第8章_静磁能1__磁场的能量和能量密度__20101227
合集下载
第8章_静磁能1__磁场的能量和能量密度__20101227

0
0 dt
0
0
0
2
0
其中
T
∫ εidt
0
表示 0 → T中,电源所作的功;
1 Li2表示电源在0 → T中提供的转变为磁场的能量。 2
T
∫ i2Rdt
0
表示0 → T中,电流在电阻上作的功;
由此可见,电源所供给的能量,一部分转化为焦耳--楞茨热,另一部分用于反抗自感电动势所作的功,这将 是另一种形式的能量改变的量度。
0
0
注意积分上下限的变换以及M12 = M 21
和自感一样,两个线圈中电源抵抗互感电动势所作 的这部分额外功,也以磁能的形式储存起来,一旦电流中 止,这部分磁能便通过互感电动势作功全部释放出来。
定义:互感磁能
W12 = M12I1I2 = Φ12I2
其中Φ12是载流线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通量。
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中,根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上,则此时 ∑ I = 0,
(rr2
)
⋅
r dS
其可以看成载流线圈2在外磁场 BrS12(由线圈1提供的)中
所具有的静磁能。其实这也就是线圈1和线圈2的互感磁能
电磁学课件 第八章 静磁能

所以
讨论
要分析磁化功的具体形式及其后果,必须考虑介质 r r r r r 的磁化规律,即 M和H 的函数关系。 dB = μ (dH + dM ) 0 下面来具体分析。
1. 线性(无损耗)磁介质
r r 这时 M = χ m H
因此 所以
r r 所以 dM = χ m dH
r r r r r r r r μ 0 H ⋅ dM = μ 0 H ⋅ ( χ m dH ) = μ 0 χ m ( H ⋅ dH ) = μ 0 M ⋅ dH
所以
(δWm ) I = δA'−δA = 2(δWm ) I − δA
⇒ (δWm ) I = δA
物理意义:当维持各载流线圈电流不变时,磁力作 功等于系统磁能的增加,原因就是因为外界即电源同时参 与作功,且作功量正好是磁力作功的两倍。
r r 利用 δA = F ⋅ δr 和 (δWm ) I = δA 可得: r F = (∇Wm ) I
(2) 当研究载流导线在外磁场中受到的磁力时,可用 载流导线在外磁场中的静磁能代替 Wm ,而不必计入载流 线圈和外磁场本身的自能。 前面已经得出结论:
Wm = ∑ I i ∫∫
i =1
N
Si
r r r B (ri ) ⋅ dS
r r 这是N个载流线圈置于一外磁场 B(ri ) 中,系统在外磁
场中的静磁能。 当外磁场为均匀磁场时,
dψ = Ndφ = NSdB
与此同时,电源克服感应电动势所作的元功为: dψ dA' = −εIdt = I dt = Idψ = INdφ = NSIdB dt dq dψ 其中再次利用了 dA' = −ε dq ,而 ε = − 和 i = dt dt
12-4磁场的能量

dI
dt
(3) 通过电路所储存的磁场能量,求自感系数: 因为
1 2 Wm LI 2
所以自感系数可以表示为
2Wm 1 L 2 2 I I
H 2d
8
单位长度电缆所储存的磁场能量为Wm,所以单 位长度电缆的自感系数为
2Wm R2 L 2 ln 2 R1 I
可见,自感系数只决定于电路自身的结构、几 何性质以及所充磁介质的磁导率。
§12-4 磁场的能量
一、电场能量 电容器充电以后储存了能量,当极板电压为U
1 WC CU 2 2 电场能量密度的一般表示式
与此相似,磁场也具有能量。
时储能为:
1 w e DE 2
1
二、自感磁能 从螺绕环磁场能量特例中导
R
K2
L
出磁场能量的一般表示式。 0~t0: 螺绕环储能过程
t0~t1: 电路电流恒定阶段
磁场能量密度的一般表达式,适用于真空和 任何各向同性的磁介质。 对于各向同性的顺磁质和抗磁质,B=0rH
1 1 2 wm Hd ( 0 r H ) 0 r H BH 0 2 2
H
整个磁场的能量为 :
Wm w m d
1 BHd 2
4
如果磁芯是用各向同性的顺磁质或抗磁质做
成的,当电流达到稳定值I时,磁场能量为 1 1 2 2 2 Wm wm lS H lS n I lS 2 2 因为螺绕环的自感可表示为 L = n 2 l S ,
1 2 Wm LI 2
磁场能量与电路自感相联系称为自感磁能。
1 电磁场的能量密度 w ( E D B H ) 2
4
dt
