12.5磁场的能量 磁场能量密度
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12_5磁场的能量 磁场能量密度
1 2 自感磁能 W 1 = LI10 L 2
ε M12 I1
εL2 I2
I10时要克 服自感电动势作 功，即自感电动 势作负功， 势作负功，变为
WL2 =
2
LI
2 20
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
2）维持线圈“1”中电流不变，让线圈“2”中电 ）维持线圈“ 中电流不变 让线圈“ 中电 中电流不变， 流由0 I20 流由
W'm = W ∴M12 = M21 m
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
按照磁场的近距作用观点， 按照磁场的近距作用观点，磁 能也是定域在磁场中的。 能也是定域在磁场中的。 可以引入磁场能量密度的概念。 可以引入磁场能量密度的概念。 以载流长直螺线管为例： 以载流长直螺线管为例：
1 1 2 Wm = µH V体 = BHV体 2 2
W m 能量密度w 单位体积内的磁场能量）： m 能量密度 m（单位体积内的磁场能量）： w = 单位体积内的磁场能量 V体 2 Wm B 1 2 1 ∴wm = = µH = BH = V体 2 µ 2 2
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
电源所 作的功 自感线圈磁能
电源克服自 电阻上的 感电动势所 热损耗 做的功
Wm
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 = LI 0 2
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
第十二章电磁感应 第十二章电磁感应 电磁场
2、 考察在开关断开后的一 段时间内， 段时间内，电路中的电流衰 过程： 减过程： 由全电路欧姆定律
L
电池
R
能量密度计算公式 打印
能量密度计算公式打印
能量密度计算公式。
能量密度是指单位体积或单位质量的物质所含有的能量。
在物
理学和工程学中，能量密度通常用来描述电磁场、重力场、热力学
系统等的能量分布情况。
能量密度的计算公式可以根据具体的情况而有所不同，以下是
一些常见的能量密度计算公式：
1. 电磁场能量密度计算公式：
对于电磁场的能量密度，可以使用以下公式进行计算：
\[ u = \frac{1}{2}(\varepsilon E^2 + \frac{B^2}{\mu}) \]
其中，u表示能量密度，ε表示介电常数，E表示电场强度，B表示磁感应强度，μ表示磁导率。
2. 物质的能量密度计算公式：
对于物质的能量密度，可以使用以下公式进行计算：
\[ u = mc^2 \]
其中，u表示能量密度，m表示物质的质量，c表示光速。
3. 热力学系统的能量密度计算公式：
对于热力学系统的能量密度，可以使用以下公式进行计算： \[ u = \frac{1}{2} \rho v^2 \]
其中，u表示能量密度，ρ表示介质密度，v表示速度。
以上是一些常见的能量密度计算公式，它们在不同领域的物理学和工程学中有着重要的应用。
通过这些公式，我们可以更好地理解和描述能量在空间中的分布情况，为相关领域的研究和应用提供重要的理论基础。
12.5 磁场的能量Xiao(1)
体系的磁场能量密度： 1 2 1 2 1 2 1 wm ( B1 B2 ) B1 B2 2 B1 B2 2 2 2 2 体系的总磁场能量：
Wm wm dV
V
n1
n2
V
1 2 1 2 1 B1 dV B2 dV 2 B1 B2 dV V 2 V 2 2
2
体系的总磁场能量 1 2 1 2 1 Wm B1 dV B2 dV 2 B1 B2 dV V 2 V 2 V 2 1 1 2 2 L1I1 L2 I 2 MI1I 2 2 2 如果两线圈电流方向相反，两线圈的磁通量互相减弱， B1与B2方向相反，故 1 1 2 B1 B2V B1 B2V n1 n2 I1 I 2V MI1 I 2 2 体系的总磁场能量: 1 2 1 2 1 Wm B1 dV B2 dV 2 B1 B2 dV V 2 V 2 V 2 1 1 2 2 L1I1 L2 I 2 MI1I 2 2 2
互感磁能
两个耦合线圈的总磁能：
1 1 2 2 Wm L1 I10 L2 I 20 MI10 I 20 2 2
自感磁能 互感磁能
讨论： 如果两回路线圈电流方向相反，两线圈的磁通量互相减 弱，每个线圈中的自感电动势和互感电动势方向相反: dI1 dI 2 1 L1 M I1 R1 ( I1 0, I 2 0) 线圈1： dt dt dI 2 dI1 2 L2 M I 2 R2 线圈2： dt dt 重复前面推导，可得
2
当时间从零经过一段足够长的时间 T (弛豫时间) 后，两个线圈的电流分别由零逐渐增大到稳定值 I10和 I20，线圈中储存的能量达到饱和：
13-5磁场的能量 磁场能量密度解析
l
S
21
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦假设
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式
dD （2）位移电流 jd dt q SD ds V dV B l E dl S t ds SB ds 0 D l H dl S ( jc t ) ds
1
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
1 2 Wm LI 2
I
L
L n2V ,
B nI
1 2 1 2 B 2 1 B2 Wm LI n V ( ) V 2 2 n 2
wmV
2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
磁场能量密度
B 1 1 2 wm H BH 2 2 2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家 经典电磁理论的奠基人 , 气体动理论创始人之一. 提 出了有旋场和位移电流的 概念 , 建立了经典电磁理 论 , 并预言了以光速传播的 电磁波的存在. 在气体动理 论方面 , 提出了气体分子按 速率分布的统计规律.
