苏教版高二数学上学期期末试卷附详细答案

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江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ．【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)；，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1：． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。

江苏省苏州市2023~2024学年高二上学期期末考试数学试卷及答案

苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。

2022-2023学年苏教版高二上学期期末复习巩固(一)数学试题及参考答案

2022-2023学年苏教版高二上学期期末复习巩固（一）数学试题及参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）1．函数()()x x e x f x cos sin +=在0=x 处切线的斜率为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知圆0442221=-+-+y x y x C ：和圆0311********=+--+y x y x C ：，则这两个圆的公切线的条数为（）A ．1或3B ．4C ．0D ．23．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为1,2,5,10,17,26,37，则该数列的第20项为（）A.324B.325C.362D.3994．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若132+=n nT S n n ，则=nn b a （）A.32B.1312++n n C.1312--n n D.4312+-n n 5．已知直线l 交抛物线x y C 42=：于x 轴异侧两点B A ,，且12=⋅OB OA ，过O 向AB作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程为（）A.()9322=+-y x B.()()09322≠=+-x y x C.()()09322≠=+-y y x D.()()09322≠=+-x y x 或()()09322≠=+-y y x 6．已知F 为双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的左焦点，直线l 过点F 与双曲线交于BA ,两点，且AB 最小值为ab 22，则双曲线离心率取值范围为（）A.()2,1 B.()21， C.(]21，D.(]21，7．已知()x f 是可导函数，且()()x f x x x f '⋅<ln 对于0>∀x 恒成立，则（）A.()()()264382f f f <<B.()()()824326f f f <<C.()()()922643f f f << D.()()()432682f f f <<8．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,20,ln x e x x xxx f x ，若函数()()a x f x g -=仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（）．A.()∞+，2B.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∞+31,2e ，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-⎥⎦⎤ ⎝⎛31,2,1ee D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,e 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知124=a ，014>S ，015<S ，则下列结论正确的是（）A.07<a B.3724-<<-d C.847=S D.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n T ，则0>n T 时，n 的最大值为2710．已知圆()()41122=+++y x M ：，直线02=-+y x l ：，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为22C ．当直线AB 的方程为0=+y x 时，APB ∠最小D ．若动直线l l ∥1，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,22CD ，则直线1l 横截距的取值范围为()()22,40,22---- 11.已知椭圆()0214222>>=+b b y x 的左右焦点分别为21,F F ，直线()22<<-=m m x 与椭圆交于D C ,两点，B A ,分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A ．若直线BC 的斜率为1k ，直线AD 的斜率2k ，则2214b k k =B ．若有且仅有两个不同的实数m 使得21F CF ∆为等腰直角三角形，则8282-=bC ．21CF CF ⋅取值范围为[)22,42b b -D ．CD F 1∆周长的最大值为812．已知O 为坐标原点，抛物线x y 42=的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两个动点，M为弦AB 的中点，对A ，B ，M 三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，则下列说法正确的是（）A ．当AB 过焦点F 时，MCD ∆为等腰三角形B ．若BF AF 2-=，则直线AB 的斜率为3±C ．若︒=∠120AFB ，且AF BF 2=，则1473=ABMN D ．若AOF ∆外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为π49三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置）13．若点()25-，A 和点()n mB ,关于直线01=+-y x 对称，则=+n m ．14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且12+=n nT S n n ，则=53b a .15．已知圆()()()01222>=-+-r r b y x C ：，若圆C 与y 轴交于M ，N 两点，且3=MCMN，则=r ．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B ．若22BF AF ⊥，且2131AF BF =，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡相应位置作答）17.（10分）已知圆044222=-+-+y x y x C ：，圆()()413221=-+-y x C ：及点()13，P .（1）判断圆C 和圆1C 的位置关系；（2）求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.18．（12分）已知直线1++=k kx y l ：．（1）求证：直线l 恒过定点()11，-A ；（2）已知两点()44，-B ，()20，C ，过点A 的直线l 与线段BC 有公共点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()n n a n S 12+=，11=a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .20．（12分）已知函数()x x f -=3．（1）若函数()k x f y --=3在[]1,2-∈x 上有且仅有一个零点，求k 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得函数()()04log 423>---=x xx f m y 在[]b a ,上的值域为[]b a 2,2，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知点21,F F 分别是椭圆13422=+y x C ：的左、右焦点，B A ,是椭圆C 上不同的两点，且()021>=λλB F A F ，连接12BF AF ，，且12BF AF ，交于点Q ．（1）当2=λ时，求点B 的横坐标；（2）若ABQ ∆的面积为21，试求λλ1+的值．22．（12分）已知函数()()a x x x f -=ln ，()22--=x x g .（1）()+∞∈∀,0x ，()()x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1=a 时，求()x f 在区间[]()01,>+t t t 的最小值；（3）证明：当()+∞∈,0x 时，xe x x 2111ln --≥-.