(3) 通过电路所储存的磁场能量,求自感系数: 因为
1 2 Wm LI 2
所以自感系数可以表示为
2Wm 1 L 2 2 I I
H 2d
8
单位长度电缆所储存的磁场能量为Wm,所以单 位长度电缆的自感系数为
2Wm R2 L 2 ln 2 R1 I
可见,自感系数只决定于电路自身的结构、几 何性质以及所充磁介质的磁导率。
§12-4 磁场的能量
一、电场能量 电容器充电以后储存了能量,当极板电压为U
1 WC CU 2 2 电场能量密度的一般表示式
与此相似,磁场也具有能量。
时储能为:
1 w e DE 2
1
二、自感磁能 从螺绕环磁场能量特例中导
R
K2
L
出磁场能量的一般表示式。 0~t0: 螺绕环储能过程
t0~t1: 电路电流恒定阶段
磁场能量密度的一般表达式,适用于真空和 任何各向同性的磁介质。 对于各向同性的顺磁质和抗磁质,B=0rH
1 1 2 wm Hd ( 0 r H ) 0 r H BH 0 2 2
H
整个磁场的能量为 :
Wm w m d
1 BHd 2
4
如果磁芯是用各向同性的顺磁质或抗磁质做
成的,当电流达到稳定值I时,磁场能量为 1 1 2 2 2 Wm wm lS H lS n I lS 2 2 因为螺绕环的自感可表示为 L = n 2 l S ,
1 2 Wm LI 2
磁场能量与电路自感相联系称为自感磁能。
1 电磁场的能量密度 w ( E D B H ) 2
4
磁场的能量磁场能量密度

物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
Wm
1 2
LI2
IL
L n2V , B nI
Wm
1 2
LI 2
1 2
n2V ( B )2 n
1 2
B2
V
wmV
第八章 电磁感应 电磁场
1
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
磁场
H 2
1 2
BH
I
L
磁场能量
3
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
解 由安培环路定律可求 H
r R1 , H 0
R1 r R2 ,
H I 2π r
r R2 , H 0
则 R1 r R2
wm
1 ( I
2 2π
)2 r
I
8π 2
2
r
2
R2
第八章 电磁感应 电磁场
4
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
Wm
V wmdV
B2 dV
V 2
第八章 电磁感应 电磁场
2
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
例 如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线
与圆筒上的电流大小相等、方向相反. 已
知 R1, R2 , I , ,
求单位长度同轴电缆的
磁能和自感. 设金属芯
线内的磁场可略.
R2
第八章 电磁感应 电磁场
单位长度壳层体积 dV 2 π rdr 1
Wm
V wmdV
I 2
V 8 π2 r 2 dV
I 2 ln R2
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
自感线圈磁能
Wm
1 2
LI2
IL
L n2V , B nI
Wm
1 2
LI 2
1 2
n2V ( B )2 n
1 2
B2
V
wmV
第八章 电磁感应 电磁场
1
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
磁场
H 2
1 2
BH
I
L
磁场能量
3
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
解 由安培环路定律可求 H
r R1 , H 0
R1 r R2 ,
H I 2π r
r R2 , H 0
则 R1 r R2
wm
1 ( I
2 2π
)2 r
I
8π 2
2
r
2
R2
第八章 电磁感应 电磁场
4
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
Wm
V wmdV
B2 dV
V 2
第八章 电磁感应 电磁场
2
物理学
第五版
8-5 磁场的能量 磁场能量密度
例 如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线
与圆筒上的电流大小相等、方向相反. 已
知 R1, R2 , I , ,
求单位长度同轴电缆的
磁能和自感. 设金属芯
线内的磁场可略.
