2017-2018学年四川省资阳市高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
2017-2018学年四川省资阳市高二下学期期末考试
数学（文）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是虚数单位，若复数满足：，则复数
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，选D
2. 抛物线的焦点坐标为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，抛物线的焦点坐标为，选C.
3. 以平面直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，则直角坐标为的点的极坐标为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 , ,角的终边在第二象限，取
，选B.
4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则离心率
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据渐近线方程可知，，，选A.
5. 设是函数的导函数，的图象如右图所示，则
的图象最有可能的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从的图象可以看出当，，在上为增函数；当
时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，故选C.
6. 某公司奖励甲，乙，丙三个团队去三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，征求三个团队意见得到：甲团队不去；乙团队不去；丙团队只去或．公司按征求意见安排，则下列说法一定正确的是
A. 丙团队一定去景点
B. 乙团队一定去景点
C. 甲团队一定去景点
D. 乙团队一定去景点
【答案】C
【解析】甲队不去A，则甲可能去B或C；乙队不去B，则乙队可能A或C；丙队去A或C；
若丙队去C，则甲队去B，乙队去A；符合要求；
若丙队去A，甲队去B，乙队去C；
因此甲队一定去B景点，选C.
7. 曲线的参数方程为(是参数)，则曲线的形状是
A. 线段
B. 直线
C. 射线
D. 圆
【答案】A
...... .........
8. 根据如下样本数据：
2.0
得到的回归方程为．若，则估计的变化时，若每增加1个单位，则
就
A. 增加个单位
B. 减少个单位
C. 减少个单位
D. 减少个单位
【答案】B
【解析】，，由于回归直线过样本中心点，则，，，若每增加1个单位，则就减少个单位，选B .
9. 若的定义域为，恒成立，，则解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，，由已知知：，在
R上为增函数，，则解集为，选D.
10. 已知过点的动直线交抛物线于两点，则的值为
A. 2
B. 0
C. 4
D. －2
【答案】B
【解析】设，直线方程为，联立方程组：
代入得：，则，，
，选B.
11. 已知抛物线焦点为，点为其准线与轴的交点，过点的直线与抛物线
相交于两点，则△DAB的面积的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线焦点为,,过点的直线: ,设，
代入整理得：，，
则△DAB的面积的取值范围为.选C.
12. 若对，不等式恒成立，则实数的最大值是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对，不等式恒成立，可采用数形结合思想去处理，，只需考虑函数在轴右侧的图象，的图象为直线，的图像是把的图象向下平移1个单
位，不等式恒成立只需的图象在的图像下方，临界位置是直线与曲线在处相切的位置，，斜率，则，所以，则的最大值为.选A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】 , ,切线方程为 ,即.
14. 直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是__________．
【答案】相离
【解析】把直线化为，把圆化为，圆心到直线的距离为，
，直线与圆相离.
15. 已知函数的导函数为，且，则__________．
【答案】
【解析】 ,则，所以 .
16. 直线分别是函数图象上点处的切
线，垂直相交于点，且分别与轴相交于点，则△PAB 的面积为_______．
【答案】
【解析】由于，则，设，设，可得图象上点处的切线斜率为，由，可得
，由余弦函数的值域可知，即有，则
，，即；联立得，又，可得得面积为.
三、解答题：本大题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是，直线的参数方程是
（为参数）．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：把参数方程化为普通方程只需削去参数，把极坐标方程化为直角坐标方程需要利用公式；求圆上一点到直线的距离的最大值可借助圆的参数方程巧设点，借助三角函数求最值，也可求圆心到直线的距离减去半径.
试题解析：（1）直线消得：，直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程化为，
化直角坐标方程为，即.
（2）在曲线上任取一点，可设其坐标为，
到直线的距离
，
当且仅当时等号成立，
曲线上的点到直线的距离最大值为.
【点睛】把参数方程化为普通方程只需消去参数，可以使用加减消元法或代
入消元法等，把极坐标方程化为直角坐标方程需要利用及
；求圆上一点到直线的距离的最大值可借助圆的参数方程巧设点，
借助三角函数求最值，建议求圆心到直线的距离减去半径，运算更简单一些.
18. 分别根据下列条件，求对应双曲线的标准方程．
（1）右焦点为，离心率；
（2）实轴长为4的等轴双曲线．
【答案】（1）；（2）当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为：，当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为：
【解析】试题分析：待定系数法求双曲线方程就是根据题目提供的有关的关系列方程解方程组求出的值，当双曲线的焦点位置不明确时，要针对焦点在轴和焦点在轴两种情况进行讨论，分别给出解答.
试题解析：（1）因为右焦点为，所以双曲线焦点在轴上，且，
又离心率，所以，，
所以所求双曲线的标准方程为： .
（2）因为实轴长为4，所以，即，
所以由等轴双曲线得，
当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为：，
当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为：
19. 已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求值和函数的单调区间；
（2）当时，求在区间上的最值．
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】试题分析：根据是函数的一个极值点，则解得，代入原函数利用导数求
出函数的单调区间；把代入函数解析式后，对函数求导，当利用导数研究函数的单调性与极值，求出和，比较后得出最大值.
试题解析：函数的定义域为．
（1）由题有，
所以由是函数的一个极值点得，解得，
此时．
所以，当时，；当时，，
即函数在单调递增；在单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为，所以，．
所以，当或时，；当时，．
所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为，
又，所以在递减，在递增，
所以的最小值，
又，及
，
所以的最大值为.
20. 为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：
（1）根据题意完成表格；
（2）是否有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关？
参考公式及数据：，其中.
【答案】（1）填表如下图；（2）没有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关.
试题解析：
（1）补全联立表得（每空一分）：
（2）因为的观测值，
∴没有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关.
21. 已知函数．
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）求证：．
【答案】（1）;（2）证明过程见解析
【解析】试题分析：函数在区间上递增，只需在上恒成立，只要在上恒成立，即；借助时，成
立，令，证明原不等式成立.
试题解析：函数的定义域为
由题有在区间上恒成立，
所以，又在区间上递减，所以，
即实数的取值范围为．
（2）取，由(1)有在区间上递增，
所以，当时，即，
因为，所以，即，
22. 已知抛物线焦点为，点为该抛物线上不同的三点，且满足.
（1）求；
（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围.
【答案】（1）6; （2）
【解析】试题分析：先设出三点坐标，利用，得出三点坐标关系，再根据焦半径公式写出，代入求值；设所在直线方程与抛物线方
程联立方程组，代入后利用根与系数关系求出及，利用已知求出满
足抛物线方程，借助判别式求出的范围 .
试题解析：设
由抛物线得焦点坐标为，
所以，，,
所以由，得
（1）易得抛物线准线为，
由抛物线定义可知，，，
所以.