参考答案一、二选择题123456789101112BBCCBDBCBCABDBCDACD三、填空题13．314．19515．216.565四、解答题17．解：（1）圆C 方程可整理为：()()92122=++-y x ，则圆心()21-，C ，半径3=r ；由圆1C 方程可知：圆心()131，C ，半径21=r ；∵()()131231221=--+-=CC ，1511=-=+r r r r ，，∴111r r CC r r +≤≤-，∴圆C 和圆1C 相交.（2）当过()13，P 的直线斜率不存在，即为3=x 时，其与圆C 不相切，∴可设所求切线方程为：()31-=-x k y ，即013=+--k y kx ，∴圆心C 到切线的距离31232=+-=k k d ，即()222399k k -=+，解得：0=k 或512-=k ，∴切线方程为：1=y 或()35121--=-x y ，即1=y 或041512=-+y x .18．解：（1）证明：由1++=k kx y ，得()11+=-x k y ．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点()11，-A ．（2）解：由题意可知1=AC k ，1-=AB k ，由题意可知直线l 的倾斜角介于直线AB 与AC 的倾斜角之间，又AC 的倾斜角是45°，AB 的倾斜角是135°，A 点横坐标在C B ,两点横坐标之间，因此直线l 可能与x 轴垂直，倾斜角可以是90°，∴α的取值范围是︒≤≤︒13545α．19．解：（1）由已知，2≥n 时，112--=n n na S ，与已知条件作差得：()112--+=n n n na a n a ，∴11-=-n na a n n ，∴()21122321111223211≥=⨯⨯⨯⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=---n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n ，当1=n 时也成立.（2）证明：∵()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+==+211212112n n n n a a b n n n ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+-++--++-+-+-=21111115131412131121n n n n T n 43232121112321211121121=⨯<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++=n n n n .得证.20．解：（1）∵函数()k x f y --=3在[]1,2-∈x 上有且仅有一个零点，∴()3-=x f y 的图像与k y =只有一个交点.作出图象如图所示：由图像可得：当2-=x 时，()63=-x f ；当1-=x 时，()03=-x f ；当1=x 时，()383=-x f ；∴要使()3-=x f y 的图像与k y =只有一个交点，只需0=k 或638≤<k ，故实数k 的取值范围{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<6380k k .（2）假设存在实数m ，符合题意.∵()xx f -=3，∴()xx m x x m x x f m y 44444log 4223-+-=-+-=---=.∵x y =和xy 4-=在[]b a ,（其中0>a ）上单调递增，∴在[]b a ,上单调递增.∴函数x x m y 44-+-=在[]b a ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-b b m a a m 44,44，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-b b b m a a a m 244244，∴b a ,是关于x 的方程()0442=+--x m x 两个不等正根，只需：()⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+>--=∆040401642ab m b a m 解得：0<m .即实数m 的取值范围为()0，∞-.21．解：（1）设()()2211,,y x B y x A ，，依题意，()()010121，，，F F -，由B F A F 212=，得()21212121y y x x =-=+，，即⎩⎨⎧=-=-2121232y y x x ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+4344413422222121y x y x ，两式相减得3344422212221-=-+-y y x x ，即有()()()()332242221212121-=-++-+y y y y x x x x ，则()324321-=+-x x ，即4221=+x x ，由⎩⎨⎧=+-=-42322121x x x x 得472=x ，∴点B 的横坐标为47．（2）因B F A F 21∥，则121AF F BAF S S ∆∆=，即有21F QF AQB S S ∆∆=，记2102121S S S S S S S QBF QAF F QF AQB ====∆∆∆∆，，，则λ===BF A F QF AQ S S 21201，即01S S λ=．同理021S S λ=，而B F AF S S S S 210212=++，连BO 并延长交椭圆C 于D ，连接21DF DF ，，如图，则四边形21DF BF 为平行四边形，12DF BF ∥，又点D 在直线1AF 上，∴D F AF D F BF 1112λ==，，221ADF B F AF S S ∆=，∴()020000121212S S S S S S ADFλλλλλλ+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∆，即()2201ADF S S ∆+=λλ，设直线1-=ty x AD ：，点()33,y x D ，有31y y λ-=，即()3131231312123311321y y y y y y y y y y y y y y -+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+λλ，则()3123112y y y y +=--λλ，由⎩⎨⎧=+-=1243122y x ty x 消去x 并整理得：()0964322=--+ty y t ，∴439,436231231+-=+=+t y y t t y y ，4311221223131212++=-=-=∆t t y y y y F F S ADF ，()434122231231+-=+=--t t y y y y λλ，则43810122++=+t t λλ，于是得()21143211122022=+=⋅++=+=∆∆t S S S ADF ADF λλλλ，解得452=t ，∴31824453845101=+⨯+⨯=+λλ．22．解：（1）()+∞∈∀,0x ，()()x g x f ≥恒成立，即为2ln 2--≥-x ax x x ，也就是xx x a 2ln ++≤在()∞+，0上恒成立．令()02ln >++=x x x x x h ，，()()()2222122211x x x x x x x x x h -+=-+=-+='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减，当()+∞∈,1x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，在1=x 时，()x h 取到极小值也是最小值，()()31min ==h x h ，∴3≤a .（2）当1=a 时，()x x x x f -=ln ，()x xx x x f ln 11ln =-⋅+='.当10<<t 时，[]1,t x ∈时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当(]1,1+∈t x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增，∴1=x 时，()x f 取到极小值也是最小值，即()()11min -==f x f ，当1≥t 时，[]1,+∈t t x ，()0≥'x f ，()x f 单调递增，()()t t t t f x f -==ln min .（3）证明：要证当()+∞∈,0x 时，xe x x 211ln 1-≥--．即证当()+∞∈,0x 时，2ln 1-≥--x e xx x x ．由（2）知当1=a 时，函数()x x x x f -=ln 在1=x 处的最小值为1-，令()21-=-x e x x m ．∴()11--='x e xx m ，由()0='x m 得1=x ，∴在()1,0得函数，在()∞+，1，()x m 为减函数，∴()()11max ==m x m ，当()+∞∈,0x 时，2ln 1-≥--x ex x x x ．即当()+∞∈,0x 时，xe x x 211ln 1-≥--.。

