动力学3

解： 解 （1）设物M相对升降机的 加速度为 a′ 对M： FM M = Ma′ ′ = Mg −T + Ma ′ = T = m a′ 对m： Fm a′ = M ⋅ 3 g = g m+ M 2 （2）在地面的观察者 X
m
a′ a
T
M
Mg
fi
aM = a′ − a = 1 g 2
am
5g am = a′2 + a2= 2 θ = tg t −1 a = 26o34′ ′
2011-03-11 日本大地震 造成的 海面漩涡
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南京遭遇暴雨袭击后，龙蹯路上一个排水口处形成一个巨 南京遭遇暴雨袭击后，龙蹯路上 个排水口处形成 个巨 大的漩涡( 2011年7月18日)
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fC = 2m v′ ×ω d. 科里奥利力的例子 4 落体偏东 4. 物体从高处自由下落，所受科里奥利力的方向不论 在南北半球均向东 因此使落点偏东 在南北半球均向东，因此使落点偏东。 显然，赤道上 赤道 这一效应最大，两极没有此效应。
F − ma0 = ma′
fi = − ma0
a0是加速平动参考系相对于惯性系的加速度。 其中，
对于其它类型的非惯性系, 惯性力有不同形式 的表达式。
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fi = − ma0 ——惯性力
引入惯性力后，在非惯性系中牛顿第二定律 在形式上被恢复了。 虚拟力 非惯性系中的牛顿第二定律：
F ′ = ma′ = F 真实力 + f i
合外力 物体间的真 实相互作用 物体的惯性在非 惯性系中的表现
惯性力不是物体间的真实的相互作用,不能归 结为自然界的四种基本力,而是一种假想的力。它 既无施力者, 也无反作用力, 不满足牛顿第三定律。
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例: 升降机以加速度a0=1.8m•s -2下降。升降机内 有一与地板成 θ = 30 角的光滑斜面,一物体从 斜面顶端由相对静止下滑。设斜面顶端离地 板高h=1m。求物体滑到斜面末端所需的时间。 解：选升降机为参考系，它是加 速平动参考系。物体除受重 − ma0 N 力和斜面的支承力外，还受 a0 到惯性力的作用，如图所示。 a mg h θ 设物体沿斜面下滑的加速 度为a ,则在平行于斜面的方向上有:
运动符合牛顿定律：
′ a ∑F = 0
ao
S
∑ F = 0, ∴a = 0
在 S´ （车厢）则不然：
∑ F = 0,
a′ ≠ 0
光滑
N
mg
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（2）惯性力 牛顿运动定律只在惯性系中成立，而不适用 于非惯性系。但许多实际问题在非惯性系中研究 起来却比较方便。为了在非惯性系中形式上利用 牛顿第二定律分析问题,需要引入惯性力这一概念。 a. 加速平动参考系 设有一质量为m的质点，在真实的外力 F 的作用下相对于某一惯性系S产生加速度 a ， 则根据牛顿第二定律，有:
ω ω
v′ fC v′
ω
赤道
fC
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d. 科里奥利力的例子 3. 北半球的强热带风暴
fC = 2m v′ ×ω
ω
fC v′ fC
v′
fC
低气压区
v′ v′
fC
北半球的强热带风暴是在热带低气压中心附近形成的，当外 面的高气压空气向低气压中心涌入时，由于科氏力的作用， 气流的方向将偏向气流速度的右方，从高空看是沿逆时针方 向旋转的涡旋。在南半球则是顺时针方向。 22
F = ma
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假设另有一参考系S′相对于惯性系S以加速度 a0 沿直线运动。在S′参考系中,质点的加速度是a ′。 则 则：
a = a′ + a0
S系中 F = m a
将此式代入上一式可得： 将此式代入上 式可得：
a AB = a AC + aCB
F = m (a′ + a0 ) = ma′ + ma0
上式表明, 在S′系中看，质点受的合外力 系中看 质点受的合外力F 并不 等于 m a ′，而是多了一项 ma0 , 故牛顿第二定律 在非惯性参考系S′中不成立。 中不成立
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上式可改写为 ：
F =m (a′+a0 )=ma′+ ma0
若假想在S′系中观察时，除了真实的外力 系中观察时 除了真实的外力 F 外，质点还受到另外一个力 − ma0 的作用 , 则 质点受到的合外力等于 ma′ 。 这样在S′系中就可形式上应用牛顿第二定律了。 这种为在非惯性系中形式上应用牛顿第二定律 而必须引入的假想的力叫做惯性力，记为 f i 。 于是，在加速平动参考系中有:
a
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b. 匀速转动的非惯性系S´ 如图：在一个匀速转动的水平转盘上, 一方块因受 摩擦力而相对盘静止, 转盘相对地面的角速度为ω . ω 求在转动参照系中方块受的惯性力。 在地面参照系： 方块作匀速圆周运动 r m 2 f = f f = ma = − mr ω n 向心 向心 静摩擦 在转盘上：方块静止不动，即 a′ = 0 合力 F ′ = m a′= 0 = F 真实力 + fi