（2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，
联立消去得：，
所以即
且，所以，
代入式子得又点也在抛物线上，
所以，即．...................②
由①，②及可解得即
又当时，直线过点，此时三点共线，由得与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，
不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，
所以实数的取值范围为.。
2017-2018年四川省资阳中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝（）A．2B．4C．8D．62．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）已知抛物线方程y2＝﹣4x，则它的准线方程是（）A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．y＝1D．x＝14．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（）′＝B．（x•lnx）′＝1+C．（x2sin x）′＝2x cos x D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x5．（5分）已知函数f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣1B．C．﹣2e+1D．﹣2e6．（5分）已知F是抛物线y2＝8x的焦点，直线y＝4与抛物线相交于点A，则|AF|＝（）A．4B．6C．8D．107．（5分）已知直线l与双曲线﹣＝1交于A、B两点，且弦AB的中点为M（3，），则直线l的方程为（）A．2x﹣3y﹣6＝0B．3x﹣2y﹣6＝0C．6x﹣4y﹣6＝0D．4x﹣6y﹣3＝0 8．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．29．（5分）若函数g（x）＝﹣x3﹣3x2+4在区间[a，0]上的最大值大于4则a的取值范围是（）A．{﹣3，0}B．[﹣3，0]C．（+∞，﹣3]D．（﹣∞，﹣3）10．（5分）若函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣1，对∀x∈R，f’（x）＜3，则f（x）＞3x﹣4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）11．（5分）如图，已知曲线C：y＝f（x）与直线l相切与点A，设g（x）＝xf（x）．则曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为（）A．x﹣2y+2＝0B．3x﹣y﹣4＝0C．3x﹣y﹣2＝0D．x﹣3y﹣2＝0 12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）求曲线f（x）＝lnx在点M（e，f（e））处的切线方程．14．（5分）若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）≥0的解集为．16．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是抛物线C上一点，A（5，4）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为三、解答题（共70分）17．（10分）已知椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设B是椭圆C上不同于A的点，弦AB的中点为M（m，n），求m，n的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣mx2+nx，在x＝﹣2处取得极大值，（1）求实数m，n的值；（2）设x∈[﹣2，+∞），求函数f（x）的值域．19．（12分）设椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知过点F且垂直于x轴的弦（通经）长等于1，椭圆的离心率为．（1）求椭圆M的方程；（2）已知斜率k＝1的直线BC与椭圆M的另一个交点为C，求三角形△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（e是自然对数的底数．（1）若a＝e，记f（x）的导函数为g（x），求g（x）的极值点和极值．（2）若函数y＝f（x）在[，2]上单调递增，求正数a的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣x+2．（1）讨论f（x）的单调性及零点个数．（2）证明，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＜xlnx；22．（12分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1．设直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．（1）求p的值；（2）求证：点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值．（3）求M的横坐标的取值范围．2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝（）A．2B．4C．8D．6【解答】解：由椭圆+＝1，可得a＝3，F1、F2分别是两个焦点，∵点P在椭圆上，根据定义得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∵|PF1|＝2，∴|PF2|＝4．故选：B．2．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．（5分）已知抛物线方程y2＝﹣4x，则它的准线方程是（）A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．y＝1D．x＝1【解答】解：抛物线y2＝﹣4x开口向左，对称轴为x轴，准线垂直于x轴，∵p＝2，∴，则抛物线y2＝﹣4x的准线方程为x＝1，故选：D．4．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（）′＝B．（x•lnx）′＝1+C．（x2sin x）′＝2x cos x D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x【解答】解：A.，∴该选项错误；B．（x•lnx）′＝lnx+1，∴该选项错误；C．（x2sin x）′＝2x sin x+x2cos x，∴该选项错误；D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x，∴该选项正确．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣1B．C．﹣2e+1D．﹣2e【解答】解：；∴f′（1）＝2f′（1）+1；∴f′（1）＝﹣1；∴f（x）＝﹣2x+lnx；∴f（e）＝﹣2e+1．故选：C．6．（5分）已知F是抛物线y2＝8x的焦点，直线y＝4与抛物线相交于点A，则|AF|＝（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：由抛物线y2＝8x得，2p＝8，，联立，得x＝2，y＝4．∴点A的坐标为（2，4），则|AF|＝，故选：A．7．（5分）已知直线l与双曲线﹣＝1交于A、B两点，且弦AB的中点为M（3，），则直线l的方程为（）A．2x﹣3y﹣6＝0B．3x﹣2y﹣6＝0C．6x﹣4y﹣6＝0D．4x﹣6y﹣3＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝3，﹣＝1，﹣＝1，两式相减，得﹣＝0，即有（x1﹣x2）＝y1﹣y2，可得直线l的斜率为k＝＝，即有直线l的方程为y﹣＝（x﹣3），化简得3x﹣2y﹣6＝0．故选：B．8．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得F（，0），准线为x＝﹣，设双曲线的一条渐近线为y＝x，则点A（，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即＝+，∴＝1，e＝＝，故选：A．9．（5分）若函数g（x）＝﹣x3﹣3x2+4在区间[a，0]上的最大值大于4则a的取值范围是（）A．{﹣3，0}B．[﹣3，0]C．（+∞，﹣3]D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：∵g（x）＝﹣x3﹣3x2+4，g′（x）＝﹣3x（x+2），由g′（x）＞0，得﹣2＜x＜0，由g′（x）＜0，得x＜﹣2或x＞0，∴g（x）在（﹣∞，﹣2）、（0，+∞）递减，在（﹣2，0）递增，∴当x＝0时，g（x）极大值＝g（0）＝4，令g（x）＝﹣x3﹣3x2+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，故g（﹣3）＝g（0）＝4，∴要函数g（x）在区间[a，0]上的最大值大于4，则a＜﹣3．故选：D．10．（5分）若函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣1，对∀x∈R，f’（x）＜3，则f（x）＞3x﹣4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x+4，则F’（x）＝f’（x）﹣3＜0，故F（x）为减函数，又F（1）＝f（1）﹣3+4＝0，∴当﹣∞＜x＜1时，F（x）＞0，即f（x）﹣3x+4＞0，f（x）＞3x﹣4，故选：C．11．（5分）如图，已知曲线C：y＝f（x）与直线l相切与点A，设g（x）＝xf（x）．则曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为（）A．x﹣2y+2＝0B．3x﹣y﹣4＝0C．3x﹣y﹣2＝0D．x﹣3y﹣2＝0【解答】解：由图可知点A（2，2）同时在曲线C和切线l上，∴f（2）＝2，又切线过点（0，1），∴切线线斜率k＝，所以f’（2）＝；又g（2）＝2f（2）＝4，于是曲线y＝g（x）的切线切点为（2，4）；由g’（x）＝f（x）+xf’（x），∴曲线y＝g（x）的切线斜率为k0＝g’（2）＝f（2）+2f’（2）＝3，∴切线方程为y﹣4＝3（x﹣2），即3x﹣y﹣2＝0，故选：C．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为＝，化简可得＝，即为a＝3c，可得e＝＝．另解：由△AMF∽△AEO，可得＝，由△BOH∽△BFM，可得＝＝，即有＝即a＝3c，可得e＝＝．故选：A．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）求曲线f（x）＝lnx在点M（e，f（e））处的切线方程y＝．【解答】解：求导数可得f′（x）＝，∴f′（e）＝∵f（e）＝1，即切点为（e，1）∴曲线f（x）＝1nx在点M（e，f（e））处的切线方程为y﹣1＝（x﹣e），即y＝．故答案为：y＝．14．（5分）若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【解答】解：∵g′（x）＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），由g′（x）＞0，得x＜﹣1，或x＞1；由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增；在（﹣1，1）递减，若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，则m∈（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．15．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）≥0的解集为[0，]∪[2，+∞）．【解答】解：由f（x）图象特征可得，f′（x）在（﹣∞，]∪[2，+∞）上大于0，在（，2）上小于0，∴xf′（x）≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，∴xf′（x）≥0的解集为[0，]∪[2，+∞）．故答案为：16．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是抛物线C上一点，A（5，4）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为6【解答】解：由已知y2＝8x，得抛物线焦点F（2，0），准线x＝﹣2，由A（5，4），求得|AF|＝5．过点P作准线x＝﹣2的垂线，垂足为M，过点A作准线x＝﹣2的垂线，垂足为N，|AN|＝5，由抛物线线的定义得|PF|＝|PM|．∴△APF的周长：|P A|+|PF|+|AF|＝|P A|+|PM|+5≥|AM|+5≥|AN|+5＝7+5＝12最小，当P为为直线AN与抛物线C的交点时“＝”成立，此时△APF的周长最小．即，得P（2，4）．∴当△APF的周长最小时，该三角形的面积S＝．故答案为：6．三、解答题（共70分）17．（10分）已知椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设B是椭圆C上不同于A的点，弦AB的中点为M（m，n），求m，n的取值范围．【解答】解：（1）：∵椭圆C：椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，∴a＝2，b＝，则c＝＝＝1，e＝＝，∴椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝，（2）：由（1）知，椭圆C：+＝1，点A（2，0），设点B（x0，y0），∵M（m，n）为线段AB的中点，∴m＝，n＝＝，∵B是椭圆C上不同于A的点，∴﹣2≤x0＜2，﹣≤y0≤，∴0≤＜2，﹣≤≤，∴0≤m＜2，﹣≤n≤，∴m的取值范围是[0，2），n的取值范围是[﹣，]18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣mx2+nx，在x＝﹣2处取得极大值，（1）求实数m，n的值；（2）设x∈[﹣2，+∞），求函数f（x）的值域．【解答】解（1）：f（x）＝x3﹣mx2+nx，f'（x）＝x2﹣2mx+n，所以依题意得，解得：…（（5分）（2）由（1）知f（x）＝x3﹣4x，f'（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），由f′（x）＝0，得x＝﹣2，x＝2…（（7分）由f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，由f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，又∵x∈[﹣2，+∞），∴f（x）在[﹣2，2]在递减，f（x）在[2，+∞）在递增，∴f（x）min＝f（2）＝﹣，…（（11分）∴x∈[﹣2，+∞）时，函数f（x）的值域为[﹣，+∞）…（（12分）19．