图论 第6章 树和割集
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第6-8章 图论2
5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（ ）连通的。 答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 （ ）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（ ）连通的，c的可达集为（ ），d(a,b)=（） 答案：单向 ｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（） 答案： １ １ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。 答案： ４ ４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结 点必连通。（ ） 答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（ ） 答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另 一个或互相可达。（ ） 答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（ ） 答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（ ） 答案：F 12.图6-3为无强分图（ ） 答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中，则e是G的割边。（ ） 答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则 所有结点v，有deg(v)<=5.（ ） 答案：F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用， 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。
第15节树和割集
集合与图论
第15节
树和割集
主要内容：
树及其性质 生成树 割点、桥和割集
1/35
集合与图论
1 树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树，简 称树. 一个没有圈的不连通的无向图称为无向森林， 简称森林. 仅有一个顶点的树称为平凡树. 例如:
(a)
(b)
2/35
集合与图论
树的等价定义
12/35
集合与图论
树的性质
性质1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点.
性质2 任何一个非平凡的树都可用两种颜色给 其顶点染色，使得每条边的两个端点不同色. 偶图的充分必要条件是图中所有圈都是偶数长可 得树是偶图.
因此树可用两种颜色染色，并且每条边的两个端 点不同色.
13/35
集合与图论
2 生成树
推论1 设G是一个(p, q)连通图，则q≥p-1.
15/35
集合与图论
1
最小生成树问题
3
2 3 1 2
3
3
2
1
2
1
图G
T
给定边带权连通图G，G中边的权是一个非负实 数，生成树中各边的权之和称为该生成树的权。 图G的生成树T的权是6. G的生成树中权最小的那个生成树就是最小生成 树。10/35源自集合与图论 如果n>3，
树的等价定义证明
在圈上不相邻的两点间连一条边，则得到两个以 上的圈，与(6)矛盾. 如果n=3，由于p≥4，已知条件中G不是Kp，则 G中存在不相邻的两个顶点. 连接不相邻的两个 顶点，至少得到两个 圈，与已知条件矛盾.
11/35
集合与图论
极小连通图
图2 图1 定义2 连通图G称为是极小连通图，如果 去掉G的任意一条边后得到的都是不连通图. 定理2 图G是树当且仅当G是极小连通图.
第15节
树和割集
主要内容：
树及其性质 生成树 割点、桥和割集
1/35
集合与图论
1 树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树，简 称树. 一个没有圈的不连通的无向图称为无向森林， 简称森林. 仅有一个顶点的树称为平凡树. 例如:
(a)
(b)
2/35
集合与图论
树的等价定义
12/35
集合与图论
树的性质
性质1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点.
性质2 任何一个非平凡的树都可用两种颜色给 其顶点染色，使得每条边的两个端点不同色. 偶图的充分必要条件是图中所有圈都是偶数长可 得树是偶图.
因此树可用两种颜色染色，并且每条边的两个端 点不同色.
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集合与图论
2 生成树
推论1 设G是一个(p, q)连通图，则q≥p-1.
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集合与图论
1
最小生成树问题
3
2 3 1 2
3
3
2
1
2
1
图G
T
给定边带权连通图G，G中边的权是一个非负实 数，生成树中各边的权之和称为该生成树的权。 图G的生成树T的权是6. G的生成树中权最小的那个生成树就是最小生成 树。10/35源自集合与图论 如果n>3，
树的等价定义证明
在圈上不相邻的两点间连一条边，则得到两个以 上的圈，与(6)矛盾. 如果n=3，由于p≥4，已知条件中G不是Kp，则 G中存在不相邻的两个顶点. 连接不相邻的两个 顶点，至少得到两个 圈，与已知条件矛盾.
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集合与图论
极小连通图
图2 图1 定义2 连通图G称为是极小连通图，如果 去掉G的任意一条边后得到的都是不连通图. 定理2 图G是树当且仅当G是极小连通图.