7
13-5
1 铁磁质 （非常数）
26
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
例 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析
+ + + + + + + + +
S
21
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦假设
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式
dD （2）位移电流 jd dt q SD ds V dV B l E dl S t ds SB ds 0 D l H dl S ( jc t ) ds
1
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
1 2 Wm LI 2
I
L
L n2V ,
B nI
1 2 1 2 B 2 1 B2 Wm LI n V ( ) V 2 2 n 2
wmV
2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
磁场能量密度
B 1 1 2 wm H BH 2 2 2
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
麦克斯韦（1831－1879）英国物理学家 经典电磁理论的奠基人 , 气体动理论创始人之一. 提 出了有旋场和位移电流的 概念 , 建立了经典电磁理 论 , 并预言了以光速传播的 电磁波的存在. 在气体动理 论方面 , 提出了气体分子按 速率分布的统计规律.
7
13-5
1 铁磁质 （非常数）
26
13-5
磁场的能量 磁场能量密度
例 有两个半径分别为 R 和 的“无限长”同 r 的 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 I 时，试 求 （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析
+ + + + + + + + +
12_5磁场的能量磁场能量密度解析
感电动势作功的过程中建立的。
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度
L2
先以磁通相助为例进行研究
能量是状态量，应与电流建立的过程无关。为此 分两步建立磁场。
I 1）线圈“2”开路，让线圈“1”中电流由0
10
2）维持线圈“1”中电流不变，让线圈“2”中电
L1 M L2
W 'm
1 2
L2
I
2 20
L1 I1
L2 M 21 I20
1 2
L1 I120
M21I10I20 (2)
与（1）式比较
Wm
1 2
L1 I120
1 2
L2
I
2 20
M12 I10 I20 (1)
W 'm Wm M12 M 21
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度 第十二章电磁感应 电磁场
WL1
1 2
LI120
WL 2
1 2
LI
2 20
W互 M12I10I20
互感线圈的总磁能：
Wm
1 2
L1 I120
1 2
L2
I
2 20
M12I10I20 (1)
建立电流的方式也可反过来：
21由））0维线持圈线“圈1”“开2路”中，电让流线不圈变“，2”让中线电圈流“1”中I 20
电
I10
流由0
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度 第十二章电磁感应 电磁场
1 2
L2
I
2 20
M12I10 I20…..