（12分）设椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知过点F且垂直于x轴的弦（通经）长等于1，椭圆的离心率为．（1）求椭圆M的方程；（2）已知斜率k＝1的直线BC与椭圆M的另一个交点为C，求三角形△ABC的面积．【解答】解：（1）：由+＝1，令x＝c，得+＝1，∴y＝±，其中c2＝a2﹣b2．由题意，2|y|＝1，则＝1，…①，又∵e2＝＝…②，①②联立解得a＝2＝2，b＝1，∴椭圆M的方程为：+y2＝1，（2）：由已知A（2，0），B（0，1），直线BC的斜率k＝1，所以直线BC为：y＝x+1，设B（x1，y1）、C（x2，y2），由，得5x2+8x＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝0，∴|BC|＝•＝•＝又点A（2，0）到直线BC的距离d＝，∴三角形△ABC的面积为|BC|d＝××＝．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（e是自然对数的底数．（1）若a＝e，记f（x）的导函数为g（x），求g（x）的极值点和极值．（2）若函数y＝f（x）在[，2]上单调递增，求正数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝e，∴f（x）＝e x﹣ex2，f′（x）＝e x ex，∴g（x）＝e x﹣ex…（（1分）∴g′（x）＝e x﹣e，令g′（x）＝0，得x＝1，于是x∈（﹣∞，1），g′（x）＜0，g（x）递减；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）递增；…（（3分）∴g（x）的极小值点是x＝1，极小值是g（1）＝0，∴g（x）无极大值…（（5分）（2）：f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）＝e x﹣ax，a＞0，∵f（x）在[，2]上单调递增，∴e x﹣ax≥0在x∈[，2]上恒成立，即a≤在x∈[，2]上恒成立，∴a≤（）min．…（（7分）令g（x）＝，x∈[，2]，g′（x）＝，当x∈[，1]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，…（（10分）∴g（x）在x＝1处取得最小值为g（1）＝e，∴正数a的取值范围是（0，e]…（（12分）21．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣x+2．（1）讨论f（x）的单调性及零点个数．（2）证明，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＜xlnx；【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣x+2的定义域为（0，+∞），其导函数，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x＝1时，f（x）取得极大值为f（1）＝1＞0，又f（）＝﹣＜0，f（e2）＝4﹣e2＜0，∴f（x）有两个零点；（2）证明：要证x﹣1＜xlnx，即证xlnx﹣x+1＞0，设g（x）＝xlnx﹣x+1，x∈（1，+∞），则g'（x）＝lnx，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0∴g'（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）单调递增，又g（1）＝0，∴g（x）＞0，即xlnx﹣x+1＞0，∴x﹣1＜xlnx．22．（12分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1．设直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．（1）求p的值；（2）求证：点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值．（3）求M的横坐标的取值范围．【解答】（1）解：由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x＝﹣1的距离，由抛物线定义得，＝1，即p＝2；（2）证明：由（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1，0），依题意，AF斜率存在，∴设直线AF：y＝k（x﹣1），k≠0，联立，得k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据根与系数的关系，得，又，且y1、y2异号，∴y1y2＝﹣4．∴点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值；（3）解：设A（t，2）由题意可得t＞0，且t≠1，否则点N不存在．由（2），可得B（），于是直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：，联立求解可得，N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，化简得，得m＜0或m＞2．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．。
2017-2018学年四川省资阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
12． （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且
＞2（其中 f'（x）为 f（x）的导函数） ．则不等式|x|•f（x）＞2|x|+1 的解集为（ A． （﹣2，0）∪（0，2） C． （﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（0，2） D． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13． （5 分）复数 的共轭复数 ＝ ． 且与极轴平行的直线的极坐标方程是
（1）判断能否有 90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关； （2）以该人调查数据频率为概率，在了解足球比赛规则“越位”的学生中按性别分层抽 样选取 6 个同学座谈，再在这 6 个同学中选 2 个同学总结发言，求发言两人性别相同的 概率． 附表及公式： P（K ≥k0） k0
2
0.15 2.072
＝1（a＞0，b＞0）的离心率 e＝2，则该双曲线的两渐近线为
A．y＝±3x
3． （5 分）函数 f（x）＝xlnx+2f'（1）x，则 f（1）＝（ A．﹣2 B． C．﹣1
4． （5 分）在 n 边形 A1A2…An 中各内角满足
+
+…+
≥
，按照此规律在△
ABC 中有 + + ≥a，则 a＝（ A． 5． （5 分）函数 A． （1，0） B．﹣
2 2
14． （5 分）在极坐标系中，过点
．
15． （5 分）经过点 M（6，3）作直线 l 交双曲线 x ﹣y ＝1 于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中 点，则直线 l 的方程为
x 2
2017-2018学年四川省资阳市高二下学期期末考试数学(文)试题
资阳市2017-2018学年度高中二年级第二学期期末质量检测文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知是虚数单位，若复数满足：，则复数A. B.C. D.【答案】D【解析】，选D2. 抛物线的焦点坐标为A. B.C. D.【答案】C【解析】，抛物线的焦点坐标为，选C.3. 以平面直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，则直角坐标为的点的极坐标为A. B.C. D.【答案】B【解析】,,角的终边在第二象限，取，选B.4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则离心率A. B.C. D.【答案】A【解析】根据渐近线方程可知，，，选A.5. 设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是A. B. C. D.【答案】C【解析】从的图象可以看出当，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，故选C.6. 某公司奖励甲，乙，丙三个团队去三个景点游玩，三个团队各去一个不同景点，征求三个团队意见得到：甲团队不去；乙团队不去；丙团队只去或．公司按征求意见安排，则下列说法一定正确的是A. 丙团队一定去景点B. 乙团队一定去景点C. 甲团队一定去景点D. 乙团队一定去景点【答案】C【解析】甲队不去A，则甲可能去B或C；乙队不去B，则乙队可能A或C；丙队去A或C；若丙队去C，则甲队去B，乙队去A；符合要求；若丙队去A，甲队去B，乙队去C；因此甲队一定去B景点，选C.7. 曲线的参数方程为(是参数)，则曲线的形状是A. 线段B. 直线C. 射线D. 圆【答案】A...............8. 根据如下样本数据：2.0得到的回归方程为．若，则估计的变化时，若每增加1个单位，则就A. 增加个单位B. 减少个单位C. 减少个单位D. 减少个单位【答案】B【解析】，，由于回归直线过样本中心点，则，，，若每增加1个单位，则就减少个单位，选B .9. 若的定义域为，恒成立，，则解集为A. B.C. D.【答案】D【解析】设，，由已知知：，在R上为增函数，，则解集为，选D.10. 已知过点的动直线交抛物线于两点，则的值为A. 2B. 0C. 4D. －2【答案】B【解析】设，直线方程为，联立方程组：代入得：，则，，，选B.11. 已知抛物线焦点为，点为其准线与轴的交点，过点的直线与抛物线相交于两点，则△DAB的面积的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】抛物线焦点为,,过点的直线: ,设，代入整理得：，，则△DAB的面积的取值范围为.选C.12. 若对，不等式恒成立，则实数的最大值是A. B.C. D.【答案】A【解析】对，不等式恒成立，可采用数形结合思想去处理，，只需考虑函数在轴右侧的图象，的图象为直线，的图像是把的图象向下平移1个单位，不等式恒成立只需的图象在的图像下方，临界位置是直线与曲线在处相切的位置，，斜率，则，所以，则的最大值为.选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省资阳市数学高二下学期文数期末考试试卷
四川省资阳市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠Φ，则实数a的集合为（）A . {a|a＜2}B . {a|a≥1}C . {a|a＞1}D . {a|1≤a≤2}2. （2分）已知条件p：，条件q：，则是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件3. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 命题p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则（）A . p是假命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1B . p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x＞1C . p是真命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1D . p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≥14. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 设复数满足，则（）A .B .C .D .5. （2分）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·铜仁期中) 函数f（x）=3 的值域为（）A . [0，+∞）B . （﹣∞，0]C . [1，+∞）D . （﹣∞，+∞）7. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣， ]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2 的解集为（）A . （，）B . （﹣，）C . （0，）D . （﹣，）8. （2分）双曲线的左焦点为，顶点为、P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段为直径的两圆的位置关系是（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离9. （2分） (2015高一下·河北开学考) 已知y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[1，2）时，f（x）=log2x，设a=f（），，c=f（1），则a，b，c的大小关系为（）A . a＜c＜bB . c＜a＜bC . b＜c＜aD . c＜b＜a10. （2分）已知奇函数如果f（x）=ax（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）=（）A .B .C . 2﹣xD . ﹣2x11. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A . （0,1）B . （0,－1）C . （0,）D . (0,－)12. （2分）已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是（）A . （1，10）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·常州期中) 已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是________．14. （1分）设函数，则f（f（1））=________15. （1分） (2018高二上·六安月考) 已知函数f(x)= ，若正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，则的最小值为 ________.16. （1分） (2016高一上·松原期中) 某同学在研究函数f（x）= ﹣1（x∈R）时，得出了下面4个结论：①等式f（﹣x）=f（x）在x∈R时恒成立；②函数f（x）在x∈R上的值域为（﹣1，1]；③曲线y=f（x）与g（x）=2x﹣2仅有一个公共点；④若f（x）= ﹣1在区间[a，b]（a，b为整数）上的值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5对．其中正确结论的序号有________（请将你认为正确的结论的序号都填上）．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一上·武邑月考) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．18. （10分） (2016高二上·郑州期中) “城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y （x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？19. （10分） (2019高二上·九台月考) 求满足下列条件的直线的一般式方程.（1）斜率为，在轴上的截距为 .（2）斜率是，且经过点 .20. （5分）求两条渐近线为x±2y=0且截直线x﹣y﹣3=0所得弦长为的双曲线方程．21. （10分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （15分） (2015高一下·西宁期中) 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图．（1）求an；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
