高等数学训练之数项级数

第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使(1,2,3,...)n n u cv n ≤=（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若lim(0,)nn nu l v →∞=∈+∞则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q ∞=∑收敛， 根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故li m 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u∞=∑发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效．例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r ==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n n re→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nn n ∞=+-∑的敛散性．解由于(1)lim lim 3nn n n→∞-== 不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为(1)1133nq -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a ∞=-∑收敛，这与1(1)nn n a ∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+，110111n q a a <=<=<++ 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lima n n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n p u n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n+→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n ∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有r r εε-<<+当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n pu p n =>，那么1/1lim lim lim 1m PPn n n n n →∞→∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性．解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。

证 令12n n a x x x =+++，n b n =，由Stolz 定理，12limlimlim (1)nnn n n n x x x x x l nn n →∞→∞→∞+++===--命题证毕．命题2设0n a >，(1,2,)n =．lim n n a a →∞=，则lim n n n a a →∞==．证 由0n a >，考虑数列{}ln n a ，由对数函数的连续性易知limln ln n n a a →∞=．再由命题1知12ln ln ln limln nn n a a a a n→∞+++==根据指数函数的连续性便得ln lim ,a n n ee a →∞===0a =或a =+∞时，结论仍成立，这里证明略去．命题3 设0n v >，1limn n n v v v →∞-=，则1lim n n n n vv v →∞-==．证 令11a v =，1(2,3)nn n v a n v -==，由命题2 1lim limnn n n n n n v a v →∞→∞-===命题证毕．证明定理5 由命题3知，1limnn n n n n n v uv v →∞-===再用柯西判敛法(定理2) 便得结论．定理证毕．显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当1n v =时的特例．例6 判定级数()21!121n n n n n n n ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭+∑的敛散性. 解 设21n n n u n +⎛⎫=⎪⎝⎭，()!21n nn v n =+则1lim ,nn n n e n →∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭1112112lim lim lim lim ,2121212112nn n n n n n n n v n n n n v n n n e n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅= ⎪-+-⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭由于11122e e ⋅=<，根据广义柯西判别法3知，级数()21!121n n n n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭+∑收敛． 例7 判定21213341nn n n n n x n n x -∞=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭∑()0x >的敛散性． 解 设2123,341nn n n nn n x u v n n x -⎛⎫-+== ⎪+-+⎝⎭，则223lim 134n n n n n n →∞-+==+-，1,01lim lim 1,11n n nn n n x x v x x x v x →∞→∞-<<⎧+==⎨≥+⎩所以，当01x <<时，级数21213341nn nn n n x n n x -∞=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭∑收敛．当1x ≥时，由于1lim1nn n n v v →∞-=，广义柯西判别法3失效．