东南大学《数值分析》-上机题
数值分析上机题1
设2
21
1N
N j S j ==-∑
，其精确值为1311221N N ??-- ?+??
。 （1）编制按从大到小的顺序222
111
21311
N S N =
+++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22
21111(1)121
N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？
程序代码（matlab 编程）：
clc clear
a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1
S1(N)=S1(N)+a(i); end end
S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1);
for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end
S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果
通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
数值分析上机题2
20．（上机题）Newton 迭代法
（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。
（2）给定方程3
()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x *
=，3x *=。
1．由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时，Newton 迭代序列收敛于根2x *
。试确定尽可能大的δ。
2．试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。 MATLAB 程序 问题1
clc clear dx=0.5; x(1)=0.5; while (dx>1e-6) i=1; error=1;
while (error>1e-8)
x(i+1)=x(i)-(1/3*x(i)^3-x(i))/(x(i)^2-1); error=abs(x(i+1)-x(i)); i=i+1; end if (x(i)==0) x(1)=x(1)+dx; else dx=dx/2; x(1)=x(1)-dx; end end
经计算，最大的δ为0.774596 问题2
clc clear x2(1)=1e14; i=1; error=1;
while (error>1e-8)
x2(i+1)=x2(i)-(1/3*x2(i)^3-x2(i))/(x2(i)^2-1); error=abs(x2(i+1)-x2(i)); i=i+1; if (i>1e4) break end end
对于不同得初始值收敛于不同的根, 0x 在（-∞，-1）内收敛于3-，在（-0.774，0.774）内收敛于0，在（1，+∞）内收敛于3，但在内（0.774，1）和（－1，0.774）均可能收敛于3-和3。
分析：对于不同的初值，迭代序列会收敛于不同的根，所以在某个区间内求根对于初值的选取有很大的关系。产生上述结果的原因是区间不满足大范围收敛的条件。
数值分析上机题3
39．（上机题）列主元三角分解法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V。（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元三角分解法的通用程序；
（2）用所编制的程序解线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留五位有效数；（3）本编程之中，你提高了哪些编程能力？
程序：
clc
clear
A=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0
-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0
0,-9,31,-10,0,0,0,0,0
0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9
0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0
0,0,0,0,-7,47,-30,0,0
0,0,0,0,0,-30,41,0,0
0,0,0,0,-5,0,0,27,-2
0,0,0,-9,0,0,0,-2,29];
b=[-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,10]';
[m,n]=size(A);
Ap=[A,b];
x=zeros(n,1);
for i=1:m-1
j=i;
[maxa,maxi]=max(abs(Ap(i:end,j)));
maxi=maxi+i-1;
if(maxa~=0)
mid=Ap(maxi,:);
Ap(maxi,:)=Ap(i,:);
Ap(i,:)=mid;
for k=i:m
Ap(i+1:m,:)=Ap(i+1:m,:)-Ap(i+1:m,j)*(Ap(i,:)./maxa);
end
end
end
for i=linspace(m,1,m)
x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:end-1)*x)/Ap(i,i);
end
结果：方程的解为（保留5位有效数字）：
x1= -0.28923，x2= 0.34544，x3= -0.71281，
x4= -0.22061，x5= -0.43040，x6= 0.15431，
x7= -0.057823，x8= 0.20105，x9= 0.29023。
习题 4
37.（上机题）3次样条插值函数
（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;
端点条件为'0y =0.8，'
10y =0.2。用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。 程序： （1）
clc clear %%
x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80]; y1=0.8; yend=0.2;
%% ___________________________________________ n=size(x,2)-1; h=x(2:end)-x(1:end-1);
