概率论与数理统计：3_4二维r.v.的函数分布
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
rv的函数的分布
概率论
P{Y 4} P{ X 4} P{ X 2或X 2}
2
P{ X 2} P{ X 2} P{ X 2} 1 / 5 P{Y 9} P{ X 2 9} P{ X 3或X 3} P{ X 3} P{ X 3} P{ X 3} 11 / 30
二、设 X～N（0，1） （1）求 Y=eX 的概率密度 （2）求 Y=2X2+1 的概率密度。 （3）求 Y=| X |的概率密度。
概率论
三、设随机变量 X 在（0，1）上服从均匀 分布 X （1）求 Y=e 的分布密度 （2）求 Y=－2lnX 的概率密度。
概率论
一、 设随机变量 X 的 分布律为： X －2 －1 0 1 3 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求 Y=X 2 的分布律
P{ X h( y )}
h( y )
x h( y )
x
f X ( x )dx
故定理成立
概率论
1 , 求 Y =eX 的分布. 例6 设 X ~ f X ( x ) 2 (1 x )
解： y = ex 单调可导,值域y>0, 反函数 x = h(y) = lny,
h( y ) 1 , y
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反 函数 F-1 存在且严格递增.
概率论
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤
(1 y))= y F (y)) =F( F
1
即Y的分布函数是
y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
=P{ X
于是Y 的密度函数
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
《概率论与数理统计》课件3-4条件分布
Y
1.7<Y<1.8( ),
X
1.7 1.8 .
.
.
.
1
( X,Y )
j
P{Y = yj } > 0
PX P{X= xi |Y= yj }=
xi ,Y
yj
…
P Y yj
Y = yj
X
= pij p• j
i=1,2,
.
r.v,
r.v
.
i P{X = xi } 0
P{Y yj | X xi } )
X = xi
Y
(j = 1,2,
. .
P X xi Y yj 0 i=1,2, …
P X xi Y yj 1
i1
1 设 (X, Y) 的联合分布律如下，
求X=0、X=1的条件下, Y的条件概率分布.
P Y = 0 | X = 0} = P Y = 1| X = 0} =
1 ==
5 3 == 5
A)
B)
C)
D)
A
B
C
D
提交
单选题 1分
二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
(8xy2 0 < x < < 1 f (x, y) =
〈 的边缘概率密度为 ( )．
(8 | (x
−
x7 )
fX (x) =〈
3
|0
(8 |
(x
−
x6 )
fX (x) =〈
3
|0
0<x<1 else
0<x<1 else
(| B) fX (x) =〈
(1− x6
)| 0
(|
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
3.4二维变量函数的分布
例2 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
fX
(x)
1 2
e
x
2，
x
0
和
fY
( y)
1
e
y
3，
3
y
0
0 ， x 0
0 ， y 0
求随机变量Z=X+Y的概率密度.
解 FZ (z) pX Y z f (x，y)dxdy x yz
由于X与Y相互独立，所以
f
(x，y)
fX (x)
fY ( y)
例3.22 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，
其联接的方式分别为(1)串联，(2)并联，如图所示。设L1， L2的寿命分别为X与Y，而且
ex x 0
X ~ fX (x)
0
x0
ey y 0
Y ~ fY (y)
0
y0
其中>0，>0，试分别就以上两
种联结方式写出L的寿命Z的分布 函数与概率密度函数。
fz (z) fx (x) f y (z x)dx
1
e x2 2
2
1
e
(
zx 2
)2
dx
2
1
1
x2 (zx)2
{
}
e dx e e dx 2 2
z2
(x z )2
4
2
2
2
t x z 2
1
z2
e 4
et2 dt
2
1 z2 e4
2
1
z2
e4
2 2
即 Z=X+Y∼N(0, 2). 一般地有
|
y
|
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。
2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k 1,2,
当( X ,Y )为连续r.v.时，
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z)
f (x, y)dxdy
其中
D
Dz
: {(x, y) | g(x, y) z}
z
D : {(x, y) | g ( x, y) z} 的几何意义：
z
(2)
特别地，若X ,Y 相互独立，则
记作
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx fX (z) fY (z)
z (3)
或
记作
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy fX (z) fY (z)
z (4)
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积
P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
3 x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)
0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一 （图形定限法）
由公式（1）
fZ (z)
f (x, z x)dx
3 x, 0 x 1, x z 2x
f
(x,
z
x)
0,
当z<0或z>2,
其他
z
z
f Z (z) = 0
当 0 ≤ z < 1,
z
1 0.5 0
-0. 5
-1
1 0.7 5
Dz
0.5
0.2 5
0
-1 -0. 5 0 0.5 1
离散型二维 r.v.的函数
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
1
0 fY (z x)dx
z=x 1
fY
(
z
x)
1, 0,
z 1 x z 其他
1x
1
0 fY (z x)dx
0,
z
0 1dx, 1
1dx, z1
z 0或z 2, 0 z 1,
1 z 2,
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
解法二 从分布函数出发 y
k
P(Z k) P(X i,Y k i),
i0
k i 1
e e 1
k i 2 2
i0 i! (k i)!
e 1 2 k!
i
k 0
k! i!(k
i)!1i k2i
(1 2 )k e12
k!
k 0,1,2,
二维连续r.v.函数的分布
问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，
FZ (z) P(Z z)
P(X Y z)
f (x, y)dxdy
x yz
zx
dx
f (x, y)dy
或
zy
dy
f (x, y)dx
•z •z
z
fZ (z) f (x, z x)dx
z (1)
或
fZ (z) f (z y, y)dy
故得 X+Y
P
-2 -1 0 1 2
1 4 1 4 1 6 1 4 1 12
X - Y -1 0 1 2 3
P 14 14 18 14 18
X Y -2 -1 0 1
P 1 8 1 6 11 24 1 4
Y /X -1 -1/2 0 1
P 1 6 1 8 11 24 1 4
具有可加性的两个离散分布
例2 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为
f
(x,
y)
1, 0,
0 x 1,0 y 1 其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一（图形定限法）
显然X ,Y 相互独立,且
f
X
(
x)
1, 0,
0 x1 其他
fY
(
y)
1, 0,
0 y1 其他
z
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 2
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
当z < 0 时，
FZ (z) 0
当0 z < 1 时，
z
zx
FZ (z) 0 dx0 1dy
z
0(z x)dx
z2 /2
fZ (z) z
y 1
•z
•z
1 x
当1 z < 2 时，
1 zx
FZ (z) (z 1)
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
Poisson分布可加性的证明
X ~ P(1), Y ~ P(2), 则
Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ,
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.
方法
从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.
(1) 和的分布：Z = X + Y
设( X ,Y )的联合d.f.为 f (x,y), 则
§3.4 二维 r.v.函数的分布
问题 已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数,
求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法 转化为( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散
Z zk g(xik , y jk )
P(Z zk ) P(X xik ,Y yjk )
fZ (z)
z 3xdx 9 z2
z/2
8
当 1 ≤ z < 2,
2 z
1 z
z
x
x=1
fZ (z)
1 3xdx 3 (1 z2 )
z/2
24
f
Z
(
z)
3 2
(1
9 8
z2 z2 4
, ),
0,
0 z 1 1 z 2
dx
z 1
0
1dy
1
z
1
(z z1
x)dx
2z z2 / 21
y 1 •z
z-1 1•zx
fZ (z) 2 z
y
当2 z 时，
2
FZ (z) 1
1
fZ (z) 0
0, z 0或 z 2
fZ
(z)
z,
0 z1
2
z,
1 z2
1
2 x
例3 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为