9-3电磁场的能量密度和能流密度
能量守恒定律2能量密度和能流密度带电体受电磁场的洛伦兹力
场对电荷所作的功为：
dW f d r
W f d rdV
场对电荷单位时间所作的功为(功率)：
dr dP f f v dt
S d
S
P f vdV
V内场的能量增加率为：
dW dt
S V
, J
d wdV dt V
d wdV V dt
J f t
D f
D J 0 t
D J 0 t
D (J ) 0 t
（２）
J E
2 rLE 1
E
0 f
f L
2 r
f f 1 f J E 2 r t 2 r t f
I2 l 2 2 P Sr 2 al 2 3 2 al I I R 2 2 a a
14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷 电为 ，极间填充电导率为 的非磁性物质．
f
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消， 因此内部无磁场。 （2）求 f 随时间的衰减规律． （3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度 （4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于 这段的静电能减少率 解：（1）
B E H H E E H H E H t D B f v E J H E H t t
通过界面S流入V内的能量为：
S d
S
能量守恒定律
S d
S
V
d f vdV wdV dt V
电磁场拉格朗日量密度 -回复
电磁场拉格朗日量密度-回复电磁场的拉格朗日量密度是描述电磁场运动的一个重要概念，它在理论物理学中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将逐步讨论电磁场拉格朗日量密度的含义、形式以及它的基本性质。
首先，我们需要了解什么是拉格朗日量。
拉格朗日量是描述物理系统的一个函数，通常由系统的动力学变量和它们的导数构成。
在量子场论中，拉格朗日量描述了场的运动方程。
对于电磁场而言，拉格朗日量密度可以表示为一个标量函数，记作\mathcal{L} 。
该函数是电磁场的空间坐标和时间的函数。
电磁场的拉格朗日量密度包含了电磁势和电磁场强度。
接下来，我们将讨论电磁场拉格朗日量密度的形式。
根据电磁场的基本定律和电磁场的动力学方程，电磁场的拉格朗日量密度可以写成如下形式：\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}其中，F_{\mu\nu} 为电磁场张量，F^{\mu\nu} 为其对偶张量。
电磁场张量取决于电磁场的强度和势，这些量可以通过电磁场的四势A_{\mu} 导出，其中\mu 和\nu 表示四维时空坐标指标。
电磁场张量的具体表达式为：F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}F^{\mu\nu} =\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}其中，\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} 为四维时空的Levi-Civita符号。
通过这些表达式，我们可以得到电磁场的拉格朗日量密度。
在了解了电磁场拉格朗日量密度的形式之后，我们将讨论它的基本性质。
首先，电磁场拉格朗日量密度是洛伦兹不变的，也就是说它在洛伦兹变换下保持不变。
这是因为电磁场张量和电磁势在洛伦兹变换下具有相同的变换性质。
其次，电磁场拉格朗日量密度可以导出电磁场的运动方程。
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
试论介质中的电磁能量密度
试论介质中的电磁能量密度【摘要】电磁技术是目前应用最广泛的现代化技术之一，如频率在300MHz-300GHz之间的微波段电磁波广泛用于无线通信、材料处理、微波加热、化工过程强化和医疗诊断等领域。
电磁技术的进一步广泛应用需要对电磁场与物质相互规律的深入了解，尤其是物质对电磁波的吸收与消耗。
【关键词】极化能；磁化能；能量密度；电磁能量损耗功率密度1.介质中的电场能量密度和磁场能量密度1.1 电磁能量密度和能流密度电（磁）场的能量特性通常采用能量密度和能流密度（也称为坡印廷矢量）来描述。
能量密度是指在单位体积空间或介质中的能量；能流密度S是指电磁波在传播过程中，单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的能量。
导出电磁场能量密度的普遍方法是，根据电磁场与带电体相互作用过程中的能量守恒，利用麦克斯韦方程和洛伦兹力公式得到能量密度和能流密度。
