不等式的解集 方法点拨
苏科版数学七年级下册 解一元一次不等式易错题专讲、方法点拨(含解析)
解一元一次不等式易错题专讲知识点概述：解一元一次不等式属于初中基础知识点，中考所占分值3分（计算题），解法与一元一次方程类似，只有最后一步系数化为1时，注意当系数为负时，不等号注意变号一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点： 1.解一元一次不等式；2.数形结合（不等式与数轴相结合）3.整体思想的应用易错点： 1.系数为负时，要变号2.去分母时，常数项、整式项不要漏乘【典例演练】1.【答案】a＜1【解析】因为不等号的符号改变，所以x前系数为负，则a-1＜0，a＜1.思路点拨：本题考查不等式的变号问题，所有不等式求解的最后一步都会遇到，请时刻注意判断是否变号。
2.【答案】x＞2方法二：因为分母为正数，结果为正数，所以分子只能为正，所以直接列x-2＞0，解得x＞2.思路点拨：法二可以提升解题速度，对于计算薄弱的学生可以避免计算出错，同类型问题非正数，非负数等，都可用此方法进行解答3.【答案】 x≥-2【解析】（x＋2）-3×3x≤18x＋2-9x≤18-8x≤16x≥-2思路点拨：本类型一元一次不等式易错点在于不等号右侧的6，在去分母的时候需要同乘3 4.若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a＋5成立，则a 的取值范围【答案】1＜a≤7【解析】∵2x＜4∴x＜2……①∵2x＜4的解都能使（a-1）x＜a＋5成立∴a+5≥2a-2-a≥-7a≤7∵a＞1，∴1＜a≤7思路点拨：1.一个不等式的解满足另一个不等式，注意哪个不等式的解的范围大2.不等式的系数有代数式时，注意通过题目先进行判断，不要盲目分类讨论3.已经得出的范围，在结果上不要忘了加上，如本题中a＞1，结果不要漏了5.【答案】6＜m≤7【解析】∵x-m＜0∴x ＜m ∵7-2x ≤1 ∴x ≥3 ∵整数解共有4个，为3，4,5,6∴结合数轴考虑如图，右侧空心点应该大于6，小于等于7则6＜m ≤7思路点拨：1.数形结合2.端点判断6. 当m 为何值时，关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数。
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型【沪科版】【考点1 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2 由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3 解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。
含解绝对值不等式的几种类型解析
含绝对值不等式的几种类型解析(一) 形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a ∈R )型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a 等价于－a <()f x <a ；|()f x |>a 等价于()f x >a 或()f x <－a ；② 当a =0时，|()f x <a 无解，|()f x |>a 等价于()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a 等价于()f x 有意义。
例1 解以下不等式：(1)|22x －3|>5；(2)3≤|8－2x x -|；1|≥－2；(4)|332x x -+|<－1 (二) 形如|()f x |<|()g x |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0例2 解不等式|x －1|>|2x +3|(三) 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x例3 解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；解：原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解：原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(四) 形如a <|()f x |<b (b >a >0)型不等式此类不等式的简捷解法是利用等价命题法，即a <|()f x |<b (b >a >0)⇔a <()f x <b 或－b <()f x <－a例4 解不等式3<|2x －3|<5(五) 形如|()f x |<()f x ，|()f x |>()f x 型不等式此类题的简捷解法是利用绝对值的定义，即：|()f x |<()f x ⇔无解|()f x |>()f x ⇔()f x <0例5 解不等式|1x x +|>1x x + (六) 形如|()f x |+|()g x |<()h x ，|()f x |+|()g x |>()h x 型不等式此类题的简捷解法是利用等价命题法转化，即：|()f x |+|()g x |<()h x |()()|()|()()|()f xg xh x f x g x h x +<⎧⇔⎨-<⎩|()f x |+|()g x |>()h x |()()|()f x g x h x ⇔+>或|()()|()f x g x h x ->(七) 形如|()f x |+|()g x |<a ，|()f x |+|()g x |>a （a 为常数）型不等式 常用零点分段法及图像法求解例6 解不等式下列不等式（1）|x +2|+|x －2|<12（2）|4-2x |+|x +2|+|3x -6|<12(八) 含参数绝对值不等式的解法，以下是典型例题思路点拨,例7 关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
3.不等式的解和解集
数学运算
“粗心者”大都在这倒下的。你能做的，就是严格准守“游戏规则”。 1.搞清楚：运算对象，运算步骤，运算法则。 2.认真：态度决定一切。
情境
问题 1： 若不等式2-m＜ 1 3 (x-m)的解集为x＞2，则m的值为（）. 问题 2： 已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，且x=1不是这个不等式的 解，则实数a的取值范围是（）. 讨论 （1）解等式2-m＜ 1 3 (x-m)可得x＞6-2m，故6-2m=2，m=2. 【运算-已知解集求字母】已知不等式的解集，求不等式中字母的值时，应先用 字母表示出不等式的解集，再建立方程或不等式进行求解.
知识点 不等式的解和解集
数学抽象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简单讲，数学抽象就是符号，概念，公理，定理，公式。这些就是数学的本质。 当你一直坚持在用学语文的方式“背数学”时，有一天你会背不动的，因为你不知道背后的“所 以然”。 学数学能够化繁为简，靠的就是对数学抽象的全面理解。
情境
在xx卫视上，神秘嘉宾“x-3＞1”与它的解和解集隆重亮相.
