2015年天津市高考数学试卷(文科)

2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A ∩∁U B=（ ）A ．{3}B ．{2，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x −2≤0x −2y ≤0x +2y −8≤0则目标函数z=3x +y 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．143．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（5分）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x ﹣2|＜1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切，则双曲线的方程为（ ）A ．x 29﹣y 213=1 B ．x 213﹣y 29=1 C ．x 23﹣y 2=1 D ．x 2﹣y 23=16．（5分）如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．52 7．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）=2|x ﹣m |﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f （log 0.53），b=f （log 25），c=f （2m ），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a8．（5分）已知函数f （x ）={2−|x|，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=3﹣f （2﹣x ），则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i 是虚数单位，计算1−2i 2+i 的结果为 ．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．11．（5分）已知函数f （x ）=a x lnx ，x ∈（0，+∞），其中a 为实数，f′（x ）为f （x ）的导函数，若f′（1）=3，则a 的值为 ．12．（5分）已知a ＞0，b ＞0，ab=8，则当a 的值为 时，log 2a•log 2（2b ）取得最大值．13．（5分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →=23BC →，DF →=16DC →，则AE →•AF →的值为 ． 14．（5分）已知函数f （x ）=sinωx +cosωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f （x ）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．16．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√15，b ﹣c=2，cosA=﹣14． （Ⅰ）求a 和sinC 的值；（Ⅱ）求cos （2A +π6）的值．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为√55． （Ⅰ）求直线BF 的斜率．（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |=λ|MQ |．（i ）求λ的值．（ii ）若|PM |sin ∠BQP=7√59，求椭圆的方程．20．（14分）已知函数f （x ）=4x ﹣x 4，x ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）；（Ⅲ）若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2﹣x 1≤﹣a 3+413．2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A ∩∁U B=（ ）A ．{3}B ．{2，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A ∩∁U B={2，5}．故选：B ．2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x −2≤0x −2y ≤0x +2y −8≤0则目标函数z=3x +y 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．14【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x +y 得y=﹣3x +z ，平移直线y=﹣3x +z ，由图象可知当直线y=﹣3x +z 经过点A 时，直线y=﹣3x +z 的截距最大，此时z 最大．由{x −2=0x +2y −8=0，解得{x =2y =3，即A （2，3），代入目标函数z=3x +y 得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x +y 的最大值为9．故选：C ．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵|x ﹣2|＜1，∴1＜x ＜3，∵“1＜x ＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x ＜2”是“|x ﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A5．（5分）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切，则双曲线的方程为（ ）A ．x 29﹣y 213=1B ．x 213﹣y 29=1C ．x 23﹣y 2=1 D ．x 2﹣y 23=1 【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切， √b 2+a 2=√3，∴b=√3a ，∵焦点为F （2，0），∴a 2+b 2=4，∴a=1，b=√3，∴双曲线的方程为x 2﹣y 23=1．故选：D ．6．（5分）如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．52【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB ， ∴2×4=AM•2AM ，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB ，∴3×NE=4×2，∴NE=83． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）=2|x ﹣m |﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f （log 0.53），b=f （log 25），c=f （2m ），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a【解答】解：∵定义在R 上的函数f （x ）=2|x ﹣m |﹣1（m 为实数）为偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ），m=0，∵f （x ）=2|x |﹣1={2x −1，x ≥02−x −1，x ＜0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∵a=f （log 0.53）=f （log 23），b=f （log 25），c=f （2m ）=f （0）=0，0＜log 23＜log 25，∴c ＜a ＜b ，故选：B8．（5分）已知函数f （x ）={2−|x|，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=3﹣f （2﹣x ），则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】解：∵g （x ）=3﹣f （2﹣x ），∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣3+f （2﹣x ），由f （x ）﹣3+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=3，设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x +x 2，若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）={x2+x+2，x≤02，0＜x≤2x2−5x+8，x＞2，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算1−2i2+i的结果为﹣i．【解答】解：i是虚数单位，1−2i 2+i =(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−2−4i−i5=﹣i．故答案为：﹣i．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为8π3m3．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为V 几何体=2×13π•12×1+π•12•2=83π． 故答案为：83π．11．（5分）已知函数f （x ）=a x lnx ，x ∈（0，+∞），其中a 为实数，f′（x ）为f （x ）的导函数，若f′（1）=3，则a 的值为 3 ． 【解答】解：因为f （x ）=a x lnx ，所以f′（x ）=f （x ）=lna•a x lnx +1xa x ，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．12．（5分）已知a ＞0，b ＞0，ab=8，则当a 的值为 4 时，log 2a•log 2（2b ）取得最大值． 【解答】解：由题意可得当log 2a•log 2（2b ）最大时，log 2a 和log 2（2b ）都是正数， 故有a ＞1．再利用基本不等式可得log 2a•log 2（2b ）≤[log 2a+log 2(2b)2]2=[log 2(2ab)2]2=[log 2162]2=4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log 2a•log 2（2b ）取得最大值， 故答案为：4．13．（5分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC和DC 上，且BE →=23BC →，DF →=16DC →，则AE →•AF →的值为 2918．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG=12BC =12，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵BE →=23BC →，DF →=16DC →，∴AE →•AF →=（AB →+BE →）•（AD →+DF →）=（AB →+23BC →）•（AD →+16DC →）=AB →•AD →+16AB →•DC →+23BC →•AD →+23BC →•16DC →=2×1×cos60°+16×2×1×cos0°+23×1×1×cos60°+23×16×1×1×cos120°=1+13+13−118=2918，故答案为：291814．（5分）已知函数f （x ）=sinωx +cosωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f （x ）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为 √π2．【解答】解：∵f （x ）=sinωx +cosωx=√2sin （ωx +π4），∵函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣π2≤ωx +π4≤2kπ+π2，k ∈Z 可解得函数f （x ）的单调递增区间为：[2kπ−3π4ω，2kπ+π4ω]，k ∈Z ，∴可得：﹣ω≥2kπ−3π4ω①，ω≤2kπ+π4ω②，k ∈Z ，∴解得：0＜ω2≤3π4−2kπ且0＜ω2≤2k π+π4，k ∈Z ，解得：﹣18＜k ＜38，k ∈Z ，∴可解得：k=0，又∵由ωx +π4=kπ+π2，可解得函数f （x ）的对称轴为：x=kπ+π4ω，k ∈Z ，∴由函数y=f （x ）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=π4，可解得：ω=√π2． 故答案为：√π2．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为627+9+18=19，27×19=3，9×19=1，18×19=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2； （Ⅱ）（i ）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为： （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，A 5），（A 1，A 6）， （A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，A 5），（A 2，A 6），（A 3，A 4）， （A 3，A 5），（A 3，A 6），（A 4，A 5），（A 4，A 6）），（A 5，A 6）， 共15种；（ii ）设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”， 则事件A 包含：（A 1，A 5），（A 1，A 6），（A 2，A 5），（A 2，A 6），（A 3，A 5），（A 3，A 6），（A 4，A 5），（A 4，A 6）），（A 5，A 6）共9个基本事件， ∴事件A 发生的概率P=915=3516．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√15，b ﹣c=2，cosA=﹣14．