2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. 【详解】B 中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C 中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D 中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； A 中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意，故选A. 【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象能力，属于基础题. 2．设p ：01x <<，q ：21x ≥，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件及由x 范围的大小即可判断。

【详解】由题设知，210x x ≥⇒≥，∵()[)010⊂+∞，，，∴满足p q ⇒，但q ¿ p ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知p 是q 的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题。

3．如图，Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边1=''B O ，则这个平面图形的面积是（A ）（B ） 1 （C （D ）【答案】C 【解析】略4．已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂，给出下列命题，其中正确的是（）A ．若//αβ，则m l ⊥B ．若αβ⊥，则//m lC ．若m l ⊥，则//αβD ．若//m l ，则//αβ【答案】A【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行判断. 【详解】已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂，若//αβ，则m β⊥，所以m l ⊥，A 正确；若αβ⊥，则m 与l 平行、相交或异面，B 不正确；若m l ⊥，则//αβ或α与β相交，C 不正确；若//m l ，则αβ⊥，D 不正确. 故选：A 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于基础题. 5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若，则”的否命题B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则”的否命题D ．命题“已知，若，则a ＞b ”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x ≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y ”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x ≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 6．方程22(3)2610x y x y +-+-=表示的图形是（） A ．一条直线与一个圆 B ．两条射线与一个椭圆 C ．两个点 D ．一条直线与一个椭圆【答案】D【解析】由题意知30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y +-=，表示一条直线与一个椭圆. 【详解】因为22(3)2610x y x y +-+-=，所以30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y+-=，222610x y+-=即2211126x y+=表示椭圆，所以方程22(3)2610x y x y+-+-=表示的图形是一条直线与一个椭圆.故选：D【点睛】本题考查曲线方程与图象的判断问题，属于基础题.7．矩形ABCD中，4AB=，3BC=，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积是（）A．12512πB．1259πC．1256πD．1253π【答案】C【解析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即22115222r AC AB BC==+=，所以334451253326V rπππ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，222212||(|4)(|1)PM PN PC PC -=---，因此2222121212||||3()()3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122()32313PC PC C C =+-≥-=，故选B ．【考点】圆锥曲线综合题．9．正三棱柱111ABC A B C -（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当M 、N 运动时，下列结论中正确的个数是（）①平面DMN ⊥平面11BCC B ； ②三棱锥1A DMN -的体积为定值； ③DMN ∆可能为直角三角形；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①由1BM C N =得线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，则DO ⊥平面11BCC B ，推出面面垂直；②由1A DM V 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变得到三棱锥1A DMN -的体积为定值；③利用反证法说明DMN ∆不可能为直角三角形；④设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面DMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值，根据t 的范围求出cos θ的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围. 【详解】①如图当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，若满足1BM C N =，则线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，而DO ⊥平面11BCC B ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B ，①正确；②当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，1A DM V 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变，所以棱锥1N A DM -的体积不变，即三棱锥1A DMN -的体积为定值，②正确；③设三棱柱棱长为a ，([0,])MB t t a =∈，由1BM C N =易知DM DN =且221()2DM DN a a x ==+-，22(2)MN a x a =-+，若DMN ∆为直角三角形则90MDN ∠=o ，222DM DN MN +=，所以()22222212()(2)2a a x a x a⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得()222(2)ax a =-，解得212x a a +=>或1202x a -=<，均不符合题意，所以DMN ∆不可能为直角三角形，③错误；④建立如图所示空间直角坐标系：设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，则3111(,0,),(0,,),(0,,)222M t N a a t D a a --，111,,),(0,,)222DM a t a DN a a t =-=-u u u u r u u u r ，设(,,)n x y z =r为平面DMN 的法向量，则11()002210()02ay t a z DM n DN n ay a t z ++-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+-=⎩u u u u r r u u u r r ，令1y =可得平面DMN的一个法向量为()12an t a =-r，易知1(0,0,)CC a =u u u u r为平面ABC 的一个法向量，设平面DMN 与平面ABC 所成二面角为θ，则11cos n CC n CC θ⋅==⋅r u u u u r r u u u u r ，因为[0,1]t ∈，所以222214()[,2]2t a a a a -+∈⇒cos θ=，所以平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π，④正确.故选：C 【点睛】本题考查面面垂直的判定，椎体的体积，二面角的相关问题，属于中档题.10．已知,x y R ∈，则()2211x y x y -++-⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为（）A ．14B．2C ．12D．12【答案】C【解析】问题转化为点(,1)x x -到点1(,)y y-的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭可看成点(,1)x x -到点1(,)y y -的距离的平方，点(,1)x x -在直线1y x =-的图象上，点1(,)y y-在反比例函数1y x=-的图象上，问题转化为在图象1y x =-上找一点，使得它到直线1y x =-的距离的平方最小. 注意到反比例函数1y x=-的图象关于直线y x =-对称，直线1y x =-也关于y x=-对称，观察图象知点P 到直线1y x =-的距离最短，1(1,1)y P x y x⎧=-⎪⇒-⎨⎪=-⎩，最短距离为111222d +-==()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为12. 故选：C 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.二、填空题11．下列语句是命题的有______，其中是假命题的有______．（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？ ②作三角形的一个内角平分线③若x y +为有理数，则x ，y 也都是有理数． ④8x >．【答案】③ ③【解析】根据命题定义可判断出③为命题；通过反例可知③为假命题，由此得到结果. 【详解】①②不是陈述句，④不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题 ③是可以判断真假的陈述句，是命题；当2x =-，2y =时，x y +为有理数，但,x y 不是有理数 ∴③是假命题本题正确结果：③；③ 【点睛】本题考查命题的定义和真假命题的判断，属于基础题.12．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________，表面积为_________.【答案】16 33+ 【解析】根据三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，由棱锥的体积公式及三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，所以该几何体的体积为111(11)1326V =⨯⨯⨯⨯=，取BC 的中点为D ，连接AD ，因为2AB AC BC ===ABC V 为等边三角形且6cos6AD AC π=⋅=，表面积为116333(11)222S +=⨯⨯⨯+=故答案为：16；332+【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积、面积，属于基础题.13．若方程2211x y m m +=-表示的曲线是椭圆，则m 的取值范围为_________.【答案】(1,)+∞【解析】由椭圆的性质得0101m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即可求得m 的范围.【详解】若方程2211x ym m +=-表示的曲线是椭圆，则01011m m m m m >⎧⎪->⇒>⎨⎪≠-⎩，所以m 的取值范围为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.14．在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个．【答案】4 4【解析】在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论. 【详解】画出正方体ABCD EFGH -如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥H ABCD -中，,,,HAD HAB HBC HCD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.在四面体H ABD -中，,,,HAD HAB HBD ABD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.故填：（1）4；（2）4.【点睛】本小题主要考查四棱锥、四面体的概念和几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.15．点F 为椭圆22198x y +=的右焦点，M 在椭圆上运动，点()1,2P -，则MPF ∆周长的最大值为_________. 【答案】822+【解析】取椭圆左焦点为左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，则MPF C FP MP MF ∆=++，因为FP 为定值故只需求出||||MP MF +的最大值即可求得MPF ∆周长的最大值. 【详解】由椭圆22198x y +=的焦点在x 轴上知3,22,1a b c ===，右焦点(1,0)F ，左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，2MPF C FP MP MF MP MF ∆=++=++由椭圆定义可知：1||2MF MF a +=，11||||||26||MP MF MP a MF MP MF +=+-=+-，即1||MP MF -最大时，||||MP MF +最大，在1PMF V 中，两边之差总小于第三边，2211||(11)(20)22MP MF PF -≤=++-=，当且仅当1M F P 、、共线时，1||MP MF -取最大值22，此时||||MP MF +取最大值6+22，则周长2MPF C MP MF ∆=++的最大值为822+. 故答案为：822+ 【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题. 16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AC BD ==，5AD BC ==，,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.6【解析】本题首先可以将四面体补成长宽高分别为3、2、1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为5，再然后求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。

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2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.方程x+|y−1|=0表示的曲线是()A. B.C. D.2.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知命题p：任意，sinx≤1，则()A. ￢p：存在，sinx0≥1B. ￢p：任意，sinx≥1C. ￢p：存在，sinx0>1D. ￢p：任意，sinx>14.已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m//α，则l⊥mD. 若l⊥α，l⊥m，则m//α5.点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，则x的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 26.下列有关命题的说法正确的是()①|x|≠3⇒x≠3或x≠−3；②命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；③“|x−1|<2”是“x<3”的充分不必要条件④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真．A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是()A. 13B. √33C. 23D. √638. 已知直线y =2与双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线交于M ，N 两点，任取双曲线Γ上的一点P ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则( ) A. λ+μ=−14B. λ−μ=−14C. λμ=−14D. λμ=−149. 若抛物线y 2=4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AF|+2|BF|的最小值为( ) A. 6 B. 3+2√2 C. 9 D. 3−2√2 10. 如图，在三棱锥P −ABC 中，∠APB =∠BPC =∠APC =90°，M 在△ABC内，∠MPA =60°，∠MPB =45°，则∠MPC 的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，则b =______；双曲线渐近线的方程为______．12. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,−3).若向量c ⃗ 满足(c ⃗⃗⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则c⃗ = ______ ． 13. 已知向量{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个单位正交基底，向量{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }是空间另一个基底，若向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)则p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为______．14. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若S ▵ABF =√2且|AF|<|BF|，则|AF||BF|=________．15. 如图，VA =VB =AC =BC =2,AB =2√3,VC =1，则二面角V −AB −C 的大小为______．16.如图，已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的焦点F在AB上，AB的倾斜角为60°，|BF|=|CF|=4，则直线AC的斜率为______ ．17.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|=2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知命题P：x2−2x−3≥0，命题Q：|1−x2|<1.若P是真命题且Q是假命题，求实数x的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，∠DAB=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2AD=4，线段AB与PC的中点分别为E，F．(1)求证：BF//平面PDE；(2)求二面角A−PB−D的余弦值．20.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右准线方程l:x=4，离心率e=12，左右顶点分别为A，B，右焦点为F，点C:在椭圆上，且位于A，B轴上方．(1)设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1−k2的最小值；(2)点Q在右准线l上，且PF⊥QF，直线QP交k1−k2负半轴于点M，若MF=6，求点P坐标．21.如图(1)，五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P−ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．,0)的距离与到直线x=0的距离之差为1，过点M(p,0) 22.抛物线y2=2px(p>0)上的点P到点F(p2的直线l交抛物线于A，B两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△ABO的面积为4√3，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选A．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，且全称命题的否定是特称命题，即￢p：存在，sinx0>1，故选：C．4.答案：C解析：解：A.当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B.当满足条件l//α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C.当l⊥α，m//α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D.当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．A.利用线面垂直的定义和性质．B.利用线面平行的性质和判断定理．C.利用线面垂直的性质．D.利用线面，线线垂直的性质．本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．5.答案：B解析：解：因为点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，所以：(x −1)2+(2−1)2+(1−2)2=(x −2)2+(2−1)2+(1−1)2．解得x =1．故选B ．直接利用空间两点间的距离公式求解即可．本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力． 6.答案：D解析：解：若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，故①错误；命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数”，并非“a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数”，故②错误；“|x −1|<2”⇔“−1<x <3”，由(1,3)⊊(−∞,3)可得“|x −1|<2”⇔是“x <3”的充分不必要条件，故③正确；一个命题的否命题和它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，故④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真命题，故④正确；故选：D ．由若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，可判断①；由原命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”，根据四种命题的定义写出其逆否命题，比照后可判断②；解不等式|x −1|<2，求出x 的取值范围，进而根据集合法，可判断出充要性，进而可判断③；根据四种命题之间的相互关系及互为逆否命题的真假性相同，可判断④本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，难度不大，属于基本题． 7.答案：D解析：【分析】本题考查了线面角的计算，考查计算能力，属于基础题．连接AC ，则∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，在Rt △A 1AC 中求出cos∠A 1CA 即可．【解答】解：连接AC ，∵AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，设正方体的棱长为1，则AC =√2，A 1C =√3， ∴cos∠A 1CA =√2√3=√63．故选：D ． 8.答案：D解析：解：双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线方程为y =±23x ，将直线y =2代入y =±23x ，可得M(−43,2)，N(43,2)． ∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ，∴P(−43(λ−μ),2λ+2μ)， ∵P 是双曲线Γ：x 29−y 24=1的点，∴1681(λ−μ)2−(λ+μ)2=1，∴可得λμ=−14．故选：D ．求出双曲线的渐近线方程，可得M ，N 两点的坐标，利用向量知识求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P 的坐标是关键．9.答案：B解析：解：抛物线的焦点F(1,0)，设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4xx =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0．设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 12y 2216=1.∴y 22=16y 12．由抛物线的性质得|AF|=y 124+1，|BF|=y 224+1=4y 12+1．∴|AF|+2|BF|=y 124+1+2(4y 12+1)=3+y 124+8y 12≥3+2√2．故选：B ．设直线方程为x =my +1，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出|AF|+2|BF|关于A ，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.答案：C解析：解：过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ． ∵∠APB =∠APC =90°，∴AP ⊥平面PBC ， ∵MQ ⊥平面PBC ，∴AP//MQ∵∠MPA =60°，∴∠MPQ =90°−60°=30°．由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63∵∠QPC 是∠QPB 的余角，所以cos∠QPC =√33再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，得到cos∠MPC =12∴∠MPC =60° 故选C ．过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ，由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63，从而可得cos∠QPC =√33，再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，即可求∠MPC ．本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键． 11.答案：√3；y =±√3x解析：解：∵双曲线x 2−y 2b =1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，∴1+b 2=4， ∵b >0， ∴b =√3，又a =1，∴双曲线渐近线的方程为y =±√3x 故答案为：√3，y =±√3x利用双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，求出b ，即可求出双曲线渐近线的方程．本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b 是关键．12.答案：(−79,−73)解析：解：设c⃗ =(x,y)，则c ⃗ +a ⃗ =(x +1,y +2)，又(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，∴2(y +2)+3(x +1)=0. ①又c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )， ∴(x,y)⋅(3,−1)=3x −y =0. ② 解①②得x =−79，y =−73．故应填：(−79,−73)．由题设条件知，本题是求向量c⃗ 的坐标的题，题设中已经给出了与向量c ⃗ 有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量c⃗ 的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量c ⃗ 的坐标的方程求其坐标．本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力．13.答案：(1,2，3)解析：【分析】本题考查的知识点是空间向量的基本定理及其意义，空间向量的坐标，属于基础题．由已知可得p⃗ =32(a ⃗ +b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ ，去括号合并同类项后，可得答案．【解答】解：∵向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)∴向量p⃗ =32(2+b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ +3c ⃗ ，故p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(1,2，3)，故答案为(1,2，3)．14.答案：12解析：【分析】本题考查了曲线的交点与方程组的关系和抛物线的概念及标准方程．利用曲线的交点与方程组的关系，结合题目条件得y 1=√2,y 2=2√2，再利用抛物线的定义计算得结论．【解答】解：因为抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且｜AF ｜<｜BF ｜．作图如下：设A (y 124,y 1)，A (y 224,y 2)(0<y 1<y 2)．显然直线l 的斜率存在，且不为0，不妨设直线l 的方程为y =k (x +1)(k >0)．由{y =k (x +1)y 2=4x 得ky 2−4y +4k =0，则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4．因为S ΔABF =√2，所以12×2×(y 2−y 1)=√2．即(y 2+y 1)2−4y 2y 1=2，所以16k2−16=2，即k=2√23．由2√23y2−4y+8√23=0解得y1=√2,y2=2√2所以|AF||BF|=y124+1y224+1=y12+4y22+4=2+48+4=12．故答案为12．15.答案：60°解析：【分析】本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．取AB中点O，连结VO，CO，则∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】解：如图：取AB中点O，连结VO，CO，∵三棱锥V−ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2√3，VC=1，∴AB⊥VO,AB⊥CO，∴∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，VO=√VA2−(AB2)2=1，CO=√BC2−(AB2)2=1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC=60°．∴二面角V−AB−C的大小为60°．故答案为：60°．16.答案：−√32解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AB|=x 1+x 2+p =2p sin 260°=8p 3， ∴x 1+x 2=5p 3， ∵x 1x 2=p 24， ∴x 2=3p 2，x 1=p 6， ∴A(p 6,−√33p)，B(3p 2,√3p)， ∵|BF|=|CF|=4，∴C(3p 2,−√3p)，∴直线AC 的斜率为−√3p+√33p 3p 2−p 6=−√32．故答案为：−√32．利用|AB|=x 1+x 2+p ，x 1x 2=p 24，求出A ，B 的坐标，可得C 的坐标，即可求出直线AC 的斜率．本题考查抛物线的性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，确定A ，C 的坐标是关键． 17.答案：[45,1)解析：【分析】本题考查的是椭圆的性质及不等式恒成立的知识，属于难题．由|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立转化为3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，求出(|PA|+|AF 1|)max 可得离心率的取值范围．【解答】解：为使|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立，只需3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a ，所以|PA|+|AF 1|=|PA|−|AF 2|+2a ≤|PF 2|+2a ，当且仅当P ，F 2，A 三点共线时取等号(F 2在线段PA 上)，又点Ｐ的轨迹是以Ｏ为圆心，半径为2a 的圆，所以圆上点Ｐ到圆内点F 2的最大距离为半径与|OF 2|的和，即|PF 2|≤2a +c ，所以|PA|+|AF 1|≤|PF 2|+2a ≤2a +c +2a =4a +c ，所以6c ⩾4a +c ，5c ⩾4a ，e =c a ≥45，又e <1，所以椭圆C 离心率的取值范围为[45,1)．故答案为[45,1) 18.答案：解：命题p ：x 2−2x −3≥0⇔(x −3)(x +1)≥0⇔x ≥3或x ≤−1…(3分) 命题Q ：|1−x 2|<1⇔−1<1−x 2<1⇔0<x <4…(6分)Q 是假命题即x ≥4或x ≤0…(8分)P 是真命题且Q 是假命题即x ≥3或x ≤−1且x ≥4或x ≤0，(10分)综上：x ≥4或x ≤−1．解析：求出命题P ，Q 为真时x 的范围，再求Q 的反面，最后求交集即可．本题考查了命题真假的判断和否命题的求解，属于基础题型，应熟练掌握．19.答案：(1)证明：取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，∵底面ABCD 为平行四边形，且E 为AB 的中点，则BE//DG ，BE =DG ，则四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，∵DE ⊂平面PDE ，BG ⊄平面PDE ，∴BG//平面PDE ；∵G ，F 分别为DC ，PC 的中点，∴FG//PD ，∵PD ⊂平面PDE ，FG ⊄平面PDE ，∴FG//平面PDE ．∵BG ∩GF =G ，BG ，GF ⊂平面BGF ，∴平面BGF//平面PDE ，又BF ⊂平面BGF ，则BF//平面PDE ；(2)解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内，过A 作垂直AB 的直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵∠DAB =60°，AP =AB =2AD =4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，P(0,0，4)，D(1,√3,0)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−4)．设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x −4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −4z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)；平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5×1=√155．且由图可知二面角A −PB −D 为锐二面角，∴二面角A −PB −D 的余弦值为√155．解析：本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．(1)取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，由已知可证四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，得到BG//平面PDE ，再由中位线定理得到FG//PD ，进一步得到FG//平面PDE ，由面面平行的判定可得平面BGF//平面PDE，从而得到BF//平面PDE；(2)以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，在平面ABCD内，过A作垂直AB的直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A−PB−D的余弦值．20.答案：解(1)x24+y23=1，设点P(x0,y0)，则，因为y0∈(0,√3],所以当y0=√3时(x0,+∞)的最小值为√3．(2)设点P(x0,y0)，则QF：y=−x0−1y0(x−1)，所以点Q(4,−3(x0−1)y0)，因为点P、Q、M三点共线，所以k PM=k QM，所以3y02=(x0+5)(1−x0)又因为x024+y023=1，所以x0=4或−45，因为x0∈(−2,2)，所以P(−45,3√7 5)解析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题．(1)a2c =4,ca=12求出a，c，得到b，就求得椭圆方程，设点P(x0,y0)，利用斜率公式把k1−k2表示为y0的函数，由y0的范围求得最小值；(2)求出QF的方程，得到Q的坐标，再由k PM=k QM，结合x024+y023=1，解出x0，得到P的坐标．21.答案：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则MN//CD,MN=12CD，又AB//CD,AB=12CD，所以MN//AB，MN=AB，则四边形ABMN为平行四边形，所以AN//BM，又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD．由ED=EA即PD=PA，及N为PD的中点，∴PA=AD，可得△PAD为等边三角形，∴∠PDA=60°，又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，∴CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD.(2)解：AB//CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，由(1)可得∠PDC =90°，∴tan∠PCD =PD CD =12，∴CD =2PD ，设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则D(−12,0,0),B(12,1,0),C(−12,2,0),P(0,0,√32)， ∴M(−14,1,√34)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−√32),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0,√34)，设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0，取x =3，则n ⃗ =(3,3,−√3)为平面PBD 的一个法向量，∵cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77，则直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN//CD,MN =12CD ，可得四边形ABMN 为平行四边形，又BM ⊥平面PCD ，可得AN ⊥平面PCD ，AN ⊥PD ，AN ⊥CD.可得△PAD 为等边三角形，∠PDA =60°，又∠EDC =150°，可得CD ⊥AD ，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．(2)AB//CD ，可得∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，可得tan∠PCD =PD CD =12，CD =2PD ，设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出．本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)设P(x0,y0)，由定义知|PF|=x0+p2，∴(x0+p2)−x0=1，即p=2，∴抛物线方程为y2=4x；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时|AB|=4√2，∴△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，代入抛物线方程得：k2x2−4(k2+1)x+4k2=0．△=16(k2+1)2−16k2>0．x1+x2=4+4k，x1x2=4，∴|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(4+4k2)2−4=√1+k2⋅4√2k2+1k2，点O到直线l的距离为d=√1+k2，∴12√1+k2⋅4√2k2+1k⋅2=4√3，解得：k=±1，满足△>0．∴直线l的方程为y=x−2或y=−x+2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)设P(x0,y0)，由题意列式求得p，可得抛物线方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求得点O到直线l的距离，代入三角形面积公式求解k，则直线l的方程可求．。

