【北师大版】选修4-4数学：第2章《极坐标系的概念》学案(含答案)

§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)．2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系．3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化．1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______.当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－56π【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．A ．(ρ，θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，θ＋π)D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ .②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ .【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________．【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．答案：1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系(2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线【做一做1－1】A 当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点．因为13π6＝π6＋2π，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6表示同一个点，即重合． 【做一做1－2】B 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．2．(1)极点 极轴 单位长度 (2)原点 ①ρcos θ ρsin θ ②x 2＋y 2y x(x ≠0) 【做一做2－1】⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532 x ＝5cos 23π＝－52，y ＝5sin 23π＝532.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532.【做一做2－2】(－1，3) 因为点A 的极坐标又可以写成⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，所以x ＝ρcos θ＝2cos 2π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝ρsin θ＝2sin2π3＝2×32＝ 3. 所以点A 的直角坐标为(－1，3)．【做一做2－3】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6 ρ＝62＋22＝22，tan θ＝26＝33，又点P 在第一象限，得θ＝π6，因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，π6.题型一 极坐标系中点的表示【例1】已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，下列给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，43πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－23πD ．⎝⎛⎭⎪⎫5，－53π 反思：在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．题型二 对称性问题【例2】在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6.(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是__________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是__________；(3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是__________．反思：在极坐标系中，点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．题型三 点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．分析：本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用．反思：由直角坐标化成极坐标时，算出tan θ＝－33，仅根据0≤θ＜2π，只能得出θ＝5π6或θ＝11π6，要确定极角，需再根据点所在的象限来判断．答案：【例1】D 与点M 终边相同的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )，即极径相等，极角相差2π的整数倍．根据选项，当k ＝－1时，2k π＋π3＝－2π＋π3＝－53π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－53π能表示点M . 【例2】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 通过作图可求解．【例3】解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 1在极坐标系中与点A(3，π3-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )． A ．2π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，2在极坐标系中，确定点π26M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的位置，下面方法正确的是( )．A ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使7π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使π6xOP ∠=-，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝23点M 的极坐标为π4,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，化为直角坐标为__________．4将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．(1)；(2)(2--，．答案： 1．B 极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律即可判断之．与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．2．B 本题涉及到极径为负值时的坐标表示．当ρ＜0时，表示点(ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ.在OP 反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，故B 项正确．3．(22，－22) x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－22，∴M (22，－22)． 4．解：(1)ρ＝32＋32＝23，tan θ＝yx ＝33， 又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π6.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝y x ＝－23－2＝3，又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.所以点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.。