2
z
mg sin θ − mr ω cos θ = 0 2 2 r ω d z r ω tan θ = ∴ = g dr g
2
r
2
2
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z 当战斗机做俯冲运动时，飞行员体内的血液在惯性 当战斗机做俯冲运动时 飞行员体内的血液在惯性
离心力的作用下瞬间冲向大脑，这时候飞行员会因 为脑充血而出现“红视”现象（视场变红）
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c. 科里奥利力(Coriolis force)
—1835年提出
当物体相对于转动参考系运动时，在此转动参考系 转 转 内观察，物体所受到的惯性力除了惯性离心力之外，还 有科 奥利力 简称为科氏力。 f i = − m an 有科里奥利力。
fC = 2m v′ ×ω
v′为物体相对于转动参考系 m为物体的质量， 的速度 ω 为转动参考系相对惯性系转动的 的速度， 角速度。
f i = − m an 2 a n = rω
Fi = ma i
F
O
θ
mg mrω2
z0
水是流体, 无切向应力， 故周围的水对质元m的作用力必垂直于液面。 于是 沿水面的切线方向有: 于是，沿水面的切线方向有
斜率
水面为抛物面 亦可以地面为参考系求解。
0
rω dr ∴ z = z + r ω d = z 0 ∫ ∫ 2 g g z 0
ω
南半球
ω
v′ fC
fC
v′
v′
fC
对北半球其它流向的 河流有相同的结论。
(南 ) (平缓的江滩) 汉口 ---左岸 如： 武昌---- 右岸 (陡峭的江岸)
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fC = 2m v′ ×ω d. 科里奥利力的例子 2. 信风的形成 信 的 成 赤道附近的信风在北半球是东北方向， 在南半球是东南方向。 赤道附近日照强烈，空气受热上升，引起赤道两边 的空气向赤道流动。但受科里奥利力而偏离南北方向。
x 2 vg dt dx = x 2 gdx dx
F
X
xgdt =d( xv ) 2 gL 2 2 2 1 v = g⋅dt = d( x v ) 两边同乘 两 同乘 xv ： x vg 3 2
两次求得的速度为何不同？ 机械能守恒？
M xg= d （ M xv） L dt L
m′ = M − m x d( m x v + m ′v ′) v ′ = 0 F= dt d( m x v ) 即： F = dt
2e = mr ω ∴ fi =− F 真实力 = − f静摩擦 r 即： f i = − m an ——惯性离心力
2 ω r ( ) an = v = = rω 2 r r 2
当所研究的物体相对于转动参考系运动时,其 所受惯性力的情况比较复杂，后面再作讨论。
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例：水桶以角速度ω 旋转，求水面的形状？ z 解：水面关于z 轴对称。 考虑水面任一质元m. ω 在水面参考系中看，质元m静止. f i 质元m周围的水对其的作用力？ r
z 当战斗机做爬升运动时，飞行员飞行员体内的血液
在惯性离心力的作用下瞬间冲向四肢，这时候飞行 员会因为脑缺血而出现“黑晕”现象（眼睛失明） 员会因为脑缺血而出现 黑晕 现象（眼睛失明）
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飞行员必须穿上一种G服，把身躯和四肢肌肉缠得紧紧 的，使全身血液流动不畅， 它的作用就是通过阻碍血 液的流动来达到缓解 “红视”和“黑晕”的目的
●牛顿第二定律
d( m v ) d P = F= dt dt
对于质点系:
m不变
F = m dv dt
F = ∑Fi , P = ∑ Pi ( P = ∑ mi vi )
i i
i
若每一质点速度相等，则 P = v
∑m
i
i
= mv F = m a
dv i d Pi , ( i = x , y ,z ,τ ,n ,… ) Fi = m 分量形式： Fi = dt dt
则物体滑到斜面末端所需的时间为:
S
a0
θ
mg h
2 h 1 1 = t= sinθ g − a0 sin 30
2 × 1 = 1(s) 9.8 − 1.8
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a M = a M 地 = a M 机 + a 机地 例:升降机内物体m=100克，M=0.2千克用滑轮连接，升 降机以加速度a=0.5 =0 5g上升。求 上升 求 (1)在机内观察者测 a M = a ′− a 得两物的加速度？(2)在地面的观察者测得的加速度？
mg sinθ − ma0sinθ = ma
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mg g sin θ − ma0 sin θ = ma
∴ a = ( g − a0 )sinθ
物体沿斜面作匀加速直线运动， 故
h = S = 1 at 2 = 1 ( g − a ) 2 0 )sin θ ⋅ t sin i θ 2 2