2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题解析

绝密★启用前2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若椭圆222116x y b+=过点(-，则其焦距为（）A ．B ．C ．D ．答案：C将点(-代入椭圆得到2b =，c =，得到焦距. 解：椭圆222116x y b+=过点(-，故243116b +=，2b =，故c ==焦距为2c =. 故选：C . 点评：本题考查了椭圆的焦距，意在考查学生的计算能力.2．命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个答案：C因为0m >，则140m ∆=+>，故20x x m +-=有实数根，原命题的逆命题为：若20x x m +-=有实数根，则0m >，取14m =-，则方程为2104x x ++=，此方程的解为12x =-，故方程有实数根，但104m =-<，故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假，故4个命题中，假命题的个数为2. 点睛：在命题的真假判断中，注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断. 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（） A ．若//,//m m αβ, 则 //αβB ．若,//m m αβ⊥, 则//αβC ．若,//m n αα⊥ ,则//m nD ．若,m n αα⊥⊥, 则//m n答案：D根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 解：A. 若//,//m m αβ, 则 //αβ或,αβ相交，A 错误；B. 若,//m m αβ⊥, 则αβ⊥，B 错误；C. 若,//m n αα⊥ ,则m n ⊥，C 错误；D. 若,m n αα⊥⊥, 则//m n ，D 正确；故选：D . 点评：本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.4．下列命题说法正确的是（）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题答案：B试题分析：A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若，则1x ≠”；B 、即为，可知03x <<是的必要不充分条件；C 、命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有”；D 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为“若sin sin x y =，则x y =”，是假命题（如）.【考点】常用逻辑用语．5．设方程22(3)20x y x y x +-+-=表示的曲线是（） A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线答案：A根据题意得到30x y +-=且2220x y x +-≥，或2220x y x +-=，画出图像，分别判断得到答案. 解：22(3)20x y x y x +-+-=，故30x y +-=且2220x y x +-≥，如图所示：画出图像知，表示一条直线；或2220x y x +-=，即()2211x y -+=表示一个圆.故选：A .点评：本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.6．如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC BD ，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB 4cm AC 6cm BD 8cm CD 217cm ====，，，，则这个二面角的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：B过点A 作AE BD P 且AE BD =，连接,CE DE ，则AE AB ⊥，即CAE ∠为二面角的平面角，由题意，得2228652AE BD AC CE CD ED ====-=，，，由余弦定理，得2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯，则060CAE ∠=，即这个二面角的度数为060；故选B.7．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案：C用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 解：对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 点评：本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 8．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中不正确的是( )A ．MC AN ⊥B ．//GB AMN 平面C ．CMN AMN ⊥平面平面D ．//DCM ABN 平面平面由题意，取MN 中点O ，易知AOC ∠就是二面角A MN C --的平面角，有条件可知，90AOC ∠≠o ，所以平面CMN 与平面AMN 不垂直，故C 错误．故选C ．9．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（）A ．3 B ．23C ．3π D ．2π 答案：C根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12，如图当E 与C 重合时，AK=4=12，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π，其所对的弧长为1223π⨯=3π，故选：C本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．答案：C等腰中，算出，由线面垂直的判定与性质，证出面，得，从而证明平面，可证明面，三棱锥的高为定值，在中，算出，可得，利用三角函数的有界性求出的最大值，即可得出结果．解：在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．点评：本题着重考查了线面垂直的判定与性质、棱锥的体积公式，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.二、填空题11．已知原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，写出它的逆否命题形式_____，它是_____（填写”真命题”或”假命题”）．答案：若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1 真命题由原命题为真可得逆否命题也为真，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．解：原命题为“若0＜x ＜1，则x 2＜1”，显然该命题为真命题，则它的逆否命题形式“若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1”，是真命题，故答案为若x 2≥1，则x ≤0或x ≥1，真命题点评：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．12．正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则EF 与直线1AC 所成角的大小为______ ；EF 与对角面11BDD B 所成角的正弦值是 __________．答案：2π 12如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，计算()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r ，对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，计算得到答案.解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，故()0,1,1EF =-u u u r，()12,2,2AC =-u u u u r.故10EF AC ⋅=u u u r u u u u r ，故EF 与直线1AC 所成角的大小为2π.易知对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-r，设EF 与对角面11BDD B 所成角为θ，故1sin cos ,2EF n EF n EF n θ⋅===⋅u u u r ru u u r ru u ur r . 故答案为：2π；12.点评：本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．已知某组合体的三视图如图所示，其侧视图是一个等腰直角三角形，则该组合体的表面积为______ ，体积为____________.答案：1244++ 1123π+根据三视图知，几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形，计算表面积和体积得到答案. 解：根据三视图知：几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形.故11111442424Sππ+=++++=+；1111111343123Vππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故答案为：144++；1123π+.点评：本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．已知圆锥SO的底面半径是23，母线长是2，则将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于________，若M是SA的中点，从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A，则绳子长度的最小值等于__________.答案：23π扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，从而可得圆心角；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得结果.解：扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233ππ⨯=，半径为母线长2，所以，将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于42323ππ=；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得为'MA==故答案为23π，点评：本题主要考查圆锥的侧面展开图以及余弦定理的应用，属于中档题.求旋转体表面上两点的最小距离时，往往利用其侧面展开图转化为平面几何知识解答.15．已知方程22131x ym m+=--表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为____________ .答案：()2,3根据题意得到301013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得答案.解：方程22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足：301013m m m m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得23m <<.故答案为：()2,3. 点评：本题考查了根据方程表示椭圆求参数，意在考查学生对于椭圆定义的理解.16．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =答案：124试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE •h/S △ABC •H ＝124=1：24 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积17．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长6AB =,侧棱长127AA =它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上的任意一点，有以下命题： ①PE 的长的最大值为9;②三棱锥P EBC -的体积的最大值是323; ③存在过点E 的平面，截球O 的截面面积为9π; ④三棱锥1P AEC -的体积的最大值为20；⑤过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，1BC 垂直于该截面. 其中是真命题的序号是___________答案：①③④计算外接球半径为5R =，4EO =，得到①正确；三棱锥P EBC -的max 75h =，计算得到②错误；当截面与EO 垂直时，9S π=，故③正确；三棱锥1P AEC -，max 5h R ==，计算得到④；根据1//EO BC 得到⑤错误，得到答案.解：外接球半径为：3636285R ++==，36284EO +==，故PE 的最大值为9EO R +=，①正确；13692EBC S ∆=⨯⨯=，高1max 752AA h R =+=，故)max 197537153V =⨯⨯=，②错误；当截面与EO 垂直时，223r R EO =-=，故9S π=，故③正确；1133628122AEC S ∆=⨯+=，max 5h R ==，故max 20V =，故④正确；当过点E 的平面截球O 所得的截面面积最大时，截面过直线EO ，1//EO BC ，故⑤错误.故答案为：①③④.点评：本题考查了四棱柱的外接球问题，体积的最值，截面问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,21AB BC AA AC BC ⊥===，，,E F 分别是11,A C BC 的中点.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥E ABC -的体积.答案：（1）证明见解析（2）3E ABC V -=试题分析：（1）做辅助线，先证1//,2FG AC FG AC =及1//,FG EC FG E =四边形1FGEC 为平行四边形⇒11////C F EGC F 平面ABE ；（2）利用勾股定理求得3AB =⇒E ABC V -= 1133ABC S AA ∆⋅=试题解析：（1）证明：取AB 中点G ,连接,EG FG ，则 ∵F 是BC 的中点， ∴1//,2FG AC FG AC =； ∵E 是11A C 的中点， ∴11//,FG EC FG EC =, ∴四边形1FGEC 为平行四边形， ∴1//C F EG ,∵1C F ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE , ∴1//C F 平面ABE ；（2）∵121AA AC BC AB BC ===⊥，，,∴AB =∴111112332E ABC ABC V S AA -∆=⋅=⨯⨯=19．已知0c >,设p ：函数xy c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 答案：[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 解：p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min 11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭，解得12c >；当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >.综上所述：12 c>.“p或q”为真，且“p且q”为假，故p真q假，或p假q真.当p真q假时，0112cc<<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p假q真时，112cc≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c∈+∞. 综上所述：[)10,1,2c⎛⎤∈+∞⎥⎝⎦U.点评：本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．已知多面体P ABCD-中，AB CD∥，90BAD PAB∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC====，M为PB中点.（1）求证：PA CM⊥；（2）求直线BC与平面CDM所成角的正弦.答案：（1）证明见解析（22（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA⊥CD直线所在平面（2）过点B作BO CMD⊥面，连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，再采用等体积法求出BO，即可求得也可采用建系法直接求解解：法一：（1）由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；如图：取PA中点E，连接ME，DE得：ME PA⊥，DE PA⊥，PA DEMC⊥面；故：PA CM⊥；（2）过点B作BO CMD⊥面；连接CO，则BCO∠为直线BC与平面CDM所成角的平面角，即有B CDM M CBDV V--=，不妨设122AB PA DA PD DC==-==，即有：111134342132322h h⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin4hBCOBC∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，3312M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-u u u r,332CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥u u u r u u u u r（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=r，()0,0,4DC=u u u r，3322DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u u r，()1,BC =-u u u r即有：()4001,030z DC n n DM n x =⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩u u u v rr u u u uv r ，故sin cos 4BC n α=<⋅>==u u u r r 点评：本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题21．在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点(1,1)A -关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1) 求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;(2) 设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于,M N ，问是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：（1）223144x y +=，1x ≠±；（2）存在，53P ⎛ ⎝⎭或5,3P ⎛ ⎝⎭ （1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，221113PA PBy k k x -⋅==--，化简得到答案. （2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故00PAB S x y ∆=+，计算2000002022661x x y y x MN x +--=-，得到()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，解得答案. 解：（1）(1,1)A -，故(1,1)B -，设(),P x y ，故2211111113PA PBy y y k k x x x -+-⋅=⋅==-+--. 整理得到：223144x y +=，1x ≠±.（2）设()00,P x y ，则P 到直线AB的距离为d =，故0012PAB S AB d x y ∆=⋅=+； 0011APy k x -=+，故直线PA ：()001111y y x x -=+++，取3x =得到()00413,11y M x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得：()00213,11y N x +⎛⎫- ⎪-⎝⎭，故()()2000000020004121226611111y y x x y y x MN x x x -+⎡⎤⎡⎤+--=+--=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦，故()20000002022661321PMNx x y y x S x x ∆+--=--，故()2000000002022661321x x y y x x x y x +---=+-，整理得到()220031x x -=-，故053x =. 故存在点533,39P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或533,39P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.点评：本题考查了椭圆的轨迹方程，面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．如图，在矩形ABCD 中，3,6,,AB AD E F ==分别在,AD BC 上，且1,4AE BF ==,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''，使点B '在平面CDEF上的射影H 在直线DE 上（1）求证：平面B CD '⊥平面B HD '；（2）求证：//A D '平面B FC '；（3）求二面角A DE F '--的正弦值答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）105（1）'B H ⊥平面CDEF ，证明故CD ⊥平面B HD '，CD ⊂平面'B CD ，得到证明. （2）//AE BF ，//DE FC 得到平面'//A ED 平面'B FC ，得到证明.（3）以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，计算('0,6B ，根据1'4EA FB =u u u r u u u r得到316',44A ⎛=-- ⎝⎭，平面'A DE 的法向量为)16,0,3n =u r ，平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，计算夹角得到答案.解：（1）B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，故'B H ⊥平面CDEF .CD ⊂平面CDEF ，故'B H CD ⊥，CD DE ⊥，'DE B H H =I ，故CD ⊥平面B HD '.CD ⊂平面'B CD ，故平面B CD '⊥平面B HD '.（2）//AE BF ，故'//'A E B F ，'B F ⊂平面'B FC ，故'//A E 平面'B FC .//DE FC ，FC ⊂平面'B FC ，故//DE 平面'B FC ，'DE A E E =I .故平面'//A ED 平面'B FC ，'A D ⊂平面'A ED ，故//A D '平面B FC '.（3）如图所示：以ED 为y 轴，平面CDEF 内与ED 垂直的直线为x 轴，平面'B HD 内与ED 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.()0,0,0E ，()0,5,0D ，()3,3,0F ，设()'0,,B y z ，22'10B E y z =+=u u u u r()22'934B F y z =+-+=u u u u r ，取正解，得到2y =，6z =('0,6B .()11'3,1,644EA FB ==--uu u r u u u r ，故316',,44A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面'A DE 的法向量为()1,,n x y z =u r ，故110'0n DE n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v ，即03160444y x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取3z =，得到6x =，故()16,0,3n =u r.易知：平面DEF 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，故12121215cos ,15n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r .故二面角A DE F '--的正弦值为10.点评：本题考查了面面垂直，线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年度高二第一学期期中试题数学【含解析】