然而1x ≥时214241,132lim 1341,1nn n n x n n x en n x x xe -→∞⎧=⎪⎛⎫-+⎪⋅=⎨ ⎪+-+⎝⎭⎪>⎪⎩ 由级数收敛的必要条件知，当1x ≥时级数21213341nn nn n n x n n x -∞=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭∑发散． §2达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法． 定理6（达朗贝尔判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数,（i ） 若从某项起(,)N n N ∃>，有11n n u q u +≤<，则1n n u ∞=∑收敛；（ii ） 若从某项起(,)N n N ∃>，有11n n u u +≥，则1n n u ∞=∑发散．证明（i ）由n N >时，有11n nu q u +≤<，从而1N N u qu +≤，221N N N u qu q u ++≤≤，33N N u u q +≤，,k N k N u u q +≤由于1kNk uq∞=∑收敛，由比较原理知1N kk u∞+=∑收敛，故1nn u∞=∑收敛．（ii ）若存在N ，当n N >时，有11n nu u +≥，则1n n u u +≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u∞=∑发散．定理证毕．定理7（达朗贝尔判别法2）设1lim n n nu r u +→∞=，则（i ）若1r <，则1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若1r>（或r =+∞），则1n n u ∞=∑发散；（iii ）若1r =，敛散性不能确定．这正是高等数学中的达朗贝尔判别法． 例8判别下列级数的敛散性．1!(1)n n n n∞=∑； 232222(2)123nn+++++；1(3)(0,0)nsn s nαα∞=>>∑．解 （1）因为11lim 1n n nu r u e +→∞==<，所以级数1!n n n n ∞=∑收敛．（2） 因为1lim 21n n nu r u +→∞==>，所以原级数发散．（3） 对任意0S >，11limlim (1)n sn s nn n n u n r u n ααα++→∞→∞===+．当01α<<时，级数收敛(0)s ∀>；当1α>时，级数发散；当1α=时原级数为11s n n∞=∑的敛散性要进一步判定．当1S >时级数收敛，当1S ≤时级数发散．例9判别级数1[(1)!]2!4!(2)!nn n n ∞=+⋅∑的敛散性．解 因为111(2)(1)!(2)(22)!(2)(3)(22)n n n n u n n n u n n n n ++++++==++⋅++ 21133nnn n n +⎛⎫⎛⎫≤=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭及111lim 1,32nn n e →∞⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭故存在,N 当n N >时，有11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭．从而，当n N >时，112n n u u +<．根据定理6，可知级数1[(1)!]2!4!(2)!nn n n ∞=+⋅∑收敛． 下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法． 定理8（广义达朗贝尔判别法１） 设1nn u∞=∑为正项级数，k 是某正整数，（i ） 如果对一切n ，有1n knu q u +≤<，则级数收敛；（ii ） 如果1n knu u +≥，则级数发散． 证（i ） 由于n knu q u +≤，则n k n u qu +≤，从而 1(1)1(1)11m mk m k k m k u u qu q u +-++-+=≤≤ 2(1)2(1)22m mk m k k m k u u qu q u +-++-+=≤≤(1)(1)m mk k m k k k m k k k u u qu q u +-++-+=≤≤其中m 是任意正整数，可见，对1,2,,i k =，都有lim 0mk i m u +→∞=．考虑级数的部分和序列(1)111()()()m k k k k k mk mk k S u u u u u u +++++=+++++++++1111(1)()()1m mk k q q q u u u u q+-≤+++++=++-11()1k u u q≤++-即{}(1)m k S +有上界，从而(1)lim m k m S +→∞存在，设(1)lim m k m S S +→∞=．注意到11212(1)12(1),,,mk mk mk mk mk mk mk mk k mk mk mk mk k S S u S S u u S S u u u ++++++-+++-=+=++=++++故12(1)lim lim lim lim mk mk mk k mk k m m m m S S S S S +++-+→∞→∞→∞→∞=====，即l i m n n S S →∞=，所以1n n u ∞=∑收敛． 若1n knu u +≥成立，则n k n u u +≥，从而1(1)110mk m k u u u +-+≥≥>，故lim 0n n u →∞≠，所以级数发散．定理证毕． 例10判别级数22111111232323nn +++++++的收敛性．解 取2k =，由于1,12112,3n knn uu n +⎧⎫⎪⎪⎪=≤<⎨⎬⎪⎪⎭⎪⎩为奇数为偶数根据定理8知该级数收敛．定理9（广义达朗贝尔判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，k 是某一正整数，lim()n kn nu q u +→∞=∞或+（i ） 如果1q <,则级数收敛；（ii ） 如果1q >,则级数发散． 证 （i ） 如果1q <，对102qε-=>，存在N ，当n N >时，有 12n k n u qq u +--<从而11122n k n u q q q u +-+≤+=< 由定理8（广义达朗贝尔判别法1）知1nn u∞=∑收敛．如果1q >，则从某项开始，00,n k n u u +≥此时lim 0n n u →∞≠，故原级数发散．例11确定下列级数的敛散性 （1）(1)12nn n ∞---=∑；（2）2sin cos 221.n n n n eππ⎧⎫∞+-⎨⎬⎩⎭=∑解 （1） 取2k =，由于2(2)(1)2(1)21lim lim 142n n n n n n n nu u +-+--+---→∞→∞==<，所以原级数收敛． （2） 取 4k =，由于(4)(4)2sincos (4)22442sin cos 221limlim1n n n n n n n n n nu eu eeππππ++⎧⎫+-+⎨⎬⎩⎭+⎧⎫→∞→∞+-⎨⎬⎩⎭==<，所以原级数收敛． §3 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性．