四川省资阳市数学高二下学期文数期末考试试卷
四川省资阳市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题p：，则是（）A .B .C .D .2. （2分）已知f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=3，则a的值是（）A .B .C .D . 33. （2分）已知参数方程（a、b、l均不为零，0≤q≤2p），若分别取①t为参数，②l为参数，③q为参数，则下列结论中成立的是（）A . ①、②、③均直线B . 只有②是直线C . ①、②是直线，③是圆D . ②是直线，①、③是圆4. （2分）过双曲线的右焦点F作圆的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .5. （2分） (2019高二上·柳林期末) 如果命题”p或非q”与命题“非p“都是真命题，那么（）A . 命题p不一定是假命题B . 命题q一定是真命题C . 命题q不一定是假命题D . 命题p与命题q的真假性相同6. （2分）给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题P:“，使”；命题q:“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）A . 2B .C . 2或D . 3或8. （2分）下列运算正确的是（）A . （a2）3=a8B .C . 410÷86=4D .9. （2分）若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为（）A . (－∞，0)B . (－∞，－2)C . (－2，－1)D . (－2,0)10. （2分）在满足极坐标和直角坐标互化条件下，极坐标方程ρ2=经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（）A . 直线B . 椭圆C . 双曲线D . 圆11. （2分）(2017·长沙模拟) 已知函数与g（x）=|x|+log2（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=x4﹣4x3+10x2﹣27，则方程f（x）=0在[2，10]上的根（）A . 有3个B . 有2个C . 有且只有1个D . 不存在二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·鄂尔多斯月考) 抛物线的准线方程为 ________.14. （1分）将点P(2,3)变换为点（1,1)的一个伸缩变换公式为________。
四川省资阳市数学高二下学期文数期末联考试卷
四川省资阳市数学高二下学期文数期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·河南月考) 设集合U＝｛1，2，3，4｝，M＝{1，2，3}，N＝｛2，3，4｝，则＝（）A . {1，,2}B . {2，3}C . {2,4}D . {1，4}2. （2分）已知（i为虚数单位），则复数z= （）A . 1+iB . 1-iC . -1+iD . -1-i3. （2分） ""是""的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2016高一上·荔湾期中) 已知，则下列区间中，有实数解的是（）．A .B .C .D .5. （2分）(2019·北京) 若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（）A . -7B . 1C . 5D . 76. （2分）在中，若，则的面积为（）A .B .C . 2D .7. （2分）函数的图像（）A . 关于原点对称B . 关于点对称C . 关于y轴对称D . 关于直线对称8. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一上·邢台期末) 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A . 6B . 5C . 4D . 310. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·长安期末) 设函数 = ，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A . [- ，1）B . [- ，）C . [ ，）D . [ ，1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南充模拟) 某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为________．14. （1分）若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为________15. （1分） (2016高二下·长安期中) 在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C 所对的边长，则的取值范围是________．16. （1分） (2016高三上·韶关期中) 已知△ABC满足BC•AC=2 ，若C= ， = ，则AB=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2018·北京) 设是等差数列，且， +a3=5 .（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求 + +…+ .18. （10分） (2018高二下·晋江期末) 某市为迎接“国家义务教育均衡发展综合评估”，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分. 其中、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级，调查结果如右表所示. 例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B等级的共有20+21+2=43所学校. 已知两项指标均为B等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关;师资力量(优秀)师资力量（非优秀）基础设施建设（优秀）基础设施建设（非优秀）（2）在该样本的“学校的师资力量”为C等级的学校中，若，，记随机变量，求的分布列和数学期望.19. （15分） (2019高二上·诸暨月考) 如图：在四棱锥中，平面 .，， .点是与的交点，点在线段上且 .（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正切值.20. （5分）(2019·天津) 设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为 B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.21. （10分） (2019高三上·凉州期中) 已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围22. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E ， F两点，若，求直线EF的方程．23. （5分） (2016高三上·西安期中) 设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
四川高二下学期期末检测数学文试题
高二（下）期末数学试卷（文科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. (1 i)(2 i)0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15,则不用现金支付的概率为 A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.73. 已知复数z 满足（1+2i ） z=3+4i ,则| . |等于（ ）A . 2B. 5C.干 D . ... ■4. （2018衡水三调）来自英、法、日 德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人 都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日 语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙 交谈时，他能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是（ ）A .甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B .甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C .甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D .甲日法、乙英德、丙法德、丁法英5.已知函数f （x ） =x 3+x 2+e x ,则曲线y=f （x ）在点（0, f （0））处的切线方程是（ ）A . x+2y+仁0 B. x - 2y+1=0 C. x+y -仁0D . x - y+仁06 .从2 018名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 018名学生中剔除18名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入 选的概率A .3 iB .3 i C. 3 i D . 3 i2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为A .不全相等B .均不相等C .都相等，且为50 2 0187. 函数f （x ） =x ^ - 8lnx 的单调递减区间为（ ）A . [2, +x ）B. （-X, 2]C. （0, 2] D . （- 2, 2）X8. 如图所示，在扇形AOB 中，/ AOB 牙，圆C 内切于扇形 内投一点，则该点落在圆C 外的概率为（）0 7 S 1 0 7x92 2 19.如图是某位篮球运动员 8场比赛得分的茎叶图,其中一个数据染上污渍用 x 代替，那么这位运动（）员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）A •有90%以上的把握认为“该市居民能否做到’光盘’与性别有关”B •在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到’光盘’与性别无关”C •在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“该市居民能否做到’光盘’与性别有关”D •有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”11.我州某高中从高二年级甲、乙两个班种各选出 7名学生参加2017年全国高中数学联赛（四川初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生 成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a 、b 满足：a , G , b 成等1 4差数列且x , G, y 成等比数列，则一V 的最小值为（）N D4 9A .石 B. 2 C. 丁 D . 8 12.已知函数 f (x ) =axlnx^x 3则实数a 的取值范围是（）25 9 25 zz9A. [0, —]B.[ 2,—]C. (-x, 4] D. （-x，豆］二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20 分）13. ______________________________________ 曲线y 2lnx 在点（1,0）处的切线方程为 .A.5C .510.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表:则下面的正确结论是（ ）附表及公式:K 2=做不到“光盘”能做到“光盘”男 45 10 女3015P(K 2> k °)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828n ad — bea +bc +d a +e b + dax 2,当 x € 苗,5]时，恒有 f'( x ) ?x -f (x )> 0,n = a + b + c +d.14. 某企业三月中旬生产 A , B , C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果,业统计员制作了如下的统计表格：比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是 _____________ 件.15. （2018湖北八校联考）祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子•他提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异.”