【详解】设 ,则由题意可得 ,即 ,
化简可得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养.
10.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出曲线的图形,结合图形可求的取值范围.
【详解】解:(1)∵点A(-4，2)是的直角顶点,
∴OA⊥AB，又 ,
,
∴直线AB的方程为y-2=2(x+4)，即2x-y+10=0.
(2)由(1)知B(-5，0),
∵点A(-4，2)是的直角顶点,
∴△OAB的外接圆是以中点为圆心，为半径的圆,
又中点坐标为，
∴所求外接圆方程是，即x2+y2+5x=0.
将（1，1）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（1，1）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
将（0，2）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（0，2）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
将（2，0）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（2，0）在3x+2y＞3表示的平面区域内，
故选A．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
联立可得交点 .
在直线取一点，设关于折痕的对称点为，
则，解得；
由直线两点式方程可得，整理得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.

浙江省宁波市六校联考2020学年高二数学上学期期中试题含解析

浙江省宁波市六校联考2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的．） 1.空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为（）A. 2B. 3C. 1【答案】C 【解析】【分析】先求出点A 在平面XOY 的投影点的坐标,||A AA ''即为所求., 【详解】点()2,3,1A -在平面XOY 的投影点(2,3,0),||1A AA ''-=, 即空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为1. 故选:C【点睛】本题考查了空间一点到平面的距离,关键要了解关于点在坐标平面射影点的坐标特征,属于基础题.2.若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是（） A. 7或-3 B. 7C. -3D. -7或3【答案】B 【解析】【分析】(),3P a 坐标满足不等式230x y +->求出a 取值范围，由点到直线距离公式,求出a 的值,.【详解】点(),3P a 在不等式230x y +->表示的平面区域内2330,0a a ∴+->>(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为|491|4,|48|205a a -+=-=,解得7a =或3a =-（舍去）. 故选:B【点睛】本题考查点到直线的距离公式化简求值,理解二元一次不等式表示的平面区域,属于基础题.3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错； C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.4.在平面直角坐标系中，(),M x y 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则yx 的最小值为（） A. 2 B. 1C. 13-D. 12-【答案】C 【解析】【分析】作出不等式对应可行域,利用线性规划知识,以及yx的几何意义,即可得到结论.【详解】作出可行域如图：令yz x=几何意义是动点(),M x y 与原点连线的斜率,由图像可知OA 斜率最小, 由220210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得31x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)A -所以y z x =的最小值为1133-=-. 故选:C【点睛】本题考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决问题的关键,属于基础题.5.已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A. 7-或1- B. 7或1C. 7-D. 1-【答案】C 【解析】【详解】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯ 且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯，解得7a =-．故选C ．6.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AA AD AB ===,E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为（）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】【分析】连接11,BC EC ，根据11//AD BC ，可得异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，解三角形求得1EBC ∠的大小.【详解】画出长方体如下图所示，连接11,BC EC ，由于11//AD BC ，所以异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，在三角形1BEC 中，112,2,2BE BC EC ===，故三角形1BEC 是等边三角形，所以160EBC ∠=. 故选C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）．A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，221a b ∴+>，圆心O 到直线1ax by +=距离221d a b=<+，∴直线1ax by +=与圆O 相交.故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m 的取值范围是（）A. )2,22⎡-⎣B. (22,2⎤--⎦C. )2,22⎡⎣D.(22,2⎤-⎦【答案】B 【解析】【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与曲线2=-有两个公共点;x y4直线l与曲线相切时,22m=-,因此当222m-<≤-时，直线l与曲线2=-有两个公共点.4x y故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.9.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④【答案】A【解析】【分析】在①中：由题意得AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．【详解】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO⊥底面ABCD ，AC⊥BD，∴SO⊥AC． ∵SO∩BD＝O ，∴AC⊥平面SBD ，∵E，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M ，∴平面EMN∥平面SBD ， ∴AC⊥平面EMN ，∴AC⊥EP．故正确．在②中：由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD ，∴EP∥平面SBD ，因此正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC ，若EP⊥平面SAC ，则EP∥EM，与EP∩EM＝E 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确． ∴恒成立的结论是：①③．故选：A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．10.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是（）A. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】分析】先求出圆心和半径，比较半径和要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为（2，2），半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距离为，≤∴2()410a a bb ⎛⎫++≤⎪⎝⎭，∴22a b --≤-+，a k b=-，∴22k ≤≤，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．二、填空题11.直线10x +=的斜率为____；倾斜角的大小是____．【答案】6π【解析】【分析】直线一般式化为斜截式,可求出直线的斜率,再由斜率求出直线的倾斜角.【详解】10x +=化为33y x =+，倾斜角为6π.故答案为6π. 【点睛】本题考查直线的几何特征,关键要掌握直线方程几种形式之间的互化,属于基础题. 12.已知m R ∈，若方程22+220x y x y m +++=表示圆，则圆心坐标为____；m 的取值范围是____．【答案】 (1). (1,1)-- (2). 2m <【解析】【分析】当圆的方程是以一般方程给出时，根据圆心坐标公式,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,还需满足2240D E F +->表示圆.【详解】（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得212x =-=-，212y =-=-，圆心坐标()1,1--.（2）若方程表示圆，那么需满足222240m +->，即2m <. 故填：()1,1--;2m <.【点睛】本题考查了圆的一般方程，属于简单题型.13.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 为邪田，两畔CD AB ，分别为1，3，正广AD 为，PD ⊥ 平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为_______；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为________. 【答案】 (1). 4 (2). 6π【解析】【分析】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，在Rt CEB ∆中，可求BC 长，即为邪长，又由题意可证AB ⊥平面PAD ，得到AFB ∠ 即为所求，在Rt AFB ∆中，求得正切值，可得角. 【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，延长AD BC ，，使得ADBC F =（如图）.由题意可得23,2CE BE ==，则1244BC =+= 由题意知,//AB AD CD AB ⊥，所以13DF CD AF AB ==，所以3DF =.因为PD ⊥ 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ⊥ 平面PAD ，则AFB ∠ 是直线BC 与平面PAD 所成角的平面角，3tan 33AB AFB AF ∠===，所以6AFB π∠= 故答案为 46π【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.14.直线10x y ++=被圆C ：222x y +=所截得的弦长为______；由直线30x y ++=上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为____. 【答案】610【解析】【分析】（1）求出圆心到直线10x y ++=的距离,再由垂径定理,求出半弦长,即可得到弦长; （2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线，切点为N ,根据切线性质,切线段2||||2MN MC =-,要求切线段最小值,转化为求||MC 最小值,就可得切线长的最小值.【详解】（1）圆C :222x y +=的圆心(0,0)C ,半径r =设圆心C 到直线10x y ++=距离为d ,则,2d ==弦长为==（2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线切于N ,则有||CM MN MN ⊥∴==，故||CM 取最小值时，此时CM 垂直直线30x y ++=,即||CM 取最小值为圆心C 到直线30x y ++=所以||MN. 故答案为【点睛】本题考查相交弦长和切线段长,涉及到点到直线的距离,相交弦长公式以及切线长公式,解决问题关键要正确运用圆的性质,考查等价转化数学思想,属于综合题.15.已知0a >，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为-1，则a =______.【答案】32【解析】【分析】先根据条件作出可行域,2z x y =+,再利用z 的几何意义求最值,只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时,从而得到a 的值. 【详解】作出可行域如下图：由2z x y =+得2y x z =-+,z 表示斜率为2-的直线在y 上的截距,当z 最小为-1时,直线过B 点,由121x x y =⎧⎨+=-⎩,解得13x y =⎧⎨=-⎩,代入直线(3)y a x =-得,32a =. 故答案为:32. 【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组,借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数行结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.属于中档题.16.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为4的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度为______.【答案】12π+【解析】【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算.【详解】若线段MN 不在正方形ABCD 边上,MN 与正方形的一顶点组成斜边为1的直角三角形，P 与该顶点的距离为12, 此时轨迹为直角扇形,四个顶点有四个直角扇形, 合起来刚好是半径为12的圆,周长为122ππ⨯=;若线段MN 在正方形ABCD 边上,则MN 的中点P 四个边上滑动为四个等长的线段,长度均为3,轨迹长度为12; 所以轨迹的长度为12π+. 故答案为:12π+.【点睛】本题考查了点的轨迹与正方形性质,判断出轨迹的形状是解题的关键,也是解决为题的难点.17.在ABC ∆中，已知AB =BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上一点，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】解ABC ∆可得其为等腰直角三角形,有题意可知折叠前图（1）中AM BD ⊥,根据等腰直角三角形位置关系可推出12BM BC >,在（2）图中，AB 为Rt ABM ∆的斜边,得BM AB <,即可得出答案.【详解】在ABC ∆中,AB =BC =45ABC ∠=︒, 由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=,222AC AC AC AB BC ==+=,所以ABC ∆为等腰直角三角形.由将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -, 且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上, 如图2所示,AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥, 过M 做MN BD ⊥,垂足为N ，连AN , 所以BD ⊥平面AMN ,所以AN BD ⊥, 在折叠前图1中,由MN BD ⊥,AN BD ⊥, 所以,,A M N 三点共线.取BC 中点1M , 连1AM 交BD 于E ,由ABC ∆为等腰直角三角形, 所以1,AM BC D ⊥在线段AC 之间，故AEB ∠为钝角,AN BD ⊥,所以N 在DE 之间,得M 在1CM 之间,所以1BM BM >,即6BM >.在图2中,由于AB 为Rt ABM ∆的斜边,BM 为直角边,所以BM AB <,即23BM <.所以623BM <<. 故答案为:(6,23).【点睛】本题以平面图形为载体,求线段的取值范围,着重考查了空间垂直位置关系的判定和性质、余弦定理解三角形等知识,同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).(1)求过点P(2,-3)且与直线AB 平行的直线l 的方程;(2)一束光线从B 点射向(1)中直线l ，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) 直线l 的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0.【解析】试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（2）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出试题解析：（1）由点斜式43(2)3y x+=-∴直线l的方程4x+3y+1=0（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）∴2324224*3*022nmm n-⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩解得14585mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴148(,),55B-'-'86115142785B Ak-+==-+；由点斜式可得116(8)27y x+=-整理得11x+27y+74=0；19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，2AB BC==，7AD CD==，3PA=，120ABC∠=︒.G为线段PC的中点.（1）证明：BD⊥面PAC；（2）求DG与平面APC所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2419【解析】【分析】（1）根据已知条件证明CA BD⊥,结合PA⊥平面ABCD.即可得证;（2）解法一（几何法）:先找到DG在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;解法二（空间向量法）:建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出DG 坐标和平面APC 的法向量坐标,结合线面角公式，即可得结果.【详解】（1）取AC 中点O ,因为AB BC =,AD CD =, 所以CA BO ⊥,CA OD ⊥,∴CA BD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥, 因为PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =,所以BD ⊥面PAC .（2）法一：连结OG ,由（1）BD ⊥平面PAC 可得BD OG ⊥,DG 与平面PAC 所成角为DGO ∠.∵G ,O 分别是PC ,AC的中点，∴12OG PA ==, 因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒, 所以AO OC ==1BO =，因为AD CD==,所以2DO =,∴在Rt DGO ∆中,tan DO DGO GO ∠=== ∴sin 19DGO ∠=. 因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为19. 法二：以O 为坐标原点,BD ,AC 平行于PA 的直线为x ，y ，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒,所以AO OC ==1BO =,因为AD CD ==,所以2DO =,因此()1,0,0B ,()2,0,0D -,()C ,()0,A ,(0,P ,从而()3,0,0DB =为平面APC 一个法向量,30,0,G⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,32,0,DG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 419cos ,3344DG DB <>==⨯+.因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为419.【点睛】本题考查线面垂直的判定以及线面角的求法,要充分体会转化与化归思想在解题中的应用.20.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 过定点1,0A .（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程. 【答案】（1）1x =或3430x y --=；（2）10x y --=或770x y --= 【解析】【分析】（1）根据已知条件设出直线l 方程,注意l 的斜率是否存在,圆心到直线l 的距离等于半径,利用点到直线距离公式,即可确定出直线l 的方程;（2）先设直线l 方程,求出圆心到直线l 的距离,再根据垂径定理,求出PQ 弦长,得到CPQ ∆面积的表达式,再求出此表达式的最大值.【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程,得()()22344x y -+-=, ∴圆心()3,4C ，半径2r.①若直线l 的斜率不存在,则直线1x =,符合题意．②若直线l 斜率存在，设直线l ：()1y k x =-,即kx y k 0--=. ∵l 与圆C 相切.∴圆心()3,4C 到已知直线l 的距离等于半径2,2=,解得34k =.∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=．（2）直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为kx y k 0--=.则圆心到直线l的距离d =.又∵CPQ ∆面积12S d =⋅⋅==∴当d =max 2S =.由d ==解得1k =或7k =.∴直线方程为10x y --=或770x y --=.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的性质,涉及到的知识有:点到直线的距离公式,三角形面积公式,垂径定理以及直线方程.要注意分类讨论,是一道多知识点综合题. 21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）33（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且192FQ = 【解析】【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥，因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则平面ABP 的一个法向量为()2,0,1n =，226cos ,311221m n <>==++⋅+，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角A PB C--3（3）设存在点Q 满足条件.由12,0,,(0,2)22F E ⎛ ⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=，整理得12(1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12(1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以21sin |cos ,|||62||||219107BQ m BQ m BQ m πλλ⋅====⋅-+ 解得21λ=，由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且19FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22.若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切，从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =，试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(16,0)和(4,0)-【解析】试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则该直线离圆心的距离等于半径，从而确定圆心与半径，可求圆C 的方程；（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，求出再由PT PQ =，从而可得结论；（Ⅲ）根据点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-，从而可得圆的方程，令0y =可得结论．试题解析：（Ⅰ）设圆心(,)C m n 由题易得3m =半径1r n =-=得4n =-，=5r所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）由题可得PT CT ⊥，所以PT ==PQ ==整理得240a b -+=所以点P 总在直线240x y -+=上（Ⅲ）(4,0)F -由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ，则圆心12(6,)2y y E +，半径122y y r -= 从而圆E 的方程为2221212()(6)()24y y y y x y +--+-= 整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=又点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-所以221212()640x y x y y y +--+-=令0y =得212640x x --=，所以16x =或4x =-所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-考点：圆的方程及直线与圆的位置关系．【方法点睛】求圆的方程的两种方法：（1）代数法：即用待定系数法求圆的方程①若已知条件与圆心和半径有关，则设出圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解；（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心，半径，进而写出圆的标准方程。