哈工大集合论习题课-第六章 树及割集 习题课(学生)
的顶点集）之间的顶点。
不妨假设，若某条边关联中的两个顶点，设为和，又因为根据上述
的标记法则，有到的路和到的路。设与离和最近的顶点为，所以，树中
存在回路：，与树中无回路的性质矛盾。所以，任意边只能关联（标记
为1的顶点集）和（标记为0的顶点集）之间的顶点。所以，任意一棵非
平凡树都是偶图。
证2 设是任一棵非平凡树，则无回路，即中所有回路长都是零。而
第六章 树及割集
习题课1
课堂例题 例1 设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度 顶点。则 （1）求T有几个1度顶点？ （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树，其顶点数和边数的关系是：且，根据这些性 质容易求解。 解：（1）设该树的顶点数为，边数为，并设树中有个1度顶点。于 是 且，，得。 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。
在（4），（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是
同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为和。
在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排
列情况，共可产生三棵非同构的树，设为。
在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树，
设为。
七个顶点的所有非同构的树如图2所示。
T1
零是偶数，故由偶图的判定定理可知是偶图。
例7（1）一棵无向树有个度数为的顶点，。均为已知数，问应为多少？
（2）在（1）中，若未知，均为已知数，问应为多少？
解：（1）设为有个顶点，条边无向树，则，。由握手定理：
，有，即
。
①
由式①可知：
。
（2）对于，由①可知：
。
例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
离散数学 第六章 图论(3)
16
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的，则称图G为 森林。
注：森林是无圈的无向图； 森林中每一个连通分图都是一棵树，所以森林是由树构成的；
定理2.具有n个结点、p个分图的森林，有m=n-p条边。 [证].比较容易，留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图，G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图， 若G̃ 还是一棵树，则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
9
离散数学
中产生(不然，去掉u,v间所增加的边，此圈仍存在，这 与已知G无圈矛盾！) ，所以，此圈只能在这两个分图之 间存在；因此，去掉u,v间所增加的 u v 边，这两点间还有路可通，这就与 已设G不连通， u,v间无路矛盾！ 图4
(参见图4所示) (6)(2)： 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证)；采用反证法证明如下： 假若不然，G中必至少存在着两个结点，设其是u,v， u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e，不在另一条路上(否则，两条路将相同。参见图5所示 )。因此，删去此路上的这一条边e，不会破坏另一条路 10
3
离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的， 则称图G为自由树或无向树，简称树(tree) 。
注：[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时，有1条边不在C上(参见图6(a)) ； 当图G\C有n-p=2个结点时，有2条边不在C上(参见图6(b)) ；
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的，则称图G为 森林。
注：森林是无圈的无向图； 森林中每一个连通分图都是一棵树，所以森林是由树构成的；
定理2.具有n个结点、p个分图的森林，有m=n-p条边。 [证].比较容易，留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图，G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图， 若G̃ 还是一棵树，则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
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离散数学
中产生(不然，去掉u,v间所增加的边，此圈仍存在，这 与已知G无圈矛盾！) ，所以，此圈只能在这两个分图之 间存在；因此，去掉u,v间所增加的 u v 边，这两点间还有路可通，这就与 已设G不连通， u,v间无路矛盾！ 图4
(参见图4所示) (6)(2)： 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证)；采用反证法证明如下： 假若不然，G中必至少存在着两个结点，设其是u,v， u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e，不在另一条路上(否则，两条路将相同。参见图5所示 )。因此，删去此路上的这一条边e，不会破坏另一条路 10
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离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的， 则称图G为自由树或无向树，简称树(tree) 。
注：[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时，有1条边不在C上(参见图6(a)) ； 当图G\C有n-p=2个结点时，有2条边不在C上(参见图6(b)) ；
图论树与割集
4)无回路，如在任意两结点之间添上一条
边，得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性：设T是树．故无回路，由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径，故添上一条边(vi,vj)，只能得到唯 一的一条基本回路，故条件(4)成立。 充分性：设条件(4)成立，因而图无回路， 往证明图是连通的，若图不连通，则存在 两点，这两点之间不存在路径，则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
定理3.2 当且仅当连通无向图的每一条边均 为割边时，该图才是一棵树。 证： 必要性 设图G是一棵树， e是G的任一条边，因为 树不含回路，所以e不在回路中， 由定理 2.10知，e是割边。 充分性 设G的任一条边均为割边，则去掉 任一条边图将不连通，由定理3.1(5)知， 定理2.10 当且仅当无向图G的一条边e 图是树。
定理3．5 一个连通图至少有一棵生成树。 证： 如果连通图G无回路，根据的定义，则G本身就是 一棵生成树。 如果连通图G有回路，去掉回路的任一条边得到生 成子图G1，显然G1仍然是连通的，如果G1不含回 路，则G1就是G的生成树，否则又可去掉回路的任 一条边得到另一个生成子图，只要生成图还有回 路，就去掉回路的一条边，由于图的有限性，最 后一定得到不含回路的生成子图T，由于每次去掉 回路的一条边，并不破坏图的连通性，所以T是G 的生成树。
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停
平凡树
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
图论算法-割点、割边应用
• 这个很显然，因为对于一棵子树，如果与 其连通，那么就都会遍历到，不然就回溯 至其祖先。
算法
• 那么在DFS的时候，我们纪录每个儿子子 树，与其相连的最高的祖先的层号，如果 这个层号>=其父亲的层号,那么删掉这个 父亲结点后这棵子树将于其祖先不连通.