***
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度 第十二章电磁感应 电磁场
总而言之： 互感电路的磁场能量
电磁场的能量密度
电磁场的能量密度电磁场是由电场和磁场相互作用形成的一种物理场。
在电磁场中，存在着能量的传递和储存，这种能量的密度被称为电磁场的能量密度。
本文将从电场和磁场的能量密度以及它们的计算方法入手，探讨电磁场的能量分布规律。
1. 电场的能量密度电场是由电荷所产生的一种力场，具有能量的传递和储存功能。
在某一点的电场能量密度表示为u_e，请注意这里用小写字母表示。
根据电场能量密度的定义，我们可以推导出电场能量密度与电场强度E的关系。
根据电力线的性质，通过取电力线上一个微小段△l，可以得到该段电力线上电场强度的大小与它垂直的面积△A之比为E。
因此，△l△A 即为该微小段的体积△V，从而可以得到该微小段电场的体积元△V上的电场能量为△u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \Delta V。
其中，ε_0为真空介电常数。
为了得到整个空间电场的能量密度，需要将所有微小段电场能量密度进行求和。
即有：u_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2这个公式也是电磁场能量密度的计算方法之一。
2. 磁场的能量密度磁场是由电流所产生的一种力场，同样具有能量的传递和储存功能。
磁场的能量密度表示为u_m，请注意这里用小写字母表示。
根据磁场能量密度的定义，我们可以推导出磁场能量密度与磁感应强度B的关系。
根据磁力线的性质，通过取磁力线上一个微小段△l，可以得到该段磁力线上磁感应强度的大小与它垂直的面积△A之比为B。
因此，△l△A即为该微小段的体积△V，从而可以得到该微小段磁场的体积元△V上的磁场能量为△u_m = \frac{1}{2\mu_0} B^2 \Delta V。
其中，μ_0为真空磁导率。
为了得到整个空间磁场的能量密度，需要将所有微小段磁场能量密度进行求和。
即有：u_m = \frac{1}{2\mu_0} B^2这个公式也是电磁场能量密度的计算方法之一。
3. 电磁场能量密度的分布规律根据电场能量密度和磁场能量密度的公式，我们可以看出两者均与其场强的平方成正比。
磁场强度与能量、质量、密度的关系
#一、质量
:根据广义相对论，光通过质量大的恒星表面时光线会发生偏折，也就是说从遥远的恒星上发出的光，由于相距较远，当这些光从黑洞表面穿过时，光线又会在远处重新汇聚成一个点，这是引力的透镜效应。这是因为光从恒星表面发出在近处看是平行的，而到了远处看光却变成了一个点。如同你在地球上感觉太阳光是平行的，而当你到了天王星上太阳光便显得很微弱。当光通过大质量恒星的表面时，由于在强磁场的作用下改变了光子的运动状态，如同带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力，只改变粒子运动状态而不对粒子做功，光也是一种粒子，也有同样的现象。
#三、密度
:光子的体积不变，质量大的光子密度一定大。当光子在密度较大的空间中传播时，由于光子的能量不增加，而光子的频率增大，会使光子的传播速度减慢，密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。
:综上所述：磁场的强弱是由能量、质量、空间的密度共同决定的，能量高的磁场就强，在能量低的地方磁场就弱;质量越大磁场越强，质量越小磁场越弱；密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。由此可以判断地球的磁场，在地球上由于重力分异及自转引起的昼夜交替使质量、能量、空间密度分布不均，所以在地球上两极磁场较强，赤道磁场较弱，正对太阳的一面磁场强，背对太阳的一面磁场弱，此外空间的密度不均而引起的磁感线不规则分布。
|-
|紫外线|| 400~6 || 7.5~500 || 5.5215~368.1
|-
|γ射线|| 0.001~0.00001 || 10<sup>4</sup>~10<sup>6</sup> || 7.362*10<sup>4</sup>
~7.362*10<sup>6</sup>
:根据广义相对论，光通过质量大的恒星表面时光线会发生偏折，也就是说从遥远的恒星上发出的光，由于相距较远，当这些光从黑洞表面穿过时，光线又会在远处重新汇聚成一个点，这是引力的透镜效应。这是因为光从恒星表面发出在近处看是平行的，而到了远处看光却变成了一个点。如同你在地球上感觉太阳光是平行的，而当你到了天王星上太阳光便显得很微弱。当光通过大质量恒星的表面时，由于在强磁场的作用下改变了光子的运动状态，如同带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力，只改变粒子运动状态而不对粒子做功，光也是一种粒子，也有同样的现象。
#三、密度