浙江省宁波市效实中学2020学年高二数学上学期期中试题含解析

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题共30分）参考公式：柱体的体积公式 V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，表示h 锥体的高球的表面积公式2=4S R π，球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径台体的体积公式121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是（） A. 平行 B. 相交C. 异面D. 平行或异面【答案】D 【解析】试题分析：由于αβ,所以两条直线是平行或异面.可以用了两支笔在桌面上摆放一下确定答案.考点：两条直线的位置关系.2.已知椭圆2213x y m +=的焦点在x ，则m 的值是（）A. B. 6D.2【答案】B 【解析】【分析】椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，可知2a m =，23b =，利用公式222c a b =-求出2c ，代入离心率公式即可求出m 的值.【详解】解：椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，则3m >，又离心率为2，即22312c m a m -==，解得：6m =. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆求离心率，利用222c e a=是常用的方法，属于基础题.3.下列命题不正确的是（） A. 若P αβ∈，且=l αβ，则P l ∈B. 若,A l B l ∈∈，且,A B αα∈∈，则l α⊆C. 若直线a ⋂直线b A =，则直线a 与直线b 确定一个平面D. 三点,,A B C 确定一个平面. 【答案】D 【解析】【分析】A. 由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A 正确；B. 由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B 正确；C. 由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.D. ,,A B C 三点共线时不能确定一个平面，所以D 错误.【详解】解：对于A ：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A 中，平面α与平面β有一个交点P ，则有一条交线，且P 在交线上.所以A 正确. 对于B ：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B 真确.对于C ：由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.对于D ：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知，,,A B C 三点共线时不能确定一个平面，所以D 错误. 故选：D【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，解题的关键是熟记公理并且掌握公理的符号表示，属于基础题.4.将半径为6cm 的圆形铁皮，剪去16后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（） A.3253cm π B.325113cm π C. 32511cm π D. 350cm π【答案】B 【解析】【分析】由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r 的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．【详解】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r ，根据2πr ＝56×2π×6，求得r ＝5，则圆锥的高为h ＝226r -＝11，故圆锥的体积为13•πr 2•h ＝13×π×25•11＝2511π，故选：B.【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题．5.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A.3 B.5 C.7 D.34【答案】D 【解析】试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，则11312,,22AD A D A B ===，由余弦定理，得11132cos 24θ+-==，故选D. 考点：异面直线所成的角.6.如图所示，已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ，其中112AB A B =，截去三棱锥1A ABC -，则剩余部分的体积为（）A. 14V B. 23VC. 37VD. 35V【答案】C 【解析】【分析】设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.通过112AB A B =，可知三棱台中=4S S 下上，所以三棱台的体积可用S 上和h 表示出来. 截去三棱锥1A ABC -与三棱台下底相同，高相同，根据上下底的面积关系，三棱锥的体积也可以用S 上和h 表示出来，做差求出剩余部分的体积，做比即可求出答案.【详解】解：设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下. 因为112AB A B =，所以=4S S 下上，则三棱台的体积为：((117+=5=333V S S h S h S h =⋅⋅下上上上. 截去三棱锥1A ABC -的体积为：11433V S h S h =⋅=下上，所以剩余部分的体积为274=-=33V S h S h S h 上上上，所以剩余部分的体积为37V .故选：C.【点睛】本题考查三棱台与三棱锥的体积公式，解题的关键是把所求的体积转化，属于中档题.7.有下列说法：①若p xa yb =+，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p xa yb =+； ③若MP xMA yMB =+，则,,,P M A B 共面；④若,,,P M A B 共面，则MP xMA yMB =+.其中正确的是（） A. ①②③④ B. ①③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】①p xa yb =+，则根据平面向量基本定理知p 必与a ，b 共面，③同①；②若a b ，则p 不一定能用a ，b 表示，④同②，则可判断结果.【详解】解：①若a ，b 中有一个为0，则p 与a ，b 共面；若a ，b 均不为为0，则根据平面向量基本定理可知，p 与a ，b 共面，所以①正确；②若a b ，则p 不一定能用a ，b 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当,,M A B 三点共线时，点P 不在此直线上，则MP xMA yMB =+就不成立；故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的正用和逆用，解题的关键是把握住平面向量基本定理中向量12,e e 不共线的前提，属于基础题.8.等腰梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,沿对角线AC 将平面ACD 折起，折叠过程中，AD 与BC 夹角的取值范围为（） A. 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】【分析】AD 与BC 夹角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以只需探寻夹角的最小和最大值即可，当未折起时，夹角最小，求出夹角即可，然后只需验证垂直的情况是否成立即可得出答案.【详解】解：等腰梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,则由平面几何可知，在等腰梯形ABCD 中，AD 与BC 夹角为3π，在折起过程中，夹角逐渐增大，当平面ACD 与平面ACB 垂直时，AD 与BC 垂直，夹角为2π. 故选：B.【点睛】本题考查求线线角的取值范围，考查立体几何中的翻折问题，考查学生的直观想象能力和特殊值的运算，属于基础题.9.从空间一点作n 条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，n 最多为（） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用空间中两条射线角平分线的性质，想要空间中存在射线与原来的两条射线所成的角为钝角，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，所以两侧有两条，一共有4条，则可得出答案.【详解】解：在同一个平面中，最多有3条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，但是平面外不存在直线与这3条射线构成的角均为钝角，若平面内有2条射线构成的角为钝角，则在空间中，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，平面两侧一共存在2条射线，此时共有4条射线.故选：B.【点睛】本题考查两条射线所构成的角，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10.过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ，若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ，当AB CM最大时点C 的横坐标为（）A. 5B. 1C. 4D. 1【答案】A 【解析】【分析】直线,A B 的方程为1x my =+，联立直线与抛物线，可求出()221,2C m m +，利用中点和垂直求出直线AB 的中垂线，与7x =-联立，求出M 的坐标；应用两点间的距离公式分别求出AB 和CM ，利用不等式即可求出最大时点C 的横坐标.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线24y x ＝的焦点F ()1,0，所以设直线,A B的方程为1x my =+，则联立241y x x my ⎧⎨=+⎩＝得：2440y my --=，12124,4y y m y y +=⋅=-.则()221,2C m m +，则直线AB 的中垂线为()2212y m x m m =---+，联立()27212x y m x m m=-⎧⎪⎨=---+⎪⎩ 解得：()37,210M m m -+. ()21241AB y m =-==+CM()4226421621()4369664m m AB CMm m m ++=+++ =()()()222224114m mm +++ ()()222414m m+=+()()()2222411619m mm +=++++2249161m m =++++229166121m m +++≥=+，所以当且仅当213m +=，即m =AB CM C 点的横坐标为5. 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与直线的位置关系，考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分． 11.已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114A E AC =，若1()AE xAA y AB AD =++，则x =____，y =____．【答案】 (1). 1 (2). 14；【解析】【分析】因为11114A E AC =，所以根据向量的线性运算，111111()4AE AA A B A D =++，又因为1111,A B AB A D AD ==，所以把1111A B A D +转化为AB AD +，系数对应相等，即可求出,x y 的值.【详解】解：11114A E AC =，11111111()=+()44AE AA A B A D AA AB AD =+++，所以1x =，14y =. 故答案为：1，14. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量相等的应用，属于基础题.12.已知球的表面积为24cm π，则它的半径等于____cm ，它的内接长方体的表面积的最大值为_____2cm .【答案】 (1). 1 (2). 8；【解析】【分析】(1)列出球的表面积公式即可根据面积求出球的半径；（2）设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，则有()22222x y z R ++=，又因为长方体的表面积222S xy yz xz =++，则可根据基本不等式求出面积的最大值.【详解】解：球的表面积为24cm π，即244S R ππ==，所以1R =.设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，则有()222224x y z R ++==，所求长方体的表面积为()()()2222222228S xy yz xz x y yz x z =++≤+++++=，此时233x y z ===.故答案为：1,8.【点睛】本题考查根据球的表面积公式求半径，考查球内接长方体边长与球的的半径的关系，考查基本不等式的应用，本题属于中档题.13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的俯视图的面积为____，体积为____．【答案】 (1). 2+4π (2). 16+83π；【解析】【分析】（1）由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.所以根据正视图可知俯视图中三角形的底和高以及半径，进而可求出俯视图的面积.（2）根据正视图可知几何体的高为4，结合第一问所求的底面积，即可求出该几何体的体积.【详解】解：由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.在俯视图中，以半圆的直径为底，则三角形的高为2，半圆的直径为4，所以俯视图的面积为2114224222S ππ=⨯⨯+⨯⨯=+.由正视图可知，该几何体的高为4，所以该几何体的体积111684424333V ππ+=⨯⨯+⨯⨯=. 故答案：2+4π，16+83π. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥和圆锥的体积公式，属于基础题.14.椭圆22:184x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1，则弦AB 所在的直线方程为____；点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，则OP FP 的取值范围为____．【答案】 (1). 30x y +-=(2). 2,8⎡+⎣；【解析】【分析】（1）设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得到1212121212y y x xx x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，则有12122,122x x y y ++==，将关系式代入结果可求得12121y y x x -=--，即直线AB 的斜率，根据点斜式则可求出直线方程.（2）已知()2,0F -，设()00,P x y ，用坐标表示向量22000=2+y OP FP x x +，因为点P 在椭圆上，有220082x y -=，代入OP FP 中，得到OP FP =()201222x ++，根据0x 的取值范围即可求出结果.【详解】解：（1）设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：22112222+2=8+2=8x y x y ⎧⎨⎩，即：22221212+22=0x x y y --，有()()()()121212122x x x x y y y y +-=-+-，变形为：1212121212y y x xx x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，则有12122,122x x y y ++==，所以12121y y x x -=--，即直线AB 的斜率为-1，又过点Q ()2,1，所以弦AB 所在的直线方程为()213y x x =--+=-+，即30x y +-=.（2）设()00,P x y ，()2,0F -，()00,OP x y =，()002,FP x y =+，()()22220000000000=,2,=2+y 242x OP FP x y x y x x x x ⋅++=++-=()201222x ++0x -≤≤，所以当02x =-时，OP FP 有最小值2，当0x =时，OP FP 有最大值8+2,8OP FP ⎡∴∈+⎣.故答案为：(1)30x y +-=，(2)2,8⎡+⎣.【点睛】本题考查点差法求直线方程，考查坐标法求向量的范围，考查学生的计算能力和转化能力，在圆锥曲线中，已知弦中点求直线方程，点差法是常用的方法，用坐标法求范围也是常用方法，属于基础题.15.直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，若OB OC ⊥，O 为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为____．【答案】y =；【解析】【分析】已知直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联立即可求出,B C 两点的坐标，又OB OC ⊥，所以0OB OC ⋅=，解出222a b =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联立：22221y bx y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得)(),,,B b C b =.OB OC ⊥，∴2220OB OC a b ⋅=-+=，即222a b =，b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，考查向量垂直的坐标运算，考查直线与双曲线联立求解，属于基础题.16.平面α//平面β，直线,m n αβ∈∈，点,,A m B n AB ∈∈与面α夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为____.【答案】45；【解析】【分析】在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D ，根据垂直关系找出各个角的值，计算三角形的边长cos4AC AB π=，cos3AD AB π=，可求出直线AB 的射影与直线m 的夹角，又直线m 与直线n 的夹角与直线AB 的射影与直线m 的夹角互余，则可求出结果.【详解】解：在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D.由条件可知， AC l ⊥，4BAC π∠=，3BAD π∠=.在Rt ABC ∆中，cos4AC AB π=.,BC BC AD α⊥∴⊥，又CD AD ⊥，cos3AD AB π∴=，2cos 2AD CAD AC ∠==，4CAD π∴∠=，故直线m 与直线n 的夹角是244πππ-=.故答案为：45.【点睛】本题考查求直线与直线所成角，涉及到线面角，考查学生的空间想象能力，属于中档题.17.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．【答案】53π．【解析】【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111D C B A 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为11AE AA ==，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 6π=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B FG 2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长33+=故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -，且过点()2,3Q -，椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）求12PF F ∆的内切圆方程.【答案】（1）2211612x y +=（2）()()2211 1.x y -+-=【解析】【分析】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，可以列出方程222224914a bc a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，求解即可求出22,a b 的值，进而求出椭圆的方程. （2）P 到两焦点12,F F 的距离之差为2，又P 到两焦点12,F F 的距离之和为2a ，联立可求出11=5=3PF PF ，，又21=4,F F 则可得出三角形为直角三角形，则可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.【详解】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，则222224914a bc a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，解得：2216,12a b ==，所以椭圆方程为：2211612x y +=. （2）由12112122122,=5=3=4,8PF PF PF PF F F PF F F PF PF ⎧-=⎪∴⊥⎨+=⎪⎩得：，，又，故内切圆半径()()221111,112r PF F F PF C =+-=圆心为，，所以内切圆方程为：()()2211 1.x y -+-=【点睛】本题考查根据椭圆过定点求椭圆的方程，考查直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于基础题.19.在所有棱长都为2的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=，13AB =.（1）求证：1AB BC ⊥；（2）求二面角1B AB C --的正切值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）取BC 中点D ，1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，则有1,,BC AD BC B D ⊥⊥根据线面垂直的判定定理可得1BC AB D ⊥面，根据线面垂直的定义即可证出结果.（2）由（1）可知1,BC AB D ⊥面所以有1ABC ,AB D ⊥面面故由1B O AD ⊥可知1B O ABC ⊥面，由O 作AB 的垂线，连1,B E 即可得到1B E AB ⊥，进而可找到1B EO ∠为二面角1B AB C --的平面角，利用数据解三角形即可求出正切值. 【详解】（1）取BC 中点D ，由题设得1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，1,,BC AD BC B D ∴⊥⊥1ADB D D =，11,.BC AB D BC AB ∴⊥∴⊥面（2）12,3,AB AD B D =∴== 又13,AB =所以三角形1ADB 为等边三角形.取AD 中点O ，得1B O AD ⊥又1B O BC ⊥，1B O ABC ∴⊥面，作OE AB ⊥，连1,B E 可得1B E AB ⊥1B EO ∴∠为二面角1B AB C --的平面角，11tan 2 3.B OB EO EO∠== 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角所成角，熟记定理和性质是解题的关键，属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为43点,,,G E F H 分别是棱,,,PB AB CD PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH ．（1）证明：//;GH EF（2）若2EB =，且二面角E GH B --大小为45,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）//BC 平面GEFH ，则由线面平行的性质可以证明,BC GH ,BC EF 从而证出.GH EF（2）二面角E GH B --大小为45,取BC ,AD 的中点M ,N ，设,MNEF I PM GH J ==，则可证明45.MJI E GH B ∠=--为二面角的平面角通过计算可知,MIJ ∆为等腰直角三角形可以求出23,GB =且,EB GEFH ⊥面可得BGE ∠是直线GB 与平面GEFH 所成的角，计算可求出结果.【详解】（1）//BC 平面GEFH ，,,PBC GEFH GH BC GH =∴面面同理：由D ,,.ABC GEFH EF BC EF GH EF =∴面面得（2）取BC ,AD 的中点M ,N ，设,MN EF I PM GH J ==,,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN ⊥⊥∴⊥且 ,GH PM GH PMN ⊥∴⊥面,45.GH IJ MJI E GH B ∴⊥∴∠=--即为二面角的平面角又2242,8,PN PM PB BM MN ==-==222PM PN MN ∴+=45,,PMN PNM MIJ ∴∠=∠=∆为等腰直角三角形1222JM PM ==且故,,23,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角，3sin .EB BGE GB ∴∠== 【点睛】本题考查线线平行的证明，以及求线面角的正弦值，解题的关键是灵活运用线面平行的性质，以及数据的处理，属于中档题.21.如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然. （2）给出下列四面体 ①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直；③高在各面的射影过所在面的垂心；④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为 . 【答案】（1）证明见解析（2）①②③④ 【解析】【分析】（1）首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立.（2）①②③可通过证明对棱垂直证明是垂心四面体，④假设四面体为垂心四面体，则可证明有对棱的平方和相等，逆推依然成立，所以④也成立. 【详解】（1）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体. 作11,AH BCD H ⊥面垂足为，则11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面，12,BH CD E ABE BH AE ⊥延长交于在面内作， 212,H AH BH H =垂足为设121CD ABH BH ABH ⊥⊆已有面，面 22,.BH CD BH ACD ∴⊥⊥故面此时两条高线12.AH BH H 和已交于点连接CH ，下证.CH ABD ⊥面111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥面而面故 222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥又面而面故CH ABD ∴⊥面.连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面综上可知，四条高线交于点H ，故该四面体垂心四面体；反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点H .,AH BCD ⊥面AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面，故CD AB ⊥,同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥（2）①正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，所以①符合要求.②三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，所以③符合要求.④假设四面体A BCD -为垂心四面体，设BF 交CD 于E ，则AC 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2＝BC 2﹣BD 2，即AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，反之，若故AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，则有C 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2＝BC 2﹣BD 2成立，即BE CD⊥同理可证其他，故④符合要求． ①②③④均符合要求.【点睛】本题为立体几何新定义题型，解题的关键是反复利用线面垂直的判定和性质，属于难题.22.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2215xy +=，抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点，设()00,P x y 是E 上的动点，且位于第一象限，记E 在点P 处的切线为l .（1）求p 的值和切线l 的方程（用00,x y 表示）（2）设l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）设l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）2p =，切线l 方程为002()y y xx +=（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）12S S 的最大值为83【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程可求出过的定点，按照抛物线的标准方程即可求出P 的值；利用在点()00,P x y 处的导数可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程.（2）（i ）利用点差法求出025OD k x =-，写出直线OD 的方程，代入0x x =，可求出y 为定值，即可证明. （ii ）PFG ∆中，FG 为底，P 点的横坐标为高，用00,x y 表示三角形的面积，PDM ∆中，PM 为底，D 到PM 的距离为高，依然用00,x y 表示三角形的面积，换元求最值即可.【详解】解：（I）由题意可得c e a ==，1b =，所以抛物线的焦点F 为(0,1)，则2p =，24E x y =：.直线l 的斜率为02x y =，所以切线方程()0002x y x x y =-+，利用2004x y =化简可得：002()y y xx +=.（2）（i ）证明：设00(,)P x y ，1122(,),(,)A x y B x y 由点差法可得15OD AB k k ⋅=-，012AB k x =，即有025OD k x =-，直线OD 的方程为025y x x =-，当0x x =时，可得25y =-即有点M 在定直线25y =-上；（ii ）直线l 的方程为0012y x x y =-，令0x =，可得0(0,)G y -，则10001112()2S FG x x y ==+，2002000022()115522222255y y S PM x x y y ++=⋅=⋅++ 则0012202(2)(1)52()5y y S S y ++=+令022()55y t t +=≥，则2212222233521322()()2(3)()248553355333335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35t =，即015y =时，12S S 取得最大值83 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，考查学生的计算能力与转化能力，属于难题.。