讨论 （1）我们曾学过“能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，结合情境想一 想什么是不等式的解？ 【概念-解】能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）根据情境中的“介绍”，想一想什么是不等式的解集？ 【概念-解集】不等式所有解的集合叫做不等式的解集. （3）思考不等式的解与不等式的解集一样吗？它们之间存在哪些区别与联系？
2 / 3
（2）x=2是不等式组(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，故(2-5)(2a-3a+2)≤0；x=1不 是这个不等式的解，所以(1-5)(a-3a+2)＞0，联立两个不等式进行求解，就可以 得出a的取值范围了. 【运算-已知解求字母】已知不等式的解，求不等式中字母的取值情况时，应先 根据不等式的解一定满足该不等式，建立不等式（或不等式组），再求解该不 等式（或不等式组），从而得出答案.注意若给出某一未知数不是题目中不等式 的解，那它一定是与该不等式相对立的那个不等式的解，“＜”与“≥”相对 立，“＞”与“≤”相对立. 实战演练 （导学号 导学号 S2658440）已知关于x的不等式(k-2)x+3＜11-k(3-x)的解都是不等 式4x＞3x-2的解，求k的取值范围． 点拨：分析题意，先根据 “不等式 (k-2)x+3＜ 11-k(3-x)的解都是不等式 4x＞ 3x-2的解 ”求出不等式 4x＞ 3x-2的解，再结合【运算 -已知解集求字母】进行解答 即可 .
不等式的解集 一元二次不等式的解法
11
7．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两个不相等 有两个相等的
解不等式 y＞0 求方程 y＝0 的
7
4.一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 的不等式称为一元二次不等式，其 中 a，b，c 是常数，而且 a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
18
3．不等式|x|－3＜0 的解集为________． {x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
19
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________． ∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－ 23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
38
[解]
(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－
1 2
，x2＝2，∴
不等式2x2－3x－2>0的解集为
xx<－12或x>2
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-5《不等式与不等式组》章末复习(能力提升)
第九章不等式与不等式（组）9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确； （2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误； （4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确． （6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集
A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒 在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画， 小于向左画；界点处 用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式 不等式的解与解集 不等式的解集的表示方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法， 看清不等号和端点值是解决问题的关键.
苏科版数学七年级下册_不等式解集考点例析
不等式解集考点例析一、考查不等式的解例1、判断下列说法是否正确，为什么？①x=2是不等式2x＜6的一个解；②x=1不是不等式x－2＞0的解；③因为x=1是不等式x－5＜0的一个解，所以该不等式的解为x=1.点拨：只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解，反之，则不是这个不等式的解。
解：①正确。
因为当x=2时，不等式2x＜6成立②正确。
因为当x=1时，不等式x－2＞0不成立③错误。
因为当x=1时，不等式x－5＜0成立，所以x=1是它的一个解，但不是全部解，除1之外它还有其他的解，如x=2.1、x=－2等。
二、考查不等式的整数解例2、①不等式1324x-≤<的整数解有；②不等式2x－1≤5最大整数解是。
点拨：整数包括正整数、零和负整数。
解：①介于134-和2(不包括2)之间的整数有－3、－2、－1、0和1，故填－3、－2、－1、0、1；②先利用不等式的基本性质，将原不等式化为x≤3,它的整数解有无数个，最大的为3。
故填3三、考查不等式的解集例3、下列说法正确的是()A、x=3是不等式x＋1＞2的解集B、不等式－4x＞8的解是x＜－2C、不等式－6x＜18的解集为＜－3D、12x>是不等式2x－1＞0的解集。
点拨：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，它包含不等式的每一个解。
不等式的解集一般要化为x＞a或x＜a的形式。
在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向一定要改变。
解：A、错。
因为x=3是不等式x＋1＞2的一个解；B、错。
因为x＜－2是不等式－4x＞8的解集，而不是解C、错。
不等式－6x＜18的两边都除以一个负数时，不等号的方向应改变；D、对。
故选D。
四、考查用数轴表示不等式的解集例4、在数轴上表示下列不等式的解集①x＞3 ②x＜3.5 ③－2≤x＜2点拨：由于数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，所以“大于”应在这个数的右边，“小于”应在这个数的左边，包括这个数应画实心点，不包括这个数应画空心圈。
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●方法点拨
［例2］写出不等式x－5＜－1的3个解，并写出这个不等式的解集.
解：3个解x=0，x=－1，x=1.
解集是x＜4.
4.求不等式解集的过程叫做解不等式.
5.不等式的解集在数轴上的表示.
①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)
图1－1
在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈(表示不等于a)向右画一折线.表示数轴上a右边的数字，都比a大.
②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)
图1－2
在数轴上把表示a的这个点用实心圆点向右画一折线.
③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)
图1－3
在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈向左画一条折线.
④当不等式的解集是x≤a时.(如图1－4)
图1－4
在数轴上把表示a的点用实心圆点向左画一折线.
［例3］用数轴表示下列不等式的解集.
(1)x≥－3 (2)x＜－3.5
解：(1)如图1－5
图1－5
(2)如图1－6
图1－6
［例4］根据数轴判断不等式的解集.
(1)
图1－7 (2)
图1－8 解：(1)不等式的解集为x＞－1.
(2)不等式的解集为x≤2.。