miu=h(1:end-1)./(h(1:end-1)+h(2:end)); lamda=1-miu;
f1=[y1,(y(2:end)-y(1:end-1))./h,yend];%f[xn-1,xn]
f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]./[h(1),h(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1,xn,xn+1] A=2.*eye(n+1);
A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]'); A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]'); M=A\(6*f2');
Sx=[y(1:end-1)',((y(2:end)-y(1:end-1))./h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)).*h'),1/2*M(1:end-1),1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))./h']; %%
xx=input(’x= ’); for j=2:n+1 if xx S=Sx(j-1,:)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]'; break end end (2) clc clear %% x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; y=[2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80]; y1=0.8; yend=0.2; %% ___________________________________________ n=size(x,2)-1; h=x(2:end)-x(1:end-1); miu=h(1:end-1)./(h(1:end-1)+h(2:end)); lamda=1-miu; f1=[y1,(y(2:end)-y(1:end-1))./h,yend];%f[xn-1,xn] f2=[f1(2:end)-f1(1:end-1)]./[h(1),h(1:end-1)+h(2:end),h(end)];%f[xn-1,xn,xn+1] A=2.*eye(n+1); A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag([miu,1]'); A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag([1,lamda]'); M=A\(6*f2'); Sx=[y(1:end-1)',((y(2:end)-y(1:end-1))./h)'-((1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)).*h'),1/2 *M(1:end-1),1/6*(M(2:end)-M(1:end-1))./h']; %% for i=0:9 xx=i+0.5; for j=2:n+1 if xx S(i+1)=Sx(j-1,:)*[1,xx-x(j-1),(xx-x(j-1))^2,(xx-x(j-1))^3]'; break end end end x∈ [0,1]时；S(x)=2.51+0.8x-0.0014861x2-0.00851395x3 x∈[1,2]时；S(x)=3.3+0.771486(x-1)-0.027028(x-1)2-0.00445799(x-1)3 x∈[2,3]时；S(x)=4.04+0.704056(x-2)-0.0404019(x-2)2-0.0036543(x-2)3 x∈[3,4]时；S(x)=4.7+0.612289(x-3)-0.0513648(x-3)2-0.0409245(x-3)3 x∈[4,5]时；S(x)=5.22+0.386786(x-4)-0.174138(x-4)2+0.107352(x-4)3 x∈[5,6]时；S(x)=5.54+0.360567(x-5)+0.147919(x-5)2-0.268485(x-5)3 x∈[6,7]时；S(x)=5.78-0.149051(x-6)-0.657537(x-6)2+0.426588(x-6)3 x∈[7,8]时；S(x)=5.4-0.184361(x-7)+0.622227(x-7)2-0.267865(x-7)3 x∈[8,9]时；S(x)=5.57+0.256496(x-8)-0.181369(x-8)2+0.0548728(x-8)3 x∈[9,10]时；S(x)=5.7+0.058376(x-9)-0.0167508(x-9)2+0.0583752(x-9)3 S(0.5)=2.90856 S(1.5)=3.67843 S (2.5)=4.38147 S(3.5)=4.98819 S(4.5)=5.38328 S(5.5)=5.7237 S(6.5)=5.59441 S(7.5)=5.42989 S(8.5)=5.65976 S(9.5)=5.7323 习题五 重积分的计算 23（上机题）重积分的计算 题目：给定积分? ?= d c b a dy dx y x f f I )),(()(。取初始步长h 和k ，及精度ε。应用复化梯形 公式，采用逐次二分步长的方法，编制计算I(f)的通用程序。计算至相邻两次近似值之差的绝对值不超过ε为止。 1） 用所编程序计算积分? ?+=6 30 22))(()(π π dy dx y x tg f I ，取510*5.0-=ε。 程序： clc clear %% example f=inline('tan(x.^2+y.