学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数的概念
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第四章 单元检测B
第四章 导数应用(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．5．若函数f (x )＝a sin x ＋sin x 在x ＝π3处有极值，那么a 等于( ) A ．2 B ．－1 C.233D ．0 6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0 (a ∈R )的实数根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．函数y ＝4x －x 4在x ∈上的最大值，最小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (1)与f (2)C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间上的最大值是( ) A.323 B.163C ．12D ．9 11．对于函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)，正确的是( )A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ．无极大值无极小值12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值是( )A ．a ＝－11，b ＝4B ．a ＝－4，b ＝11题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln x ＋2在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________． 15.如图所示，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题： ①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈．②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第四章 导数应用(B)1．B2．D3．C 4．A 5．B6．D7．A8．B9．B10．A11．D12．D13．(－∞，0]解析 ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＝－x 2＋b x， 又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，即f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，又x >0，故－x 2＋b ≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在(0，＋∞)上恒成立．∴b ≤0.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233. 根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.∴x ＝－233是极大值点也是最大值点． x ＝233是极小值点也是最小值点． f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，①由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，②∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7.18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2. f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1， 令f ′(x )<0，得－23<x <1. 所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈， 由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在(－1,3)上f ′(x ) >0，所以f (x )在上单调递增，又由于f (x )在上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间上的最小值为－7.20．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元． 令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%， y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%. 令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x. ∵x >1时，f ′(x )>0，∴f(x)在上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－23x3＋ln x，∴F′(x)＝x－2x2＋1x ＝x2－2x3＋1x＝x2－x3－x3＋1x＝(1－x)(2x2＋x＋1)x.∵x>1，∴F′(x)<0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)<F(1)＝12－23＝－16<0.∴f(x)<g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x3＋12x2的下方．。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第三章 §2 导数的概念及其几何意义
探究二
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思维辨析
探究二
导数的几何意义及其应用
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于(
)
A.0 B.2
C.4 D.6
1
7
(2)求曲线 y= − 在点 P 4,- 4 处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得
Δ →0 x
Δ
不存在,则称 f(x)在 x=x0 处不可导.
x→0 Δ
① lim
-5-
§2导数的概念及其几何意义
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f(1+x)-f(1)
等于(
3x
Δ→0
【做一做 1】 (1)设函数 f(x)可导,则 lim
A.f'(1)
)
B.3f'(1)
1
C. 3f'(1)
-9-
§2导数的概念及其几何意义
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.
(
)
(2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关.(
)
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(
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思维辨析
反思感悟求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数一般按下列步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0 +Δx)-f(x0);
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 函数的极值
1.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极大值点和极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为________________，其函数值f (x 0)为函数的________________________．2．函数的极小值点和极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_________，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的__________．3．极值和极值点极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为__________．极值是函数在一个适当区间内的局部性质．一、选择题1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( ) A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <2C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______. 8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是__________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x .11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．1.2函数的极值知识梳理1．函数y＝f(x)的极大值点极大值2．大于x0点的函数值极小值3．极值极值点作业设计1．C2．C3．A4．A5．A6．D7．3解析f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2.∵f′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a＝3.8．1－3解析因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②由①②解得a＝1，b＝－3.9.⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a<x<a. ∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：⎩⎨⎧a3－3a3＋a<0，－a3＋3a3＋a>0.a>0解得a>22.10．解(1)函数f(x)的定义域为R.f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e. 11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6.因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′ (x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34， 即m 的最大值为－34. (2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ， 故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52. 12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b 3)，由于a <b ，故a <a ＋2b 3， 所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)， x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3， 此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3.。
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案
导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。
只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。
2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。
对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数的几何意义
2.2导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D ＝6x 2.∴y ′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C3．C4．B5．B6．B 时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f(3)－f(2)>f ′(3)．] 7．－18．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx＝2.∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x. ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x)＝0lim x ∆→a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 2
1
【学习要求】
1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．
本 课
2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．
时 栏
3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
目
开 【学法指导】
关
通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思
想进一步直观感受这种思想．
2
填一填·知识要点、记下疑难点
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，
本 课
导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
时
栏 目
问题3
导数在实际问题中有什么意义？
开 关
答 导数可以刻画事物变化的快慢．
6
研一研·问题探究、课堂更高效
例1
蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝
120 t＋5
＋
15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单
课 时
有一个交点，和曲线只有一个交点的直线
栏
目 和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线
开
关 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
11
研一研·问题探究、课堂更高效
例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变
化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像．
根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，
的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
13
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练2 (1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增
(减)以及增(减)快慢的情况．
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，
《学案导学与随堂笔记》北师大版数学选修1-2全套备课精选同步练习3.1归纳与类比
第三章 推理与证明 §1 归纳与类比课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳与类比2.合情推理归纳和类比都是合情推理，得出的结论____________________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的一个表达式是( )A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n －1D ．2n －1＋13．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．C ．□D ．○二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是__________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.三、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．.能力提升11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．③检验这个猜想．第三章 推理与证明 §1 归纳与类比答案知识梳理作业设计 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A6．正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962解析 观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962.9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°， 而cos 60°＝12，sin 60°＝32，由此题的条件猜想，若α＋β＝60°， 则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2(α＋β)＝34.10．解 由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1， 又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ， S n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2， 又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， 又a 3>0，所以a 3＝3－ 2.可推测a n ＝n －n －1.11．D12．证明 类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2)．∴k PM ＝y －nx －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ， 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b2a 2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2. 故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。
《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 4.1
D．y＝4x－5
时
栏 目
解析 ∵y′＝3x2－6x, ∴曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－3.