R2
第八章 电磁感应 电磁场
单位长度壳层体积 dV 2 π rdr 1
Wm
V wmdV
I 2
V 8 π2 r 2 dV
I 2 ln R2
§13-5磁场的能量磁场的能量密度

r < R1 , H = 0, B = 0 I µI ,B = R1 < r < R2 , H = 2πr 2πr r > R2 , H = 0 , B = 0
µ
1 1 I 则 R1 < r < R2 ,磁能密度 wm = BH = µ 2 2 2πr
2
1 I wm = µ 2 2πr
∂D jd = ∂t
或者
dψ D Id = dt
(2)麦克斯韦位移电流假设的实质是… … … 麦克斯韦位移电流假设的实质是
有一圆形平行平板电容器, 现对其充电, 例1 有一圆形平行平板电容器, R = 3.0cm。现对其充电, 使电路上的传导电流 I c = d Q d t = 2 . 5 A 。若略去边缘 效应, 两极板间的位移电流; 效应, 求(1)两极板间的位移电流; (2)两极板间离开轴线的距离为的点 r = 2 .0 cm 处 P 的磁感强度。 的磁感强度。
c= 1 = 1 8 .85 × 10 −12 ⋅ 4π × 10 − 7 = 2 .9994 实了他的预言。 1888年赫兹的实验证实了他的预言。麦克斯韦 年赫兹的实验证实了他的预言 理论奠定了经典动力学的基础, 理论奠定了经典动力学的基础,为无线电技术和现 代电子通讯技术发展开辟了广阔前景。 代电子通讯技术发展开辟了广阔前景。
135磁场的能量磁场的能量密度电磁场的平均能量密度磁场的能量密度磁场能量密度电磁场能量密度磁场能量密度公式磁场强度磁通密度磁场强度电流密度开关变压器磁场密度磁通密度和磁场强度
§13-5 磁场的能量 磁场的能量密度 13右电路, 右电路,全电路欧姆定律
ε
t
Idt − LI dI = RI 2 dt ε
µ
1 1 I 则 R1 < r < R2 ,磁能密度 wm = BH = µ 2 2 2πr
2
1 I wm = µ 2 2πr
∂D jd = ∂t
或者
dψ D Id = dt
(2)麦克斯韦位移电流假设的实质是… … … 麦克斯韦位移电流假设的实质是
有一圆形平行平板电容器, 现对其充电, 例1 有一圆形平行平板电容器, R = 3.0cm。现对其充电, 使电路上的传导电流 I c = d Q d t = 2 . 5 A 。若略去边缘 效应, 两极板间的位移电流; 效应, 求(1)两极板间的位移电流; (2)两极板间离开轴线的距离为的点 r = 2 .0 cm 处 P 的磁感强度。 的磁感强度。
c= 1 = 1 8 .85 × 10 −12 ⋅ 4π × 10 − 7 = 2 .9994 实了他的预言。 1888年赫兹的实验证实了他的预言。麦克斯韦 年赫兹的实验证实了他的预言 理论奠定了经典动力学的基础, 理论奠定了经典动力学的基础,为无线电技术和现 代电子通讯技术发展开辟了广阔前景。 代电子通讯技术发展开辟了广阔前景。
135磁场的能量磁场的能量密度电磁场的平均能量密度磁场的能量密度磁场能量密度电磁场能量密度磁场能量密度公式磁场强度磁通密度磁场强度电流密度开关变压器磁场密度磁通密度和磁场强度
§13-5 磁场的能量 磁场的能量密度 13右电路, 右电路,全电路欧姆定律
ε
t
Idt − LI dI = RI 2 dt ε
静磁场精品文档

应用领域:磁力悬浮列车、磁力悬浮轴承、磁力悬浮平台等
未来发展:提高悬浮稳定性和载重能力,拓展应用范围
磁力分离技术
原理:利用磁场对不同磁性物质的吸引力差异,实现不同物质间的分离。
优势:分离效果好,处理能力强,可实现连续分离。
实例:在采矿过程中,利用磁力分离技术将矿石中的铁磁性杂质分离出来,提高矿石品质。
汇报人:XX
感谢观看
磁场强度对静磁场的影响具有空间局限性,距离磁场源越远,静磁场强度越小。
磁场强度对静磁场的影响还与周围物质的磁导率有关,不同磁导率的物质会对静磁场产生不同的影响。
磁场分布的影响
磁场强度:影响静磁场的分布和大小
磁导率:影响磁场分布的均匀性和磁力线的方向
电流密度:电流密度越大,磁场强度越高,影响静磁场的分布
磁力泵:利用静磁场传递扭矩,实现无接触传递
磁力矩器:利用静磁场产生力矩,实现无接触驱动
磁悬浮技术:利用静磁场实现物体悬浮,减少摩擦和磨损
磁疗和磁热疗:利用静磁场对生物体的作用,实现治疗和保健
02
静磁场的产生与测量
静磁场的产生
静磁场是由恒定电流产生的磁场
恒定电流产生的磁场可以用磁力线表示
磁力线是闭合的曲线,没有起点和终点
磁场边界条件:边界条件的变化会影响静磁场的分布和大小
磁场方向的影响
磁场方向与电流方向平行时,不产生磁场力
磁场方向与电流方向垂直时,产生磁场力最大
磁场方向与电流方向呈一定角度时,产生磁场力介于以上两种情况之间
04
静磁场的应用实例
磁力泵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