^2)','x','y'); a=0; b=pi/3; c=0; d=pi/6; %% define error=1; k=1; n=1; while (error>0.5e-5) [x,y]=meshgrid(linspace(c,d,2^k+1),linspace(a,b,2^k+1)); h=(b-a)/2^k; l=(d-c)/2^k; z=f(x,y); z1=z(1:end-1,1:end-1); z2=z(1:end-1,2:end); z3=z(2:end,1:end-1); z4=z(2:end,2:end); t(k)=h*l/4*(sum(sum(z1))+sum(sum(z2))+sum(sum(z3))+sum(sum(z4))); %% extrapolation if (k>=2) T(1,k-1)=4/3*t(k)-1/3*t(k-1);% T(1) error=min(error,abs(t(k)-t(k-1))); if (k>=3) T(2,k-2)=16/15*T(1,k-1)-1/15*T(1,k-2); % T(2) error=min(error,abs(T(1,k-1)-T(1,k-2))); if (k>=4) T(3,k-3)=64/63*T(1,k-2)-1/63*T(1,k-3); % T(3) error=min(error,abs(T(2,k-2)-T(2,k-3))); if (k>=5) error=min(error,abs(T(3,k-3)-T(3,k-4))); end end end end k=k+1; end 计算结果： T(f) T (1)(f) T (2)(f) T (3)(f) 10.51979650.3440320.3373930.337709 20.38797340.3378080.3365920.33665 30.35034950.3366680.3365240.336531 40.34008870.3365330.336521 50.33742180.336521 60.3367464 I(f)=0.33652 二分6次 习题6 23．（上机题）常微分方程初值问题数值解 （1）编制RK4方法的通用程序； （2）编制AB4方法的通用程序（由RK4提供初值）； （3）编制AB4-AM4预测校正方法的通用程序（由RK4提供初值）； （4）编制带改进的AB4-AM4预测校正方法的通用程序（由RK4提供初值）; （5）对于初值问题 h=,应用（1）~（4）中的四种方法进行计算，并将计算结果和精确解取步长0.1 3 =+作比较； ()3/(1) y x x （6）通过本上机题，你能得到哪些结论？ 程序： clc clear %% Original question f=inline('-x*x*y*y','x','y'); y0=3; h=0.1; xstr=0; xend=1.5; x=xstr:h:xend; yx=3./(1+x.^3); n=size(x,2); %% RK4 method RK4y(1)=y0; for i=1:n-1 k1=f(x(i),RK4y(i)); k2=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k1); k3=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k2); k4=f(x(i)+h,RK4y(i)+h*k3); RK4y(i+1)=RK4y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end %% AB4 method AB4y(1:4)=RK4y(1:4); for i=4:n-1 AB4y(i+1)=AB4y(i)+h/24*(55*f(x(i),AB4y(i))-59*f(x(i-1),AB4y(i-1))+37*f(x(i-2),AB4y( i-2))-9*f(x(i-3),AB4y(i-3))); end %% AB4-AM4 predictive method BM4y(1:4)=RK4y(1:4); for i=4:n-1 yp(i+1)=BM4y(i)+h/24*(55*f(x(i),BM4y(i))-59*f(x(i-1),BM4y(i-1))+37*f(x(i-2),BM4y(i-2))-9*f(x(i-3),BM4y(i-3))); BM4y(i+1)=BM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1),yp(i+1))+19*f(x(i),BM4y(i))-5*f(x(i-1),BM4y(i-1) )+f(x(i-2),BM4y(i-2))); end %% Improved AB4-AM4 predictive method imprBM4y(1:4)=RK4y(1:4); for i=4:n-1 yP(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(55*f(x(i),imprBM4y(i))-59*f(x(i-1),imprBM4y(i-1))+37*f(x( i-2),imprBM4y(i-2))-9*f(x(i-3),imprBM4y(i-3))); yc(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1),yP(i+1))+19*f(x(i),imprBM4y(i))-5*f(x(i-1),imp rBM4y(i-1))+f(x(i-2),imprBM4y(i-2))); imprBM4y(i+1)=251/270*yc(i+1)+19/270*yP(i+1); end %% Error error(1:4,1:n)=abs([yx-RK4y;yx-AB4y;yx-BM4y;yx-imprBM4y]); 计算结果： k x(k)y(x) RK4方法误差 AB4方法误差 AB4—AM4误差带改进AB4—AM4 误差 1 0 3 3 0 3 0 3 0 3 0 2 0.1 2.99700 3 2.997003 1.87E-07 2.997003 1.87E-07 2.997003 1.87E-07 2.997003 1.87E-07 3 0.2 2.97619 2.97619 3.92E-07 2.97619 3.92E-07 2.97619 3.92E-07 2.97619 3.92E-07 4 0.3 2.92113 2.921129 7.58E-07 2.921129 7.58E-07 2.921129 7.58E-07 2.921129 7.58E-07 5 0.4 2.819549 2.819547 1.61E-0 6 2.818389 0.00116 2.819678 0.00013 2.819588 3.88E-05 6 0.5 2.66666 7 2.666663 3.18E-06 2.664672 0.001994 2.666876 0.000209 2.666713 4.62E-05 7 0.6 2.467105 2.4671 5.01E-06 2.465203 0.001903 2.467252 0.000147 2.467097 8.23E-06 8 0.7 2.233805 2.233799 5.77E-06 2.233079 0.000726 2.233731 7.35E-05 2.233682 0.000122 9 0.8 1.984127 1.984123 4.13E-06 1.984951 0.000824 1.983787 0.00034 1.983885 0.000242 10 0.9 1.735107 1.735107 1.16E-07 1.737043 0.001936 1.734607 