江苏省高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( ) A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}A ∩B =A. B. C. D. (‒1,1](‒2,2](‒2,1](‒1,2]【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题．直接由交集运算得答案．【解答】解：集合，， A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}所以．A ∩B =(‒1,1]2. 已知复数，则( ) z =1+i1‒i z 3=A. B. C. D.1‒1i ‒i 【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果． i 2=‒1【解答】解：， ∵z =1+i 1‒i =(1+i )2(1‒i)(1+i)=i ， ∴z 3=i 3=‒i 故选：．D3. 已知点，，若直线与直线垂直，则( )A (1,0)B (3,1)AB x ‒my +1=0m =A. B. C. D. ‒2‒12122【答案】B【解析】【分析】本题考查了两直线垂直与斜率的关系，考查了过两点的斜率公式，属于基础题．求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值． AB ‒1m 【解答】解：直线的斜率为， AB 1‒03‒1=12因为直线与直线垂直， AB x ‒my +1=0所以直线的斜率为．x ‒my +1=0‒2所以，解得．1m =‒2m =‒124. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，{a n }: 112358，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，⋯3a 1=a 2=1a n +2=a n +1+a n 这样的数列称为“斐波那契数列”若，则( ) .a m =2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1m =A. B. C. D. 126127128129【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列递推关系在解题中的应用，考查阅读能力和分析解决问题的能力，属于中档题．根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得：，使用累加法a n =a n +2‒a n +1求得，然后将的系数倍展开即可求解． S n =a n +2‒12(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+12【解答】解：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，a 1=a 2=1由，得，所以，，a n +2=a n +1+a n (n ∈N ∗)a n =a n +2‒a n +1a 1=a 3‒a 2a 2=a 4‒a 3a 3，，，将这个式子左右两边分别相加可得：=a 5‒a 4…a n =a n +2‒a n +1n ，所以 S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯+a n =a n +2‒1S n +1=a n +2所以2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯a 124+， a 125+a 126+1=S 126+1=a 128故选C ．5. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为( )C y y =±2x C A.B. C. D.52235【答案】A【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．由焦点在轴上，渐近线方程为可得，从而求得离心率的值． y y =±2x ab =2【解答】解：由题意可得，即，ab =2b =12a 所以． c a =a 2+b 2a 2=a2+a 24a 2=54=526. 已知函数的导函数为，且，则( ) f (x )f '(x )f (x )=2xf '(π6)+cos x f (π6)=A.B.C.D.‒12123‒π63+π6【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题．求导，代入，可得，从而可求 x =π6f '(π6)=12f (π6).【解答】解：， ∵f (x )=2xf '(π6)+cosx ，∴f '(x )=2f '(π6)‒sinx 令，则，x =π6f '(π6)=2f '(π6)‒sin π6即， f '(π6)=12则，．f (x )=x +cosx 7. 已知等差数列中，记，，则数列的前项和为( ){a n }a 4+a 5=2.b n =a n +1a n‒1n ∈N ∗{b n }8A. B. C. D. 04816【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质与分组求和法，属于中档题．分离常数可得，设，当时，可得，b n =1+2a n ‒1c n =2a n‒1c n +c 9‒n =0故可得数列的前项和． {b n }8【解答】解：，b n =a n +1a n ‒1=a n ‒1+2a n ‒1=1+2a n ‒1设，c n =2a n‒1当时，c n +c 9‒n =2a n ‒1+2a 9‒n ‒1=2·a n +a 9‒n ‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)，=2·a 4+a 5‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)=0故 b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1‒1+1+2a 2‒1+⋯+1+2a 8‒1=8+c 1+c 2+⋯+c 8．=8+(c 1+c 8)+(c 2+c 7)+(c 3+c 6)+(c 4+c 5)=88. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，f (x )f '(x )R f (x +1)g (x )=f '(x )若是奇函数，则( ) g (x )g (10)=A. B. C. D.20‒1‒2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．根据是奇函数，可得，两边求导推得，f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)g (x )=g (‒x +2)，再结合题意可得是函数的一个周期，且，进而可求解． g (2)=g (0)4g (x )g (0)=0【解答】解：因为是奇函数，所以， f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)两边求导得， ‒f '(‒x +1)=‒f '(x +1)即， f '(‒x +1)=f '(x +1)又，g (x )=f '(x )所以，即， g (‒x +1)=g (x +1)g (x )=g (‒x +2)令可得，x =2g (2)=g (0)因为是定义域为的奇函数，所以， g (x )R g (0)=0即．g (2)=0因为是奇函数，g (x )所以，又， g (‒x )=‒g (x )g (x )=g (‒x +2)所以， g (‒x +2)=‒g (‒x )则，g (x +2)=‒g (x )， g (x +4)=‒g (x +2)=g (x )所以是函数的一个周期， 4g (x )所以． g (10)=g (2)=0故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