2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b 的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．（3分）已知椭圆的焦点在x轴上，若其离心率为，则m的值是（）A．B．6C．D．3．（3分）椭圆过点（2，0），长半轴长是焦距的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1或＝1D．+＝1或+＝14．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．5．（3分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．三点A，B，C确定一个平面B．m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βC．α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β6．（3分）已知A是圆F1：x2+（y+2）2＝36上的一动点，定点F2（0，2），线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝17．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，P A＝，AB＝2，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．25πD．8．（3分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知动直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C：＝1交于A、B两点，过原点O的直线与椭圆C交于P、Q两点，且PQ∥l，则的值是（）A．4B．C．2D．10．（3分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，若空间中有一条直线l 与直线BB1所成角为，则直线l与平面D1AC所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．11．（4分）椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为，焦点坐标．12．（4分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，高为3cm，则该圆台的母线长为cm，体积为cm3．13．（4分）已知过点（﹣2，3）的双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的方程为；若点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C 的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，则点P的坐标为．14．（3分）点P为椭圆C：+＝1椭圆上的任意一点，F为左焦点，则•的取值范围为．15．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，表面积为．16．（3分）已知F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径上的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段AD上且AE＝3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程政演算步骤．18．（9分）在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD且CD＝2AB，AB⊥AD，E 是CD的中点，M，N分别为P A，PD上的点，B，E，N，M四点共面．（Ⅰ）证明：平面P AB⊥平面P AD；（Ⅱ）证明：BE∥MN．19．（9分）已知椭圆C的离心率为，且与双曲线E：x2﹣＝1有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（3，4），直线x+y﹣2＝0与椭圆C交于A，B两点，求△ABP的面积．20．（9分）在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC＝60°，AB1＝．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B1﹣AB﹣C的正切值．21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝2，P A∥BE，P A ＝PD＝BE，M为PD的中点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面AME；（Ⅱ）求当P A是多少时，PO与平面P ABE所成角为30°？22．（9分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）M是椭圆C上的动点，A（1，0），＝2，求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）如图，过点B（0，2）的直线l分别与椭圆C，圆x2+y2﹣4y﹣12＝0依次交于点P，N，M，Q，求|PM|•|QN|的取值范围．2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b 的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【分析】根据面面平行的定义，判断在两个平行平面中的两条直线的位置关系．【解答】解：∵α∥β，∴α、β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴直线a与直线b没有公共点，∴a、b的位置关系是：平行或异面．故选：D．【点评】本题考查面面平行的定义，考查了空间直线与直线的位置关系，属于基础题．2．（3分）已知椭圆的焦点在x轴上，若其离心率为，则m的值是（）A．B．6C．D．【分析】利用椭圆的方程以及离心率，转化求出m即可．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，且离心率为，则，解得m＝6．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基本知识的考查．3．（3分）椭圆过点（2，0），长半轴长是焦距的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1或＝1D．+＝1或+＝1【分析】分焦点在x，y轴两种情况，由过的点的坐标可得a或b的值，再由长半轴长是焦距的2倍，可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．【解答】解：①当焦点在x轴上时，即+＝1（a＞b＞0）；由题意椭圆过点（2，0），可得a＝2，而长半轴长是焦距的2倍可得2•2c＝a＝2，所以c ＝，可得b2＝a2﹣c2＝4﹣＝，所以椭圆的标准方程为：+＝1；②当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为：+＝1（a＞b＞0）；椭圆过点（2，0），所以b＝2，长半轴长是焦距的2倍可得a＝2×2c＝4c，而a2＝b2+c2，所以16c2＝22+c2，所以c2＝，所以a2＝16c2＝，所以椭圆的标准方程：+＝1；故选：D．【点评】本题考查求椭圆的方程，属于基础题．4．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，1，1），F（1，1，1），∴，．∴cos＜＞＝．∴异面直线AF与BE所成角的余弦值为0．故选：A．【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．5．（3分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．三点A，B，C确定一个平面B．m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βC．α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【分析】利用公理判断A的正误；判断两个平面的可能关系判断B；利用3个平面的位置关系判断C，判断直线与平面的可能关系判断D．【解答】解：三点A，B，C确定一个平面，显然不正确，如果3点共线，不可能确定一个平面，所以A不正确；m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β，也可能α与β相交不垂直，所以B不正确；α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点，因为3个平面两两相交有3条交线，要么相交一点要么相互平行，因为α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点，所以C正确；α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β，也可能平行，也可能相交，所以D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，直线与平面的位置关系的判断，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．6．（3分）已知A是圆F1：x2+（y+2）2＝36上的一动点，定点F2（0，2），线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【分析】由已知，得|PF2|＝|P A|，所以|PF2|+|PF1|＝|P A|+|PF1|＝|F1A|＝6，又|F1F2|＝4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【解答】解：由已知，得|PF2|＝|P A|，所以|PF2|+|PF1|＝|P A|+|PF1|＝|F1A|＝6，又|F1F2|＝4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以，点P的轨迹方程为＝1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题．7．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，P A＝，AB＝2，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．25πD．【分析】设出球的球心，计算出球的半径，由此计算出该三棱雉外接球的体积．【解答】解：设等边三角形ABC的中心为O1，根据正三棱雉的几何性质以及外接球的性质可知球心O在三棱锥的高PO1上，在等边三角形ABC中，延长CO1交AB于D，则CD⊥AB且D是AB的中点．根据等边三角形的性质可知，所以，设外接球的半径为r，则，即（1﹣r）2+22＝r2，解得，所以外接球的体积为．故选：D．【点评】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，属于基础题．8．（3分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．9．（3分）已知动直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C：＝1交于A、B两点，过原点O的直线与椭圆C交于P、Q两点，且PQ∥l，则的值是（）A．4B．C．2D．【分析】设直线方程，与椭圆方程联立方程组，代入弦长公式计算弦长，从而可求出答案．【解答】解：显然直线l斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my﹣1，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，y1y2＝，∴|AB|＝＝，直线PQ的方程为：x＝my，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣12＝0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4＝0，y3y4＝﹣，∴|PQ|＝，∴＝，故选：B．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查弦长计算，属于中档题．10．（3分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，若空间中有一条直线l 与直线BB1所成角为，则直线l与平面D1AC所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】建立空间直角坐标系，求出平面D1AC的法向量，设动直线l恒过定点D，则直线l与平面A1B1C1D1的交点的轨迹是圆；然后设定直线l的方向向量，即可求解．【解答】解：以D为原点建立空间坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，，0），D1（0，0，1），∴＝（﹣，0，1），＝（﹣，，0），设平面AD1C的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，1，），过D作直线l的平行线l′，则直线l′与DD1所成角为，不妨设直线l′与平面ABCD的交点为M，则M的轨迹是以D1为圆心，以1为半径的圆，设M（cosα，sinα，1），则＝（cosα，sinα，1）为直线l的方向向量，设直线l与平面D1AC所成角为β，则sinβ＝|cos＜＞|＝＝，∴≤sinβ≤，∴≤β≤．故选：B．【点评】本题主要考查利用向量法求解立体几何运动题，凡是可建立坐标系的这类题应选择向量法更为适宜．二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．11．（4分）椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为4，焦点坐标（，0）．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：椭圆C：x2+4y2＝8的标准方程为：，所以a＝2，b＝，c＝＝．所以椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为4；焦点坐标（，0）．故答案为：4；（，0）．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．（4分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，高为3cm，则该圆台的母线长为cm，体积为28πcm3．【分析】由题意画出图形，由已知结合勾股定理求圆台的母线长；分别求出圆台的上下底面面积，代入圆台的体积公式求解．【解答】解：如图，O1A1＝2，OA＝4，O1O＝3，过A1作A1B⊥OA，垂足为B，则A1B＝O1O＝3，AB＝OA﹣OB＝OA﹣O1A1＝4﹣2＝2，则圆台的母线长为cm．圆台的上底面面积，下底面面积S＝π×42＝16π．∴圆台的体积V＝cm3．故答案为：；28π．【点评】本题考查圆台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．13．（4分）已知过点（﹣2，3）的双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的方程为；若点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，则点P的坐标为（，）．【分析】设出曲线的标准方程利用双曲线的性质，求解双曲线C的方程．利用|F1F2|＝|PF2|，列出双曲线与圆的方程，求解方程组，即可得到P的坐标．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，设双曲线C的方程为，由题意点（﹣2，3）在双曲线C上可得4﹣3＝m，解得m＝1．故所求双曲线的方程为．所以c＝2，点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，可得，消y可得x2﹣4x﹣15＝0，解得x＝﹣舍去，x＝，此时y ＝±．点P在第一象限内，所以P（，）故答案为：；（，）．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．14．（3分）点P为椭圆C：+＝1椭圆上的任意一点，F为左焦点，则•的取值范围为[2，8+4]．【分析】可设P（x，y），可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【解答】解：∵点P为椭圆C：+＝1上的任意一点，设P（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2），依题意得左焦点F（﹣2，0），∴＝（x，y），＝（x+2，y），∴•＝x（x+2）+y2＝x2+2x+＝x2+2x+4＝（x+2）2+2，∵﹣2≤x≤2，∴2﹣2≤x+2≤2+2，∴0≤（x+2）2≤6+4，∴2≤（x+2）2+2≤8+4．•的取值范围为[2，8+4]．故答案为：[2，8+4]．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．15．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，表面积为10+2π+2．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由底面半径为2，高为4的半个圆锥和一个底面为等腰三角形，高为4的一个三棱锥体构成的几何体．如图所示：所以俯视图的面积为＝6+2．所以．V组合体＝．故答案为：；10+2【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．（3分）已知F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径上的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．【分析】求出椭圆焦半径的范围，再由|AB|在焦半径范围内列不等式求解．【解答】解：如图，|AB|＝，a﹣c≤|PF|≤a+c，由题意可得，a﹣c a+c，不等式左边恒成立，则，两边平方整理得：2e2+2e﹣1≥0，解得e（舍）或e≥．∴椭圆C的离心率的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆焦半径范围的应用，是中档题．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段AD上且AE＝3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为．【分析】过点D作DF⊥CE于点F，连接BF、BD．在Rt△CDE中，易求得DF和EF 的长；在△BCE中，由余弦定理可求得cos∠BEC的值，再在△BEF中运用余弦定理可推出BF的长，利用勾股定理的逆定理证得BF⊥CE，故∠BFD即为所求；最后在△BDF 中，运用余弦定理求出cos∠BFD的值即可．【解答】解：过点D作DF⊥CE于点F，连接BF、BD．在Rt△CDE中，CD＝2，DE＝1，CE＝＝，∴DF＝＝，EF＝．在△BCE中，BE＝＝，由余弦定理知，cos∠BEC＝＝＝，在△BEF中，cos∠BEC＝＝＝，解得BF＝．∴BE2＝BF2+EF2，即BF⊥CE．∵DF⊥CE，∴∠BFD即为二面角D﹣EC﹣B的平面角．在△BDF中，BD＝＝，∴cos∠BFD＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查空间中二面角的求法，且多次运用了余弦定理，理解二面角的定义以便作出二面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程政演算步骤．18．（9分）在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD且CD＝2AB，AB⊥AD，E 是CD的中点，M，N分别为P A，PD上的点，B，E，N，M四点共面．（Ⅰ）证明：平面P AB⊥平面P AD；（Ⅱ）证明：BE∥MN．【分析】（1）由P A⊥平面ABCD，知P A⊥AB，结合AB⊥AD，由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）易证得四边形ABED为平行四边形，故BE∥AD，由线面平行的判定定理得BE∥平面P AD，再由线面平行的性质定理即可得证．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，P A、AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．（2）∵CD＝2AB，E是CD的中点，∴DE＝AB，∵AB∥CD，即AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD．∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD．又平面P AD∩平面BENM＝MN，BE⊂平面BENM，∴BE∥MN．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题．19．（9分）已知椭圆C的离心率为，且与双曲线E：x2﹣＝1有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（3，4），直线x+y﹣2＝0与椭圆C交于A，B两点，求△ABP的面积．【分析】（Ⅰ）由双曲线的方程可得其焦点坐标，再由题意可得椭圆的焦点坐标，由离心率可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）求出P到直线x+y﹣2＝0的距离d，然后将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的值，再由三角形的面积公式可得三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线E：x2﹣＝1方程可得：双曲线的焦点坐标（±，0），由题意椭圆与双曲线有相同的焦点，所以椭圆的焦点坐标（±，0），设椭圆的方程为：+＝1，由题意可得e＝＝，c＝，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝22﹣（）2＝1，所以椭圆C的方程为：+y2＝1；（Ⅱ）点P（3，4）到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝；设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得：5x2﹣16x+12＝0，x1+x2＝，x1x2＝，所以弦长|AB|＝＝＝，所以S△APB＝|AB|•d＝＝2，所以△ABP的面积为2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形面积的求法，属于中档题．20．（9分）在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC＝60°，AB1＝．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B1﹣AB﹣C的正切值．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AD，BC⊥B1D，推出BC⊥面AB1D，即可证明BC⊥AB1．（Ⅱ）作OE⊥AB，连B1E，说明∠B1EO为二面角B1﹣AB﹣C的平面角，通过求解三角形推出结果即可．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点D，连接AD，B1D，由题设得△ABC，△B1BC均为等边三角形，∴BC⊥AD，BC⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD⊂面AB1D，B1D⊂面AB1D，∴BC⊥面AB1D，∵AB1⊂面AB1D．∴BC⊥AB1．（Ⅱ）解：∵AB＝2，∴AD＝B1D＝，已知AB1＝，取AD中点O，得B1O⊥AD，又B1O⊥BC，AD∩BC＝D，∴B1O⊥面ABC；B1O⊥AB，作OE⊥AB，连B1E，∵AB⊥OE，B1O⊥AB，AB∩OE＝E，∴AB⊥平面B1OE，B1E⊂平面B1OE，∴B1E⊥AB，∴∠B1EO为二面角B1﹣AB﹣C的平面角，B1O＝•AD＝，EO＝•AO＝，tan∠B1EO＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝2，P A∥BE，P A ＝PD＝BE，M为PD的中点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面AME；（Ⅱ）求当P A是多少时，PO与平面P ABE所成角为30°？【分析】（Ⅰ）连接PB，交AE于点N，连接MN，易知四边形P ABE为平行四边形，从而推出MN∥BD，再由线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）取AD的中点F，连接PF、OF，由平面P AD⊥平面ABCD，可推出PF⊥平面ABCD，故PF⊥AB，PF⊥OF．由线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面P AD，故AB⊥P A．设P A ＝x，则点O到平面P AB的距离为，根据等体积法V P﹣ABO＝V O﹣P AB，可列出关于x的方程，解之即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接PB，交AE于点N，连接MN，∵P A∥BE，P A＝BE，∴四边形P ABE为平行四边形，∴N为PB的中点．∵M为PD的中点，∴MN∥BD．∵BD⊄平面AME，MN⊂平面AME，∴BD∥平面AME．（Ⅱ）解：取AD的中点F，连接PF、OF，∵P A＝PD，∴PF⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面P AD，∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AB，PF⊥OF．设P A＝x，则PF＝，PO＝＝x．∵PO与平面P ABE所成角为30°，∴点O到平面P AB的距离d＝．∵PF⊥AB，AB⊥AD，PF∩AD＝F，PF、AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥P A．∵V P﹣ABO＝V O﹣P AB，∴•PF•S△ABO＝•d•S△P AB，即•2•1＝•x•2，解得x＝．故当P A是时，PO与平面P ABE所成角为30°．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及利用等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（9分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）M是椭圆C上的动点，A（1，0），＝2，求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）如图，过点B（0，2）的直线l分别与椭圆C，圆x2+y2﹣4y﹣12＝0依次交于点P，N，M，Q，求|PM|•|QN|的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用相关点法找出点M与点N坐标之间的关系再求解即可；（Ⅱ）设直线的方程为l：y＝kx+2，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与椭圆求出x1x2与x1+x2，又|PM|•|QN|＝（4+|BM|）×（4﹣|BN|），结合弦长公式可以把|PM|•|QN|用k表示，令4k2+1＝t，则|PM|•|QN|可以表示成关于t的函数，再结合单调性求函数的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设N点坐标为（x，y），M点坐标为（x0，y0），因为＝2，所以（x﹣1，y）＝2（1﹣x0，0﹣y0），则，那么，又因为点M是椭圆C上的动点，于是，所以．即动点N的轨迹方程为．（Ⅱ）①当直线的方程为l：x＝0 时，|PM|•|QN|＝7×3＝21；②设直线的方程为l：y＝kx+2，设M（x1，y1），N（x2，y2），消去y得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，则，又|PM|•|QN|＝（4+|BM|）×（4﹣|BN|）＝16+4|MN|﹣|BM|×|BN|＝＝，令4k2+1＝t，则t≥4，所以时单调递增，∴|PM|•|QN|的取值范围为，综上所述：|PM|•|QN|的取值范围为．【点评】本题考查相关点法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式及函数最值等相关知识，考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。