0.0005 1.734808 0.000299 11 1 1.5 1.500006 5.81E-06 1.502195 0.002195 1.499516 0.000484 1.499732 0.000268 12 1.1 1.287001 1.287013 1.13E-05 1.288763 0.001762 1.286657 0.000344 1.286821 0.000181 13 1.2 1.099707 1.099722 1.54E-05 1.100724 0.001017 1.099533 0.000174 1.099622 8.50E-05 14 1.3 0.93838 0.938397 1.77E-05 0.93871 0.000331 0.938343 3.72E-05 0.938367 1.24E-05 15 1.4 0.801282 0.8013 1.84E-05 0.801135 0.000147 0.801327 4.53E-05 0.801311 2.93E-05 16 1.5 0.685714 0.685732 1.78E-05 0.685335 0.00038 0.685796 8.18E-05 0.68576 4.62E-05 结论：带改进的AB4-AM4预测校正方法比 AB4-AM4预测校正方法精度更高， AB4方法精度最低，RK4方法的精度最高 数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用 程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203() clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果： 东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名： 目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12) 作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比 第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________') 三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想：可以得出，算法对误差的传播有一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。 第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。 考试目标及考试大纲 本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。 本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。考试内容包括以下部分： 绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。 非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。 解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。 解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。 插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。 曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 数值积分与微分：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。 常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、阿当姆斯方法。 东南大学2015级本科专业培养方案 门类：专业代码：授予学位： 学制：制定日期： 一. 培养目标 二. 毕业生应具有的知识、能力、素质 三. 主干学科与相近专业 四. 主要课程 五. 主要实践环节 六. 双语教学课程 七. 全英文教学课程 八.研究型课程 九. 毕业学分要求及学士学位学分绩点要求 参照东南大学学分制管理办法及学士学位授予条例，修满本专业最低计划学分要求150，即可毕业。同时，外语达到东南大学外语学习标准、平均学分绩点≥2.0者，可获得学士学位。 十. 各类课程学分与学时分配 通识教育基础课程学分 （3）外语类6学分（必修） “大学英语”课程实行分级教学，学生根据分级考试成绩分别推荐学习“2级起点”、“3级起点”或“4级起点”系列课程，详见附录二“大学英语课程设置表”。 （5）自然科学类学分（必修） （6）通识选修课程10学分（选修） 2. 专业相关课程，共学分 英文、双语、研讨、企业课程请在课程名称后用“（英）”、“（双）”、“（研）”、“（企）”标注 （2）专业主干课，共学分 （3）专业方向及跨学科选修课，共学分 3. 集中实践环节（含课外实践），共学分 十三. 辅修专业与辅修学位计划 辅修专业教学计划（建议学分：20~24） 注：学生按照本辅修专业教学计划修满学分可以获得辅修专业证书。 辅修学位教学计划（建议学分：45~55） 注：在完成第一学位学业的基础上，完成第二专业教学计划中规定的课程，可以获得由学校颁发的第二专业证书；学分绩点达到学位授予条件且第一专业与第二专业属于不同学科门类，可以获得由学校颁发第二荣誉学位。 数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 程序代码（matlab 编程）： clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果 通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。 习题1 1． 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免 误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===? 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形） 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有 r r xf x f x k x k f x εε'≈= () (())(),() 其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2 x π ≈时是病态问题． 