工作原理:磁力泵通过磁场力将电机和泵轴连接在一起,使电机带动泵轴旋转,从而输送液体。
【专业版】静磁场PPT资料

2AJ 2A i Ji i1 ,2 ,3
(1)稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
(2)与静电场中 2 (3)矢势为无源有旋场
形式相同
2.矢势的形式解
A4
通过类比 J(x)dV Vr
41V(xr)dV
Ai 4
V
Ji(x)dV r
已知电流密度,可从方程直接积分求解,但一般电流分
布与磁场相互制约,因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3.B 的解
静电势与磁标势的差别:
z 而静磁场
一般不为零,即静磁场作功与路径有关,即使在能引入的区域标势一般也不是单值的。
① 若分界面为柱面,柱坐标系中当
AA e e 与静电势方程的比较
A (1)稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
1 r[11 r(r1 A )12 r(rA 2)] x
y
5.矢量泊松方程解的 唯一性定理
§2. 磁标势
一.引入磁标势的两个困难
显然只能在
区域引入,且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。
沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一曲面的磁通量,而每点A无直接物理意义。
H=J
1.磁场为有旋场,不能在全空间引入标势。 静电势与磁标势的差别:
1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁
沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一曲面的磁通量,而每点A无直接物理意义。
种情况静电场和磁场可以分离,不发生直接联系。
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时, 在这个参照系中观测,只有静电场。
2.矢势的引入及意义
静电场 E0
稳恒电流磁场 HJ
B0 A B A
物理意义:
dS
B
(a)B与 A的关系
高二物理竞赛磁场的能量磁场能量密度PPT(课件)

两边同时对时间进行积分
电源克服自感电动势所做的功
同时为维持I10不变,I10要克服
作功
按照磁场的近距作用观点,磁能也是定域在磁场中的。
dW 1 m 2)维持线圈“1”中电流不变,让线圈“2”中电
在已知自感系数的情况下,应用第一种公式计算较为简单。
w B H m 显然:互感电路中的磁能是克服自感电动势及互感电动势作功的过程中建立的。
S I
磁场能量只能反映空间体积 V 内的总能量,不能反
映磁场的能量分布情况。须引入描写磁场分布的物理
量----能量密度。
能量密度wm(单位体积内的磁场能量):
wm
Wm V体
B2 2
1 H 2 1 BH
2
2
wm
Wm V体
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度 第十二章电磁感应 电磁场
wm2B2 12H2
说明:载流线圈的磁场能量可以用公式
, 也可以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。
2)维持线圈“1”中电流不变,让线圈“2”中电
能量密度wm(单位体积内载流长直螺线管为例:
1)线圈“2”开路,让线圈“1”中电流由0
i 2)维持线圈“1”中电流不变,让线圈“2”中电
12 – 5 磁场的能量 磁场能量密度 第十二章电磁感应 电磁场
三、互感磁能
初始状态:
L1 M L2
I1 0 I2 0
电源克服自感电动势所做的功
显然:互感电路中的磁能是克服自感电动势及互感电动势作功的过程中建立的。
1)线圈“2”开路,让线圈“1”中电流由0
稳定状态: 显然:互感电路中的磁能是克服自感电动势及互感电动势作功的过程中建立的。
若电流衰减过程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
在物理上有时这样来看,将线圈1看成是外磁场,则
∫∫ 上式可进一步写成: W12 = I 2
r B1
(rr2
)
⋅
r dS
S2
其中 rr2是线圈2的面元 dSr对线圈1的位置矢量,S2 是线
圈流线2所圈张2在的外曲磁面场。这Br1中样所,具我有们的可磁将能该。系统的互能看成是载
后面还会将这一结果进一步推广。
§1. 磁场的能量和能量密度
在第三章中,我们介绍了电容器充电后能储存一定的
电能,即当电容器两极板之间的电压为u时,电容器所储
存的静电能为
We
=
1 2
Cu 2
现在我们已经讨论了自感和互感,自然会提出一个 问题:在电感元件中是否也有能量储存?如果有的话,以 什么形式储存?