2019-2020学年浙江省宁波诺丁汉大学附中高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波诺丁汉大学附中高二上学期期中考试数学试题一、单选题1320y +-=的倾斜角等于（） A ．030 B ．0150C ．0120D ．060【答案】B【解析】先计算直线的斜率k =，再根据)tan 0180k αα==︒≤<︒解得答案. 【详解】320y +-=的斜率为：3k =-倾斜角满足：()tan 01801503k ααα==-︒≤<︒∴=︒ 故选：B 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于基础题型.2．若,x y 满足约束条件33100x y x y y +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】【详解】如图所示：画出可行域和目标函数根据平移知：当目标函数通过点31(,)22即31,22x y ==时，z x y =+有最大值为2 故选：D 【点睛】本题考查了现行规划问题，作出可行域和目标函数是解题的关键.3．直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是（） A ．a α⊥B ．//a αC ．a α⊆D ．a α⊆或//a α【答案】D【解析】根据直线和平面的位置关系得到答案. 【详解】直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是a α⊆或a α‖. 故选：D 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，漏解是容易发生的错误. 4．过三点A （1，-1），B （1,4），C （4，-2）的圆的方程是（） A ．227320x y x y +--+= B ．227320x y x y ++-+= C ．227320x y x y ++++= D ．227320x y x y +-++=【答案】A【解析】设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将111,442AB C --（，）,（）,（，）三点代入方程得到方程组，解得答案. 【详解】设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=将111,442A B C --（，）,（）,（，）三点代入方程得到方程组：1+1+01+16+40164+420D E F D E F D E F -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩解得：7,3,2D E F =-=-=，故圆方程为：227320x y x y +--+=故选：A 【点睛】本题考查了圆的一般方程，也可以利用垂直平分线求圆心的方法解答.5．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6【答案】B【解析】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．分析：由直线x+3y-7=0和kx-y-2=0与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，得到对角之和为180°，又∠AOB 为90°，得到两直线的夹角为90°，即两直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，分别表示出两直线的斜率相乘等于-1列出关于k 的方程，求出的解即可得到实数k 的值．解：由图形可知：∠AOB=90°，∴直线x+3y-7=0和kx-y-2=0的夹角为90°即两直线垂直，又直线x+3y-7=0的斜率为-13，直线kx-y-2=0的斜率为k ，则-13k=-1，解得k=3．故选C ．6．不论m 为何实数，直线(m -1)x -y +2m +1=0恒过定点( ) A ．B ．(-2，0)C ．(-2，3)D ．(2，3)【答案】C【解析】将直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0，令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【详解】直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0令，解得.故无论m为何实数，直线(m−1)x−y+2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)故选C.【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.7．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=5，AB=3，AC=4，BC=5，则PA与平面ABC 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】试题分析：过P作PD⊥平面ABC，垂足为D，先证明D是BC的中点，∠PBC 为PA与平面ABC所成的角，从而可得结论．解：过P作PD⊥平面ABC，垂足为D，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB⊥AC∵PA=PB=PC=，∴D是BC的中点∴∠PBC为PA与平面ABC所成的角∴PB=PC=BC，∴∠PBC=60°故选C．点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．8．若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(cos )(1)16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（） A． B．3-CD【答案】A【解析】根据直线和圆相切得到14d ==，计算得到6πθ=，得到答案. 【详解】直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(cos )(1)16x y θ-+-=相切则2141sin sin 4d r θθ===-=∴θ为锐角，则211sin sin sin 426πθθθθ-=∴=∴=cos sin k θθ=-= 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.9．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（） A．B．5C．5D【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．10．正四面体A-BCD 中，DA =2,保持BC 在平面α内，正四面体A-BCD 绕BC 旋转过程中，正四面体A-BCD 在平面α内的投影面积的最大值等于（）A ．BC ．4D ．2【答案】D【解析】分为AD 投影在BC 同侧和AD 投影在BC 异侧两种情况求解，先证明BC AD ⊥得到11BC A D ⊥和2得到答案.【详解】如图所示：E 为BC 中点，易知：,BC AE BC DE BC ⊥⊥∴⊥平面ADE ，故BC AD ⊥.设11A D 为AD 在平面的投影，故11BC A D ⊥当AD 投影在BC 同侧时：正四面体A-BCD 在平面α内的投影为三角形；11122S BC ED BC ED =⋅≤⋅=11122S BC EA BC EA =⋅≤⋅=当AD 投影在BC 异侧时：正四面体A-BCD 在平面α内的投影为四边形；其中一组对边为BC ，另一组对边为AD 在平面的投影即11A D .1111222S BC A D BC AD =⋅≤⋅=，当11A D AD =，即AD ‖平面α时等号成立. 综上所述：面积的最大值为2. 故选：D【点睛】本题考查了投影面积的最大值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题11．直线1:20l x y a +-=和直线 22:(2)20l a x y --+=互相平行，则a =______. 【答案】1a =-【解析】直接利用直线平行的公式得到答案. 【详解】直线1:20l x y a +-=和直线 22:(2)20l a x y --+=互相平行则2211a a -=-∴=± 当1a =时，两直线重合，舍去故答案为：1a =- 【点睛】本题考查了直线的平行，没有考虑重合的情况是容易发生的错误.12．方程22230x y x my m +-+--=表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】3π【解析】将圆方程化为标准式，得到()222142344m R m m =++=++利用二次函数的最值得到半径，再计算面积得到答案. 【详解】()222222301424m m x y x my m x y m ⎛⎫+-+--=∴+++=++ ⎪⎝⎭()222142344m R m m =++=++当2m =-23R ππ= 故答案为：3π 【点睛】本题考查了圆面积的最值，意在考查学生的计算能力.13．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 点是1DD 的中点，P 点是正方体1111ABCD A B C D -表面上一动点，若1B P ∥平面11AC E ，则P 点轨迹的长度等于___________ .【答案】【解析】,P Q 分别为11,AA CC 的中点，连接11,,,DP DQ B P B Q ，证明平面1DPB Q ‖平面11AC E ，得到P 点轨迹为四边形1DPB Q ，计算得到答案. 【详解】如图所示：,P Q 分别为11,AA CC 的中点，连接11,,,DP DQ B P B Q 易知：1DP QB =且1DP QB ‖，故1,,,D P Q B 共面.11,PD A E DQ EC ‖‖，故平面1DPB Q ‖平面11AC E所以P 点轨迹为四边形1DPB Q11DP DQ QB B P ====故答案为：【点睛】本题考查了空间轨迹的长度问题，先找出轨迹为1DPB Q 再证明是解题的关键. 14．直线:30l x y a ++= 和圆22:240C x y x y ++-=相交于A,B 两点. （1）若直线l 过圆心C ，则a =______ ; （2）若三角形ABC 是正三角形，则a =______【答案】1a = 12±【解析】（1）将圆方程化为标准方程得到圆心为()1,2-，代入直线方程计算得到答案.（2）根据ABC 是正三角形得到圆心到直线的距离为22R =，再利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】（1）()()2222240125x y x y x y ++-=∴++-=，圆心为()1,2-代入直线方程得到：3201a a -++=∴= 故答案为：1a =（2）三角形ABC R =d==12a=±故答案为：12±【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．正三棱锥A-BCD中，底面边长为6，侧棱长等于5.（1）则正三棱锥A-BCD的体积V=________ ；（2）正三棱锥A-BCD的外接球的半径R=__________ .【答案】V=R=26【解析】（1）如图所示，先计算23ED FD==AE=直接利用体积公式计算得到答案。