:光子的体积不变，质量大的光子密度一定大。当光子在密度较大的空间中传播时，由于光子的能量不增加，而光子的频率增大，会使光子的传播速度减慢，密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。
:综上所述：磁场的强弱是由能量、质量、空间的密度共同决定的，能量高的磁场就强，在能量低的地方磁场就弱;质量越大磁场越强，质量越小磁场越弱；密度越大的空间磁场越强，密度越小的空间磁场越弱。由此可以判断地球的磁场，在地球上由于重力分异及自转引起的昼夜交替使质量、能量、空间密度分布不均，所以在地球上两极磁场较强，赤道磁场较弱，正对太阳的一面磁场强，背对太阳的一面磁场弱，此外空间的密度不均而引起的磁感线不规则分布。
|-
|紫外线|| 400~6 || 7.5~500 || 5.5215~368.1
|-
|γ射线|| 0.001~0.00001 || 10<sup>4</sup>~10<sup>6</sup> || 7.362*10<sup>4</sup>
~7.362*10<sup>6</sup>
§13-5磁场的能量磁场的能量密度
2
Wm = =
∫ ∫
V
wm d V
µ
⋅ ( 2π rdr ⋅ 1)
µI 2
2 2
8π r 2 R2 µ I =∫ ⋅ dr R1 4 π r R2 µI 2 = ln 4π R1
V
r dr
R2
1 W m = LI 2
2
R2 L= ln 2 π R1
µ
第§13-5节完 13-
Maxell方程组 §13-6 位移电流 Maxell方程组 13麦克斯韦（ 麦克斯韦（1831-1879） ） 英国物理学家。 英国物理学家。经典 电磁理论的奠基人, 电磁理论的奠基人, 气体 动理论创始人之一。 动理论创始人之一。①提 出了有旋场、 出了有旋场、位移电流的 概念, 概念, 建立了经典电磁理 论；②预言了以光速传播 的电磁波的存在。 的电磁波的存在。 ③在 气体动理论方面, 气体动理论方面, 提出了 气体分子按速率分布的统 计规律。 计规律。
一 位移电流 全电流安培环路定理
稳恒磁场中,安培环路定理 稳恒磁场中,
∫ H ⋅ dl = ∑ I = ∫ j ⋅ ds
l s
以 L 为边做任意曲面 S1 和 S2
∫LH ⋅ dl = ∫S1 j ⋅ ds = I
S1
-
S2
+ + + +
∫ H ⋅ dl = ∫
L
S2
j ⋅ ds = 0
I
−σ dD +σ + - dt +
∫ D ⋅ ds = ∑ q dφ ∫ E ⋅ d l = − dt
S
l
m
∫ B ⋅ ds = 0 ∫ H ⋅ dl = I + I
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由能量密度计算任意一个磁场的能量： 由能量密度计算任意一个磁场的能量： 1）先确定体积元内的磁场能量： dWm = wmdV体 ）先确定体积元内的磁场能量： 2）再计算体积V 体内的磁场能量： ）再计算体积 体内的磁场能量：
Wm = ∫ dWm = ∫ wmdV 体
V
V
（积分应遍及磁场存在的全空间。） 积分应遍及磁场存在的全空间。）
µo I 解： B = （R1< r < R2） 2πr 2 2 B µo I wm = = 2 2 2µo 8π r
Wm = ∫R wm2πrdr •1
1
I
R2 R1
I r
dr
1
R2
=∫
R2
1 2 计算。 也可用 Wm = LI 计算。 2
R1
µo I dr µo I 2 R2 ⋅ = ln 4π r 4π R1
回路电 阻所放 出的焦 耳热
3
12.4 磁场的能量
自感线圈磁能
第12章 电磁感应 12章
Wm
1 = LI 2
2r µ
2
l
R
ε
当电路中电流从 0 增加到稳定值 I0 时，电路附近 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场具有能量。 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场具有能量。 所以电源反抗自感电动势所做的功， 所以电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场 电源反抗自感电动势所做的功 的过程中转化为磁场的能量。 的过程中转化为磁场的能量。 这个能量并未消耗，一旦条件许可就能释放出来， 这个能量并未消耗，一旦条件许可就能释放出来， 转变为其它形式的能量。 转变为其它形式的能量。 自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领。 自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领。 4
1 2 说明：载流线圈的磁场能量可以用公式 W自 = LI ， 说明： 2
也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。 也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。 6