定理10（柯西积分判别法） 对于正项级数1nn u∞=∑，设{}n u 单调减少，作单调减少的连续函数()(()0)f x f x ≥，使()n u f n =单调减少，则级数1n n u ∞=∑与广义积分1()f x dx +∞⎰同时收敛，同时发散．证由()f x 单调减少，故对[1,]x k k ∈-，1(1)()()k k u f k f x f k u -=-≥≥=，111111()()kk kkk k k k k k k k u u dx f x dx f k dx u dx u ------=≥≥≥=⎰⎰⎰⎰所以111122()()nnnknk k k k k k uf x dx f x dx u --===≥=≥∑∑∑⎰⎰ （3）若广义积分1()f x dx +∞⎰收敛，则对任何自然数,n 由上不等式（3），有1111112()()nnnnk k k k S u u u u f x dx u f x dx +∞====+≤+≤+∑∑⎰⎰既部分数列{}n S 有界，故级数1nn u∞=∑收敛．反之，若级数1nn u∞=∑收敛，则由不等式（3），则对任何自然数(1),n n >有11111()n nn k k k k f x dx S u u S -∞-==≤≤≤=∑∑⎰（4）又知()0f t ≥,则()()xaF x f t dt =⎰是x 的单增函数，由（4）可知()F x 有上界S ，根据单调有界准则知广义积分1()f x dx +∞⎰收敛．定理证毕．例12讨论级数11(ln )p n n n ∞=∑的敛散性，其中0p >为常数．解 取1(),0(ln )pf x p x x =>．它在[3,)+∞上非负，单调减少且连续．令n u =1().(ln )pf n n n =当1p =时，31limlim[lnln lnln3],ln xx x dt x t t→∞→∞=-=+∞⎰当1p ≠时，11311limlim [(ln )(ln3)](ln )1xp p p x x dt x t t p--→∞→∞=--⎰1,01,(ln3) 1.1p p p p -+∞<<⎧⎪=⎨>⎪-⎩当,当 故级数11(ln )p n n n ∞=∑当1p >收敛，当01p <≤时发散．注 对于正项级数11,(ln )(lnln )p n n n n ∞=∑考察广义积分1,ln (ln ln )p dxx x x +∞⎰同 样可推得当1p >收敛，当01p <≤时发散．§4 拉贝尔判别法与高斯判别法柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了．拉贝（Raabe ）以p -级数11pn n∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯(Gauss)以级数11(ln )pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了高斯判别法．定理11 （拉贝判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，若有111(),n n u o n u n n α+⎛⎫=-+→∞ ⎪⎝⎭（5） 则在1α>时，级数1nn u∞=∑收敛；而在1α<时，级数1nn u∞=∑发散．证略．注 等式（5）式其实相当于1lim 1n n n u n u α+→∞⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭ （6） 推论（拉贝判别法的极限形式）设1nn u∞=∑为正项级数，且极限（6）存在，则：（i ）当1α>时，级数1nn u∞=∑收敛；（ii ）当1α<时，级数1nn u∞=∑发散；（iii ）当1α=时，拉贝判别法失效．例 13 讨论级数113(21)24(2)sn n n ∞=⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭∑当1,2,3s =时的敛散性．解 对于任何,s 都有121lim lim 122sn n n nu n u n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭． 因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性．下面用拉贝判别法来讨论： 当1s =时，由于1211111()22222n n u n n n n n u n n +⎛⎫+⎛⎫-=-=→<→∞ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 故当1s =时级数发散；当2s =时，由于21221(43)111()22(22)n n u n n n n n n u n n +⎡⎤⎛⎫++⎛⎫-=-=→→∞⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性；当3s =时，由于321321(12187)3111()22(22)2n n u n n n n n n n u n n +⎡⎤⎛⎫+++⎛⎫-=-=→>→∞⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦因此，当3s =时级数收敛．还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法： 定理12（高斯判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，若有1111(),ln ln n n u o n u n n n n n β+⎛⎫=--+→∞ ⎪⎝⎭（7） 则在1β>时级数1nn u∞=∑收敛；而在1β<时级数1nn u∞=∑发散．注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的．一般说来，部分和n S 不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生．以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理．它须用预知其敛散性的级数作比较对象．若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法．