2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的．）1．空间中一点(2A -，3，1)到平面XOY 的距离为( ) A ．2B ．3C ．1D2．若点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是( ) A ．7或3-B ．7C ．3-D ．7-或33．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥ D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂则αβ⊥4．在平面直角坐标系xoy 中，(,)M x y 为不等式组220210380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………所表示的区域上一动点，则yz x=的最小值为( ) A ．2 B ．1C ．12-D ．13-5．直线1:(3)453l a x y a ++=-和直线2:2(5)8l x a y ++=平行，则(a = ) A ．7-或1-B ．7-C ．7或1D ．1-6．长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定8．已知直线:l y x m =+与曲线x =m 的取值范围是( ) A ．[2-，B．(-，2]-C ．[2，D．(-，2]9．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论： ①EP AC ⊥； ②//EP BD ； ③//EP 面SBD ； ④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[,]124ππB ．5[,]1212ππC ．[,]63ππD ．[0,]2π二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）11．直线10x +=的斜率为；倾斜角的大小是．12．已知m R ∈若方程22220x y x y m ++++=表示圆则圆心坐标为，m 的取值范围是．13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为邪田，两畔CD ，AB 的长分别为1，3，正广AD长为，PD ⊥平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为．14．直线10x y ++=被圆22:2C x y +=所截得的弦长为；由直线30x y ++=上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为．15．已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，若2z x y =+的最小值为1-，则a = ．16．如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为4的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度为．17．在ABC ∆中，已知AB =，BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上一点，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．已知平面内两点(8,6)A -，(2,2)B ．（1）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠=︒．G 为线段PC 的中点．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）求DG 与平面APC 所成的角的正弦值；20．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过定点(1,0)A ．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程． 21．如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，2ADC BAD π∠=∠=，F 为PA 的中点，PD =，112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BA 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．22．若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切，从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且||||PT PQ =，试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点M ，N 是直线6x =上两动点，且以M ，N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的．）1．空间中一点(2A-，3，1)到平面XOY的距离为()A．2B．3C．1D【解答】解：空间中一点(2A-，3，1)到平面XOY的投影为(2A'-，3，0)距离为101-=，故选：C．2．若点(,3)P a到直线4310x y-+=的距离为4，且在不等式230x y+->表示的平面区域内，则点P的横坐标是()A．7或3-B．7C．3-D．7-或3【解答】解：把(,3)a代入230x y+->，得2330a+->，得0a>，点(,3)P a到直线4310x y-+=的距离为4，4=，得3a=-或7a=，所以7a=，故选：B．3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若//mα，//nα，则//m n B．若//αβ，mα⊂，nβ⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂则αβ⊥【解答】解：A ．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B ．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C ．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；D ．正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥．故选：D ．4．在平面直角坐标系xoy 中，(,)M x y 为不等式组220210380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………所表示的区域上一动点，则yz x=的最小值为( ) A ．2 B ．1C ．12-D ．13-【解答】解：作出线性区域如图： yz x=的几何意义是动点(,)P x y 到原点的斜率，由图象可知OA 的斜率最小，由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)A -，则y z x =的最小值为1133-=-，故选：D ．5．直线1:(3)453l a x y a ++=-和直线2:2(5)8l x a y ++=平行，则(a = ) A ．7-或1-B ．7-C ．7或1D ．1-【解答】解：直线1:(3)453l a x y a ++=-和直线2:2(5)8l x a y ++=平行， ∴(3)(5)240(3)(5)(35)(8)0a a a a a ++-⨯=⎧⎨++--⨯-≠⎩，解得7a =-．故选：B ．6．长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与BE 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为11A B 中点， ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1A ，0，0)，1(0D ，0，1)，(1E ，1，1)，(1B ，2，0)， 1(1AD =-，0，1)，(0BE =，1-，1)，设异面直线1AD 与BE 所成角为θ，则11||1cos 2||||2AD BE AD BE θ===， 60θ∴=︒，∴异面直线1AD 与BE 所成角为60︒．故选：C ．7．已知点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解答】解：点(,)M a b 在圆22:1O x y +=外，221a b ∴+>． ∴圆22:1O x y +=的圆心(0,0)O 到直线1ax by +=的距离1d =<．则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是相交．故选：A ．8．已知直线:l y x m =+与曲线x =m 的取值范围是( )A ．[2-，B ．(-，2]-C ．[2，D ．(-，2]【解答】解：由x =224(0)x y x +=…，如图，当直线:l y x m =+与224(0)x y x +=…相切时，m =-∴若直线:l y x m =+与曲线x =则实数m 的取值范围是(-，2]-．故选：B ．9．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论： ①EP AC ⊥； ②//EP BD ； ③//EP 面SBD ； ④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④【解答】解：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ．对于（1），由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，SO AC ∴⊥． SOBD O =，AC ∴⊥平面SBD ，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，//EM BD ∴，//MN SD ，而EMM N N =，∴平面//EMN 平面SBD ，AC ∴⊥平面EMN ，AC EP ∴⊥．故正确．对于（2），由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面//EMN 平面SBD ，//EP ∴平面SBD ，因此正确．对于（4），由（1）同理可得：EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EPEM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确．故选：A ．10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[,]124ππB ．5[,]1212ππC ．[,]63ππD ．[0,]2π【解答】解：圆2244100x y x y +---=整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为(2,2)，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为，∴，∴2()4()10a ab b ++…，∴22a b--+剟，ak b=-，∴22k -，直线l 的倾斜角的取值范围是5[,]1212ππ，故选：B ．二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）11．直线10x +=；倾斜角的大小是．【解答】解：化10x -+=为y =+可得直线10x +=；设其倾斜角为(0)ααπ<…，则tan α=6πα=．6π． 12．已知m R ∈若方程22220x y x y m ++++=表示圆则圆心坐标为 (1,1)-- ，m 的取值范围是．【解答】解：方程22220x y x y m ++++=，即22(1)(1)2x y m +++=-，由20m ->，求得2m <．它表示圆时，则圆心坐标为(1,1)--，故答案为：(1,1)--；(,2)-∞．13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为邪田，两畔CD ，AB 的长分别为1，3，正广AD长为，PD ⊥平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为 4 ；邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为．【解答】解：过点C 作CE AB ⊥，交AB 于E ，则CE AD ==，2BE AB CD =-=，∴邪田ABCD 的邪长4BC ===，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，平面PAD 的法向量(0n =，1，0)，(0C ，1，0)，B ，3，0)，CB =2，0)，设邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为θ，则||21sin 42||||CB n CB n θ===，6πθ∴=，∴邪所在直线与平面PAD 所成角的大小为6π．故答案为：4，6π．14．直线10x y ++=被圆22:2C x y +=30x y ++=上的一点向圆C 引切线，切线长的最小值为．【解答】解：圆22:2C x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径r =圆心C 到直线10x y ++=的距离d ==．∴直线10x y ++=被圆22:2C x y +=所截得的弦长为=；圆心C 到直线30x y ++=的距离1d ==则由直线30x y ++=上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为=．．15．已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，若2z x y =+的最小值为1-，则a 2 ．【解答】解：0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………的可行域如图：且目标函数2z x y =+的最小值为1-，可知目标函数经过可行域的A 时，取得最小值，由121x x y =⎧⎨+=-⎩解得(1,3)A -，A 在直线(3)y a x =-上，可得3(13)a -=-，解得32a =，故答案为：32．16．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为4的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成的轨迹长度为12π+．【解答】解：线段MN的长度为1，线段MN的中点P，1122 AP MN∴==，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为12的4个14圆，以及线段GH，FE，IJ，LK，部分．∴轨迹的长度等于四个圆弧长加上线段GH，FE，IJ，LK的长，即11424(41)1242ππ⨯⨯⨯+⨯-=+，故答案为：12π+．17．在ABC∆中，已知AB=，BC=45ABC∠=︒，D是边AC上一点，将ABD∆沿BD折起，得到三棱锥A BCD-，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x =，则x 的取值范围为．【解答】解：ABC ∆中由余弦定理得：已知AB =BC =45ABC ∠=︒，AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，如下图a 所示．ABD ∆沿BD 折起，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上时，如图b ，AM ⊥面BCD ，MN ，AN 都于BD 垂直，折叠前在图a 中AM BD ⊥于N 点，在图a 中过A 作1AM BC ⊥于1M ，动点D 与C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，这时M 接近1M ，在图b 中，AB 是Rt AMB ∆的斜边，所以BM AB <，1BM BM AB ∴<<，1Rt ABM ∆中，112BM BC ==，BM x ∴=∈，；故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．已知平面内两点(8,6)A -，(2,2)B ．（1）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．【解答】解：（1）由题得 624823AB k --==--，由点斜式43(2)3y x +=--，∴直线l 的方程4310x y ++=．（2）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '， ∴232422431022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得14585m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴148(,)55B '--，86115142785B A k '-+==-+，由点斜式可得116(8)27y x +=--，整理得1127740x y ++=， ∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠=︒．G 为线段PC 的中点．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）求DG 与平面APC 所成的角的正弦值；【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，AB BC =，AD CD =，CA BO ∴⊥，CA OD ⊥，CA BD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥， PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，BD ∴⊥面PAC ．（2）解法一：连结OG ，由（1）BD ⊥平面PAC ， BD OG ∴⊥，DG ∴与平面PAC 所成角为DGO ∠． G ，O 分别是PC ，AC 的中点，∴12OG PA ==2AB BC ==，120ABC ∠=︒，∴1AO OC BO ===，AD CD ==，2DO ∴=，∴,DO Rt DGO tan DGO GO ∆∠===在中，∴sin DGO ∠=DG ∴与平面APC解法二：以O 为坐标原点，BD ，AC ，平行于PA 的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，∴1AO OC BO ===，AD CD ==，2DO ∴=，(1,0,0),(2,0,0),(0,(0,B D C A P -，从而(3,0,0)DB =为平面APC 一个法向量，G DG =，cos ,DG DB <>==， DG ∴与平面APC20．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过定点(1,0)A ．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程．【解答】解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得22(3)(4)4x y -+-=． ∴圆心(3,4)C ，半径2r =．①若直线l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意．②若直线l 斜率存在，设直线:(1)l y k x =-，即0kx y k --=． l 与圆C 相切．∴圆心(3,4)C 到已知直线l 的距离等于半径2，2=．解得34k =． ∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=；（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为0kx y k --=．则圆心到直线l 的距离d =．又CPQ ∆面积21242S d d =-==．∴当d =时，2max S =．由d ==1k =或7k =．∴直线方程为10x y --=或770x y --=．21．如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，2ADC BAD π∠=∠=，F 为PA 的中点，PD =，112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BA 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点．连接FN ，在PAC ∆中，F ，N 分别为PA ，PC 的中点，所以//FN AC ，因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊂/平面DEF ，所以//AC 平面DEF ．（2）解：易知DA ，DC ，DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-．设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z=，则00m PB x y m BC x y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，不妨1y=，则1x =，z =所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =．设平面ABP 的法向量为(,,)n xy z =， 00n AB y n PB x y ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩，据此可得 01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则平面ABP 的一个法向量为(2,0,1)n =，cos ,221m n <>==+ 故二面角A PB C --．（3）解：设存在点Q 满足条件．由1(2F E，设(01)FQ FE λλ=剟，整理得1(,22Q λλ-，则1(,22BQ λλ+=--．因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin|cos ,|||62||||219BQ m BQ m BQ m πλ=〈〉===解得21λ=，由01λ剟知1λ=，即点Q 与E 重合．故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==．22．若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切，从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点，（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且||||PT PQ =，试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点M ，N 是直线6x =上两动点，且以M ，N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：设圆心(,)C m n 由题易得3m =----（1分）半径|1|r n =-=，----（2分）得4n =-，5r =----所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=---- （Ⅱ）解：由题可得PT CT ⊥----所以||PT ==----||PQ ---（7分）=整理得240a b -+= 所以点P 总在直线240x y -+=上---- （Ⅲ）证明：(4,0)F -----（9分）由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ，则圆心12(6,)2y y E +，半径12||2y y r -=---- 从而圆E 的方程为2221212()(6)()24y y y y x y +--+-=----（11分）整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=又点F 在圆E 上，故0FM FN = 得12100y y =-所以221212()640x y x y y y +--+-= 令0y =得212640x x --=，所以16x =或4x =-所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-。