11. 定义多元函数运算 1 1 1,,(),n n i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中 求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确： 东南大学 2017级电子科学与技术本科专业培养方案 门类：工学专业代码： 080702 授予学位：工学学士 学制：四年制定日期： 2017年6月 一. 培养目标 培养以电子器件及其系统应用为核心，重视器件与系统的交叉与融合，能跟踪新理论、新技术的发展，在微电子、物理电子、光电子或光通信等技术领域从事科学研究、教学、工程设计及技术开发等工作的人格健全、责任感强、具有较强的创新实践能力和宽广的国际化视野的高素质技术人才。 二. 毕业生应具有的知识、能力、素质 （1）工程知识：具有从事电子工程所需的扎实的数学、自然科学、工程基础和专业知识，并能够综合应用这些知识解决微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题。 （2）问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题，以获得有效结论。 （3）设计/开发解决方案：能够设计针对微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题的解决方案，设计满足特定需求的单元、模块、系统或工艺流程，并能够在设计环节中体现创新意识，考虑社会、健康、安全、法律、文化以及环境等因素。 （4）研究：能够基于科学原理并采用科学方法对微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题进行研究，包括设计实验、分析与解释数据、并通过信息综合得到合理有效的结论。 （5）使用现代工具：能够开发、选择与使用恰当的技术、资源、现代工程工具和信息技术工具，针对微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题进行预测与模拟，并能够理解其局限性。 （6）工程与社会：能够基于微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程相关背景知识进行合理分析，评价专业工程实践和电子工程领域复杂工程问题解决方案对社会、健康、安全、法律以及文化的影响，并理解应承担的责任。 （7）环境和可持续发展：能够理解和评价针对微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程领域复杂工程问题的工程实践对环境、社会可持续发展的影响。 （8）职业规范：具有人文社会科学素养、社会责任感，能够在微电子或物理电子或光电子或光通信等电子工程实践中理解并遵守工程职业道德和规范，履行责任。 （9）个人和团队：能够在多学科背景下的团队中承担个体、团队成员以及负责人的角色。 （10）沟通：能够就电子工程领域复杂工程问题与业界同行及社会公众进行有效沟通和交流，包括撰写报告和设计文稿、陈述发言、清晰表达或回应指令。并具备一定的国际视野，能够在跨文化背景下进行沟通和交流。 （11）项目管理：理解并掌握工程管理原理与经济决策方法，并能在多学科环境中应用。（12）终身学习：具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。 三. 主干学科与相近专业 电子科学与技术、信息工程、计算机科学与技术、自动化。 四. 主要课程 1．通识教育基础课程：思政类、军体类、外语类、计算机类、自然科学类、通识选修课程等。 2．大类学科基础课：电路基础、计算机结构与逻辑设计、信号与系统、电子电路基础、 2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000 1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果 1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序 概率统计与随机过程 课程编号：H0600071S学分： 4 开课学院：理学院课内学时：64 课程类别：学科基础课课程性质：必修 一、课程的性质和目的 课程性质：本课程是我校有关专业的学科基础课 目的：通过本课程的学习，使学生系统地掌握概率论、数理统计和随机过程的基本理论和基本方法，为后续各专业基础课和专业课的学习提供必要的数学理论基础。另外，通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，从而逐步培养学生的创新思维能力和创新精神。 二、课程教学内容及基本要求 （一）课程教学内容及知识模块顺序 第一章概率论的基本概念 8学时 （1）随机试验 （2）样本空间、随机事件 （3）频率与概率 （4）等可能概型（古典概型） （5）条件概率 （6）独立性 教学基本要求： 了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算。了解事件频率的概念，理解概率的统计定义。了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。了解概率的公理化定义，熟练掌握概率的基本性质，会运用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，会应用贝叶斯(Bayes)公式解决比较简单的问题。理解事件的独立性概念。理解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法。 第二章随机变量及其分布 6 学时 （1）随机变量 （2）离散型随机变量及其分布律 （3）随机变量的分布函数 （4）连续型随机变量及其概率密度 （5）随机变量的函数的分布 教学基本要求： 理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。理解离散型随机变量及其分布律的概念，熟练掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布。理解连续型随机变量及其概率密度的概念，熟练掌握正态分布、均匀分布和指数分布。会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布。 