压杆稳定的概念
压杆稳定的概念
压杆 稳定 的概 念
当压力F增大到某一临界值Fcr时，弹性压杆将 由稳定平衡过渡到不稳定平衡，对应的状态称为临
界态，对应的临界值Fcr称为压杆的临界力或临界荷 载，它标志着压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的
分界点。于是，压杆保持稳定的条件为F<Fcr，压杆 的失稳条件为F>Fcr，失稳的临界条件为F=Fcr。不难 看出，压杆的稳定性取决于临界力的大小：临界力
越大，压杆的稳定性越强，压杆越不容易失稳；而
临界力越小，压杆的稳定性越差，压杆越容易失稳。
解决压杆的稳定性问题关键是要确定压杆的临界力。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
工程实际中把受轴向压力的直杆称为压杆。 实践表明，这一结论只对短而粗的受压杆件是成 立的。当轴向压力增大到一定数值时，在强度破 坏之前，压杆会突然产生侧向弯曲变形而丧失工 作能力，如图10-1所示。这种细长压杆在轴向受 压后，其轴线由直变弯的现象，称为丧失稳定， 简称失稳。失稳是不同于强度破坏的又一种失效 形式，它会导致整个结构不能正常地工作，给结 构带来很大的危害，造成严重的工程虑强度问题， 而细长的压杆除了强度问题外，还应考虑稳定 性问题，这也是设计中首先要考虑的问题，如 图10-2所示桁架中的压杆、图10-3所示托架中 的压杆及钢结构中的立柱等。因此在设计压杆 时，进行稳定性计算非常重要。
压杆 稳定 的概 念
压杆 稳定 的概 念
除了压杆有失稳现象外，截面窄而高的梁、受外 压力作用的薄壁壳形容器等，也有失稳现象发生。本 章仅讨论压杆的稳定问题。
以图10-4（a）所示的细长压杆为例，它的一端固 定，一端自由。当用一个微小的干扰力横推压杆时， 杆变弯，如图10-4（b）所示。但当干扰力除去后，杆 轴线将在摆动中逐渐恢复直线状态，如图10-4（c）所 示。若当轴向压力F增大到某一数值时，轴线仍可暂时 维持直线平衡状态，但稍受干扰，杆就变弯，即使排 除干扰后，压杆也不能恢复原有的直线平衡状态，而 处于微弯的平衡状态，如图10-4（d）所示。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
第十章 材料力学压杆稳定
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
材料力学
压杆的稳定条件(安全系数法)
F
F cr
n st
[Fst ]
n st ——稳定安全因数
F ——工作压力
[ Fst ] ——稳定许用压力
— [ st ]
材料力学
cr
n st
[st ]
——稳定许用应力
F A
工作应力
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
压杆的稳定条件
n nst
— n Fcr cr
工作安全因数
F
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
1
FN1 A1
s ns
FN 2
A
F s A1 26.7KN
2ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
材料力学
n
Fcr FN 2
nst
柔度: l2 1 0.6 80 i2 d2 / 4
0 < p 可用直线公式.
因此
FcrcrA2 (ab)A2 (30 1.4 1 2 8)0 160 4d22
（中柔度杆）
(p s)
粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(< 0)
（小柔度杆，按强度问题处理cr＝ s (b)）
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
中长杆临界应力的经验公式
1） 直线公式
crab
a、b是与材料有关的常数。
直线公式的适用范围： 0 < p
ps
0
as
b
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
三、中、小柔度杆的临界应力
材料力学
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
1、问题的提出
第9章 压杆的稳定
由上可知：木柱的临界压力为Fcr=123kN。
2、压杆的临界应力
(1) 、临界应力与柔度
22 Fcr 2 EI 2E I 2E 2 EE cr i 22 2 2 2 A ul A ul A ul
其中: i
I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
由结点B的平衡： Fy 0, FBA sin P max 0;
Pmax 4 FBA max sin Fcr sin 59.6 47.7kN ; 5
三、压杆的稳定计算 一、 稳定条件 压杆要具有足够的稳定性，必须满足压杆的稳定条 件，即
Fcr nw [nw ] 或 nw cr nw — 安全系数法 F
a
B
A
ul 1 1 142.9 p 123; 大柔度杆； 3 i 7 10
2 E 2 200 109 cr 2 Pa 96.7 MPa 2 142.9
Fcr cr A 96.7 615.75 59.6kN FBA ;
（即绕y轴失稳）
120 2003 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
木柱两端铰支，u，则得：
Fcr
2 EI y
ul
2
3.142 10 109 80 106 1012
1 8
2
N 123kN
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
临界力—压杆在临界平衡状态（刚好达到使压杆处 于不稳定平衡状态）时所受的轴向压力。
二、临界力及临界应力
1、临界力的欧拉公式： F cr
EI
材料力学 第十二章 压杆稳定
P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
材料力学-压杆稳定
A
பைடு நூலகம்
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
i I D2d2 16mm A4
得11.713 61230108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
FcrcrA
2E 2
A
2lE2I118kN
4、计算安全系数
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
σs
压杆稳定
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
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§压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。
历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。
如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
近代这类事故仍时有发生。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。
例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。
图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。
受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。
例如，图15-3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力小于某一临界值时，杆件的直线平衡形式是稳定的。
此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图15-3c）。
但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表明原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。
可见，临界力的确定是非常重要的。
本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。
研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。
§15-2 细长压杆的临界力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度，杆件长度和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。
确定临界力的方法有静力法、能量法等。
本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。
1．两端铰支压杆的临界力两端铰支中心受压的直杆如图15-4a所示。
设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b所示。
建立坐标系，任意截面（）处的内力（图15-4c）为：，在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程，得到：。
令，得微分方程：（a），此方程的通解为：。
利用杆端的约束条件，，得，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：（b）。
利用约束条件，，得：。
这有两种可能：一是，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是π，１、２、３……。
由此得出相应于临界状态的临界力表达式：。
