解不等式的方法归纳

一、知识导学
解不等式的方法归纳
1. 一元一次不等式 ax>b
(1)当 a>0 时，解为 x b ； a
(2)当 a＜0 时，解为 x b ； a
(3)当 a＝0，b≥0 时无解；当 a＝0，b＜0 时，解为 R．
2. 一元二次不等式：(如下表)其中 a＞0，x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实根，且
x1＜x2 (若 a＜0，则先把它化正，之后跟 a＞0 的解法一样) 3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：
①将 f(x)的最高次项的系数化为正数；
类型 解集
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c＜0
ax2+bx+c≤0
Δ＞0
{x｜x＜x1 或 x＞ x2}
{x｜x≤x1 或 x≥ x2}
{x｜x1＜x＜x2} ｛x｜x1≤x≤x2｝
{x｜x≠- b ，
Δ＝0
2a
R
x R}
Ф
｛x｜x=- b ｝
2a
Δ＜0
R
R
Φ
Φ
②将 f(x)分解为若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
4.分式不等式：先整理成 f (x) ＞0 或 f (x) ≥0 的形式，转化为整式不等式求解，即：
g(x)
g(x)
f (x) ＞0 f(x)·g(x)＞0 g(x)
f
(x)
≥0
f (x) 0 g(x) 0
或
f (x) g(x)＞0
g(x)
然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 二、疑难知识导析 1.不等式解法的基本思路 解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化 为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、 有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元 一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.
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2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不 等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同 一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或 几个区间误看成是两个或几个不等式的解集. 3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广 泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的 不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲
[例 1] 如果 kx2+2kx－(k+2)<0 恒成立，则实数 k 的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k≤0 B. －1≤k<0 C. －1<k≤0 D. －1<k<0
k 0
错解：由题意：
(2k
)
2
4k
[(k
2)]
0
解得：－1<k<0 错因：将 kx2+2kx－(k+2)<0 看成了一定是一元二次不等式，忽略了 k＝0 的情况. 正解：当 k＝0 时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立， k＝0 符合题意.
k 0 当 k 0 时，由题意： (2k)2 4k [(k 2)] 0
解得：－1<k<0
1 k 0 ，故选 C.
[例 2] 命题 A: x 1 ＜3，命题 B : (x 2)(x a) ＜0，若 A 是 B 的充分不必要条件，则 a 的
取值范围是＿＿＿＿＿＿＿
A. (4, ) B.4,
C. (, 4)
D. , 4
错解：由｜x－1｜＜3 得：－2＜x＜4， 又由（x＋2）(x＋a)=0 得 x=－2 或 x＝－a,
A 是 B 的充分不必要条件,
{ x|－2＜x＜4} { x|－2＜x＜－a}
－a>4 故选 D. 错因：忽略了 a＝－4 时，{ x|－2＜x＜4} ＝{ x|－2＜x＜－a} ，此时 A 是 B 的充要条件，
不是充分不必要条件. 正解：由｜x－1｜＜3 得：－2＜x＜4， 又由（x＋2）(x＋a)=0 得 x=－2 或 x＝－a,
A 是 B 的充分不必要条件,
{ x|－2＜x＜4} { x|－2＜x＜－a}
－a>4 故选 C.
[例 3]已知 f(x)
=
ax
+
x b
，若 3
f (1) 0,
3
f (2) 6, 求
f (3) 的范围.
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3 a b 0 ①
错解：
由条件得
3
2a
b 2
6
②
②×2－① 6 a 15
③
①×2－②得 8 b 2
④
33 3
③ + ④ 得 10 3a b 43 , 即10 f (3) 43.
3
33
3
3
错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 f (x) ax x ，其值是 b
同时受 a和b 制约的.当 a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路
是错误的.
正解：
由题意有

f f
(1) (2)
a 2a
b
b, 2
解得： a 1 [2 f (2) f (1)], b 2 [2 f (1) f (2)],
3
3
f (3) 3a b 16 f (2) 5 f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 16 f (3) 37 .
39
9
3
3
[例 4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x－2) 0
错解：（x+2）2 0 原不等式可化为：(x+3)(x－2) 0 原不等式的解集为｛x| x －3 或 x 2 ｝
错因:忽视了“ ”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中. 正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x－2) 0 ①或（x+2）2(x+3)(x－2) 0 ②，
解①得：x=－3 或 x＝－2 或 x＝2 解②得：x＜ －3 或 x＞2
原不等式的解集为｛x| x －3 或 x 2 或 x 2 ｝
[例 5] 解关于 x 的不等式 a(x ab) b(x ab)
解：将原不等式展开，整理得： (a b)x ab(a b)
讨论：当 a b 时， x ab(a b) ab
当 a b 时，若 a b ≥0 时 x ；若 a b <0 时 x R
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当 a b时， x ab(a b) ab
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.
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[例 6]关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为{x | x 2或x 1} 2
求关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集． 解：由题设知 a 0，且 x 2, x 1 是方程 ax2 bx c 0 的两根
2
∴ b 5 ， c 1 a 2a
从而 ax2 bx c 0 可以变形为 x2 b x c 0 aa
即： x2 5 x 1 0 ∴ 1 x 2
2
2
点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想
在解题中的简单应用.
[例
7]不等式
log 2 (x
1 x
6)
3 的解集为
解：∵
log 2
(x
1 x
6)
3
，∴0＜
x
1 x
6
8
，∴

x
1 x
2

x
1
6
0
x
∴
x
0,
或x
1
3 2 2 x 3 2
2或x 0
解得 x (3 2 2, 3 2 2) 1
反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相
同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：
(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小；(2)找中间量,往往是 1,在
这些数中,有的比 1 大,有的比 1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相
应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练
1.解不等式
x2 x2

3x 2x

2 3
0
2. 解不等式 x3 3x2 2x 6
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3.解不等式 (x2 4x 5)( x2 x 2) 0 4. 解不等式 (x 2)2 (x 1)3 (x 1)( x 2) 0
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5.解不等式 16 x 1 x 1
6.k 为何值时，下式恒成立： 2x2 2kx k 1 4x2 6x 3
7. 解不等式 3x 4 x 3 0 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！
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