内容包括： 实验题目1：算法的数值稳定性实验 实验题目2：LU分解实验 实验题目3：三次样条插值外推样条实验 实验题目4：第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5：M级显式R_K法 实验题目：算法的数值稳定性实验 实验内容：计算积分()1 0()d 1515n x I n x a x ==+? (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式 ()()1 1I n aI n n =--+ 并有估计式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++ 计算方法： 算法一:采用下面递推公式计算: ()()1 1I n aI n n =--+ ()1,2,,20 n = 取初值()116 0ln ln 15a I a +== 算法二: 采用下面递推公式计算: ()()111I n I n a n ??-= -+???? ()20,19,,1 n = 结果分析：（分析哪个好哪个不好，原因是什么） 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++得知,I(n)不可能小于 零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。原因二:对算法一记初始误差 ε0=/I 0-I(0)/>0; 则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n *ε0 由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍，其结果造成严重的。 而对于算法二^ ^ 11n n a εε-= ,…, ^ ^ 01 n n a εε=,尽管有初始误差^ 20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。 附：源程序：（把源程序附上） 算法一程序: >> format long >> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 n I=-a*I+1/n end 算法二程序: >> format long >> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n I I=1/a*(-I+1/n); End 数值分析上机题(matlab版)(东南大学) 数值分析上机报告 第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); 第2章插值法 1. 已知函数在下列各点的值为 试用四次牛顿插值多项式）（x p 4及三次样条韩式)(S x (自然边界条件)对数据进行插值。用图给出(){}10,11,1,0,08.02.0,,x i =+=i x y i i ，） （x p 4及)(x S Python 代码 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.font_manager import FontProperties font_set = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc",size=12) #求牛顿n 次均差 def qiujuncha(x,f,n): for i in range(1,n): for j in range(4,i-1,-1): f[j]= (f[j] - f[j-1])/(x[j]-x[j-i]) #根据牛顿多项式求值 def niudun(x,f,x1): sum = f[0]; tmp = 1; for i in range(1,5): tmp *= (x1-x[i-1]) sum = sum + f[i]*tmp return sum #牛顿插值画图 def drawPic(x,f): x1 = np.linspace(0.2, 1, 100) plt.plot(x1, niudun(x,f,x1)) plt.title(u"牛顿四次插值",fontproperties=font_set) plt.xlabel(u"x 轴",fontproperties=font_set) plt.ylabel(u"y 轴", fontproperties=font_set) plt.show() def qiu_h(x,h): n = len(x) -1 for i in range(n): print(i) h[i] = x[i+1]-x[i] #自然边界条件下的三次样条插值求M 附件一： 信息科学与工程学院2012届免试研究生 推荐规则 一、免试研究生基本条件 1、必须满足学校免试研究生的基本推荐条件； 2、学生课外研学学分（除聆听报告外）最低要求为3.0分。 二、免试研究生破格条件 1、满足学校相关破格条件的同学，可以参加免试推荐； 2、不满足上述“一、2”规定、但满足学校基本推荐条件的同学，若名额允 许，可以参加免试研究生的推荐。 1）课外研学学分在2.0~3.0之间的同学，可以按照Q值排名排队，列在正常排队的同学之后，在名额可能的情况下参加保研推荐； 2）课外研学学分在2.0以下的同学，可以按照Q值排名排队，列在上面“二、2、1)”排队的同学之后，在名额可能的情况下参加保研推荐； 三、排名方法 1、按照学院制定的综合成绩Q计算方法，计算每个同学的Q值； 综合成绩Q = 学业成绩P（满分100分）+ 综合能力S（满分12分） 具体细节见附件二； 2、在满足免试条件（含破格条件）的同学中，按照学校文件给定的保研总指 标（含学术型和专业型）的120%确定参加面试的人数，按照Q值成绩的高低，确定参加面试的人选； 3、确定参加面试的同学参加学院组织的面试，然后将综合成绩Q值和面试总 成绩M（满分30分）相加并进行归一化，产生总成绩。 总成绩Z=（综合成绩Q + 面试成绩M）/ 1.42，（Z≤100） 4、参加面试的同学，根据总成绩Z值从高到低排队，形成保研选择第一队列；没有参加面试的同学，根据Q值成绩排队，构成选择第二队列，接在第一队列后。第一、二队列构成整个的免研选择队列，按照排名的先后和各类免研指标数，进行免研志愿的选择。 5、上面“二、2”确定的破格同学，按照Q值排名，接在第二梯队后，待学校下达名额有可能的条件下，参加免研选择。 东南大学信息科学与工程学院 2011-9-12 如有帮助欢迎下载支持 数值分析上机题 姓名：陈作添 学号： 040816 习题 1 20．（上机题）舍入误差与有效数 N 1 1 3 1 1 设 S N ，其精确值为 。 2 2 2 N N 1 j 2 j 1 （1）编制按从大到小的顺序 1 1 1 ，计算 S 的通用程序。 S N 1 32 1 N 2 1 N 2 2 （2）编制按从小到大的顺序 1 1 1 ，计算 S 的通用程序。 S N 1 (N 1)2 1 22 1 N N 2 （3）按两种顺序分别计算 S 102 ， S 104 ， S 106 ，并指出有效位数。 （编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 按从大到小的顺序计算 S N 的通用程序为： 按从小到大的顺序计算 S N 的通用程序为： #include 数值分析上机报告 第一章 一、题目 精确值为)1 1123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序11 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 三、求解结果 四、结果分析 可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数算所得到的结果才比较准确。 第二章 一、题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*- =*x x x a) 由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收 敛于根x 2*。试确定尽可能大的δ。 b)试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 1.运行search.m 文件 结果为： The maximum delta is 0.774597 即得最大的δ为0.774597，Newton 迭代序列收敛于根* 2x =0的最大区间为 （-0.774597，0.774597）。 2.运行Newton.m 文件 在区间(,1),(1,),(,),(,1),(1,)δδδδ-∞----++∞上各输入若干个数，计算结果如下： 区间(,1)-∞-上取-1000，-100，-50，-30，-10，-8，-7，-5，-3，-1.5 第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 Λ14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11Λ=-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择） 第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π=x ，2 2π= x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---=Λ求][1,0p x x x f Λ之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i Λ互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造） 10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃 误差理论与数据处理练习卷（一） 一．检定一只5mA、3.0级电流表的误差。按规定，要求所使用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器允许误差的1/3。现有下列三只标准电流表，问选用哪一支最为合适，为什么？（10分）15mA 0.5级（2）10mA 1.0级（3）15mA 0.2级 二．某一量u由x和y之和求得，x的值是由16次测量的平均值得出，其单次测量标准差为0.2； y的值是由25次测量的平均值得出，其单次测量的标准差为0.3，，求u的标准差（单位略）。（10分） 三．测某一温度值15次，测得值如下：（单位：） 20.53，20.52，20.50，20.52，20.53，20.53，20.50，20.49，20.49，20.51，20.53，20.52，20.49， 20.40，20.50 已知温度计的系统误差为-0.05，除此之外不会再含有其他的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差，并求温度的测量结果。（15分） 四．某实验测得x与y的一组观测值如下：（单位略） （附：，，，，） 五．测量某电路电阻R及两端电压U，计算出电路之电流I。若测得（），（），并已知R和U测量的示值误差不超过（服从均匀分布），求电流I的标准不确定度。（10分） 六．三人分别测同一锥角，测得值如下： ，；，；，。 已知，求该锥角的最可信赖值及其精度（单位略）。（15分） 七．由下列误差方程，求x、y的最佳估计值及其精度（单位略）。（15分） ；；；； 八．简答题（5×3=15分） 1.在实际测量中如何减小三大类误差对测量结果的影响？ 2.系统误差合成与随机误差合成的方法有何区别？ 3.对一元线性回归方程进行显著性检验时，如果回归方程不显著，如何分析判断引起回归方程不 显著的主要因素是什么？ 4.简述动态测试数据的分类，分析各类数据的特点与性质。 5.平稳随机过程的必要条件与各态经历随机过程的充分条件是什么？ 第七章 偏微分方程数值解法 ——Crank-Nicolson 格式 ****（学号） *****（姓名） 上机题目要求见教材P346,10题。 一、算法原理 本文研究下列定解问题(抛物型方程) 22(,) (0,0)(,0)() (0) (0,)(), (1,)() (0)u u a f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ?αβ???-=<<≤≤???? =≤≤??==<≤?? (1) 的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ?αβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线 (0) (0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤?? ==≤≤? 分割成矩形网格，其中,l T h M N τ==分别为空间步长和时间步长。将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。 Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2 i k x t τ +处考虑式(1)，有 22(,)(,)(,)222 i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ??+-+=+?? (2) 对偏导数 (,)2 i k u x t t τ ?+?用中心差分展开 []2311+13 1(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u u x t u x t u x t x t t t t ττηητ++??+=--<东南大学数值分析上机题答案
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