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成， 例： 一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成，其半径分别 流有大小相等、 为 R1 和 R2，流有大小相等、方向相反的轴向电流 I，两筒间 ， 为真空。 电缆单位长度内所储存的磁能。 为真空。求: 电缆单位长度内所储存的磁能。
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章 由欧姆定律： ε 由欧姆定律：
+ ε L = Ri
2r µ
l
R
自感线圈磁能
di ε − L = Ri dt
ε
ε idt − Lidi = Ri dt
2
1 2 ∫0 ε idt = 2 LI +
t
∫
t
0
Ri dt
2
Wm
1 = LI 2
2
电 源 作 功
电源反 抗自感 电动势 作的功
单位长度壳层体积： 单位长度壳层体积：
dV = 2 π rdr ⋅ 1
µ
µ I 2 R2 µI ln Wm = ∫ dr = R1 4 π r 4π R1
R2 2
r dr
R2
9
1 2 µ R2 W m = LI L = ln 2 2 π R1
B 1 1 2 wm = = µH = BH 磁场能量密度： 磁场能量密度： 2µ 2 2 B2 磁场能量： 磁场能量： W m = ∫ w m dV = ∫ dV V V 2µ
2
5
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
B2 1 1 2 普遍成立。 = µH = BH 普遍成立。 磁场能量密度： 磁场能量密度： wm = 2µ 2 2
I R1 < r < R2 , H = 2πr r > R2 , H = 0
则 R1 < r < R2
r < R1 ,
H =0
µ
µ
R2
8
1 1 I 2 2 w m = µH = µ ( ) 2 2 2 πr
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
1 I 2 µI 2 ) = R1 < r < R2 wm = µ( 2 2 2 2πr 8π r 2 µI Wm = ∫ wmdV = ∫ dV 2 2 V V 8π r
7
2
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
例：如图同轴电缆，中间充以磁介质，芯线与圆筒上 如图同轴电缆，中间充以磁介质， 的电流大小相等、方向相反。 的电流大小相等、方向相反。已知 R 1 , R 2 , I , µ ， 单位长度同轴电缆的磁能和自感。 求：单位长度同轴电缆的磁能和自感。 设金属芯线内 的磁场可略。 的磁场可略。 解：由安培环路定律可求 H
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
12.4 磁场的能量
1
12.4 磁场的能量
一、自感磁能 开关迅速断开时， 开关迅速断开时， 灯泡并不立即熄灭， 灯泡并不立即熄灭，经 过一定时间才熄灭。 过一定时间才熄灭。 能量来源于线圈。 能量来源于线圈。
第12章 电磁感应 12章
与电容器充电后能储存一定的电能相类似， 与电容器充电后能储存一定的电能相类似， 在一个线圈中通有一定的电流时 线圈中通有一定的电流时， 在一个线圈中通有一定的电流时，它就储存着一 定的能量。 定的能量。 线圈中的能量，是由于在建立电流的过程中， 线圈中的能量，是由于在建立电流的过程中， 外界克服自感电动势作功。 外界克服自感电动势作功。 2
12.4 磁场的能量
二、磁场的能量 自感线圈磁能： 自感线圈磁能： W = 1 LI m
2
第12章 电磁感应 12章
µ
2
I
L
B = µ nI
L = µ n 2V , 以长直螺线管为例： 以长直螺线管为例：
1 B2 1 1 B 2 2 2 V = wmV W m = LI = µ n V ( ) = 2 µ 2 2 µn
Wm = ∫ dWm = ∫ wmdV 体
V
V
（积分应遍及磁场存在的全空间。） 积分应遍及磁场存在的全空间。）
µo I 解： B = （R1< r < R2） 2πr 2 2 B µo I wm = = 2 2 2µo 8π r
Wm = ∫R wm2πrdr •1
1
I
R2 R1
I r
dr
1
R2
=∫
R2
1 2 计算。 也可用 Wm = LI 计算。 2
R1
µo I dr µo I 2 R2 ⋅ = ln 4π r 4π R1
回路电 阻所放 出的焦 耳热
3
12.4 磁场的能量
自感线圈磁能
第12章 电磁感应 12章
Wm
1 = LI 2
2r µ
2
l
R
ε
