(2)第2讲：函数及其概念

。当 a＞0 时，值域为
a＜0 时，值域为
.
2.求函数值域的常用方法：
①不等式法：①
，②
的函数可以用不等式法.
②分离常数法：形如
的函数可以用分离常数法.
③配方法：
函数可以用配方法.
④换元法：
但又不适宜直接配方的函数可以用换元法求值域.
典型例题
题型 1.函数的值域的求法 例 1：不等式法求值域
① y x 1
.
2
6.下列函数中，值域为 (0,) 的是（ ）
A. y x
B. y 1 x
C. y 1 x
D. y x2 1
7.函数 y 5x 4 的值域是（ ） x 1
A. (,5)
B. (5,)
C. (,5) (5,) D. (,1) (1,)
8.用适当方法求下列函数的值域.
① y x 2x 1
③ f (x) x 2, g(x) x2 4 ； x2
④ f (x) x, g(x) 3 x3
例 2：判断下列式子是否表示同一函数
① f (x) x , g(t) t2 ；
② y x2 , y ( x)2;
③ y 1 x 1 x, y 1 x2 ;
④ y x0, y 1
2 / 11
或
0 的实数的集合.
③若函数为 f (x) x0 这样的含零次幂，则定义域为
.
④若函数为 f (x) x 2x 1 这样由几个式子构成，其定义域为使各部分都有意义的的实数的
.
3 x
2.抽象函数的定义域：
①对于函数 f (x), f ((x)) 来说，定义域均为其中
的取值范围.
②在同一对应法则下，函数 f (x), f ((x)), f (h(x)) 中，
，
范围相同.
③已知 f (x) 的定义域为[2,3] ，则函数 f (3x 2) 的定义域为
， 的范围相同，即
的
；已知函数 f (2x 1) 的定义域为[1,1] ，
则函数 f (x) 的定义域为
，函数 f (x 5) 的定义域为
.
典型例题
题型 1：求常见函数的定义域 例 1：求下列函数的定义域
第 2 讲 函数及其概念
教学内容
1、函数的概念、函数三要素及相同函数 2、区间及无穷大的概念 3、常见函数及抽象函数的定义域 4、函数值域的求法
教学过程
考点 1：函数的概念、函数三要素及相同函数
1.函数：设 A、B 是非空数集，如果按照某种
，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B
中都有
和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
① f (x) 1 1 3x
②
f
(x)
1 x2 1
2x 1
③ f (x) 3 x 1 1 x
④ f (x) 3 x 1 x且x Z
4 / 11
题型 2：抽象函数的定义域 例 1：求下列抽象函数的定义域
（1）若函数 f (x) 的定义域为[1,4] .
①则函数 f (x 1) 的定义域为
.
6.已知函数 y ax 1(a＜0且a为常数) 在区间 (,1] 上有意义，则实数 a 的取值范围为
.
7.已知集合 A {x | x 4}, g(x)
1
的定义域为 B,若 A B ，则实数 a 的取值范围是

.
1 x a
6 / 11
8. k
为何值时，函数
y
2kx 8 的定义域为 kx2 2kx 1
R?
9. m 为何值时，函数 y mx 4 的定义域为 R? 2mx2 mx 1
7 / 11
考点 4：函数的值域
1.基本初等函数的值域：
①一次函数 y kx b(k 0) 的定义域与值域分别为
、
；
②反比例函数 y k (k 0) 的定义域与值域分别为
、
x
③二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的定义域为
③y x 2x
挑战过关
1.函数 y 3x2 2(1 x 3) 的值域为
.
2.函数 y x4 2x2 1, x R 的值域为
.
3.函数 y 2x 的值域为
.
x 1
4.函数 y x 2x 1 的值域为
.
9 / 11
5 已知函数 y 2x 3 a 4x 的值域为 (, 7], 则实数 a 的取值范围是
2
⑩ y 1 (2＜x＜1且x 0) x
11 / 11
考点 2：区间及无穷大的概念
1.区间：设 a, b 是两个实数，且 a＜b,
满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做
，记为
；
满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫做
，记为
；
满足不等式 a x＜b 或 a＜x b 的实数 x 的集合叫做
，分别记为
，
.
