概率论与数理统计知识总结之第一章

第一章 概率论的基本概念
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具
有统计规律性的现象

随机试验：
具有下述三个特点的试验：
1.可以在相同的条件下重复地进行
2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

样本空间：
将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S
样本点：
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点
样本空间的元素是由试验的目的所确定的。

随机事件：
一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件：
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，
称为必然事件。
不可能事件：
空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可
能事件。

事件间的关系与运算：
设试验E的样本空间为S，而A,B,kA（k=1,2,…)是S的子集。
1.若BA，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。
若BA且AB,即A=B，则称事件A与事件B相等。

2.事件xBA｜Ax或Bx称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B
中至少有一个发生时，事件BA发生。
类似地，称nkU1kA为事件,,21AA…nA,的和事件；称kkAU1为可列个事件,,21AA…
的和事件。
3.事件BA=x{｜Ax且}Bx称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B
同时发生时，事件BA发生。BA记作AB。
类似地，称InkkA1为n个事件,,21AA…nA,的积事件；称I1kkA为可列个事件
,,21AA
…的积事件。
4.事件xBA{｜Ax且}Bx称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发
生、B不发生时事件BA发生。
5.若BA，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与
事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
6.若SBA且BA,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件
B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对
立事件A.A.AS

设CBA,,为事件，则有
交换律：
.;ABBAABBA
结合律：

.)()(;)()(CBACBACBACBA


分配律：
).()()();()()(CABACBACABACBA


德·摩根律：
.;BABABABA


频率与概率
频率：

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An，

称为事件A发生的频数，比值An/n称为事件A发生的频率，并记成Afn
频率的基本性质：
1.0≦Afn≦1
2.Sfn=1
3.若,,21AA…kA,是两两互不相容的事件，则
nf(21AA…kA）=nf（1A)+…+nf（kA）

概率：
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为
P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：
1.非负性
2.规范性：对于必然事件S，有P(S)=1

3.可列可加性：P(21AA…）=P（1A）+P(2A)+…
概率的性质：
1.P()=0

2.(有限可加性）若1A，2A，…nA,是两两互不相容的事件，则有

P（21AA…nA）=P(1A)+P(2A)+…+P(nA)
3.设A,B是两个事件，若BA，则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)
4.对于任一事件A，P(A)≤1

5.对于任一事件A，有)(AP=1-P(A)
6.对于任意两事件A,B有P(BA)=P(A)+P(B)-P(AB)
一般地，对于任意n个事件,,21AA…nA,，可以用归纳法得出

P(21AA…nA）=)(1niiAP-)(1jnjiiAAP+kjnkjiiAAA1+…
+)^()1(211nnAAAP
等可能概型（古典概型）
定义：
具有以下两个特点的试验称为等可能概型：
1.试验的样本空间只包含有限个元素
2.试验中每个基本事件发生的可能性相同
事件概率计算公式：

若事件A包含k个基本事件，即Ajiiieee^21

P(A)=)(1kjijeP=nk=（A包含的基本事件数）/（S中基本事件的总数）
实际推断原理：
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发
生的”

条件概率
事件A已发生的条件下事件B发生的概率
设A,B是两个事件，且P(A)>0，称P(B｜A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件
下事件B发生的条件概率.

条件概率P(·｜A)的性质：
1.非负性:P(B｜A)≥0
2.规范性：对于必然事件S，有P(S｜A)=1

3.可列可加性：设,,21BB…是两两互不相容的事件，则有

iiBP1(U｜1()iiBPA｜)A
对于任意事件B,C,有
P(B∪C｜A)=P(B｜A)+P(C｜A)-P(BC｜A)

乘法定理：
设P(A)>0，则有P(AB)=P(B｜A)P(A)

一般，设,,21AA…nA,为n个事件，n≥2,且)^(121nAAAP>0,则有

nnAPAAAP()^(21｜1121()^nnAPAAA｜2221()^^APAAAn
｜)()11APA

划分：
设S为试验E的样本空间，nBBB^,,21为E的一组事件，若

1.njijiBBji,^,2,1,,,
2.SBBBn^21,
则称nBBB^,,21为样本空间S的一个划分

全概率公式：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，nBBB^,,21为S的一个划分，且

),^,2,1(0)(niBPi
，则

APAP()(
｜APBPB()()11｜APBPB(^)()22｜)()nnBPB
贝叶斯公式：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，nBBB^,,21为S的一个划分，且P(A)>0，

),^,2,1(0)(niBPi
,则

i
BP(
｜)AAP(｜)()iiBPB/njAP1(｜)()jjBPB

先验概率：
根据以往数据分析得到的概率
后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率

独立性：
设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称
A,B独立
定理一：
设A,B是两事件，且P(A)>0，若A,B相互独立，则P(B｜A)=P(B),反之亦然。
定理二：

若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B,A与B,A与B

设A,B,C是三个事件，如果满足等式：

)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP




则称事件A,B,C相互独立。
一般，设,,21AA…nA,是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，……，
任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件,,21AA…nA,相
互独立。

推论：
1.若事件,,21AA…nA,(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互
独立；
2.若n个事件,,21AA…nA,(n≥2)相互独立，则将,,21AA…nA,中任意多个事件换
成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立