这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了．若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数．拉贝选取了p -级数，从而得到了以他命名的判别法．拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的α可能为1，此法仍可能失效．于是又得寻求比p -级数收敛得慢的级数，级数11(ln )pn n n ∞=⋅∑就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别法的用途更广．沿此思路下去又会发现级数11ln (ln ln )p n n n n ∞=⋅⋅∑较11(ln )pn n n ∞=⋅∑收敛散得更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法．如果某级数，用上述的判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy ）收敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了． §5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法 阿贝尔变换 为了求和数11221...mi i m m i S a b a b a b a b ===+++∑，阿贝尔给出了一个初等变换，引进和数11212312312,,,,m m B b B b b B b b b B b b b ==+=++=+++1122133211122133211,,,,.()()()m m m mi i m m m i b B b B B b B B b B B S a b a B a B B a B B a B B --=======+++-----+-∑12123211111)((()())m m m m mm i i i m mi a a B a a B a a B a B a a B a B ---+=+++=-+=--+-∑即1111()mm i im m i i i i i a ba B a a B -+===-+∑∑111()m m m i i ii a B a a B -+==--∑ （8）公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似：()()()()|()()bbba aaf xg x dx f x G x G x df x =-⎰⎰()()()()b af b G b G x df x =-⎰ （9）其中，(),()()0xag t dt G x G a ==⎰．如果把i B 换成()G x ，1i i a a +-换成()df x ，∑换成ba ⎰，则(8)式就转化为(9)式．阿贝尔引理 如果 （i ）{}(1,2,,)i a im =单调（增或减）的；（ii ）{}(1,2,,)i B i m =有界，即存在0,M >使;i B M ≤则11(2)mi im i S a bM a a ==≤+∑ （10）证 利用阿贝尔变换： 1m i i i Sa b ===∑111()m m m i i i i a B a a B -+=--∑1111mm i im m i i ii i S a ba B a a B -+==+=≤-∑∑由于1i i a a +-是同号（n a 单调），i B M ≤，于是有 1111()2m m i i m i a S M a M a a M a -+=+≤-≤+∑．推论 如果,0(1,2,,)ia i m ≥=，并且123m a a a a ≥≥≥≥．那么1S Ma ≤（11）下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克雷判别法．用它们判别形如11221......i in n i a ba b a b a b ∞==++++∑级数的敛散性十分有效．定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i ）1nn b∞=∑收敛，（ii ）数列{}n a 单调有界，即存在正数K ，使得||(1,2,3,...)n a K n ≤=．则级数1n nn a b ∞=∑收敛．证 利用阿贝尔引理来估计和数11n m mkkn in i k n i a b ab +++=+==∑∑ （12）由条件（i ）1nn b∞=∑收敛，即对任给0ε>，存在N ，当n N >时,对任何自然数P ，有12...n n n p b b b ε++++++<取ε为阿贝尔引理中的M , 再由条件（ii ），则有111(2)3n mmkkn i n in n m k n i a baba a K εε+++++=+==≤+≤∑∑，由柯西收敛原理知级数1n nn a b ∞=∑收敛．定理证毕．定理14（狄立克雷判别法）如果：（i ）级数1nn b∞=∑的部分和n B 有界，即存在正数M ，使(1,2,3...)n B M n ≤=；（ii ）并设数列{}n a 单调趋向于零，则级数1n n n a b ∞=∑收敛． 证 由于lim 0nn a →∞=，故对任意0ε>，存在N ，当n N >时，就有 n a ε<．再由条件（i ）有122n n n p n p n b b b B B M+++++++=-≤注意这里的2M 就是引理中的M ，所以当n N >时，对任何自然数m ，有1112(2)6m n mn i n ik kn n m i k n ab a bM a a M ε+++++==+=≤+<⋅∑∑由柯西收敛原理知1n nn a b ∞=∑收敛．注 在狄立克雷判别法中，特取(1)nn b =-，就是莱布尼茨判别法．因此，莱布尼茨判别法是狄立克雷判别法的特殊情况．例14 若级数1n nu ∞=∑收敛，证级数1n n u n ∞=∑，1n ∞=，11nn nu n ∞=+∑都收敛． 证取n n b u =，分别取1n a n =，n a =，1nna n =+，它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛． 例15 若数列{}n a 单调趋于零，证明：（1） 级数1sin nn anx ∞=∑对任何x 都收敛；（2） 级数1cos nn anx ∞=∑对任何2x k π≠都收敛，而当2x k π=时，须根据n a 的性质进一步判定．