电磁场的能量平衡方程是■=-?塄·S-f■·v (1)该方程的物理意义是单位时间单位体积内电磁场能的增加量?坠w/?坠t等于通过边界的流入量(-?塄·S)减去电磁场对运动电荷做功的功率密度f■·v。
设介质中的电荷密度是?籽■，电荷的运动速度是v，单位体积介质受到的电磁作用力密度（洛伦兹力）是f■=?籽■E+?籽■v×B (2)利用洛伦兹力公式（2）可以将电磁场对运动电荷做的功率密度写为:f■·v=?籽■v·E=J■·E (3)其中J■=?籽■v是电流密度。
电场对电介质的作用效果是产生极化电荷和极化电流，极化电荷（束缚电荷）密度是?籽■=-?塄·P，极化电流密度是J■=?坠P/?坠t，P是极化强度，即单位体积介质中的电偶极矩。
磁场对磁介质的磁化效果是产生磁化电流，磁化电流密度是J■=?塄×M，M是磁化强度，即单位体积介质中的磁偶极矩。
在电磁学理论中为了研究方便，通过定义D=?着■E+P，将极化效果归并到辅助场量D中；通过定义H=B/?滋■-M，而将磁化效果归并到辅助场量H中。
证明辐射场中能流和能量密度的关系
证明辐射场中能流和能量密度的关系能流和能量密度的关系可以通过能流公式和能量密度公式来证明。
能流公式：根据电磁学的基本公式，辐射场中的能流可以表示为：$P = \vec{S}\cdot \vec{n}$。
其中，$P$ 表示能流量，$\vec{S}$ 表示能流密度，$\vec{n}$ 表示能流的传播方向。
能量密度公式：辐射场中的能量密度可以表示为：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2$。
其中，$\epsilon_0$ 和 $\mu_0$ 分别是真空中的电容率和磁导率，$E$ 和 $H$ 分别是电场强度和磁场强度。
证明：根据能流公式，能流量是能流密度和能流传播方向的乘积。
如果我们假设能流的传播方向为单位向量 $\vec{n}$，则能流密度可以表示为：$\vec{S} = P \vec{n}$。
将上述式子代入能量密度公式中，我们可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 = \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 - \mu_0 H^2)$。
因为 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 都是垂直于能流传播方向$\vec{n}$ 的向量，所以能流的传播方向可以表示为 $\vec{n} = \vec{E} \times \vec{H}$。
带入上式，并使用矢量叉乘运算的恒等式$\vec{a}\times \vec{b}\cdot \vec{c} = \vec{b} \times\vec{c}\cdot\vec{a}$，可以得到：$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu_0 H^2 =\frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \mu_0 H^2) + \frac{1}{2}\epsilon_0 \mu_0 \vec{E} \cdot \vec{H} \,\vec{n}\cdot \vec{n}$。
§1.6-电磁场的能量及能流解读
则： w S E D ( E H ) E H t t
D B E H (E H ) t t
对比上式的左右对应关系，显然有：
由微分算子公式： (E H ) E H E H
②在线性介质中： D E, B H 1 2 1 2 w E H 有： 2 2 S E H
电动力学
电动力学
3、电磁场能量的传输
由前面的讨论： S EH
显然，电场、磁场与电磁场的传播方向构成右手系。 例：对于内外半径为a、b的同轴导线，其中通有电流I， (1) 若导线为理想导体 (2) 若导线的电导率为 分别求能流密度。 解:(1) 若为理想导体，导体内为等势体，电场为0，若同轴 线间的电压为U,若同轴线间的电场强度为E，导线的
w D B E H t t t S E H Poynting矢量
电动力学
电动力学
讨论：
①在真空中：D 0 E, B 0 H
w 1 2 2 E H 0 0 则： t 2 t S E H 1 1 2 2 w E H 0 0 显然有： 2 2 S E H
线电荷密度为，则: 2 rlE l
所以： E er 2 r
电动力学
电动力学
显然： a 2 r dr U 2U 则： b log a U 1 由此得： E er br log a
b
H 若导线通有电流I，则：
所以： S
I 2 r
e
UI
ez er e b 2 r b r2 r log 2 log a a b ez UI 单位时间输运的能量为： S dA 2 rdr UI 2 a b A 2 log r a 电动力学 U I