这里的“幕”指水平截面的面积，“势”指高•这句话的意思是：两 个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆a 2+b 2=1（a>b>0）所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体 （称为椭球体）如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 __________ .116.设函数f （x ）= In x -2ax 2— bx ,若x = 1是f （x ）的极大值点，贝V a 的取值范围为 _______三、解答题（共5小题，满分60分）17. （12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式•为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min ）绘制了如下茎叶图:第-种生产方式第二种生产方式8 r 6 5 5 6 »9 9 76 27 0 1 2 2 3 4 56 6 89X7765433 28 14 452 110 0 9 0（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由; （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:超过m”不超过m第种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否 有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?产品类别 A B C产品数量（件）1 300样本容量（件）130A 产品的样本容量附: K 22n(ad be)(a b)(e d)(a e)(b d)2P(Kkk) 0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828企18. (12分)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5), [37.5,42.5) , [42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为 5 组，其频率分布直方图如图所示.(1) 求图中a的值；(2) 估计这种植物果实重量的平均数x和方差s1 2 3( )；(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实•若所取样本容量n = 40,从该样本分布在［27.5,32.5)和［47.5,52.5］的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率.19. (12分)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试•测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离)•无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.停车距离(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60] d(米)频数26m n82平均每毫升血液酒精含量x(毫克) 1030507090平均停车距离y(米) 3050607090已知表1数据的中位数估计值为26,回答以下问题.2 若x= 3时，y = f(x)有极值.(1) 求a, b, c的值.(2) 求y = f(x)在［—3,1］上的最大值和最小值.21.设函数f(x)= mx2—(2m + 1)x+ In x, m€ R.(1) 当m= 3时，求f(x)的极值；(2) 设m>0，讨论函数f(x)的单调性.22. (12分)已知函数f (x) =£亡x2+mx在x=1处有极小值，2 3g (x) =f (x)-亍x3x2+x- alnx.20. (12 分)已知函数f(x)= x3+ ax2+ bx+ c,曲线y= f(x)在点x= 1 处的切线为1: 3x—y+ 1 = 0, (1)求函数f (x)的单调区间；呂(戈1)-吕〔X?) (2)是否存在实数a,对任意的X1、X2€( 0, +x),且X1M X2,有----------------- >1X］-戈2恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4:坐标系与参数方程】22. (10分)在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为p si( 怙)罟,曲线C的参数方程为(尸后；山口(a为参数).(1) 求直线l的普通方程；(2) 若P是曲线C上的动点，求点P到直线l的最大距离及点P的坐标.【选修4-5:不等式选讲】23. 已知函数f (x) =| 2x- a| , g (x) =x+1.(1)若a=1，求不等式f (x)< 1的解集；(2)对任意的x€ R, f (x) +| g (x) | >a2+2a (a>0)恒成立，求实数a的取值范围.高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1.D 2. B 3. D 4. A 5. D 6. C 7 .C 8. A 9. B 10 .A 11. C12. C4题解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既 会日语又会法语，排除 D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6题解析：选C 从N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 N ，故每名学17 + 10+ x 27 + x9题解析：选B 由茎叶图可知 0< x < 9且x € N ，中位数是 --------- 2 ----- =二—，这位运动员这 1 1 1 27+ x 8 场比赛的得分平均数为 8(7 + 8 + 7+ 9+ x + 3+ 1+ 10X 4+ 20X 2) = -(x + 115)，由§(x + 115)》 —2100X 675 — 300疋3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 55X45 X 75X 25‘光盘'与性别有关”.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. y =2x -214. 800 . 15. 4 n ）2a 16. （— 1，+^ ）14题解析：设样本容量为X ，则3"00^ 1 300= 130，二x = 300.••• A 产品和C 产品在样本中共有 300 — 130 = 170（件）.设C 产品的样本容量为 y ，贝U y + y + 10= 170，• y = 80.• C 产品的数量为 驾严乂 80= 800（件）.300 15题解析：椭圆的长半轴长为 a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为 b ，高为a 的圆柱，然后在 圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖 暅原理得出椭球体的1 4体积 V = 2（V 圆柱一 V 圆锥）=2 nX b 2X a — 3 nX b 2X a = 4 n ）2a.3 3生入选的概率都相等，且为50 2 018.310.10题解选 A 由列联表得到 a = 45，b = 10，c = 30，d = 15,则 a + b = 55，c + d = 45，a +c = 75， b +d = 25， ad = 675， bc = 300，a +bc +d a+ c b + d 得3x < 7,即x = 0,1,2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为n = 100，计算得K 2的观测值k = n ad — bc 2116 题解析：•/ f(x)的定义域为(0 ,+^), f' (x) = -― ax—b,X由f' (1) = 0,得b = 1 —a.1 —ax2+ 1 + ax —x/• f' (x)=——ax + a—1 =x xax + 1 x—1x .①若a> 0,当0v x v 1时，f' (x)> 0, f(x)单调递增；当x > 1时，f' (x) v 0，f(x)单调递减；所以x = 1是f(x)的极大值点.1②若 a v 0,由f' (x)= 0，得x = 1 或x =—-.a因为x = 1是f(x)的极大值点，所以一1 > 1,解得一1 v a v 0.a综合①②得a的取值范围是(一1,+^).答案：(—1 ,+^ )三、解答题(共5小题，满分60分)17解：(1 )第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟•因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科％网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m 79 8180 .2列联表如下：(3)由于K2 4°(15 15 5 5)10 6 635，所以有99%的「把握认为两种生产方式的效率有20 20 20 20差异.18. 解：⑴组距为d = 5，由5X (0.020 + 0.040 + 0.075+ a + 0.015) = 1，得a = 0.050.⑵各组中值和相应的频率依次为:所以x = 30 X 0.1 +s2= (- 10)2X 0.1+ (- 5)2X 0.2+ 02X 0.375+ 52X 0.25 + 102X 0.075= 28.75.⑶由已知，果实重量在［27.5,32.5)和［47.5,52.5］内的分别有4个和3个，分别记为A1, A2, A3, A4和B1, B2, B3,从中任取2个的取法有：A1A2, A1A3, A1A4, A1B1, A1B2, A1B3, A2A3,A2A4, A2B1, A2B2, A2B3, A3A4, A3B1, A3B2,A3B3, A4B1, A4B2, A4B3, B1B2, B1B3, B2B3,共21种取法，其中都是优质果实的取法有B1B2, B1B3, B2B3,共3种取法,所以抽到的都是优质果实的概率P=21=119. 解：解：(1)依题意，得：60m= 50- 26,解得m = 40, 又m+ n + 36= 100，解得n = 24.故停车距离的平均数为15 X 捡+ 25X 组+ 35 X 坐+ 45 乂旦+ 55X2 =右.100 100 100 100 100⑵依题意，可知x = 50, y = 60,11x i y i = 10X 30 + 30X 50 + 50 X 60+ 70 X 70+ 90 X 90= 17 800,i = 15x 2= 102+ 302+ 502 + 702 + 902= 16 500,17 800— 5X 50X 6016 500 — 5X 502 :=60— 0.7X 50= 25,所以回归直线方程为 y = 0.7x + 25. (3)由(1)知当y>81时认定驾驶员是 “醉驾”.令y>81，得0.7x +25>81，解得x>80,当每毫升血液酒精含量大于 80毫克时认定为“醉驾”.20. 解：(1)由 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c ,得 f ' (x) = 3x 2+ 2ax + b.当x = 1时，切线I 的斜率为3,可得2a + b = 0，①可得 4a + 3b + 4= 0，② 由①②，解得a = 2, b =一 4.由于切点的横坐标为 1，纵坐标为4,所以f(1) = 4. 所以 1 + a + b + c = 4，得 c = 5. ⑵由(1)可得 f(x) = x 3 + 2x 2- 4x + 5, f ' (x)= 3x 2+ 4x - 4.2 令 f ' (x) = 0,解得 x = — 2 或 x = 3.当x 变化时，f ' (x), f(x)的取值及变化情况如表所示:x —3 (—3,— 2)—22 ,11 f ' (x) ++—++ f(x)813495所以y = f(x)在［—3,1］上的最大值为13,最小值为27.21.解：(1)当 m = 3 时，f(x)= 3x 2— 7x + In x(x>0),1 (6x — 1(x — 1/• f ' (x) = 6x — 7 + x = x .由 f ' (x)>0,得 0<x<6或 x>1; 1由 f ' (x)<0,得 6<x<1 ,1 1•••函数f(x)在6和(1,+^ )上单调递增，在，1上单调递减，所以b =23- X2y = f(x)有极值，则 f ' 3= 0,1121 13•函数f(x)的极大值为f6 =- 12- In 6，极小值为f(1) = -4. (2)由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+^ ),1 (2mx — 1(x — 1 f ' (x)= 2mx — (2m + 1) + x = x . 1 由 f ' (x) = 0,得 x = 2n 或 x = 1.1 1① 当2m = 1,即卩m = 2时，f ' (x)> 0恒成立，•函数f(x)在(0,+s )上单调递增；1 1② 当2m>1，即0<m<2时，1 由 f ' (x)>0，得 0<x<1 或 x>2m1由 f ' (x)<0，得 1<x<2m1 1•函数f(x)在(0,1)和，+8上单调递增，在2m 上单调递减； 1 1③ 当0<2m<1，即m>2时， 1由 f ' (x)>0，得 0<x<2m 或 x>1, 1由 f ' (x)<0,得 2m<x<1 ,1 1•函数f(x)在2m 和(1 ,+s )上单调递增，在，1上单调递减.22.解：(1)v f (x ) =x 3^x 2+mx ,A f'( x ) =3x 2+3x+m ,3■/ f (x ) =x 3^x 2+mx 在 x=1 处有极小值，• f'(1) =6+m=0,得 m=- 6. • f (x ) =x 3^x 2 - 6x ,贝U f (x ) =3 (x 2+x - 2) =3 (x - 1) (x+2).•当 x €(-x,- 2)U( 1, +x)时，f (x )>0,当 x € (- 2, 1)时，f'(x )V 0,则f (x )的单调增区间为(-x,- 2), (1, +x),单调减区间为(-2, 1);ii1( Xn)假设存在实数a 使得对任意的 x i , X 2€( 0, +x),且X I M x ?，有 ---------------- - > 1恒 成立，不妨设 O v X i v x 2,只要 g (x i ) — g (X 2)V x i — X 2, 即：g ( x i )— x i v g ( X 2)— X 2.令h (x ) =g (x )— x ,只要h (乂)在(0, +x )为增函数即可. 又函数 h (x ) =g (x )— x»J- —匸:y 訂口，则 f ( X ) =、一L 一=—［八:■■-.£ XZX要使h' (x )> 0在(0, +X )上恒成立，则需 2x 3+3x 2 — i2x — 2a >0在(0, +^)上恒 成立， 即 2a < 2x 3+3x 2 — i2x .令 t (x ) =2x 3+3x 2 — i2x ，贝U t'( x ) =6x 2+6x — i2=6 (x+2) (x- i ). •••当x €(0, i )时，t (x )单调递减，当x €( i , +x )时，t (x )单调递增， 则 t ( X ) min =t ( i ) = — 7 . • 2a < — 7,得 a 龙* ..7 ( X 2) •••存在实数 a W 「7，对任意的 x i 、X 2€( 0, +x),且X I M X 2，有 ---------------- >i 恒邑X I -兀2成立.(1) 求m , n 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；(2) 根据最小二乘法，由表 2的数据计算y 关于x 的回归方程J = bx + a ； (3) 该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” y 大于(1)中无酒状态下的停车距离平 均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾” •请根据 (2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？(附：对于一组数据(x 1, y 1), (x 2, y 2)，…，(x n , y n ),其回归直线y = bx + a 的斜率和截距的最小n__ __________ n__ ___X i — x y i — y X i y i — n x y..... ................... A 尸1尸1 A _ A_二乘估计分另U 为 b == , a = y — b x )n ——nx i — x 2x 2 — nx 2i = 1i = 1—alnx=・'J — 5x — alnx .x 2+x — alnx (2) g (x ) =f (x )23。
