或34k ?；③如果实数x y 、满足方程22(2)3x y -+=，那么yx的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。
10、如图2，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为 。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题1．复数z满足i•z＝1．则Imz＝ ．2．已知抛物线y＝4x2，则焦点的坐标为 ．3．若z（i为虚数单位，a＞0），|z3|＝5，则a的值为 ．4．直线（参数t∈R）的倾斜角为 ．5．若方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为 ．6．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，且过点A（1，），则双曲线的方程是 ．7．点P为直线3x+4y+4＝0上的动点，点Q为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上的动点，则|PQ|的最小值为 ．8．已知F1、F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为4，则b＝ ．9．已知a，b∈R+，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则ab的最大值等于 ．10．已知曲线Γ：，（θ∈[0，]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．则•的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．12．已知椭圆Γ：1和圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设点A为椭圆Γ上的任一点，过A作圆O的两条切线，分别交椭圆Γ于B，C两点，若直线BC与圆O相切，则r＝ ．二、选择题13．设z为非零复数，则“z∈R“是|z|＝1”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A．B．C．D．15．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在16．曲线Γ：（1）0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A．（，）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）∪（，3）D．（﹣3，）∪（，）∪（，3）三、解答题17．已知实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一根为﹣2i（i为虚数单位），另一根为复数z．（1）求复数z，以及实数a，b的值；（2）设复数z的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A、B、C，求（）•的值．18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播V0千米）．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离：（3）若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N 点的右侧），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；20．设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），D（x0，y0）满足y02＞2px0，过点D作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x1，y1），B（x2．y2）．（1）求证：直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切：（2）若点A坐标为（4，4），点D在抛物线Γ的准线上，求点B的坐标：（3）设点D在直线x+p＝0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由．21．已知椭圆Ω：1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E（3，0）与椭圆Ω交于A、B两点，求△OAB的面积的最大值；（3）设直线1：y＝kx+m（其中k，m为整数）与椭圆Ω交于不同两点A、B，与双曲线Γ交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i•z＝1，得z，∴Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y＝4x2的标准方程为x2y，焦点在y轴的正半轴上，p，，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．3．【详解详析】z2a﹣i，由|z3|＝5，得，即4a2+1＝5，得a＝1（a＞0）．故答案为：1．4．【详解详析】直线（参数t∈R）转换为直角坐标方程为：x﹣2y＝2﹣6，即x﹣2y+4＝0，故直线的斜率为k，所以直线的倾斜角为．故答案为：5．【详解详析】方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，可得（k﹣1）•（5﹣2k）＜0，解得k＜1或k．故答案为：（﹣∞，1）∪（，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x2k，把点（1，）代入方程解得k，故所求的双曲线的方程是y2﹣9x2＝1，故答案为：y2﹣9x2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C（1，2），半径R＝1，圆心到直线的距离d3，在|PQ|的最小值为d﹣R＝2；故答案为：28．【详解详析】∵F1、F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，∴|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，|PF1|•|PF2|＝4，∴（|PF1|+|PF2|）2＝4c2+2|PF1||PF2|＝4a2，∴16＝4（a2﹣c2）＝4b2，∴b＝2．故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则有（a﹣1）+2b＝0，变形可得a+2b＝1，则ab（a×2b）（）2，当且仅当a＝2b时，等号成立；即ab的最大值为，故答案为：．10．【详解详析】曲线Γ：，（θ∈[0，]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．2cosθ＝1⇒cosθ⇒θ；∴sin；即Q（1，）；∴•（2cosθ，sinθ）•（1，）＝2cosθsinθsin（θ+φ）；tanφ；φ∈（0，）；∴θ+φ∈（φ，φ）；∴θ+φ时，•取最大值且最大值为；故答案为：11．【详解详析】设点P，则|PA|，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2，解得a＝﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝a2﹣2，∴a2﹣2，解得a．综上可知：a＝﹣1或．故答案为﹣1或．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：1，得y．设B（r，），则AB的方程为：，整理得：．由，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r．故答案为：．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z x+yi x y（1）i∈R，∴y （1）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于，故有|z|≤1，Imz，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（1）0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由，解得y＝±，曲线Γ：（1）0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m∈（﹣3，）∪（，3）．