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即时的值：（15-1）此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。
因此，相应的也称为欧拉临界力。
此式表明，与抗弯刚度（）成正比，与杆长的平方（）成反比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的应为截面最小的形心主轴惯性矩。
将代入式（）得压杆的挠度方程为：（c），在处，有最大挠度。
在上述分析中，的值不能确定，其与的关系曲线如图15-5中的水平线所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得曲线如图15-5中ＡＣ所示。
这种曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。
可以看出，当<时，压杆只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。
当时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和AＣ），其中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯曲平衡形式。
前者是不稳定的，后者是稳定的。
如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一值的点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。
平衡路径出现分支处的值即为临界力，故这种失稳称为分支点失稳。
分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。
对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。
当压力<，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。
而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。
压力称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近。
因的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。
2．其他约束情况压杆的临界力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a）2）两端固定的压杆（图15-6b）3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为：（15-2）式中，称为相当长度。
称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支；一端固定、一端自由；两端固定；一端固定、一端铰支。
由此可知，杆端的约束愈强，则值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则值愈大，压杆的临界力愈低。
事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。
从15-6中挠曲线形状可以看出：长为的一端固定、另端自由的压杆，与长为的两端铰支压杆相当；长为的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l的两端铰支压杆相当；长为的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为的两端铰支压杆相当。
需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。
另外，上述各种值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，值一般在0.5与1之间，通常将值取接近于1。
对于工程中常用的支座情况，长度系数可从有关设计手册或规范中查到。
§15-3压杆的临界应力如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。
为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。
压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。
压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：（15-3），式中称为柔度，为截面的惯性半径，即：，（15-4）式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。
柔度又称为压杆的长细比。
它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类：（一）细长杆（）当临界应力小于或等于材料的比例极限时，即：，压杆发生弹性失稳。
若令：（15-5）。
则时，压杆发生弹性失稳。
这类压杆又称为大柔度杆。
对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限各不相同，的数值亦不相同。
例如A3钢，，，用式（15-5）可算得。
（二）中长杆（）这类杆又称中柔度杆。
这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。
对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：（15-6）式中a、b为与材料性能有关的常数。
当时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：。
例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。
（三）粗短杆（）这类杆又称为小柔度杆。
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
故：。
上述三类压杆临界应力与的关系，可画出曲线如图15-7所示。
该图称为压杆的临界应力图。
需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式（和也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。
表15-1 常用材料的a、b 和值材料304 1.12 102A3钢优质碳钢461 2.568 95铸铁332.2 1.454 70木材28.7 0.190 80§15-4 压杆的稳定计算工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。
1．安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为：（15-7）式中为压杆的工作载荷，是压杆的临界载荷，是稳定安全系数。
由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。
值一般比强度安全系数要大些，并且越大，值也越大。
具体取值可从有关设计手册中查到。
在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。
2．稳定系数法压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为（15-8）式中的为压杆的工作载荷，为横截面面积，为稳定许用应力。
，它总是小于强度许用应力。
于是式（15-8）又可表达为：（15-9），其中称为稳定系数，它由下式确定：式中为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，，且，故为小于1的系数，也是柔度的函数。
表9.2所列为几种常用工程材料的对应数值。
对于柔度为表中两相邻值之间的，可由直线内插法求得。
由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。
在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。
还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。
由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。
但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即：（15-10），式中的是横截面的净面积。
表15-2 压杆的稳定系数3号钢钢铸铁木材0 10 ]20 1.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730 40 0.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750 60 0.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170 80 0.7890.7310.7050.6270.340.260.600.4890 100 0.6690.6040.5460.4620.200.160.380.31110 120 0.5360.4660.3840.3250.260.22130 140 0.4010.3490.2790.2420.180.16150 160 0.3060.2720.2130.1880.140.12170 180 0.2430.2180.1680.1510.110.10190 2000.1970.1800.1360.1240.090.08 5-5 提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。