下面就来讨论这个问题。
一.一个线圈的静磁能 (也称作自感磁能)
系满足右手定则。
讨论
r
在电介质中,我们得到电偶极子P
量表达式为
rr We = −P ⋅ E
=
1 2
r B1
⋅
r H1
=
1 2
B1H1
=
μ0I 2r2 8π 2a 4
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Wm1
=
a 0
2π l
ω m1rdϕdrdz
00
=
l 0
μ0I 2 8π 2a4
a
dz
0
2π
r 3dr dϕ
0
=
μ0I 2l 16π
注意
a. 在上面的积分中,根据对称性选取了柱坐标系。
b. 如果电流只分布在导线表面上,则此时 ∑ I = 0,
(( )) ( ) ∑I
=
I
−
Iπ π
r2 −b2 c2 −b2
= I c2 −r2 c2 −b2
( ) H3 = 2π
I c2 − b2
⎛ ⎜ ⎝
c2 r
−
r
⎞ ⎟ ⎠
( ) B3 = μ0H3 = 2π
μ0 I
c2 − b2
⎛ ⎜ ⎝
c2 r
−
r
⎞ ⎟ ⎠
( ) ωm3
=
8π 2
μ0I 2
c2 − b2
+
1 2
L2
I
2 2
+
M12 I1I2
=
1 2
L1I12
+
1 2
L2
I
2 2
+
1 2
M12 I1I2
+
1 2
M 21I1I2
写成对称形式
注意:其中自感磁能恒大于零,而互感磁能可正
可负。
三.N个载流线圈系统的静磁能
推广到N个载流线圈组成的系统,为了简化讨论,
(1) 假定所给的线圈的电阻很小可以忽略,即焦耳热
0
0 dt
0
0
0
2
0
其中
T
∫ εidt
0
表示 0 → T中,电源所作的功;
1 Li2表示电源在0 → T中提供的转变为磁场的能量。 2
T
∫ i2Rdt
0
表示0 → T中,电流在电阻上作的功;
由此可见,电源所供给的能量,一部分转化为焦耳--楞茨热,另一部分用于反抗自感电动势所作的功,这将 是另一种形式的能量改变的量度。
0
0
注意积分上下限的变换以及M12 = M 21
和自感一样,两个线圈中电源抵抗互感电动势所作 的这部分额外功,也以磁能的形式储存起来,一旦电流中 止,这部分磁能便通过互感电动势作功全部释放出来。
定义:互感磁能
W12 = M12I1I2 = Φ12I2
其中Φ12是载流线圈1产生的磁场通过线圈2的磁通量。
2
⎜⎜⎝⎛
c r
4 2
− 2c2
+ r 2 ⎟⎟⎠⎞
∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) Wm3
=
c 2π l
ωm3rdϕdrdz =
b 00
4π
μ0I 2l
c2 − b
−
1 4
c2
− b2
3c 2
− b2
⎤ ⎥⎦
(4)区
μ0 r ≥ c
穿过半径为r的环路的总电流为∑ I = I − I = 0
We
=
1 Cu 2 2
=
1 Qu 2
在形式上极为相似。
二. 两个线圈的总静磁能(自感磁能+互感磁能)
1. 互感磁能
若有两个相邻的线圈1和线圈2,在其中分别有电流
I1和I2,在建立电流的过程中,抵抗互感电动势所作的功
为:
T
T
∫ ∫ A = A1 + A2 = − ε2I2dt − ε1I1dt
0
0
∫ ∫ =
(rr2
)
⋅
r dS
其可以看成载流线圈2在外磁场 BrS12(由线圈1提供的)中
所具有的静磁能。其实这也就是线圈1和线圈2的互感磁能
。 W12 = M12 I1I 2 = φ12 I 2
对于均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中的小
