(2)第2讲:函数及其概念
幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 4.当时,幂函数为减函数,在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象
6.若是幂函数,且满足,则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数,且函数的图象关于y轴对称,则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象与性质 8.若,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 9.已知,,下列不等式:①;②;③;
函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求: 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域, 2. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 8.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). 9.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10.通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象,了解它们的变化情况 11.通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1.教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2..教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡,要准确把握这方面的要求,防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
2019精品教育4.示范教案(2.1函数的概念第1课时)
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 整体设计 教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时函数的概念 导入新课 思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 思路2.问题:已知函数y=1,x请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系?先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应 f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.
《变量与函数》第2课时 教学设计
《变量与函数》教学设计 第2课时 进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系,在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上,抽象出函数的概念. 1.进一步体会运动变化过程中的数量变化; 2.从典型实例中抽象概括出函数的概念,了解函数的概念. 概括并理解函数概念中的对应关系. 多媒体:PPT课件、电子白板. 一、观察思考,分析变化 问题1 下面变化过程中,是否包含两个变量?同一问题中的变量之间有什么联系? (1)汽车以60 km/h 的速度匀速行驶,行驶的时间为t h,行驶的路程为s km; (2)每张电影票的售价为10 元,设某场电影售出 x张票,票房收入为y 元; (3)圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,圆的半径为 r ,面积为 S ; (4)用10 m 长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长为 x,它的邻边长为 y. [活动说明与建议]说明:本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程
念,函数概念的抽象应循序渐进,首先让学生知道这些事例是一个变换的过程,其次这些变换过程中都含有两个变量,这两个变量之间存在着某种联系,最后由教师引导通过具体的数据,发现当给定一个变量的值时,有唯一的另一个变量的值与之对应,这种对应关系每个问题都不同. 建议:在教师的引导下,充分的让学生通过实例感知函数,感知这种对应关系. 【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一的值与之对应. 二、观察思考,再次概括 问题2:一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量之间存在上面那样的关系. (1)下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表,届数和金牌数可以分别记作 x 和 y,对于表中每一个确定的届数 x,都对应着一个确定的金牌数y 吗? (2)如图是北京某天的气温变化图,你能根据图象说出某一时刻的气温吗? 问题3:综合以上这些现象,你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗?函数的定义: 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.如果当 x =a 时,对应的 y =b,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值. 三、初步应用,巩固知识:
一次函数概念图像及性质
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像,并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念,会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质,熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质,并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义:解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足:(1)形状是一条直线;(2)始终经过(0 , b )和(k b - , 0)两点 三、截距 定义:直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ,截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ,当0>k 时,函数值y 随自变量x 的值增大而增大;当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中,是一次函数的是( ) (A )1)1(32+-=x y (B )x x y 1+ = (C )x y 3-= (D )x y 5-= 例2. 下列各式中,y 与x 成正比例关系的是 ;成一次函数关系的是 (1)x y 43= (2)x y 2 2-= (3)x y 29-= (4)x y 4= (5)52=+xy (6)765=+y x 例3. 下列说法中,不正确的是( ) (A )一次函数不一定是正比例函数 (B )不是一次函数就一定不是正比例函数 (C )正比例函数是特殊的一次函数 (D )不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是( ) (A )在32--=x y 中,y 是x 的正比例函数 (B )在x y 21-=中,y 与x 成正比例 (C )在1=xy 中,y 与x 1成正比例 (D )在圆的面积公式2r S π=中,S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=,当3-=x 时,0=y ;当1=x 时,4=y ,求k 、b 的值 专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁北京市西城区教育研修学院 函数就是中学数学中的重点内容,它就是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学 生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析、 研究函数问题通常有两条主线:一就是对函数性质作一般性的研究,二就是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等、 一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入 常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数就是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出就是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]、 Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,她拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数、”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义)、 Veblen,1880-1960用“集合”与“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量就是数”的限制,变量可以就是数,也可以就是其它对象、 (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念: 第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求:函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习,强调结合实际问题,从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的 三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域, 2.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 8.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). 9.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 1 10.通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象,了解它们的变化情况 11.通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1.教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2..教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡,要准确把握这方面的要求,防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广,进行了逻辑顺序上的调整,体现了特殊到一般的思维函数的概念和性质
函数概念及其基本性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结