证 （1） 先考虑当2x k π≠时，级数1sin n nx ∞=∑的部分和1sin nk kx =∑，由积化和差公式[]1sin sin cos()cos()2A B A B A B =--+，有 2sin(sin sin 2sin )2xx x nx +++2sin sin sin sin 2sin sin 222xx x x x nx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦335cos cos cos cos 2222x x xx ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣2121cos cos 22n n x x -+⎤⎛⎫+- ⎪⎥⎝⎭⎦21cos cos22x n x +=- 从而121sin 2sinsin 22nk kx xx =≤=∑ （2x k π≠）由狄立克雷判别法知1sin nn anx ∞=∑收敛．当2x k π=时，级数的通项为零，级数自然收敛． （2） 由和差化积公式（2x k π≠）[][]1sin sin sin()sin()21sin()sin()2A B A B A B A B B A =++-=+--有[]2sincos cos2cos 2xx x nx +++3153sin sin sin sin 2222x x xx ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣2121sin sin 22n n x x +-⎤⎛⎫+- ⎪⎥⎝⎭⎦211sin sin 22n x x +=-从而121cos 2sinsin 22nk kx x x =≤=∑由狄立克雷判别法知 1cos nn anx ∞=∑收敛．习题 选择题 （1）设10(1,2,)n a n n≤≤=，则下列级数中肯定收敛的是（ ）11211();()(1);()()(1).nn n n n nn n n A a B a C D a ∞∞==∞∞==--∑∑∑（2）设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝，则级数（ ） 221111221111();();();()nnnnn n n n nnnnn n n n A u u B u u C u u D u u ∞∞∞∞====∞∞∞∞====∑∑∑∑∑∑∑∑与都收敛与都发散收敛而发散发散而收敛.（3）下列各选项正确的是（ ）22211122111111()()();1();()(1,2),nnn n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n A u v u v B u v u v C u u n D u u v n v ∞∞∞===∞∞∞===∞=∞∞==+≥≥=∑∑∑∑∑∑∑∑∑若与都收敛,则收敛;若收敛,则与都收敛若正项级数发散,则若级数收敛,且则级数也收敛.（4）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（ ）111111();()(1);();()2nnn n n n n n n n n A a B a a a C a aD ∞∞==∞∞++==-+∑∑∑∑收敛收敛收敛收敛.用比较判别法判别下列级数的敛散性：1(1)n ∞= 111(2)ln ;n n nn ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑1(3)n n λ∞=∑1/21(4).1nn dx x∞=+∑⎰设级数111,n nnn n n a b c ∞∞∞===∑∑∑,,有,nn n ab c ≤≤试证11n n n n a c ∞∞==∑∑,,收敛时，1n n b ∞=∑敛．4．判别下列级数的敛散性：21(!)(1);(2)!n n n ∞=∑ 21(2)!(2);2n n n ∞=∑ ln 2(3);(ln )nnn n n ∞=∑ 21arctan (4).n n nn ∞=-∑5．判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛．211(1)(1);1nn nn∞=+-+∑21(2);n n ∞=∑ 1ln (3)(1);nn nn ∞=-∑1(4)sin(n ∞=∑6.设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim 0x f x x →=,证明级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑绝对收敛． 7．设11112,(1,2,)2n n n a a a n a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．证明：（1）lim n n a →∞存在；（2）级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛．8．若两个正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑发散，问11max(,),min(,)nnnnn n u v u v ∞∞==∑∑两级数的敛散性如何？9．讨论下列级数的敛散性．21(1);ln ln ln n n n n∞=⋅⋅∑ 131(2);(l n )l n l nn n n n σ∞+=⋅⋅∑10．讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性．111(1)sin(2)sin (1);(2);(3)!nn n n n x nxn xn n ∞∞∞===-+∑∑∑．11．设{}n na 收敛，11()nn n n aa ∞-=-∑收敛，证明1n n a ∞=∑也收敛．12．设级数11()nn n aa ∞-=-∑收敛，又1n n b ∞=∑是收敛的正项级数，证明1n n n a b ∞=∑绝对收敛．答案 1．(1);(2);(3);(4).D C A D2. (1)发散; (2)收敛; (3)12λ<-时收敛, 12λ≥-时发散; (4)收敛. 4. (1)收敛; (2)收敛; (3)收敛; (4)发散.5. (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛; (4) 条件收敛. 8．1max(,)nnn u v ∞=∑发散，1min(,)nnn u v ∞=∑敛散性不能确定．9．(1)发散；(2)0σ>时收敛, 0σ≤时发散． 10． (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛．参考资料[1] 根值审敛法的几个推论．侯亚君 高 峰．《高等数学研究》2003.NO2 [2] 柯西根值判敛法的推广．花树忠．《高等数学研究》2004.NO1． [3] 'D Alembert 判别法的一个推广．徐文雄 龚冬保．《数学学习》1994.NO2．。