分载号流其中线W中提圈1m2r出,==,上I 2B简式rSr ⋅记中为(为的I载2 Sr流BBrr1)(线rr。2=)圈所m可r2以的看⋅,磁B成r 矩是,常mr矢的量方,I 向因与此可Im2r的从Sr关积
T 0
M 12
dI1 dt
I 2 dt
T
+
0
M 21
dI 2 dt
I1dt
Qε1
=
−M 21
dI 2 dt
,
ε2
=
−M12
dI1 dt
I1
I2
∫ ∫ A = M12I2dI1 + M 21I1dI2
0
0
I1 ,I2
I1 ,I2
∫ ∫ = M12 (I1dI2 + I2dI1) = M12 d (I1I2 ) = M12I1I2
dt
在电容器中, 功 A = ∫ εdq
dq = idt
0
电荷q的积分上下限为 0 → q, 电流的积分上下限为 0 → i
当 t = 0 → t = T 时,电源所作的功为:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A
=
T
ε
idt
=
T
L
di
idt
+
T
Riidt
=
i
Lidi
+
T
i 2 Rdt
=
1
Li 2
T
+
i 2 Rdt
Li 2
注意积分上下限的变换:t = 0,i = i; t = T ,i = 0
小结
从以上分析可以看出,在一个自感系数为L的线圈 中,建立强度为i的电流,线圈中储存的能量为:
Wm
=
A
=
1 2
Li 2
=
1 2
iΦ m
其中用了Φm = Li
当放电时,这部分能量又全部释放出来,称其为 自感磁能。该公式与电容器的电能公式
第八章 静磁能
这一章,我们主要研究电流分布和磁化介质中储存 的能量。
在第三章中,我们研究了在电荷分布和极化介质中储 存的静电能,其就储存在该带电系统所产生的静电场中。
在本章中,我们将证明,在电流分布和磁化介质中 储存的静磁能,就储存在该电流系统所产生的磁场中。
学习这一章可以与第三章进行类比,采取相似的方 法来讨论。
在LR电路中,开关K 一接通,电流i增加,这 时电源电动势克服自感电动势作功。这就是说,电源所 作的功,一部分在电阻上变成了焦耳热,而一部分克服自 感电动势作功。那么这一部分功跑到哪儿去了呢?另外, 当K断开时,电源已经不起作用,这时回路中的电流i下降 。在这一过程中,自感电动势作了正功,变成了电阻中的 焦耳热。这一部分能量又是从哪儿来的呢?
唯一的可能就是:在建立电流过程中,电源克服自感 电动势作功,这部分能量储存在自感线圈内。当断开电路 时,正是这部分能量变成了回路中电阻的焦耳热。以上只 是定性的分析,下面来定量计算。
1. 先计算在建立电流i过程中电源所作的功
由 ε + ε L = iR 得
ε − L di = iR
dqt
ε = iR + L di
损耗的能量可以忽略;
(2) 各线圈电流由零逐渐增加到给定值Ii,将各线圈 Ii = 0 取为零能态;
(3) 在某瞬时,在第i个线圈中,感应电动势由下式确
定:
∑ ε i
=
−Li
dI i dt
−
N
M ij
j =1
dI j dt
j≠i
其中 Li 是第i个线圈的自感, M ij 是第i个线圈和第j个线
圈之间的互感,Ii和I j 分别是它们中的电流。仿照前面的
1. 无磁介质时
Q L0 = μ0n2V
Wm
=
1 2
L0 I
2
=
1 2
μ0n2VI 2
而B = μ0nI
∴Wm
=
1 2
μ
2 0
n
2
I
2
V
μ0
=
1
2μ0
B 2V
定义ω
为磁能密度,
m
即ω m
= Wm V
=
1
2μ0
B2
2. 有磁介质时
Q L = μr L0 = μr μ0n2V
而H = B = nI
μr μ0
得到前面我们已经得到的两个线圈的总静磁能的表达式。
四. 磁场的能量和能量密度