江苏2022年高二上册数学期末考试带答案和解析

江苏2022年高二上册数学期末考试带答案和解析填空题命题：“若，则”的逆否命题是______．【答案】若，则【解析】根据原命题和其逆否命题的形式，即可得到结果。

否定前提：否定结论：前提和结论都需要否定，然后调换位置本题正确结果：若，则填空题已知复数（是虚数单位），则．【答案】【解析】试题填空题已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】，【解析】通过标准方程确定和，根据的关系，得到焦点。

由题意得：，由得：焦点坐标为本题正确结果：，填空题“”是“”成立的______条件在“充分不必要”，“必要不充分”，”充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写．【答案】充分不必要【解析】通过求解不等式得到，判断其与的关系即可得到结果。

由可得：当时，必有当时，则未必成立（如）本题正确结果：充分不必要填空题函数，的单调递减区间是______．【答案】【解析】对求导，通过得到单调递减区间。

有题意得：令，解得：当时，，此时单调递减本题正确结果：填空题若双曲线C：的离心率为，则的值为______．【答案】3【解析】通过离心率得到的关系，再利用双曲线得到之间的关系。

离心率，即又，所以本题正确结果：填空题直线l过点，且与曲线相切于点，若，则实数a的值是______．【答案】2【解析】利用切线斜率既等于导函数的值，又可以表示为两点连线斜率公式的形式，得到关于的方程，解方程得到结果。

即切线斜率直线过，则本题正确结果：填空题在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用且来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用______来证明．【答案】且【解析】集合之间的是“包含”和“包含于”的关系。

集合相等，说明二者互为子集。

说明集合和集合元素完全相同，既互为子集的关系本题正确结果：且填空题函数的定义域为R，若对任意的，，且，则不等式的解集为______．【答案】【解析】由得到在上单调递增；将不等式中的改写为，利用单调性得到关于的不等式，解不等式得到结果。

江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程：得：， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。