（Ⅰ）求a 和sinC 的值；（Ⅱ）求cos （2A +π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC 中，由cosA=﹣14，可得sinA=√154，△ABC 的面积为3√15，可得：12bcsinA =3√15， 可得bc=24，又b ﹣c=2，解得b=6，c=4，由a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得a=8，a sinA =csinC ，解得sinC=√158；（Ⅱ）cos（2A+π6）=cos2Acosπ6﹣sin2Asinπ6=√32(2cos2A−1)−12×2sinAcosA=√15−7√316．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于12B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB ⊥BB 1，∴A 1M ⊥BB 1，在RT △A 1MB 1中，A 1B 1=√B 1M 2+A 1M 2=4，在RT △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N=A 1N A 1B 1=12，∴∠A 1B 1N=30°，即直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小为30°18．（13分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意，q ＞0， 由已知有{2q 2−3d =2q 4−3d =10，消去d 整理得：q 4﹣2q 2﹣8=0．∵q ＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣1，n ∈N *． （Ⅱ）由（Ⅰ）有c n =(2n −1)⋅2n−1， 设{c n }的前n 项和为S n ，则S n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1， 2S n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，两式作差得：−S n =1+22+23+⋯+2n −(2n −1)×2n =2n +1﹣3﹣（2n ﹣1）×2n =﹣（2n ﹣3）×2n ﹣3．∴S n =(2n −3)⋅2n +3，n ∈N ∗．19．（14分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为√55．（Ⅰ）求直线BF 的斜率．（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ），直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |=λ|MQ |． （i ）求λ的值．（ii ）若|PM |sin ∠BQP=7√59，求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F （﹣c ，0）， ∵离心率e=√55，a 2=b 2+c 2，∴a=√5c ，b=2c ，又∵B （0，b ），∴直线BF 的斜率k=b−00−(−c)=2cc=2；（Ⅱ）设点P （x P ，y P ），Q （x Q ，y Q ），M （x M ，y M ）． （i ）由（I ）知a=√5c ，b=2c ，k BF =2， ∴椭圆方程为x 25c 2+y 24c 2=1，直线BF 方程为y=2x +2c ，联立直线BF 与椭圆方程，消去y并整理得：3x 2+5cx=0，解得x P =﹣5c 3，∵BQ ⊥BP ，∴直线BQ 的方程为：y=﹣12x +2c ，联立直线BQ 与椭圆方程，消去y 并整理得：21x 2﹣40cx=0，解得x Q =40c 21，又∵λ=|PM||MQ|，及x M =0，∴λ=|x M −x P ||x Q −x M |=|x P ||x Q |=78； （ii ）∵|PM||MQ|=78，∴|PM||PM|+|MQ|=77+8=715，即|PQ |=157|PM |， 又∵|PM |sin ∠BQP=7√59，∴|BP |=|PQ |sin ∠BQP=157|PM |sin ∠BQP=5√53，又∵y P =2x P +2c=﹣43c ，∴|BP |=√(0+5c 3)2+(2c +4c 3)2=5√53c ， 因此5√53=5√53c ，即c=1，∴椭圆的方程为：x 25+y 24=1．20．（14分）已知函数f （x ）=4x ﹣x 4，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）；（Ⅲ）若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2﹣x 1≤﹣a3+413．【解答】（Ⅰ）解：由f （x ）=4x ﹣x 4，可得f′（x ）=4﹣4x 3．当f′（x ）＞0，即x ＜1时，函数f （x ）单调递增； 当f′（x ）＜0，即x ＞1时，函数f （x ）单调递减．∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）． （Ⅱ）证明：设点p 的坐标为（x 0，0），则x 0=413，f′（x 0）=﹣12，曲线y=f （x ）在点P 处的切线方程为y=f′（x 0）（x ﹣x 0），即g （x ）=f′（x 0）（x ﹣x 0）， 令函数F （x ）=f （x ）﹣g （x ），即F （x ）=f （x ）﹣f′（x 0）（x ﹣x 0）， 则F′（x ）=f′（x ）﹣f′（x 0）．∵F′（x 0）=0，∴当x ∈（﹣∞，x 0）时，F′（x ）＞0；当x ∈（x 0，+∞）时，F′（x ）＜0， ∴F （x ）在（﹣∞，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x ，F （x ）≤F （x 0）=0，即对任意实数x ，都有f （x ）≤g （x ）； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，g(x)=−12(x−413)，设方程g （x ）=a 的根为x 2′，可得x 2′=−a12+413．∵g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g （x 2）≥f （x 2）=a=g （x 2′）， 因此x 2≤x 2′．类似地，设曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为y=h （x ），可得h （x ）=4x ， 对于任意的x ∈（﹣∞，+∞），有f （x ）﹣h （x ）=﹣x 4≤0，即f （x ）≤h （x ）．设方程h （x ）=a 的根为x 1′，可得x 1′=a4，∵h （x ）=4x 在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h （x 1′）=a=f （x 1）≤h （x 1）， 因此x 1′≤x 1，由此可得x 2−x 1≤x 2′−x 1′=−a3+413．。