四川省资阳市高二数学下学期期末试卷文(含解析)
四川省资阳市高二数学下学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i3．椭圆+=1与+=1有相同的（）A．离心率B．焦距 C．长轴长D．焦点4．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（）A．1+3+5+…+（2n+1）=n2（n∈N*） B．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*）C．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n﹣1）2（n∈N*） D．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n+1）2（n∈N*）5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．6．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）x 1 2 3y 6 4 5A．B．C．D．﹣7．函数f（x）=x3﹣3x+2的极大值点是（）A．x=±1 B．x=1 C．x=0 D．x=﹣18．函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）的导函数f′（x）为（）A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，f'（x）＞0（其中f'（x）为f（x）的导函数），则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|=，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=2lnx﹣ax在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）12．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，曲线（θ为参数）的普通方程为．14．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ．15．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣c，0），右焦点F2（c，0），若椭圆上存在一点P使|PF1|=2c，∠F1PF2=60°，则该椭圆的离心率e为．16．若存在正实数x0使e（x0﹣a）＜2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆O的参数方程为（θ为参数），直线l与圆O相交于A，B两点，求|AB|．18．已知函数f（x）=x3﹣ax2+2（a∈R）在x=3时取得极小值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求f（x）的最大值．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点（Ⅰ）当|PF|=2时，求点P的坐标；（Ⅱ）求点P到直线y=x﹣10的距离的最小值．20．已知函数f（x）=alnx﹣x+3（y=kx+2k），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左顶点B且互相垂直的两直线l1，l2分别交椭圆C于点M，N（点M，N 均异于点B），试问直线MN是否过定点，若过定点？求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a∈R）（Ⅰ）若a=﹣4，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．2015-2016学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，求得已知双曲线方程的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，双曲线﹣=1的a=2，b=，可得所求渐近线方程为y=±x．故选：A．2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．3．椭圆+=1与+=1有相同的（）A．离心率B．焦距 C．长轴长D．焦点【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的标准方程及其a2=b2+c2即可判断出结论．【解答】解：∵在椭圆+=1与+=1中，4﹣3=5﹣4=1，∴椭圆+=1与+=1有相同的焦距．故选：B．4．观察下列式子：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（）A．1+3+5+…+（2n+1）=n2（n∈N*） B．1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*）C．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n﹣1）2（n∈N*） D．1+3+5+…+（2n﹣1）=（n+1）2（n∈N*）【考点】归纳推理．【分析】观察不难发现，连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后写出第n个等式即可．【解答】解：∵1+3=22，1+3+5=32，…，∴第n个等式为1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2（n∈N*），故选：B．5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．6．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）x 1 2 3y 6 4 5A．B．C．D．﹣【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=2， =5，∴这组数据的样本中心点是（2，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为，∴5=2b+6∴b=﹣．故选：D．7．函数f（x）=x3﹣3x+2的极大值点是（）A．x=±1 B．x=1 C．x=0 D．x=﹣1【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求导函数，确定导数为0的点，再确定函数的单调区间，利用左增右减，从而确定函数的极大值点．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+2，∴f′（x）=3x2﹣3，当f′（x）=0时，3x2﹣3=0，∴x=±1．令f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞1；令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1；∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），函数的单调减区间为（﹣1，1）∴函数的极大值点是x=﹣1故选：D．8．函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）的导函数f′（x）为（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=（）′==﹣，故选：B．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，f'（x）＞0（其中f'（x）为f（x）的导函数），则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵当x＞0时，f'（x）＞0，∴奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴不等式的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），故选：B．10．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|=，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其定义可得：|PF1||，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵椭圆+=1，∴a=2，b=2=c，∵|PF2|=，|PF1|+|PF2|=4，∴|PF1||=3，∴cos∠F1PF2==．故选：D．11．若函数f（x）=2lnx﹣ax在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为则﹣a≥0在区间[2，+∞）恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=2lnx﹣ax，（x＞0），∴f′（x）=﹣a，若函数f（x）=2lnx﹣ax在区间[2，+∞）上单调递增，则﹣a≥0在区间[2，+∞）恒成立，即a≤1，故选：C．12．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】作图，化点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1，从而求最小值．【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，曲线（θ为参数）的普通方程为x2+y2=1 ．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用cos2θ+sin2θ=1，即可得出普通方程．【解答】解：曲线（θ为参数），由cos2θ+sin2θ=1，可得x2+y2=1．∴曲线（θ为参数）的普通方程为：可得x2+y2=1．故答案为：x2+y2=1．14．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．15．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣c，0），右焦点F2（c，0），若椭圆上存在一点P使|PF1|=2c，∠F1PF2=60°，则该椭圆的离心率e为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义、余弦定理即可得出．【解答】解：∵|PF1|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣2c，∴cos∠F1PF2==．化为：a=2c，∴e==．故答案为：．16．若存在正实数x0使e（x0﹣a）＜2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）成立，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），化简后根据导数的符号判断出f（x）的单调性，对a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最小值，由条件和存在性问题列出不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意设f（x）=e x（x﹣a）﹣2，则f′（x）=e x（x﹣a+1），由f′（x）=0得，x=a﹣1，当x∈（﹣∞，a﹣1）时，f′（x）＜0，则f（x）是减函数，当x∈（a﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）是增函数，①当a﹣1≤0时，则a≤1，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵存在正实数x0使e（x0﹣a）＜2成立，∴函数的最小值是f（0）=﹣a﹣2＜0，解得a＞﹣2，即﹣2＜a≤1；②当a﹣1＞0时，则a＞1，f（x）在（0，a﹣1）是减函数，在（a﹣1，+∞）上是增函数，∵存在正实数x0使e（x0﹣a）＜2成立，∴函数的最小值是f（a﹣1）=e a﹣1（a﹣1﹣a）﹣2＜0，即﹣e a﹣1﹣2＜0恒成立，则a＞1，综上可得，实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆O的参数方程为（θ为参数），直线l与圆O相交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线l的参数方程代入圆O的普通方程，可得，利用弦长|AB|=|t1﹣t2|即可得出．【解答】解：圆O的参数方程为（θ为参数），化为普通方程：x2+y2=16．