《固体物理学》房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章 能带结构分析

−
t1
=
=2 eB
1 ΔE
k2
G Δk
dk
=
=2
ΔA12
k1
eB ΔE
其中 A12 是图中阴影部分的面积.让 k1 ， k2 构成闭合曲线， ΔE → 0 ，则运动周期
=2 dA( E )
T= eB dE
A( E ) 是等能曲线所围成的面积.
ω
=
2π T
=
2π eB =2
dA( E )
dE
( ) 将 E
G k
JG ×B
( ) JG G
G
JG G G G
因为 F ⊥ v ，故电子的能量没有变化，并且由于 d k 垂直于 B, v ， v k 垂直于等能面，故电子在 K 空
JG 间的运动轨迹是一条垂直于 B 德平面和等能面所截成的曲线，显然电子从曲线 k1 点运动曲线 k2 点所需
的时间为
∫ ∫ t2 − t1 =
JG B 的各分量为
Bx = B sinθ cosϕ, By = B sinθ sin ϕ, Bz = B cosθ
第七章 能带结构分析
（二）参考阎守胜 3.8 面心立方晶胞含 3 个原子，设锌原子与铜原子之比为 m，则
n = (3 + 3m) / a3
kF3 = 3π 2n = 3(3 + 3m)π 2 a3
m
=
(akF )3
9π 2
−1
面心立方的倒格子为体心立方
⎧⎪a1 ⎪
=
a 2
(
j
+
k
)
⎪⎨a2 ⎪
=
a 2
x = nZn ，依 7.3 题，有 nCu
2nZn + nCu = 3π = 1.36
nα
4
1
即 (2x +1) nCu = 3π = 1.36
nα
4
而 nα = nZn + nCu = (1+ x) nCu
因此得到
2x +1 = 3π x +1 4
得
x = 3π − 4 = 0.563 8 − 3π
第七章 能带结构分析
第七章 能带结构分析
7.1 试证明，场致隧穿可以忽略的条件是
( ) eEa
<<
⎡ ⎣
Eg
G k
⎤2 ⎦
EF
7.2 试证明，对于二维情况，自由电子费米面的半径 kF 与电子数密度 n 的关系为
kF = (2nπ )1/2
证明：依照三维情形，二维的 N 个电子基态从能量最低的 k 态开始，由低到高一次填充而得到一个圆
( ) E
k
=
=
2
k
2 x
2m1∗
+
=
2
k
2 y
2m2∗
且磁场垂直于 kx − ky 平面，求回旋共振频率。
解：参考陈金富 13.15（两种解法，选一） 根据《固体物理学》式 7-1
2
第七章 能带结构分析
( ) ( ) G
v
G k
=
1 =
∇k
E
G k
=
=kx m1∗
G i+
=k y m2∗
G j
根据《固体物理学》7-26
( ) ( ) G
G
G
如图所示，如果 Δk 是轨道平面上等能面曲线 E k = E 和等能面曲线 E k = E + ΔE 间的垂直位移，
当 ΔE 很小时，有
G
G
ΔE = ∇k E ⋅ Δk = (∇k E )⊥ ⋅ Δk
G
由于 (∇k E )⊥ 垂直于等能线，故 ΔE = ∇k E⊥ × Δk
∫ t2
面形状，此时圆面对应的半径为 kF
而 N 满足
N
=
2×
S2
(2π )2
×π
k
2 F
kF
=
⎛ ⎜⎝
2π
N S2
⎞1/ 2 ⎟⎠
=
( 2nπຫໍສະໝຸດ )1/ 27.3 试证明，当 n / na = 1.36 时，费米球和面心立方晶格的第一布里渊区相切，其中 na 是原子数密度。
解：参考陈金富 13.6
面心立方晶格原子数密度 nα
(k
+
i)
⎪⎪⎩a3
=
a 2
(i
+
j)
⎪⎧b1 ⎪ ⎪⎨b2 ⎪
= =
2π a 2π a
( (
j+k k+i
− −
i) j)
⎪ ⎪⎩b3
=
2π a
(i
+
j
−
k
)
第一布里渊区为截角八面体，分解面正好平分倒格子基矢，所以
kF = 3π a
( )3
m=
3π 9π 2
−1= 3 π −1 3
7.5 如果电子的能量与波矢的关系为
+
eB m2∗
k0 y
=
0
−
eB m1∗
k0x
+ iωk0 y
=
0
欲使 k0x , k0 y 有非零解，应使系数行列式为零
iω
−
eB m1∗
eB
m2∗ iωk
=
e2B2 m1∗m2∗
−ω2
=
0
得回旋共振频率
ω = eB m1∗m2∗
解法二 根据《固体物理学》7-26
( ) G
dk dt
=
−
1 =
G ev
t2
dt =
t1
k2 dk k1 dk / dt
其中 dk 是 k 空间曲线的弧元
3
由=
G dk
dt
=
G JG −ev × B
=
JJG JG −ev⊥ × B
JJG
JG
v⊥ 为垂直于 B 德速度分量，可得
G
dk dt
=
eB =2
∇k E⊥
第七章 能带结构分析
∫= 2
t2 − t1 = eB
k2 dk k1 ∇k E⊥
k
=
=
2
k
2 x
2m1∗
+
=
2
k
2 y
2m2∗
整理有
kx2 2Em1∗
+
k
2 y
2Em2∗
=1
=2
=2
A(E)
=
π
ab
=
π
2E =2
m1∗m2∗
ω
=
2π eB =2
dA( E)
dE
=
2π eB =2
2π =2
m1∗m2∗ =
eB m1∗m2∗
7.6 如果电子的等能面方程为
4
( ) ( ) E
k
=2 =
=
4 a3
，面心立方晶格的倒格子是体心立方，K
空间原点到第一布里渊区边
界的最近距离
km
=
4
π a
⋅
3 4
，当半径为
kF
的费米球与布里渊区的边界相切时，应有
( ) kF = 3π 2n 1/3 = km =
3π a
n = n = 3 × π = 1.36
nα 4 a3
4
7.4 设铜晶体中一些原子由 Zn（2 价）原子所代替而形成 CuZn 合金，求费米球与布里渊边界面相切时， Cu 原子数与 Zn 原子数之比。已知铜是面心立方晶格，单价。 解：（一）参考陈金富 13.6 Zn 是二价的，Cu 是一价的，因此每一个 Zn 原子提供两个自由电子，每个 Cu 原子提供一个自由电子. 设
k
2 x
+
k
2 y
2mt∗
+
=
2
k
2 z
2ml∗
第七章 能带结构分析
而磁场与 kz 的夹角为θ，求回旋共振频率。
参考陈金富 13.15（两种解法，选一） 根据《固体物理学》式 7-1
( ) ( ) G
v
G k
=
1 =
∇k
E
G k
=
=kx mt∗
G i+
=k y mt∗
G j+
=kz ml∗
JJG k0
( ) G
dk dt
=
−
1 =
G ev
G k
JG ×B
=
−e
⎛ ⎜
⎝
kx m1∗
G i+
ky m2∗
G j
⎞ ⎟
×
⎠
JG Bk′
写成分量形式，有
dkx dt
+
eBk y m2∗
=0
dk y dt
−
eBkx m1∗
=0
令 kx = k0xeiωt ， ky = k0 yeiωt 代入上式，有
iω k0 x