故选：C．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z＝2i；利用根与系数的关系，得a＝﹣2i+2i＝0，b＝﹣2i•2i＝4；（2）复数z＝2i，则λ2＝2i；设λ＝x+yi，x、y∈R；所以x2﹣y2+2xyi＝2i，即，解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1；所以λ＝1+i，或λ＝﹣1﹣i；当λ＝1+i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝1﹣i；所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），所以（）•（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2；当λ＝﹣1﹣i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i，所以A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），所以（）•（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2；综上知，（）•的值为﹣2．18．【详解详析】（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30，2a＝40，所以a＝20，则b＝10，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：1，x≤0．（2）已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝﹣x（x＜0）上，所以，可得x＝﹣10，y＝10，观察员遇险地点坐标（﹣10，10），观察员遇险地点与监测中心O的距离：20．（3）由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x2+（y﹣30）2＝r2，与1，x ≤0．联立，消去x可得：9y2﹣300y+6500﹣5r2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r2）≥0，解得r≥20．为保证有救援希望，扫描半径r至少是20公里．19．【详解详析】（1）当m＝1且k＝1时，椭圆Γ方程为：，直线l方程为：y＝x+1，联立方程，消去y得：3x2+4x＝0，解得：x＝0或，∵M点在N点的右侧，∴M（0，1），N（，）；（2）当m＝2时，椭圆Γ方程为：，联立方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，设点M（x1，y1），N（x2，y2），∴，∵E（0，k），D（﹣1，0），∴，又∵，，∴x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1），∴，∴λ+μ，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），求导，2yy′＝2p，即，所以在A（x1，y1）点的切线的斜率，所以切线方程为，由y12＝2px1，整理得yy1＝p（x+x1），所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；方法二：由题意可知，，消去x，整理得y2﹣2y1y+2px1＝0，则，所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，由D在抛物线的准线上，所以直线AB过抛物线的焦点F（1，0），所以x1x21，y1y2＝﹣1，所以x2，y2＝﹣1，所以B（，﹣1）；方法二：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，由（1）可知，直线AD的方程4y＝2（x+4），即y（x+4），则D（﹣1，），直线BD的方程yy2＝p（x+x2），所以，解得，所以B（，﹣1）；（3）AB恒过定点（p，0），理由如下：方法一：设D（﹣p，y0），由（1）可知直线AD的方程为，即直线BD 的方程，将D（﹣p，y0）代入切线方程，，所以y1，y2是方程的两根，所以y1+y2＝2y0，y1y2＝﹣2p2．直线AB的斜率，直线AB的方程x﹣x1（y﹣y1），即，所以直线AB恒过定点（p，0）．方法二：设D（﹣p，y0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB的方程为yy0＝p（x﹣p），所以直线AB恒过定点（p，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程，则a＝2，c＝4，则b2＝12，双曲线的方程；（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线l方程为x＝my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去x，得（3m2+4）y2+18my﹣21＝0，y1+y2，y1y2，所以S△OAB|OE|×|y1﹣y2|33×46，令12m2+7＝t≥7，则，所以，当且仅当t＝9，即时，取等号，则S△OAB＝664，所以△OAB面积的最大值为．（3）存在这样的直线y＝kx+m，使得向量成立，且这样的直线有9条．由，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，△1＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣48）＞0，①由，消去y，整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0，设C（x3，y4），D（x4，y4），则x3+x4，△2＝（﹣2km）2+4（3﹣k2）（m2+12）＞0，②因为，所以（y4﹣y2）+（y3﹣y1）＝0．由x1+x2＝x3+x4得．所以2km＝0或．由上式解得k＝0或m＝0．当k＝0时，由①和②得﹣2m＜2．因为m是整数，所以m的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得k．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
交大附中高二期末(2016.01)
lim
n
Mn
；
二. 选择题
15.
已知关于
x,
y
的二元一次线性方程组的增广矩阵为
a1 a2
b1 b2
c1 c2
，记三个非零向量
a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，c (c1, c2 ) ，则此方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）
A. a b c 0
B. a,b, c 两两平行
原点，求实数 k 的值；
3
23. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的
相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆 C1
:
x2 4
y2
1；
（1）若椭圆 C2
: x2 16
y2 4
1 ，判断 C2 与 C1 是否相似？如果相似，求出 C2 与 C1 的相似比；
22. 已知点 D(1,
2)
在双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 上，且双曲线的一条渐近线的
方程是 3x y 0 ；
（1）求双曲线 C 的方程； （2）若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点，求实数 k 的取值范围；
（3）设（2）中直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两个不同点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标
2
20. 如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22m ，要求通行车辆限高 4.5m ，隧道全
长 2.5km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状；
（1）若最大拱高 h 为 6m ，则隧道设计的拱宽 l 是多少？