把直线l的参数方程代入圆O的普通方程，可得，解得t1=0，，∴弦长．18．已知函数f（x）=x3﹣ax2+2（a∈R）在x=3时取得极小值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（3）=0，求出a的值，并检验即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题有f'（x）=x2﹣ax，因为x=3时，f（x）取得极小值，所以f'（3）=9﹣3a=0，解得a=3，此时，f'（x）=x2﹣3x，则当x＜0或x＞3时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x=3时取得极小值，所以a=3符合题意；（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）在[﹣2，0）递增，在[0，3）递减，在[3，4]递增．又，所以当x∈[﹣2，4]时，f（x）max=f（0）=2．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点（Ⅰ）当|PF|=2时，求点P的坐标；（Ⅱ）求点P到直线y=x﹣10的距离的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求得点P的坐标；（Ⅱ）首先求得点P到直线y=x﹣10的距离d的关于a的关系式，由二次函数的性质即可解得最小值．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，故设P（a，），（a＞0），∵|PF|=2，结合抛物线的定义得， +1=2，∴a=2，∴点P的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设点P的坐标为P（a，），（a＞0），则点P到直线y=x﹣10的距离d为=，∵﹣a+10=（a﹣2）2+9，∴当a=2时，﹣a+10取得最小值9，故点P到直线y=x﹣10的距离的最小值==．20．已知函数f（x）=alnx﹣x+3（y=kx+2k），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b，可求a、b的值；（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由，则，得a=2，所以，，把切点代入切线方程有，解得b=1，综上：a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）在时取得极大值，f（x）无极小值．21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左顶点B且互相垂直的两直线l1，l2分别交椭圆C于点M，N（点M，N均异于点B），试问直线MN是否过定点，若过定点？求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得，，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆C的左顶点B（﹣2，0）．对直线MN斜率分类讨论，利用直线与椭圆相交转化为方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系，再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题，，则a=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆C的左顶点B（﹣2，0）．①当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y=kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立整理得（4k2+1）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，判别式△=64k2n2﹣4（4k2+1）（4n2﹣4）=64k2﹣16n2+16＞0，即n2＜4k2+1，…（*）∵l1，l2互相垂直，所以，即（x1+2）（x2+2）+y1•y2=0，整理得，代入韦达定理得，即5n2﹣16kn+12k2=0，解得n=2k或．当n=2k时，直线MN方程为y=kx+2k过点B（﹣2，0），不合题意应舍去，当时，满足不等式（*），直线MN方程为，过定点．②当直线MN斜率不存在时，设直线MN方程为x=n，则M坐标为（n，2+n），代入椭圆方程得，解得，n=﹣2（舍去）．此时直线MN过点．综上所述：直线MN过定点．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a∈R）（Ⅰ）若a=﹣4，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为a≥，x＞1，在区间（1，+∞）上恒成立，令g （x）=，x＞1，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2﹣，（x＞0），f′（x）=﹣+x=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，x=1时，成立，x＞1时，即a≥在区间（1，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞1，则g′（x）=，令h（x）=﹣4lnx+2x﹣，（x＞1），h′（x）=﹣4lnx﹣＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，而==﹣1，故g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1，故a的最小值是﹣1．。
四川省资阳市2017-2018学年高二下学期期末质量检查数学(文)试题 Word版
资阳市2017-2018学年度高中二年级第二学期期末质量检测数学（文史类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数34z i =-的模为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ． 1 B ． 9 C ．54i + D ．54i -2. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率2e =，则该双曲线的两渐近线为（ ）A ．2y x =± B．y = C．y x = D ．12y x =±3.函数()()ln 21f x x x f x '=+，则()1f = （ ） A ． -2 B ． 12- C ． -1 D ．124. 在n 边形12n A A A 中各内角满足()2121112n n A A A n π+++≥-，按照此规律在ABC ∆中有111a A B C++≥，则a =（ ） A ． 1π- B ．8π C. 9πD ．253π5.函数()ln xf x x=的极值点为 （ ）A ．()1,0B ． 1x e =C. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．x e = 6. 函数()cos xf x e x x =-在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =+ B ．1y = C. 1y x =-+ D ．1x = 7.函数()3212353f x x x x =-+-在下列区间单调递增的是 （ ） A ．()1,3 B ．(),2-∞ C. (),0-∞ D ．()1,+∞ 8. 下列参数方程表示直线21y x =-的（ ）A ．2221x t y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数）B ．3321x t y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数）C. sin 2sin 1x y θθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数） D ．121x ty t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）9.已知关于x 的函数()2x f x e ax =-，若方程()0f x =在()0,x ∈+∞上有两个不同的解，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．()2,e +∞B ．(),e +∞ C. (),2e e D ．[)2,e +∞10. 已知定点()1,4A ，点P 为抛物线28y x =上动点，点P 到y 轴距离为d ，则PA d +的最小值为（ ）A ． 3 B．5-211. 抛物线2:2C x y =，过点()2,0M 的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在一象限），若抛物线C 在,A B 两点处切线斜率之积为12-，则直线l 的斜率为（ ） A ． -2 B ．14-C. 18- D ．-1 12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()522f =，当0x >时，()()2xf x f x '+>（其中()f x '为()f x 的导函数）.则不等式()21x f x x >+的解集为（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),20,2-∞- C. ()()2,02,-+∞ D ．()(),22,-∞-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.复数41z i =-的共轭复数z = ． 14.在极坐标系中，过点4,3π⎛⎫-⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ． 15.经过点()6,3M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为 ．16.若函数()21xf x e ax ax =-+-是区间[]1,3上的单调函数，求a 的取值范围 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的方程：（1）求焦点为()4,0±，且渐近线为7y x =±的双曲线的标准方程； （2）求过点()9,6P 的抛物线的标准方程 .18. 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过点()1,1P ，倾斜角为34π.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的标准参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）记直线l 和曲线C 的两个交点分别为,A B ，求PA PB +.19.2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛.比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯联邦境内11座城市中的12座球场进行.某人对中学生是否了解足球比赛规则“越位”进行调查，在所有中学生中选取120个学生得到了如下数据（单位：人）：（1）判断能否有90%的把握认为是否了解足球比赛规则“越位”与“性别”有关； （2）以该人调查数据频率为概率，在了解足球比赛规则“越位”的学生中按性别分层抽样选取6个同学座谈，再在这6个同学中选2个同学总结发言，求发言两人性别相同的概率. 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20. 已知函数()()321133f x x x ax a R =+++∈. （1）若函数()f x 在1x =时取得极小值，求函数()f x 在区间[]4,3-上的最大值； （2）若0x x =是函数()f x 的零点又是极值点，求实数a 的值. 21. 已知直线12y x m =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，O 是坐标原点，F 是抛物线焦点.（1）若OA OB ⊥，求m 与p 的等量关系； （2）在（1）的条件下，用p 表示ABF ∆的面积.22.已知关于x 的函数()()()ln 12f x x x ax a a R =--+∈. （1）若()0f x ≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：()*2ln 2ln 3ln 2,1nn n n n N n >≥∈+.。