• 如果这个层号>其父亲的层号,那么删掉这 条连接父亲的边,那么这棵子树将于其祖 先不连通.
任务目标
• 编一段程序，找出关键网线数 编一段程序， （TaskA）以及 ） 连接这些网线的两端结点（结点对） 连接这些网线的两端结点（结点对） （TaskB）。 ）。
输入数据
• 文件 文件net.in的第一行包含 个整数： 的第一行包含4个整数 的第一行包含 个整数： 总的结点数N 总的结点数 (1 ≤ N ≤ 100 000)， ， 连接的网线数 M (1 ≤ M ≤ 1000 000)， ， 提供A服务的结点数 提供 服务的结点数 K (1 ≤ K ≤ N)， ， 提供B服务的结点数 (1 ≤ L ≤ N)。 提供 服务的结点数L 。 服务的结点数 • 第二行是 个整数，标明提供A服务的结点。。 第二行是K个整数，标明提供 服务的结点 服务的结点。 个整数
Example
net.in 9 10 3 4 2 4 5 4 9 8 3 1 2 4 1 2 3 4 2 1 5 5 6 6 7 6 8 7 9 8 7
net.out 3 3 2 5 6 7 9
分析
• 这题,很显然是求桥,但是这个桥有不同之 处,并不是只要图不连通就可以了.由题意 可知这些边一定是桥,但是桥不一定是这 些边. • 要是某些点得不到某种服务,那么就是要 求在其连通块中该没有服务的点.
输出文件
• 文件 文件net.out的第一行是关键网线的数目 的第一行是关键网线的数目S 的第一行是关键网线的数目 （TaskA）。 ）。 • 接下来的 行各含一对整数p q (1≤ p, q ≤ 接下来的S行各含一对整数 行各含一对整数 N)，分别定义了一条关键网线（TaskB） ，分别定义了一条关键网线（ ） • 关键网线可以按任意顺序输出。每一条关 关键网线可以按任意顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。
树的基本割集
树的基本割集是求解树的最重要的概念之一，它可以用来描述一棵树的结构和特征。
树的基本割集分为三种类型：不割集、半割集和割集。
通俗的说，不割集是从树图中删除某些节点后，图不会变成孤立的节点；半割集是删除某些节点后，图还剩下部分连通；割集是删除某些节点后，图会变成完全不连通。
以下是一个通俗的解释方法：
假设有一棵树，我们用集合T表示，集合中的元素是树的节点。
每个节点可以是根节点或叶节点。
如果从树中删除一个不割集的节点，那么这个节点所在的子树就会失去根节点，从而变成不连通的。
半割集和割集的情况也是类似的，只是删除节点后，图的连通性会部分或完全被破坏。
我们可以用基本割集的概念来求解树。
具体来说，我们需要计算树的基本割集，然后根据最小割集定理，找到一组最小割集，它们可以描述树的完整结构和特征。
这个过程需要用到电路理论中的卡诺布朗路定理等工具。
总的来说，树的基本割集是一个非常有用的概念，可以帮助我们更好地理解和描述树的结构和特征。
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1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
பைடு நூலகம்
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林
树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
1.5 例题
例1 分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。 例2 设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是 1度顶点。则 （1）求T有几个1度顶点？ （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。
1.6 关于树的问题的解题模式（等式与不等式 ）
使用公式如下： （1）q=p-1
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。