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xyOxyO AxyO Bxy OCxy ODf (x )-第一学期期末考试高二数学试卷(理)（考试时间为120分钟，总分为160分） 2007年1月一、选择题（每题5分，共计50分） 1．已知()ln f x x =，则()f e '的值为A ．1B ．-1C ．eD ．1e2．设(,4,3)a x =，(3,2,)b z =，且//a b ，则xz 等于 A ．4- B ．9-C ．9D ．6493．函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象大致是4．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15, 则点P 到点(－5, 0)的距离是 A ．7 B ．23 C ．11或19 D ．7或235．已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥≤0420y x x y y ，则z = x + 3y 的最小值是A ．316 B ．316-C ．12D ．－126．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同7．“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件8．设P 是ABC ∆所在平面外一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 在这个平面上的射影是ABC ∆的A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心9．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2007项是A ．2050B ．2051C ．2052D ．2053 10．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2二、填空题（每题5分，共计30分）11．双曲线14322=-x y 的渐近线方程是 ▲ ． 12．命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题是 ▲ ．13．等差数列的第2，3，6项顺次成等比数列，该等差数列不是常数列，则这个等比数列的公比为 ▲ ．14．设点P 在抛物线212x y =上，且点P 到此抛物线的焦点的距离为6，则点P 的坐标为 ▲ ．15．在曲线sin y x =(0)x π<<上取一点M ，使过M 点的切线方程与直线y =23x 平行，则M 点的坐标是点 ▲ ．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 ▲ ．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．18．（本题满分16分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE 垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值；（2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）．（Ⅰ）若20a = 30，求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且1d ≠，试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++．20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立，求c 的取值范围．21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则总存在实数λ，使AB PQ λ=，请给出证明．D 1C 1B 1A 1EFDCBA2006-2007学年第一学期期末考试班级________________ 姓名________________ 学号_________________……………………………………装…………………………………………………………订…………………………线……………………高二数学试卷答卷（理）二、填空题（每题5分，共计30分）11．12．13．14．15．16．三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）18．（本题满分16分）19．（本题满分16分）D1C1B1A1EFDCBA20．（本题满分16分）21．（本题满分18分）……………江苏省高级中学2006-2007学年第一学期期末考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题（每题5分，共计50分）二、填空题（每题5分，共计30分）11．2y x =±； 12．若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠； 13．3 14．(6,3)±； 15．1(,)62π； 16．②③三、解答题（共计80分）17．（本题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b -=的一个焦点1F 且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(3M ．（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．解：（1）由题意可设抛物线1C 的方程为22y px =． (2分)把2(,33M 代入方程为22y px =，得2p = (4分)因此，抛物线1C 的方程为24y x =． (5分) 于是焦点(1,0)F (7分) （2）抛物线1C 的准线方程为1y =-，所以，1(1,0)F - (8分)而双曲线2C 的另一个焦点为(1,0)F ，于是17522333a MF MF =-=-= 因此，13a =(10分) 又因为1c =，所以22289b c a =-=．于是，双曲线2C 的方程为2211899x y -=． (12分) 因此，双曲线2C 的离心率3e =． (14分)18．（本题满分16分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为30，AE垂直BD 于点E ，F 是11A B 的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值；（2）求直线1AA 与平面BDF 所成角的正弦值；解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以1AA 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．