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年度高二第一学期期中试题数学【解析版】

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年度高二第一学期期中试题数学【解析版】一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面【答案】D 【解析】试题分析：由于αβ,所以两条直线是平行或异面.可以用了两支笔在桌面上摆放一下确定答案. 考点：两条直线的位置关系.2.已知椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，若其离心率为22，则m 的值是（） A. 32 B. 66D.322【答案】B 【解析】【分析】椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，可知2a m =，23b =，利用公式222c a b =-求出2c ，代入离心率公式即可求出m 的值.【详解】解：椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上，则3m >，又离心率为22，即22312c m a m -==，解得：6m =.故选：B.【点睛】本题考查椭圆求离心率，利用222c e a=是常用的方法，属于基础题.3.下列命题不正确的是（） A. 若P αβ∈，且=l αβ，则P l ∈B. 若,A l B l ∈∈，且,A B αα∈∈，则l α⊆C. 若直线a ⋂直线b A =，则直线a 与直线b 确定一个平面D. 三点,,A B C 确定一个平面. 【答案】D 【解析】【分析】A. 由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A 正确；B. 由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B 正确；C. 由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.D. ,,A B C 三点共线时不能确定一个平面，所以D 错误.【详解】解：对于A ：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A 中，平面α与平面β有一个交点P ，则有一条交线，且P 在交线上.所以A 正确.对于B ：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B 真确. 对于C ：由两条相交直线确定一个平面可知，C 正确.对于D ：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知，,,A B C 三点共线时不能确定一个平面，所以D 错误. 故选：D【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，解题的关键是熟记公理并且掌握公理的符号表示，属于基础题. 4.将半径为6cm 的圆形铁皮，剪去16后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（） A.3253cm π B.325113cm C. 32511cm πD. 350cm π【答案】B 【解析】【分析】由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r 的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．【详解】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r ，根据2πr ＝56×2π×6，求得r ＝5，则圆锥的高为h 226r -11，故圆锥的体积为13•πr 2•h ＝13×π×25•11＝25113π，故选：B.【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题． 5.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A.3B.5 C.74D.34【答案】D 【解析】试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，则11312,,222AD A D A B ===，由余弦定理，得11132cos 24θ+-==，故选D. 考点：异面直线所成的角.6.如图所示，已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ，其中112AB A B =，截去三棱锥1A ABC -，则剩余部分的体积为（）A. 14V B. 23VC. 37VD. 35V【答案】C 【解析】【分析】设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.通过112AB A B =，可知三棱台中=4S S 下上，所以三棱台的体积可用S 上和h 表示出来. 截去三棱锥1A ABC -与三棱台下底相同，高相同，根据上下底的面积关系，三棱锥的体积也可以用S 上和h 表示出来，做差求出剩余部分的体积，做比即可求出答案.【详解】解：设三棱台的高为h ，上底面111A B C 的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下. 因为112AB A B =，所以=4S S 下上，则三棱台的体积为：((2117++=5+4=333V S S S S h S S h S h =⋅⋅下下上上上上上. 截去三棱锥1A ABC -的体积为：11433V S h S h =⋅=下上，所以剩余部分的体积为274=-=33V S h S h S h 上上上，所以剩余部分的体积为37V .故选：C.【点睛】本题考查三棱台与三棱锥的体积公式，解题的关键是把所求的体积转化，属于中档题. 7.有下列说法：①若p xa yb =+，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p xa yb =+； ③若MP xMA yMB =+，则,,,P M A B 共面；④若,,,P M A B 共面，则MP xMA yMB =+.其中正确的是（） A. ①②③④ B. ①③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【分析】①p xa yb =+，则根据平面向量基本定理知p 必与a ，b 共面，③同①；②若a b ，则p 不一定能用a ，b 表示，④同②，则可判断结果.【详解】解：①若a ，b 中有一个为0，则p 与a ，b 共面；若a ，b 均不为为0，则根据平面向量基本定理可知，p 与a ，b 共面，所以①正确；②若a b ，则p 不一定能用a ，b 表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当,,M A B 三点共线时，点P 不在此直线上，则MP xMA yMB =+就不成立；故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的正用和逆用，解题的关键是把握住平面向量基本定理中向量12,e e 不共线的前提，属于基础题.8.等腰梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,沿对角线AC 将平面ACD 折起，折叠过程中，AD 与BC 夹角的取值范围为（） A. 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】【分析】AD 与BC 夹角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以只需探寻夹角的最小和最大值即可，当未折起时，夹角最小，求出夹角即可，然后只需验证垂直的情况是否成立即可得出答案.【详解】解：等腰梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD BC CD ====,则由平面几何可知，在等腰梯形ABCD 中，AD 与BC 夹角为3π，在折起过程中，夹角逐渐增大，当平面ACD 与平面ACB 垂直时，AD 与BC 垂直，夹角为2π. 故选：B.【点睛】本题考查求线线角的取值范围，考查立体几何中的翻折问题，考查学生的直观想象能力和特殊值的运算，属于基础题.9.从空间一点作n 条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，n 最多为（） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用空间中两条射线角平分线的性质，想要空间中存在射线与原来的两条射线所成的角为钝角，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，所以两侧有两条，一共有4条，则可得出答案.【详解】解：在同一个平面中，最多有3条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，但是平面外不存在直线与这3条射线构成的角均为钝角，若平面内有2条射线构成的角为钝角，则在空间中，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，平面两侧一共存在2条射线，此时共有4条射线. 故选：B.【点睛】本题考查两条射线所构成的角，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10.过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ，若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ，当ABCM最大时点C 的横坐标为（）A. 5B. 231C. 4D. 231【答案】A 【解析】【分析】直线,A B 的方程为1x my =+，联立直线与抛物线，可求出()221,2C m m +，利用中点和垂直求出直线AB 的中垂线，与7x =-联立，求出M 的坐标；应用两点间的距离公式分别求出AB 和CM ，利用不等式即可求出最大时点C 的横坐标.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线24y x ＝的焦点F ()1,0，所以设直线,A B 的方程为1x my =+，则联立241y xx my ⎧⎨=+⎩＝得：2440y my --=，12124,4y y m y y +=⋅=-.则()221,2C m m +，则直线AB 的中垂线为()2212y m x m m =---+，联立()27212x y m x m m=-⎧⎪⎨=---+⎪⎩ 解得：()37,210M m m -+. ()22221211161641AB m y y m m m =+-=++=+()2223(217)2210CM m m m m =+++--6424369664m m m +++()4226421621()4369664m m AB CM m m m ++=+++ =()()()222224114m m m +++ ()()222414m m +=+()()()2222411619m mm +=++++2249161m m =++++22916296121m m +++≥=+，所以当且仅当213m +=，即2m =±时，AB CM 3，此时C 点的横坐标为5.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与直线的位置关系，考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分． 11.已知正方体1111ABCD A BC D -中，11114A E AC =，若1()AE xAA y AB AD =++，则x =____，y =____．【答案】 (1). 1 (2). 14；【解析】【分析】因为11114A E AC =，所以根据向量的线性运算，111111()4AE AA A B A D =++，又因为1111,A B AB A D AD ==，所以把1111A B A D +转化为AB AD +，系数对应相等，即可求出,x y 的值. 【详解】解：11114A E AC =，11111111()=+()44AE AA A B A D AA AB AD =+++，所以1x =，14y =. 故答案为：1，14. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量相等的应用，属于基础题.12.已知球的表面积为24cm π，则它的半径等于____cm ，它的内接长方体的表面积的最大值为_____2cm . 【答案】 (1). 1 (2). 8；【解析】【分析】(1)列出球的表面积公式即可根据面积求出球的半径；（2）设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，则有()22222x y z R ++=，又因为长方体的表面积222S xy yz xz =++，则可根据基本不等式求出面积的最大值.【详解】解：球的表面积为24cm π，即244S R ππ==，所以1R =.设内接长方体的长、宽、高分别为,,x y z ，则有()222224x y z R ++==，所求长方体的表面积为()()()2222222228S xy yz xz x y y z x z =++≤+++++=，此时23x y z ===.故答案为：1,8.【点睛】本题考查根据球的表面积公式求半径，考查球内接长方体边长与球的的半径的关系，考查基本不等式的应用，本题属于中档题.13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的俯视图的面积为____，体积为____．【答案】 (1). 2+4π (2). 16+83π；【解析】【分析】（1）由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.所以根据正视图可知俯视图中三角形的底和高以及半径，进而可求出俯视图的面积.（2）根据正视图可知几何体的高为4，结合第一问所求的底面积，即可求出该几何体的体积.【详解】解：由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.在俯视图中，以半圆的直径为底，则三角形的高为2，半圆的直径为4，所以俯视图的面积为2114224222S ππ=⨯⨯+⨯⨯=+.由正视图可知，该几何体的高为4，所以该几何体的体积111684424333V ππ+=⨯⨯+⨯⨯=. 故答案：2+4π，16+83π.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥和圆锥的体积公式，属于基础题.14.椭圆22:184x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1，则弦AB 所在的直线方程为____；点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，则OP FP 的取值范围为____．【答案】 (1). 30x y +-= (2). 2,842⎡+⎣；【解析】【分析】（1）设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得到1212121212y y x x x x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，则有12122,122x x y y ++==，将关系式代入结果可求得12121y y x x -=--，即直线AB 的斜率，根据点斜式则可求出直线方程.（2）已知()2,0F -，设()00,P x y ，用坐标表示向量22000=2+y OP FP x x +，因为点P 在椭圆上，有220082x y -=，代入OP FP 中，得到OP FP =()201222x ++，根据0x 的取值范围即可求出结果.【详解】解：（1）设AB 两点的坐标为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：22112222+2=8+2=8x y x y ⎧⎨⎩，即：22221212+22=0x x y y --，有()()()()121212122x x x x y y y y +-=-+-，变形为：1212121212y y x x x x y y -+=--+， AB 的中点为点Q ()2,1，则有12122,122x x y y ++==，所以12121y y x x -=--，即直线AB 的斜率为-1，又过点Q ()2,1，所以弦AB 所在的直线方程为()213y x x =--+=-+，即30x y +-=. （2）设()00,P x y ，()2,0F -，()00,OP x y =，()002,FP x y =+，()()22220000000000=,2,=2+y 242x OP FP x y x y x x x x ⋅++=++-=()201222x ++ 02222x -≤≤所以当02x =-时，OP FP 有最小值2，当022x =时，OP FP 有最大值82+2,842OP FP ⎡∴∈+⎣.故答案为：(1)30x y +-=，(2)2,842⎡⎤+⎣⎦.【点睛】本题考查点差法求直线方程，考查坐标法求向量的范围，考查学生的计算能力和转化能力，在圆锥曲线中，已知弦中点求直线方程，点差法是常用的方法，用坐标法求范围也是常用方法，属于基础题.15.直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，若OB OC ⊥，O 为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为____．【答案】2y x =±；【解析】【分析】已知直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联立即可求出,B C 两点的坐标，又OB OC ⊥，所以0OB OC ⋅=，解出222a b =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点，联立：22221y bx y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()()2,,2,B a b C a b =-.OB OC ⊥，∴2220OB OC a b ⋅=-+=，即222a b =，2b a =±所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=. 故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，考查向量垂直的坐标运算，考查直线与双曲线联立求解，属于基础题.16.平面α//平面β，直线,m n αβ∈∈，点,,A m B n AB ∈∈与面α夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为____.【答案】45；【解析】【分析】在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D ，根据垂直关系找出各个角的值，计算三角形的边长cos4AC AB π=，cos3AD AB π=，可求出直线AB 的射影与直线m 的夹角，又直线m 与直线n 的夹角与直线AB 的射影与直线m 的夹角互余，则可求出结果. 【详解】解：在平面α内过点A 作直线l //n ，过点B 作直线BC α⊥，交点为C ，过C 作直线CD m ⊥，交点为D.由条件可知， AC l ⊥，4BAC π∠=，3BAD π∠=.在Rt ABC ∆中，cos4AC AB π=.,BC BC AD α⊥∴⊥，又CD AD ⊥，cos3AD AB π∴=，2cos 2AD CAD AC ∠==，4CAD π∴∠=，故直线m 与直线n 的夹角是244πππ-=. 故答案为：45.【点睛】本题考查求直线与直线所成角，涉及到线面角，考查学生的空间想象能力，属于中档题. 17.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．【答案】53π．【解析】【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111D C B A 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为1231AE AA ==，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 2336ππ=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，3FG 332π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长335333πππ=53π．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -，且过点()2,3Q -，椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2. （1）求椭圆的标准方程；（2）求12PF F ∆的内切圆方程.【答案】（1）2211612x y +=（2）()()2211 1.x y -+-=【解析】【分析】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，可以列出方程222224914a bc a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，求解即可求出22,a b 的值，进而求出椭圆的方程. （2）P 到两焦点12,F F 的距离之差为2，又P 到两焦点12,F F 的距离之和为2a ，联立可求出11=5=3PF PF ，，又21=4,F F 则可得出三角形为直角三角形，则可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.【详解】（1）椭圆()222210x y a b a b+=>>过点()2,3Q -，且焦点为()()122,0,2,0F F -，则222224914a bc a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩，解得：2216,12a b ==，所以椭圆方程为：2211612x y +=. （2）由12112122122,=5=3=4,8PF PF PF PF F F PF F F PF PF ⎧-=⎪∴⊥⎨+=⎪⎩得：，，又，故内切圆半径()()221111,112r PF F F PF C =+-=圆心为，，所以内切圆方程为：()()2211 1.x y -+-=【点睛】本题考查根据椭圆过定点求椭圆的方程，考查直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于基础题.19.在所有棱长都为2的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=，13AB =.（1）求证：1AB BC ⊥；（2）求二面角1B AB C --的正切值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）取BC 中点D ，1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，则有1,,BC AD BC B D ⊥⊥根据线面垂直的判定定理可得1BC AB D ⊥面，根据线面垂直的定义即可证出结果.（2）由（1）可知1,BC AB D ⊥面所以有1ABC ,AB D ⊥面面故由1B O AD ⊥可知1B O ABC ⊥面，由O作AB 的垂线，连1,B E 即可得到1B E AB ⊥，进而可找到1B EO ∠为二面角1B AB C --的平面角，利用数据解三角形即可求出正切值.【详解】（1）取BC 中点D ，由题设得1,ABC B BC ∆∆均为等边三角形，1,,BC AD BC B D ∴⊥⊥1AD B D D =，11,.BC AB D BC AB ∴⊥∴⊥面（2）12,3,AB AD B D =∴== 又13,AB =所以三角形1ADB 为等边三角形.取AD 中点O ，得1B O AD ⊥又1B O BC ⊥，1B O ABC ∴⊥面，作OE AB ⊥，连1,B E 可得1B E AB ⊥1B EO ∴∠为二面角1B AB C --的平面角，11tan 2 3.B OB EO EO∠== 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角所成角，熟记定理和性质是解题的关键，属于基础题. 20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为43．点,,,G E F H 分别是棱,,,PB AB CD PC 上共面的四点，//BC 平面GEFH ．（1）证明：//;GH EF（2）若2EB =，且二面角E GH B --大小为45,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）//BC 平面GEFH ，则由线面平行的性质可以证明,BC GH ,BC EF 从而证出.GH EF（2）二面角E GH B --大小为45,取BC ,AD 的中点M ,N ，设,MNEF I PM GH J ==，则可证明45.MJI E GH B ∠=--为二面角的平面角通过计算可知,MIJ ∆为等腰直角三角形可以求出23,GB =且,EB GEFH ⊥面可得BGE ∠是直线GB 与平面GEFH 所成的角，计算可求出结果.【详解】（1）//BC 平面GEFH ，,,PBC GEFH GH BC GH =∴面面同理：由D ,,.ABC GEFH EF BC EF GH EF =∴面面得（2）取BC ,AD 的中点M ,N ，设,MNEF I PMGH J ==,,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN ⊥⊥∴⊥且 ,GH PM GH PMN ⊥∴⊥面,45.GH IJ MJI E GH B ∴⊥∴∠=--即为二面角的平面角又2242,8,PN PM PB BM MN ==-==222PM PN MN ∴+=45,,PMN PNM MIJ ∴∠=∠=∆为等腰直角三角形1222JM PM ==且故,,23,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角， 3sin EB BGE GB ∴∠== 【点睛】本题考查线线平行的证明，以及求线面角的正弦值，解题的关键是灵活运用线面平行的性质，以及数据的处理，属于中档题.21.如果四面体的四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然. （2）给出下列四面体 ①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直；③高在各面的射影过所在面的垂心； ④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为 .【答案】（1）证明见解析（2）①②③④ 【解析】【分析】（1）首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立.（2）①②③可通过证明对棱垂直证明是垂心四面体，④假设四面体为垂心四面体，则可证明有对棱的平方和相等，逆推依然成立，所以④也成立. 【详解】（1）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体. 作11,AH BCD H ⊥面垂足为，则11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面，12,BH CD E ABE BH AE ⊥延长交于在面内作， 212,H AH BH H =垂足为设121CD ABH BH ABH ⊥⊆已有面，面 22,.BH CD BH ACD ∴⊥⊥故面此时两条高线12.AH BH H 和已交于点连接CH ，下证.CH ABD ⊥面111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥面而面故 222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥又面而面故CH ABD ∴⊥面.连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面综上可知，四条高线交于点H ，故该四面体垂心四面体；反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点H .,AH BCD ⊥面AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面，故CD AB ⊥,同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥（2）①正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，所以①符合要求.②三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，所以③符合要求.④假设四面体A BCD -为垂心四面体，设BF 交CD 于E ，则AC 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2＝BC 2﹣BD 2，即AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，反之，若故AC 2+BD 2＝AD 2+BC 2，则有C 2﹣AD 2＝CF 2﹣DF 2＝CE 2﹣DE 2＝BC 2﹣BD 2成立，即BE CD ⊥同理可证其他，故④符合要求．①②③④均符合要求.【点睛】本题为立体几何新定义题型，解题的关键是反复利用线面垂直的判定和性质，属于难题.22.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：2215xy +=，抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点，设()00,P x y 是E 上的动点，且位于第一象限，记E 在点P 处的切线为l .（1）求p 的值和切线l 的方程（用00,x y 表示）（2）设l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）设l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）2p =，切线l 方程为002()y y xx +=（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）12S S 的最大值为83【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程可求出过的定点，按照抛物线的标准方程即可求出P 的值；利用在点()00,P x y 处的导数可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程.（2）（i ）利用点差法求出025OD k x =-，写出直线OD 的方程，代入0x x =，可求出y 为定值，即可证明. （ii ）PFG ∆中，FG 为底，P 点的横坐标为高，用00,x y 表示三角形的面积，PDM ∆中，PM 为底，D 到PM 的距离为高，依然用00,x y 表示三角形的面积，换元求最值即可. 【详解】解：（I ）由题意可得5c e a ==，1b =，所以抛物线的焦点F 为(0,1)，则2p =，24E x y =：. 直线l 的斜率为02x y =，所以切线方程()0002xy x x y =-+，利用2004x y =化简可得：002()y y xx +=. （2）（i ）证明：设00(,)P x y ，1122(,),(,)A x y B x y 由点差法可得15OD AB k k ⋅=-，012AB k x =，即有025OD k x =-，直线OD 的方程为025y x x =-，当0x x =时，可得25y =-即有点M 在定直线25y =-上；（ii ）直线l 的方程为0012y x x y =-，令0x =，可得0(0,)G y -，则10001112()2S FG x x y ==+，2002000022()115522222255y y S PM x x y y ++=⋅=⋅++则0012202(2)(1)52()5y y S S y ++=+令022()55y t t +=≥，则2212222233521322()()2(3)()248553355333335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35t =，即015y =时，12S S 取得最大值83【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，考查学生的计算能力与转化能力，属于难题.。

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