第四节 电场的能量和能量密度
《电磁学》教案
电磁学笔记物理081 李庆波 08103118第一章 真空中的静电场1.物质结构理论 原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成 物体带电的过程 摩擦起电 ； 感应起电电量 带电体所带电荷的多少，用Q 或q 表示，单位：库仑(用C 表示)电子和质子各带电量 e ＝1.6×1910-库仑， 1库仑的电量相当于6.25×1810个电子或质子所带的电量电荷是量子化的 一个物体所带电荷的多少只能是电子电量eq ＝ne (n ＝0，±1，±2)“夸克”被认为带的电荷是e 的分数倍 2．电荷守恒定律大量实验表明：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的，这个结论叫电荷守恒定律。
它不仅在一切宏观过程中成立，而且在一切微观过程中也是成立的，它是物理学中的普适守恒定律之一。
3．库仑定律1875年英国物理学家库仑从实验上总结出两个点电荷之间相互作用力的规律，后人称之为库仑定律，它表明真空中带电量为q 1和q 2的两个点电荷之间作用力的大小与它们所带电量q 1和q 2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比；作用力的方向沿着F＝ k rq q 221式中q 1和q 2分别表示两个点电荷的电量，r 为两个点电荷之间的距离，k 是比例系数。
在真空中k ＝8.99×109C mN22-,为了使表达式既能表示力的大小又能表示力的方（1）通常令 k ＝1/4πε。
则ε。
＝1/4πk=8.85⨯1012-C 2N 1-m 2-,ε。
称之为真空的介电常数（或称为电容率）这样库仑定律的数学表达式可称F ＝4πε1rq q 221该式称为库仑定律的有理化形式。
F ＝4πε1rq q 221r 。
式中r 。
表示施力电荷指向受力电荷方向的单位矢量第二节 电场强度1. 电场电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质来作用的，这种特殊的物质就叫电场。
电场能量密度公式
电场能量密度公式
电场能量密度是指一个电场中每单位体积所存在的电能量的大小。
电场能量密度的表达式为：U = 1/2 ρE2，它的单位是电子伏特的平方，其中ρ是电荷密度，E是电场强度。
电场能量密度可以用来计算在一定体积中有多少电能量。
例如，如果电场强度为5伏/厘米，电荷密度为5伏/厘米，则电场能量密度为25电子伏特的平方。
这意味着，在1立方厘米的体积中存在25电子伏特的电能量。
电场能量密度的另一个用途是计算电容器的工作能量。
电容器的电容量C可以用电容器的电场能量密度U来计算：U = 1/2Cv2，其中v是电压。
如果电容器的电压为5伏，那么电容器的工作能量就是25伏特的平方，也就是1/2Cv2。
电场能量密度不仅可以用来计算电能量和电容器的工作能量，还可以用来计算电磁场的能量。
如果电磁场的电场强度为E，磁场强度为H，则电磁场的能量密度可以表示为U = 1/2(E2 + H2)。
电场能量密度的量纲是电子伏特的平方，它可以用来计算一定体积中的电能量、电容器的工作能量和电磁场的能量。
因此，电场能量密度是电力学中非常重要的概念，在电子设备和电力系统的设计中都被广泛使用。
电场的能量
电场的能量
电场的能量是描述电场中电荷所具有的能量。
电场是由电荷产生的，它的存在和变化都与电荷的位置和状态有关。
电场的能量可以通过计算电场中电荷所受到的力，或者通过电势能和电场能量密度来描述。
在电场中，电荷受到电场力的作用，当电荷沿着电场方向移动时，电场力对电荷做功，从而将电势能转化为动能。
电场力的大小与电荷的电量和电场的强度有关。
当电场力与电荷的移动方向相同时，电场力对电荷做正功，电场能量增加；当电场力与电荷的移动方向相反时，电场力对电荷做负功，电场能量减少。
电场能量还可以通过电势能来描述。
电势能是指单位正电荷在电场中由于位置变化而具有的能量。
电场中的电势能与电荷的电量和电势差有关。
电场中的电势差是指单位正电荷从一个位置移动到另一个位置时所具有的能量变化。
电势差越大，电场能量越大。
除了电势能，电场能量还可以通过电场能量密度来描述。
电场能量密度是指单位体积内电场能量的大小。
在电场中，电场能量密度与电场强度的平方成正比。
电场能量密度越大，电场能量越大。
电场的能量在许多实际应用中起着重要作用。
例如，在电力系统中，电场能量可以用来传输电能；在电子设备中，电场能量可以用来驱动电子器件的工作；在化学反应中，电场能量可以用来促使电解反
应发生。
总结起来，电场的能量是描述电场中电荷所具有的能量。
它可以通过计算电场中电荷所受到的力、电势能和电场能量密度来描述。
电场的能量在许多实际应用中起着重要作用。
了解电场的能量可以帮助我们更好地理解电场的性质和应用。
电场能量密度公式推导
电场能量密度公式推导电场能量密度是电场的一种物理量，描述了单位体积内电场所具有的能量。
它的公式推导的过程如下。
我们知道电场能量与电场强度有关。
根据电场能量的定义，单位体积内的电场能量可以表示为电场强度的平方乘以介质的电容率的一半。
即U = 1/2 * ε * E^2其中，U表示电场能量密度，ε表示介质的电容率，E表示电场强度。
为了推导出电场能量密度的具体公式，我们需要考虑两种情况：介质是真空和介质是非真空。
考虑介质是真空的情况。
根据真空的性质，其电容率可以表示为真空介电常数ε_0。
因此，真空中的电场能量密度公式可以简化为：U_0 = 1/2 * ε_0 * E^2其中，U_0表示真空中的电场能量密度。
考虑介质是非真空的情况。
在这种情况下，介质的电容率不再是常数，而是与电场强度有关的函数。
我们将介质的电容率表示为ε_r，其中r表示介质的电容率与真空的比值。
因此，非真空介质中的电场能量密度可以表示为：U = 1/2 * ε * E^2其中，ε表示非真空介质的电容率。
通过比较真空和非真空介质中的电场能量密度公式，可以得出它们之间的关系：U = U_0 * ε_r这个关系表明，非真空介质中的电场能量密度是真空中的电场能量密度乘以介质的电容率。
电场能量密度的公式可以表示为：U = 1/2 * ε * E^2 (介质是非真空)U = 1/2 * ε_0 * E^2 (介质是真空)其中，U表示电场能量密度，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，ε_0表示真空的介电常数。
通过以上推导，我们得到了电场能量密度的公式。
这个公式可以用来计算电场中的能量分布情况，并在电场能量相关的问题中起到重要的作用。
电场能量
R
· r
dr dq
(r > R)
2
场分布具有球对称性,故取体积元为： 场分布具有球对称性 故取体积元为：dV = 4πr dr 故取体积元为 R ∞ ε0 ε0 1 2 2 2 2 2 W = ∫ ε 0 E dV = ∫ E1 ⋅ 4π r dr + ∫ E2 ⋅ 4π r dr
§4 电场的能量
一.电容器储能
设电容器的电容为C， 设电容器的电容为 ，某一瞬时极板带电量绝对值 q (t ) 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u (t ) = ， C 此时在继续将电量为-dq的电子从正极板 的电子从正极板—>负 此时在继续将电量为 的电子从正极板 负 极板，电源作多少功？ 极板，电源作多少功？
C=
ε0S
, U = Ed
1 Q We = CU 2 2
1 2 We = ε 0 E ⋅V 2
单位体积内的电能
We 1 2 we = = ε0E V 2
一般情况,定义电场能量密度： 一般情况,定义电场能量密度： 电场能量密度
dW e 1 r r we = = D⋅E dV 2
1r r 电场的总能量： 电场的总能量： W = ∫ w ⋅ dV = ∫ D⋅ E ⋅ dV e e 2 V V
dA ' = − dA = dW e = − dq (U − − U + ) = dq (U + − U − ) = u (t ) dq
We = ∫ u (t )dq = ∫
0 Q Q 0
q (t ) 1 Q2 dq = C 2 C
的电容器中所储存的电能： 带电量 Q，电容为 C 的电容器中所储存的电能： ，
电场的能量能量密度
电场的能量能量密度
电能分布与电场中，最好能将电能的公式通过描述电场的特征量——场强E表示出来。
我们可以通过平行板电容器的特例来说明：
电容器的储能公式为：
式中Q0为极板上的自由电荷，它与电位移的关系是：
S是极板面积；U是电压，它与场强的关系是U=Ed（d 是极板间距）
代入上式得：
V=Sd是极板间电场所占空间的体积。
在单位体积内有电能
We=we/V，这个量叫做电能密度。
根据上式：在真空中ε=1，则:这里场能密度的表达式虽然是通过平行板电容器中均匀电场的特例推导出来的，但它们却是普遍成立的。
因为能量是物质的状态特性之一，所以它是不能和物质分割开的。
电场具有能量，这就证明电场也是一种物质。
当电场不均匀时，总电能We应是电能密度we的体积分：在真空中，上式可化为:。
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
电场能量体密度计算公式
电场能量体密度计算公式在电磁学中，电场能量体密度是描述电场能量分布的重要物理量。
它可以用来计算电场中的能量分布情况，对于电场的研究和应用具有重要意义。
本文将介绍电场能量体密度的计算公式及其应用。
电场能量体密度的定义。
电场能量体密度是指单位体积内的电场能量。
在电磁学中，电场能量体密度通常用符号u表示，其单位是焦耳/立方米（J/m^3）。
电场能量体密度的计算公式如下：u = (1/2) ε0 E^2。
其中，ε0是真空介电常数，其数值约为8.854 × 10^-12 F/m；E是电场强度，单位是伏特/米（V/m）。
根据这个公式，我们可以看出电场能量体密度与电场强度的平方成正比，而与真空介电常数成正比。
这意味着在相同的电场强度下，介质的介电常数越大，电场能量体密度就越大。
电场能量体密度的物理意义。
电场能量体密度是描述电场能量分布的物理量，它反映了电场中的能量密度分布情况。
在电磁学中，电场能量体密度可以用来计算电场中的能量总量，以及分析电场的能量转换和传输过程。
在实际应用中，电场能量体密度可以用来计算电场中的能量密度分布情况，为电场的设计和优化提供重要参考。
例如，在电场传感器和电场屏蔽器的设计中，需要考虑电场能量体密度的分布情况，以确保设备的性能和稳定性。
电场能量体密度的计算方法。
根据上述的公式，我们可以通过电场强度和真空介电常数来计算电场能量体密度。
在实际应用中，通常需要通过电场测量实验或数值模拟来获取电场强度的数值，然后再利用上述公式计算电场能量体密度。
在电场测量实验中，可以使用电场传感器来测量电场强度，然后利用上述公式计算电场能量体密度。
在数值模拟中，可以通过有限元分析或其他数值方法来计算电场强度的分布情况，然后再利用上述公式计算电场能量体密度。
电场能量体密度的应用。
电场能量体密度在电磁学中有着广泛的应用。
它可以用来分析电场中的能量分布情况，为电场的设计和优化提供重要参考。
例如，在电场传感器和电场屏蔽器的设计中，需要考虑电场能量体密度的分布情况，以确保设备的性能和稳定性。
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第二章 静电场中的导体和电介质
§4 电场的能量和能量密度（P213）
1. 计算例题1中场能的一半分布在半径多大的球面内。
解：
2. 空气中一直径为10厘米的导体球，电位为8000伏，问它表面处的场能密度（即单位体积内的电场能量）是多少？
解：
3. 在介电常数为r ε的无限大均匀介质中，有一半径为R 的导体球带电荷Q 。
求电场的能量。
解：
4. 半径为2.0厘米的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0厘米和
5.0厘米，球与壳间是空气。
壳外也是空气，当内球的电荷量为8
3.010-⨯库仑时，⑴ 这个系统储藏了多少电能？⑵ 如果用导线把壳与球联在一起，结果如何？
解：
5. 球形电容器的内外半径分别为1R 和2R ，电位差为U 。
⑴ 求电位能；⑵ 求电场的能量；比较两个结果。
解：
6. 半径为a 的导体圆柱外面，套有一半径为b 的同轴导体圆筒，长度都是l ，其间充满了介电常数为r ε的均匀介质。
圆柱带电为Q ，圆筒带电为Q -，略去边缘效应。
⑴ 整个介质内的电场总能量e W 是多少？ ⑵ 证明：2
12e Q W C
=，式中C 是圆柱和圆筒间的电容。
解：
7. 半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为rε
-。
略去边缘效应，求沿轴线单位长的均匀介质。
沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为λ
度的电场能量。
解：
8.圆柱电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成，设导线的半径为a，圆筒的内半径为
b。
证明：这电容器所储藏的能量有一半是在半径r
证明：。