2.无穷大：符号
读作无穷大，
读作负无穷大，
C.[0,1) (1,4]
D. (0,1)
3.已知函数 f ( x 2) 的定义域为 (1,4) ，则函数 f (2 x) 的定义域为
.
4.已知函数 f (3 x) 的定义域为 (1,9), 则函数 f (x) 的定义域为
.
5.已知函数 f (x) 的定义域为[1,2] ，则函数 f ( x 1) 的定义域为
⑩{x x 2且x 1}
○11 {x 2＜x 6且x 5}
○12 {x 4＜x＜3且x 2}
3 / 11
考点 3：常见函数及抽象函数的定义域
1.常见函数的定义域：
①若函数为 f (x) 2x 1 这样的分式，其定义域为使 x2
不等于 0 的实数的集合.
②若函数为 f (x) x 1 这样的偶次根式，其定义域为使根号内的式子
② y x 1
③ y 9 x2
； ，当
例 2：分离常数法求值域
① y 2x 3 x2
②y x 2x 1
③ y 5x 1 4x 2
8 / 11
例 3：配方法求值域
① y x2 2x
② y x2 2x 1
③ y 2x2 x 1
例 4：换元法求值域
①y x x22
② y 2x x 1
，
x A.
2.函数的三要素：一个函数包含
、
、
三个要素.
定义域是指
的取值集合 A;与 x 值对应的 y 值叫做
；函数值的集合{ f (x) x A} 叫做函数
的
. 值域 C 与集合 B 的关系为：
3.相同函数：1.如果两个函数的
、
. 相同，则这两个函数相同.
典型例题
题型 1：函数的概念及判断 例 1：下列图像，为函数图像的是（ ）
1.求下列函数的定义域
① f (x) 3 1 1 x
② f (x) 1 2 且x Z 6 x x 1
③ y 2x 3 1 1 2x x
④y 2x 1 x 1 x
2.若函数 f (x) 的定义域为[0,2]，则函数 g(x) f (2x) 的定义域是（
）.
x 1
A. [0,1]
B. (0,1]
A.（1）
B.(1) (3) (4)
例 2：下列几个图像中，可以表示为函数图像的是（
C.(1) (2) (3) ）
D.(1) (2) (4)
A
B
C
D 1 / 11
题型 2：相同函数判定 例 1：判断下列函数是否为同一函数
① f (x) x, g(x) x2 ;
② f (x) x, g(x) ( x)2 ；
读作正无穷大，实数集 R 可记为
.
典型例题
题型 1：区间与集合的转化 例 1：将下列集合用区间表示
①{x 2 x 3}；
②{x1＜x＜5} ；
③{x x 1}；
④{x x＜ 1} ；
⑤{x 1 x＜3};
⑥{x x 1或2＜x}.
⑦{x x 2或x＜1}
⑧{x x 3且x＞1}
⑨{x x 2且x 4}
.
④若函数 f (2x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
例 2：①若函数 f (x 2) 的定义域为[1,1], 则函数 f (1 3x) 的定义域为
.
②若函数 f (2 2x) 的定义域为[1,1], 则函数 f (3x 1) 的定义域为
.
5 / 11
挑战过关
② y 2x x 1
9.求下列函数的值域
①y 5 x
③y x5 2x 2
②y x 2x 1
④ y 2x x 2
10 / 11
⑤ y x 2 x
⑥ y 2 (x 2)2
⑦ y 3 x x
⑧ y 2x2 1 x 2 2
⑨ y 3x 2 (x 2且x 3)
2x 3
.
②则函数 f (2x 1) 的定义域为
.
③则函数 f (x 1) 的定义域为
.
④则函数 f (2x 1) 的定义域为
.
（2）①若函数 f (x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
②若函数 f (2x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
③若函数 f (x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为