电磁场的能量和动量
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
d ◆ 场的能量增加率： dt
ω dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
平均能流密度和平均能量密度
平均能流密度和平均能量密度能流密度和能量密度是物理学中两个重要的概念，它们描述了能量的传递和分布方式。
本文将分别介绍平均能流密度和平均能量密度的定义、计算方法以及其在实际应用中的意义。
一、平均能流密度能流密度是指单位时间内通过单位面积的能量流量。
在电磁学中，能流密度描述了电磁波的能量传递情况。
它的定义是单位面积上的能量流量与垂直于能量传播方向的面积的乘积。
在介质中，平均能流密度的计算公式为：能流密度（S）等于能量传播方向上的能量密度（u）与传播速度（v）的乘积。
其中，能量密度是指单位体积内的能量。
平均能流密度的计算方法是将能量流量除以垂直于能量传播方向的面积。
能流密度的单位通常用瓦特/平方米（W/m²）表示。
平均能流密度在实际应用中具有广泛的意义。
在无线通信中，能流密度可以用来评估电磁辐射对人体的潜在危害。
在光学领域，能流密度可以用来描述光束的强度分布。
此外，能流密度还在能源传输、电磁辐射热效应等领域有重要应用。
二、平均能量密度能量密度是指单位体积内的能量。
在电磁学中，能量密度描述了电磁场的能量分布情况。
它的定义是单位体积内的能量与体积的比值。
在介质中，平均能量密度的计算公式为：能量密度（u）等于磁场能量密度（B²/2μ0）与电场能量密度（ε0E²/2）之和。
其中，B和E 分别表示磁场强度和电场强度，μ0和ε0分别为真空中的磁导率和介质的介电常数。
平均能量密度的计算方法是将能量除以体积。
能量密度的单位通常用焦耳/立方米（J/m³）表示。
平均能量密度在实际应用中也具有重要的意义。
在电力系统中，能量密度可以用来评估电场和磁场的能量分布情况，从而帮助设计和优化电力设备。
在光学领域，能量密度可以用来描述光束的能量分布。
总结：平均能流密度和平均能量密度是描述能量传递和分布方式的重要概念。
能流密度描述了单位面积上的能量流量，而能量密度描述了单位体积内的能量。
它们在电磁学、光学、能源传输等领域具有广泛的应用价值。
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E
S
H
平面电磁波能流密度平均值
S
1 2
E0 H 0
振荡偶极子的平均辐射功率 p p02 4 4
12πu
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电偶极子单位时间通过球面辐射出去的能量
P
S
ds
EH
r
2
s
indd
E(r,t) p0 2 sin cos(t r )
D
E
1 2
0E2
磁场能量密度：
wm
1 2
B
H
能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
电磁场能量密度：
w
1 2
0E2
1 2
0H
2
由于电磁场能量以电磁波相同的速度传播， 上式即为电磁波的能量密度。
二 电磁波能流密度
单位时间流过垂直于传播方向单位面积的 电磁波能量—能流密度.
S
wu
u 2
(0E 2
0H
2)
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
将
uC 1
00
代入，并注意 0 E 0 H
S1 2
1(
00
0
0E E
0
0 H H)
1 (HE HE) EH 2
S EH
因为 E H ,并且E H 所决定的方向为电磁波
能量传播方向。
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
➢ 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
S EH
或表示为
1 S EB
0
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
➢ 电磁波的能流密度（坡印廷）矢量 S E H
4π r
u
H (r,t) p0 2 sin cos(t r )
4π r
u
P P02 4 cos2 (t r )
6u
u
u 1
平均辐射功率：
P1 T
T Pdt P02 4
0
12u
9 – 3 电磁场能量密度和能流密度 第九章 时变电磁场和电磁波
一 电磁波能量密度 实验证明，在远离发射源的观测点，要在场
源发射后一段时间内才能收到发射的电磁波信 号。这说明：
➢电磁波的传播确实需要时间
➢电磁波具有能量，自由空间平面电磁波能量传 播速度就是电磁波传播的速度。
电场能量密度：
we
1 2