Hale Waihona Puke 开关 ∴切线方程为y＝－3x＋2.
11
练一练·当堂检测、目标达成落实处 3．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为_1_4__． 本 解析 g′(x)＝f′(x)＋1，
课 时
本 课
答 根据导数定义
时
栏 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
目
开 关
＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2)
＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2.
∴ΔΔyx＝1＋2x＋Δx，∴Δlixm→0 ΔΔyx＝1＋2x， 即f′(x)＝1＋2x.结论：(x＋x2)′＝x′＋(x2)′.
4
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 将问题1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，
请你写出来．
本
课 时
答 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
栏
目 开
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
关
5
研一研·问题探究、课堂更高效
例1 求下列函数的导数． (1)y＝x3＋x2＋x；(2)y＝2x＋ x.
本 解 (1)y′＝(x3＋x2＋x)′＝(x3)′＋(x2)′＋(x)′
本
课 两个函数和(差)的导数等于 这两个函数导数 的和(差)，
时
栏 目
即[f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) ，
开 关
[f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x)
．
3
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 导数的加法与减法法则
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§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．
设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x
的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，
通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10
lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 一、选择题
1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32
处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2
2．下列各式正确的是( )
A.f ′(x 0)＝0
lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)x B.f ′(x 0)＝0
lim x ∆→f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C.f ′(x 0)＝0
lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D.f ′(x 0)＝0
lim x ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0
lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)
C ．f ′(x 0)
D ．2f ′(x 0)
4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
5．曲线y ＝－1x
在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1
6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )
A ．－1
B .12
C .13
D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．
8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0
lim
x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.
三、解答题
10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x
在x ＝1处的导数．
11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，
则f (1)f ′(0)
的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．
1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；
(2)求平均变化率Δy Δx
； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx
2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．
§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
作业设计
1．B
2．C
3.A [0
lim
x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =0
lim x ∆→－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx =－0
lim x ∆→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C
5.A
6．D
7．4 m /s
解析 s ′(2) =0
lim x ∆→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝4.
解析 0
lim
x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =－0
lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx
＝－f ′(x 0)＝－11.
9．2 解析 ∵f ′(1)=0lim
x ∆→a (1＋Δx )－a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.
10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝
11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx·(1＋
1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－1
1＋Δx·(1＋1＋Δx )
， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－1
1＋Δx·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12
. 11．解 G ′(10)=0
lim x ∆→G (10＋Δx )－G (10)Δx =0
lim x ∆→0.1(10＋Δx )2＋2.6(10＋Δx )－0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.
12．2
解析 由导数的定义，
得f ′(0)=0
lim x ∆→f (Δx )－f (0)Δx ＝0
lim x ∆→a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝0
lim x ∆→＝b. 又⎩⎨⎧
Δ＝b 2－4ac ≤0a>0
，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴
f (1)f ′(0)
＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0
lim x ∆→4(0＋Δt )2＋2Δt －3－(4×02＋2×0－3)Δt ＝2；
=0
lim x ∆→4(5＋Δt )2＋2(5＋Δt )－3－(4×52＋2×5－3)Δt ＝42， 故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .。