固体物理阎守胜第二章 晶体的结构

晶体结构＝基元＋空间点阵
2.1.1 布拉维格子
定义：布拉维格子是矢量
Rn n1a1 n2a2 n3a3
全部端点的集合，其中 n1 , n2 , n3 取整数，a1 , a2 , a3 是三 个不共面的矢量，称为布拉维格子的基矢，Rn称为布拉 维格子的格矢，其端点称为格点（一个格点代表一个基 元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任 意的点子。 ）。 布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。忽略了实 际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及 T 0 时原子瞬时 位置相对平衡位置的偏离。只考虑晶体中原子周期性的 规则排列，或所具有的平移对称性，即平移任一格矢， 晶体保持不变的特性。
闪锌矿结构：（与金刚石类似结构的化合物）
在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于 不同的元素。
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
4、密堆积结构
密堆积：晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。 密堆积的配位数为12。其堆积方式有两种方式：立方 密积、六角密积。 立方密积：简单格子（∵每一个原子所处的环境都是一 样的），其布拉维格子是面心立方。 六角密积：复式格子（∵A层原子与B层原子所处的环 境不同），其布拉菲格子是菱形柱体，六角密积由两 个菱形柱体套构而成。
米勒指数是（121）的晶面是EFG面；
[ ]表示晶向。如[1 0 0]， [0 1 0]， [0 0 1]等。 ( )表示晶面。如(1 0 0)，(0 1 0)，(0 0 1)等。 < >表示一组由于对称性而相互等价的晶向。 如<1 0 0>表示6个相互等价的方向，[1 0 0]，[1 0 0]， [0 1 0]， [0 1 0]， [0 0 1]和 [0 0 1]。 [001] [010] [100] [001]
与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同。 a3 为坐标轴，若一族晶面中任一不 a2 、 以原胞基矢 a1 、 ' ' a3 已知，那 过原点的晶面在三个轴上的截距 h1' a1 、h2 a2 、h3 么这一晶面的取向就完全确定了。 ' ' ' h2 (以 a1 、 a2 、a3 h2 、 习惯上用三个截距 h1 、 为单位）倒数的互质整数比
1 1 1 : ' : ' h1 : h2 : h3 ' h1 h2 h3
来表示晶面的取向，三个互质整数 h1 、 h3 、h3 称为该晶面 族的面指数，记为 。 （h1，h2，h3） （h1，h2，h3）称为该晶面 族的米勒指数。
例2：如图所示 abc ，I和H分别为BC，EF之中点， 试求晶面AEG，ABCD，DIHG的米勒指数。
2.1.4 几种常见的布拉维格子
1. 简单立方布拉维格子
3个基矢等长并相互垂直。
c
ˆ a1 ai ˆ a2 aj
b
a
ˆ a3 ak
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为6。 原胞和单胞的体积都是
Ω a3
2. 体心立方布拉维格子
ak
a1
a2
aj
ai
称为晶轴，格点的位矢可写成
R m' a n' b p' c
n’ 、m’ 、p’ 不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一 组整数n 、m 、p ，并有
m' : n' : p' m : n : p
[m，n，p] 称为晶向指数。
例1：如图在立方体中， a i , b j, c k
AEG
在三个 坐标轴 上的截 距
ABCD
1
1 1 1 : : 1 (001)
DIHG
2 1
h'
1 1 1 1:1:1 (111)
D A
c
b
C B
G
a
k'
l'
I H F
1 1 1 h:k :l : : h k l
O 1 1 1
: : 2 1 (120)
E
(hkl)
D是BC的中点，求BE,AD的晶向指数。
解： OB i ,
E A
c
b
OE i j k ,
BE OE OB j k
晶列BE的晶向指数为：[011]
C D
a
O
OA k ,
1 AD OD OA i j k 2
AD的晶向指数为: [212]
1 OD i j , 2
AEG 的米勒指数是(111)； ABCD的米勒指数是(001)； DIHG的米勒指数是(120)。
例3: 在立方晶系中画出(210)、(121)晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
C
E
a
（210） （121）
1 2
b
1
1 2
c
B D A
a

1
c
G
b
F
1
米勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
典型晶体：Ca、Al、Cu、Ag （立方视频）
2.1.5 晶向、晶面和基元的坐标
一、晶向 通过晶格中任意两个格点连 一条直线称为晶列，晶列的 取向称为晶向，描写晶向的 一组数称为晶向指数(或晶 列指数) 过一格点可以有无数晶列。
晶向的特点：
(1)平行晶列组成晶列族，
晶列族包含所有的格点 (2)晶列上格点分布是周期性的 (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的 (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
a3
a a1 2 a a2 2 a a3 2
iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含2个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为8。 原胞的体积 Ω a1 a 2 a3 a3


1 2
如沿晶向方向的最短格矢 为 l1a1 l2a2 l3a3 ，该晶向 可记为 l1 l2 l3 。 l1 l2 l3 称 为晶向指数。
习惯将负号放在相应数字之上。
a1 轴方向记为 1 0 0 ， a1 轴方向记为
1 0 0
,
、 、 在结晶学中，以 a 、 b 、 c 为原胞基矢，把 a b c
由两个简单立方格子套构而成。 具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子， 其布拉维晶格为简单立方，氯化铯结构属简单立方。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
[100]
[010]
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面。 如{1 0 0}表示3个等价的晶面(1 0 0)，(0 1 0)和(0 0 1)。
简单立方格子中的(100)，(110)和(111)面
a3 轴上 原胞中原子的坐标通常用其在 a1 、 a2 、
子周围最近邻的原子数。
晶体结构中最大配位数是 12 ，以下依次是8 ，6 ， 4 ，3 ，2 。
2.1.4 单胞（惯用单胞）
晶体学中，用晶系基矢 a, b , c 构成的平行六面 体作为周期性重复排列的最小单元，称为单胞或惯 用单胞。
单胞的边长称为晶格常数。
单胞与原胞的区别：
原胞只含一个格点，是体积最小的周期性重复单元。 单胞可含一个或数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
单胞的体积为 Ω a 3
3. 面心立方布拉维格子
a 2 a a2 2 a a3 2 a1
ak
a1
ˆ jk ˆ iˆ kˆ j iˆ ˆ
aj
a2 a3
ai
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为12。
1 3 原胞的体积 Ω a1 a 2 a3 a 单胞的体积为 Ω a 3 4
一维
二维
（二维正方堆积）
（二维密排堆积）
三维
密排六角（ hexagonal close-packed, hcp ）堆积 排列方式： ABABAB (六角密堆积)
典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti （六角视频）
面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积 排列方式： ABCABC (立方密堆积)
基元，格点，晶格（空间点阵）的区分
( a)
(b)
( c)
A B
2.1.2 原胞
原胞（primitive cell）是晶体中体积最小的周期性重复 单元，当它平移布拉维格子所有可能的格矢，将精确地 填满整个空间。常取为以基矢为棱边的平行六面体。体 积为
ห้องสมุดไป่ตู้
a1 (a2 a3 )
原胞的选取不惟一，习惯上常取三个不共面的最短格矢 为基矢。 原胞具有相同的体积，每个原胞平均只包含一个格点。
B
二、晶面
晶面 ：晶体内三个非共线结点组成的平面。
（1）平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
（2）晶面上格点分布具有周期性； （3）同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； （4）同一晶面族中相邻晶面间距相等。 面间距：同族晶面中，相邻两晶面的距离。 （晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶体。 ）


4. 简单六角布拉维格子
ˆ a1 ai aˆ 3a ˆ j a2 i 2 2 ˆ a3 ck
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含3个格点。 简单立方布拉维格子的配位数为6。 原胞的体积 Ω a1 a 2 a3 3 a 2c 单胞的体积为 Ω 3 3 a 2 c
1、氯化钠结构 由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物： LiF、LiCl、NaF等。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布拉维晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方 简单格子的选取方法相同。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
2、氯化铯结构
原胞的选取
原胞的选取不惟一，只包含一个格点
维格纳-赛茨（Wigner-Seitz）原胞，简称WS原胞：以 晶格中某一格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直 平分面，这些平面所围成的以该点为中心的最小体积 是属于该点的WS原胞。
2.1.3 配位数
在布拉维格子中，离某一格点最近的格点，称 为该格点的最近邻。由于布拉维格子中格点相互等 价，每一格点有相同的最近邻数，称为该格点的配 位数（coordination number）。 配位数：晶体中原子排列紧密程度的标志。是一个原


2
2
一、 简单晶格
基元中原子数p=1的晶格称为简单晶格。
二、复式格子结构
基元中原子数 p 2 的称为复式晶格。复式晶 格可看成2套或多套简单晶格（通常称为子格子） 的相互嵌套。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种 原子组成的晶格却不一定是简单晶格。
（1~3 为晶胞中的立方晶系）
2.3 几种常见的晶体结构
第二章 晶体的结构
2.1晶格
晶体最主要的特点是具有周期性重复的规则结构，可 以看成是一个或一组p个原子（或离子实）以某种方式在 空间周期性重复平移的结果。
晶体结构包括两个方面： 一是重复排列的具体单元，称为基元（basis）。基元是 晶体结构中最小的重复单元（结构单元）。 二是基元重复排列的形式，一般抽象成空间点阵，称为晶 体格子（crystal lattice），或简称为晶格，由布拉维格子 （Bravais lattice）的形式来概括，基元在空间周期性重复 排列就形成晶体结构。
晶体结构＝基元＋空间点阵
第二章 晶体的结构
2.1晶格
晶体最主要的特点是具有周期性重复的规则结构，可 以看成是一个或一组p个原子（或离子实）以某种方式在 空间周期性重复平移的结果。
晶体结构包括两个方面： 一是重复排列的具体单元，称为基元（basis）。基元是 晶体结构中最小的重复单元（结构单元）。 二是基元重复排列的形式，一般抽象成空间点阵，称为晶 体格子（crystal lattice），或简称为晶格，由布拉维格子 （Bravais lattice）的形式来概括，基元在空间周期性重复 排列就形成晶体结构。
3、金刚石结构
金刚石由碳原子组成。每个晶胞含有8个碳原子。 由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶角处的碳 原子与体内的4个碳原子是不等价的。
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位 移1/4的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。 金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。 金刚石基元由两个碳原子组成。 具有这种结构的晶体有：锗、硅等。