2017-2018年四川省资阳中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）2．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y2＝4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2＝3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3B．C．D．44．（5分）下列运算正确的个数为（）A．B．（3x）'＝3x log3eC．（lgx）′＝D．（x2cos x）'＝﹣2x sin x5．（5分）某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（）A．30B．40C．50D．以上都不正确6．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知动点P在曲线2x2﹣y＝0上移动，则点A（0，﹣1）与点P连线中点的轨迹方程是（）A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2﹣1D．2y＝8x2+1 8．（5分）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定9．（5分）函数f（x）＝ax﹣lnx在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x有两个极值点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，3）11．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜﹣f'（x），f（2）＝，则不等式f（e x﹣2）﹣＜0（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，ln4）B．（﹣∞，0）∪（ln4，+∞）C．（ln4，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知抛物线的准线方程是x＝，则其标准方程是．14．（5分）已知曲线f（x）＝2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为．15．（5分）M是椭圆上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|•|MF2|的最大值是．16．（5分）双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x＝1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．18．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．19．（12分）已知直线y＝ax+1和抛物线y2＝4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求实数a的值，使得．20．（12分）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1，（e是自然对数的底数）（1）求证：f（x）≥0（2）若不等式f（x）＞ax﹣1在上恒成立，求正数a的取值范围22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a＝b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，设g（x）＝f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．（5分）点M的直角坐标（，﹣1）化成极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：点M的直角坐标（，﹣1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴＝ρcosθ，﹣1＝ρsinθ，解得：ρ＝2，θ＝，∴极坐标为（2，）故选：D．2．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，4a＝8，∴a＝2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2＝3，∴椭圆方程为：．故选：A．3．（5分）抛物线y2＝4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2＝3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3B．C．D．4【解答】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2＝3，AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．故选：B．4．（5分）下列运算正确的个数为（）A．B．（3x）'＝3x log3eC．（lgx）′＝D．（x2cos x）'＝﹣2x sin x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（）′＝＝，正确；对于B，（3x）'＝3x ln3，错误；对于C，（lgx）′＝，错误；对于D，（x2cos x）'＝（x2）′cos x+x2（cos x）′＝2x cos x﹣x2sin x，错误；故选：A．5．（5分）某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（）A．30B．40C．50D．以上都不正确【解答】解：某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，可得x∈（0，60）．V′（x）＝60x﹣，令60x﹣＝0，可得x＝40，当x∈（0，40）时，V′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（40，60）时，V′（x）＜0，函数是减函数，函数的最大值为：V（40）＝16000．此时x＝40．故选：B．6．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．7．（5分）已知动点P在曲线2x2﹣y＝0上移动，则点A（0，﹣1）与点P连线中点的轨迹方程是（）A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2﹣1D．2y＝8x2+1【解答】解：设AP中点为（x，y），则P（2x，2y+1）在2x2﹣y＝0上，即2（2x）2﹣（2y+1）＝0，∴2y＝8x2﹣1．故选：C．8．（5分）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【解答】解：直线l的参数方程为：，消去t为参数可得：2x﹣y+1＝0．圆C的极坐标方程为，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入可得：，圆心为（0，），半径r＝．那么：圆心到直线的距离d＝∵d，∴直线l与圆C相交．故选：B．9．（5分）函数f（x）＝ax﹣lnx在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）＝ax﹣lnx，（x＞0），∴f′（x）＝a﹣，若函数f（x）＝ax﹣lnx区间[1，+∞）上为减函数，则a﹣≤0在区间[1，+∞）恒成立，即a≤0，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x有两个极值点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，3）【解答】解：f′（x）＝+ax﹣2＝，（x＞0），若函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x有两个极值点，则方程ax2﹣2x+1＝0有2个不相等的正实数根，∴，解得：0＜a＜1，故选：C．11．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴x与y同号（t＝±1除外），将代入消掉参数t得：x2+y2＝1（xy≥0，x≠0）；故选：D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜﹣f'（x），f（2）＝，则不等式f（e x﹣2）﹣＜0（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，ln4）B．（﹣∞，0）∪（ln4，+∞）C．（ln4，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由xf'（x）+f（x）＜﹣f'（x），得xf'（x）+f（x）+f′（x）＜0，即（x+1）f'（x）+f（x）＜0，设g（x）＝（x+1）f（x），则g′（x）＝f（x）+（x+1）f'（x）＜0，即g（x）为减函数，∵f（2）＝，∴g（2）＝3f（2）＝3×＝1，则不等式f（e x﹣2）﹣＜0等价为，当x＞0时，e x﹣1＞0，则不等式等价为（e x﹣1）f（e x﹣2）﹣1＜0，即（e x﹣2+1）f（e x﹣2）＜1，即g（e x﹣2）＜g（2），则e x﹣2＞2，则e x＞4，则x＞ln4，当x＜0时，e x﹣1＜0，则不等式等价为（e x﹣1）f（e x﹣2）﹣1＞0，即（e x﹣2+1）f（e x﹣2）＞1，即g（e x﹣2）＞g（2），则e x﹣2＜2，则e x＞4，则x＜ln4，∵x＜0，∴此时不等式的解为x＜0，综上不等式的解为x＜0或x＞ln4，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（ln4，+∞），故选：B．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．（5分）已知抛物线的准线方程是x＝，则其标准方程是y2＝﹣2x．．【解答】解：由题意可知：＝，∴p＝1且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2＝﹣2px，将p代入可得y2＝﹣2x，故答案为：y2＝﹣2x．14．（5分）已知曲线f（x）＝2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为（﹣2，9）．【解答】解：∵y＝2x2+1，∴y′＝4x，令4x0＝﹣8，则x0＝﹣2，∴y0＝9，∴点M的坐标是（﹣2，9），故答案为：（﹣2，9）．15．（5分）M是椭圆上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|•|MF2|的最大值是9．【解答】解：设M（x0，y0），由题意知，，∴|MF1|•|MF2|＝（3+）（3﹣）＝9﹣．∴当x0＝0时，|MF1|•|MF2|有最大值9．故答案为：9．16．（5分）双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为．【解答】解：由题意，∴b＝，∴c＝2a∴＝≥＝（当且仅当a＝时取等号）∴当a＝时，的最小值为故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x＝1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，依题意有f′（1）＝0，f（1）＝﹣4，即得．（4分）所以f′（x）＝3x2+4x﹣7＝（3x+7）（x﹣1），由f′（x）＜0，得﹣＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间（﹣，1）．（7分）（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2﹣7x，f′（x）＝3x2+4x+7＝（3x+7）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x1＝﹣，x2＝1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由上表知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min＝f（1）＝﹣4，f（x）max＝f（﹣1）＝8．（13分）18．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．【解答】解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1＝0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ＝2sin（θ+）化为ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2＝2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2中，得t2﹣t﹣1＝0，∴；∴+＝+＝＝＝＝．19．（12分）已知直线y＝ax+1和抛物线y2＝4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求实数a的值，使得．【解答】解：（Ⅰ）将直线方程代入抛物线方程，得，整理得：a2x2﹣（4﹣2a）+1＝0；…（2分）由题意可知，△＞0，即（4﹣2a）2﹣4a2＞0，解得：a＜1；…（4分）由当a＝0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，…（5分）所以实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）；…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）可知：x1+x2＝，x1•x2＝，…（8分）∴•＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（ax1+1）（ax2+1），＝（a2+1）x1•x2+（a﹣1）（x1+x2）+2，…（9分）＝（a2+1）•+（a﹣1）•+2＝0，解得：a＝﹣3±2，…（11分）由a∈（﹣∞，0）∪（0，1），所以实数a的值为﹣3﹣2或﹣3+2．…（12分）20．（12分）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1＝0曲线C的直角坐标方程x2+y2＝4；…（4分）（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y＝•2cosθ+＝2sin＝4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…（10分）21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1，（e是自然对数的底数）（1）求证：f（x）≥0（2）若不等式f（x）＞ax﹣1在上恒成立，求正数a的取值范围【解答】证明：（1）∵f（x）＝e x﹣x﹣1，∴f′（x）＝e x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）≥f（0）＝1﹣0﹣1＝0，∴f（x）＝e x﹣x﹣1≥0，（2）不等式f（x）＞ax﹣1在上恒成立，即e x﹣x﹣1＞ax﹣1在上恒成立，即a＜在上恒成立，令g（x）＝，，∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x∈[，1]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1，∴a＜e﹣1，故正数a的取值范围为（0，e﹣1）22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx﹣3（a∈R且a≠0）（1）若a＝b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，设g（x）＝f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1+lnx2＞2．【解答】解：（1）由f（x）＝alnx﹣bx﹣3知f′（x）＝，当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．证明：（2）g（x）＝lnx﹣bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵g（x1）＝0，g（x2）＝0，∴lnx1﹣bx1＝0，lnx2﹣bx2＝0，∴lnx1﹣lnx2＝b（x1﹣x2），lnx1+lnx2＝b（x1+x2），要证lnx1+lnx2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即＞，即ln＞，设t＝＞1上式转化为lnt＞，t＞1．设g（t）＝lnt﹣，∴g′（t）＝＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝0，∴lnr＞，∴lnx1+lnx2＞2．。