由已知2AB =，11AA =，可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,0,1)F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=，而2AB =，AE BD ⊥，1AE =，23AD =，因此易得13(,,0)2E ，23(0,,0)D ． (4分) （1）因为13(,,0)2AE =，(1,0,1)BF =-，所以12cos ,42AE BF AE BF AE BF-⋅<>===-⋅．于是，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为4． (10分) （2）易知直线1AA 的一个方向向量为(0,0,1)m=，设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量，(2,3BD =-，由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩0n BF n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取1x =，得(1,3,1)n =，所以5cos ,5m n m n m n⋅<>==⋅，即直线1AA 与平面BDF 所成 (16分)19．（本小题满分16分）已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）．（Ⅰ）若20a = 30，求d ；（Ⅱ）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，可以使得403130,,,a a a 是公差为d 3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出10n a 关于d 的关系式（n ∈N *）；（Ⅳ）在（Ⅲ）条件下，且1d ≠，试用d 表示此数列的前100项和10012100...S a a a =+++．解：（Ⅰ）1010a =20101030a d =+=于是，2d = (4分) （Ⅱ）1010a = 201010a d =+22302010101010a a d d d =+=++因此，230110()7.57.52a d =++≥ (8分)（Ⅲ）32340301010101010a a d d d d =+=+++11010,11010......1010(1),11n n nn d a d d d d d-=⎧⎪=+++=⎨-≠⎪-⎩ (12分) （Ⅳ）10012100......S a a a =+++12101112209192100(......)(......)......(......)a a a a a a a a a =++++++++++++29102090110110110110(10)(1010)(1010) (1010)2222a d a d a d ++++=⨯++⨯++⨯+++⨯2910209010(......)55(1......)a a a d d d =++++++++29100(9......)1d d d d=-----+101551d d -⋅- 1110255451055955(1)d d d d +-+=- (16分)20．（本小题满分16分）已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； (3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c<恒成立，求c 的取值范围．解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′(x )＝0的解．－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． (4分) 经检验得：这时1x =与23x =-都是极值点． (5分)（2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1．∴f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋1．∴ f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12．(10分)（3）由（1）得，f ′(x )＝(x －1)(3x ＋2)，f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，f (x )在[－1，－23)及（1，2]上递增，在（－23，1）递减．而f (－23)＝－827－29＋45＋c ＝c ＋2227．f (2)＝8－2－4＋c ＝c ＋2．∴ f (x )在[－1，2]上的最大值为c ＋2． ∴ 32c c+<∴2230c c c+-< ∴ 20230c c c >⎧⎨+-<⎩ 或20230c c c <⎧⎨+->⎩∴ 01c <<或3c <-． (16分)21．（本小题满分18分）已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则总存在实数λ，使λ=，请给出证明．解：（1）2a =，即2OA =，02AC BC ACB π⋅=⇒∠=．12OC OB BC AC === ∴ 2OA OC ==∴ (1,1)C (4分) 如图建立直角坐标系，设椭圆的方程为22221x y a b+=(0)a b >>．则由(1,1)C 代入22221x y a b +=得22111a b+=，把2a =代入22111a b +=得243b =．所以椭圆的方程为223144x y += (8分) （2）设PCQ ∠的平分线CD 交OA 于点D ，则CD OA ⊥．由PCD QCD ∠=∠可知直线PC 与QC 的倾斜角互补． (10分) 于是直线PC 与QC 的斜率互为相反数，因此可设：直线PC 的方程为1(1)y k x -=- 和直线QC 的方程为1(1)y k x -=--．由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩解得2222361321(,)3131k k k k P k k ----+++； (14分) 同理由2231441(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=--⎩解得2222361321(,)3131k k k k Q k k +--++++． ∴ 直线PQ 的斜率13PQ k =，而13AB k =（特例）． (16分)PQ AB∴//=．(18分)∴总存在实数λ，使λ。

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