当电路中电流从 0 增加到稳定值 I0 时，电路附近 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场具有能量。 的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场具有能量。 所以电源反抗自感电动势所做的功， 所以电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场 电源反抗自感电动势所做的功 的过程中转化为磁场的能量。 的过程中转化为磁场的能量。 这个能量并未消耗，一旦条件许可就能释放出来， 这个能量并未消耗，一旦条件许可就能释放出来， 转变为其它形式的能量。 转变为其它形式的能量。 自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领。 自感线圈也是一个储能元件，自感系数反映线圈储能的本领。 4
1 2 说明：载流线圈的磁场能量可以用公式 W自 = LI ， 说明： 2
也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。 也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。 6
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成， 例： 一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆筒构成，其半径分别 流有大小相等、 为 R1 和 R2，流有大小相等、方向相反的轴向电流 I，两筒间 ， 为真空。 电缆单位长度内所储存的磁能。 为真空。求: 电缆单位长度内所储存的磁能。
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章 由欧姆定律： ε 由欧姆定律：
+ ε L = Ri
2r µ
l
R
自感线圈磁能
di ε − L = Ri dt
ε
ε idt − Lidi = Ri dt
2
1 2 ∫0 ε idt = 2 LI +
t
∫
t
0
Ri dt
2
Wm
1 = LI 2
2
电 源 作 功
电源反 抗自感 电动势 作的功
单位长度壳层体积： 单位长度壳层体积：
dV = 2 π rdr ⋅ 1
µ
µ I 2 R2 µI ln Wm = ∫ dr = R1 4 π r 4π R1
R2 2
r dr
R2
9
1 2 µ R2 W m = LI L = ln 2 2 π R1
B 1 1 2 wm = = µH = BH 磁场能量密度： 磁场能量密度： 2µ 2 2 B2 磁场能量： 磁场能量： W m = ∫ w m dV = ∫ dV V V 2µ
2
5
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
B2 1 1 2 普遍成立。 = µH = BH 普遍成立。 磁场能量密度： 磁场能量密度： wm = 2µ 2 2
I R1 < r < R2 , H = 2πr r > R2 , H = 0
则 R1 < r < R2
r < R1 ,
H =0
µ
µ
R2
8
1 1 I 2 2 w m = µH = µ ( ) 2 2 2 πr
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
1 I 2 µI 2 ) = R1 < r < R2 wm = µ( 2 2 2 2πr 8π r 2 µI Wm = ∫ wmdV = ∫ dV 2 2 V V 8π r
7
2
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
例：如图同轴电缆，中间充以磁介质，芯线与圆筒上 如图同轴电缆，中间充以磁介质， 的电流大小相等、方向相反。 的电流大小相等、方向相反。已知 R 1 , R 2 , I , µ ， 单位长度同轴电缆的磁能和自感。 求：单位长度同轴电缆的磁能和自感。 设金属芯线内 的磁场可略。 的磁场可略。 解：由安培环路定律可求 H
12.4 磁场的能量
第12章 电磁感应 12章
12.4 磁场的能量
1
12.4 磁场的能量
一、自感磁能 开关迅速断开时， 开关迅速断开时， 灯泡并不立即熄灭， 灯泡并不立即熄灭，经 过一定时间才熄灭。 过一定时间才熄灭。 能量来源于线圈。 能量来源于线圈。
第12章 电磁感应 12章
与电容器充电后能储存一定的电能相类似， 与电容器充电后能储存一定的电能相类似， 在一个线圈中通有一定的电流时 线圈中通有一定的电流时， 在一个线圈中通有一定的电流时，它就储存着一 定的能量。 定的能量。 线圈中的能量，是由于在建立电流的过程中， 线圈中的能量，是由于在建立电流的过程中， 外界克服自感电动势作功。 外界克服自感电动势作功。 2
12.4 磁场的能量
二、磁场的能量 自感线圈磁能： 自感线圈磁能： W = 1 LI m
2
第12章 电磁感应 12章
µ
2
I
L
B = µ nI
L = µ n 2V , 以长直螺线管为例： 以长直螺线管为例：
1 B2 1 1 B 2 2 2 V = wmV W m = LI = µ n V ( ) = 2 µ 2 2 µn