2015-2016学年江苏省常州市高二上学期期末考试数学(理)试卷 word版
PABCEF(第9题理科图）2015-2016学年江苏省常州市高二上学期期末考试数学（理）试卷 2016年1月注意事项：1．本试卷满分160分，考试用时120分钟．本试卷部分试题设置文科及理科选做题，请考生根据选科类别答题．2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题卡．3．本场考试不得使用计算器或带有计算功能的电子词典等． 参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 表示底面积，h 表示高． 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若点)2,1(A 在直线053=-+y ax 上，则实数a 的值为 ▲ ． 2．抛物线y x 22=的焦点到准线的距离为 ▲ ． 3．命题“若α是锐角，则0sin >α”的逆否命题．．．．为 ▲ ． 4．若直线062=++y ax 与直线02)1(=+-+y a x 垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 5．（文科做）当函数x x f x e )(=取到极值时，实数x 的值为 ▲ ．（理科做）已知空间向量(1,,1),(3,2,)a k b k =-=- ，且a b ⊥，则实数k 的值为 ▲ ．6．已知双曲线16422=-x y 上一点M 到一个焦点的距离等于2，则点M 到另一个焦点的 距离为 ▲ ．7．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为23，则该棱锥的体积为 ▲ ． 8．若两条直线012)1(,03=+++-=++a y x a ay x 互相平行， 则这两条直线之间的距离为 ▲ ．9．（文科做）已知曲线()y f x =在点(2,(2))M f 处的切线方程 是23y x =+，则(2)(2)f f '+的值为 ▲ ．（理科做）如图，在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ， π2BAC ∠=,PA AB AC ==，F E ,分别为棱PC PB ,的中点， 则异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值为 ▲ ．10．已知集合{}0652<+-=x x x A ，{}a x a x B +<<-=31．若“A x ∈”是“B x ∈”的充 分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．已知圆221:20C x x y -+=，圆222:(3)(4)1C x y ++-=，若过点1C 的直线被圆2C 所 截得的弦长为65，则直线的方程为 ▲ ． 12．已知椭圆22:198x y C +=与定点(1,2)A ，F 是椭圆C 的右焦点，点M 是椭圆C 上的动点， 则当3AMMF +取最小值时，点M 的坐标为 ▲ ． 13．给出下列四个命题:①“直线,a b 没有公共点”是“直线,a b 为异面直线”的必要不充分条件； ②“直线,a b 和平面α所成的角相等”是“直线,a b 平行”的充分不必要条件；③“直线l 平行于两个相交平面βα，”是“直线l 与平面βα，的交线平行”的充要条件； ④“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l α⊥平面”的必要不充分条件． 其中，所有真命题的序号是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A ,B ,P 是椭圆2213x y +=上的三个动点，且0OA OB ⋅= ．动点Q 在线段AB 上，且0OQ AB ⋅=，则PQ 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数12)(2+-=x x x f ，R ∈a ．p ：[]20，∈∃x ，a x f <)(； q ：[]20，∈∀x ，0)(<+a x f ． （1）若p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 为真命题，求a 的取值范围；（3）若“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题，求a 的取值范围．ABCA 1B 1C 1D EFG H（第17题图）在平面直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，且双曲线C 与斜率为2的直线有一个公共点(2,0)P -． （1）求双曲线C 的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．17．(本小题满分15分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C A AA 11=，F E D ,,分别为111,,AA C A AB 的中点， 平面⊥C C AA 11平面ABC ．H G ,分别在AC AD ,上，且,4AG AD = GH∥CD ．求证： （1）CE AB ⊥；（2）平面FGH ∥平面CDE ．18．（本小题满分15分）双曲线C 设M 是椭圆2214x y +=上的点，过M 作x 轴的垂线l ，垂足为N ，P 为直线l 上一点，且2PN MN =，当点M 在椭圆上运动时，记点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，上顶点为A ，求AP FP ⋅的取值范围．PABCDMN（第19题理科图）（文科做）已知函数2()(2)ln af x x a x x=--+)0(>x ，其中实数0a ≥． （1）若0=a ，求函数()f x 在[]1,3x ∈上的最值； （2）若0>a ，讨论函数()f x 的单调性．（理科做）如图，正四棱锥ABCD P -中，BD PA =， 点M 为BD AC ,的交点，点N 为AP 中点． （1）求证：MN PBC ∥平面；（2）求MN PAD 与平面所成角的正弦值；（3）求PBC PAD 平面与平面所成的二面角的余弦值．20．（本小题满分16分）本题有A 、B 两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.A 组．在平面直角坐标系xOy 中，若直线10x y -+=与椭圆22:1C mx ny +=(0,m >0)n >相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为13-．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若OA OB ⊥，求：①椭圆C 的方程；②三角形OAB 的面积．B 组．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M 过定点(A ，且与定圆 22:(16B x y +=相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知P ,Q 是曲线C 上的动点，且满足直线OP ，OQ 的斜率乘积等于λλ（为常数）．设动点00(,)N x y 满足(,)ON mOP nOQ m n =+∈R． ①若1,2m n ==，14λ=-，求证：22004x y +为定值；②是否存在定值λ，使得点N 也在曲线C 上，若存在，求出λ的值以及,m n 满足的条 件；若不存在，说明理由．常州市教育学会学生学业水平监测高二数学答案 2016年1月一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1- 2．1 3．“若sin α≤0，则α不是锐角” 4．325．（文科做）1 （理科做）36．10 7．3168．223 9．（文科做）9（理科做）63 10．0a ≥11．0434=-+y x 或0343=-+y x 12．)2,223( 13．①④ 14．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-233,231二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）若p 为真命题，由题意，a x f <min )(． ………………………………2分 ∵ 22)1(12)(-=+-=x x x x f 的图象为开口向上，对称轴为1=x 的抛物线，∴当[]20，∈x 时，[]10)(，∈x f ． ………………………………4分 ∴0)(min =x f ．∴0>a ． ………………………………6分 （2）若q 为真命题，[]20，∈∀x ，)(x f a -<，∴min ))((x f a -<． ……………………8分 ∵1))((min -=-x f ，∴1-<a ． ………………………………10分 （3）若“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题，∴p 为真命题，q 为假命题．………12分∴0,1,a a >⎧⎨-⎩≥ ∴． ………………………………14分16.（本小题满分14分）解：（1）由题意，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>．……………………………2分∵点(2,0)P -在双曲线上，∴2=a ．∵双曲线C 的离心率为2，∴22=c ．∵222c a b =+，∴2=b ．∴双曲线的方程为：22144x y -=， …………………………………4分 其渐近线方程为：y x =±． ………………………………6分 （2）由题意，直线的方程为2(2)y x =+，即24y x =+，………………………………8分 直线与坐标轴交点分别为12(2,0),(0,4)F F -． ………………………………10分 ∴以1(2,0)F -为焦点的抛物线的标准方程为28y x =-； ………………………………12分ABCA 1B 1C 1D EFGHP（第17题图）以2(0,4)F 为焦点的抛物线的标准方程为216x y =． ………………………………14分 17.（本小题满分15分）证明：（1）取AC 的中点P ,连接P A 1．∵C A AA 11=，∴AC P A ⊥1． ……………2分 ∵平面⊥C C AA 11平面ABC ， 平面C C AA 11∩平面ABC AC =， ⊂P A 1平面C C AA 11，∴⊥P A 1平面ABC ． …………………4分 ∵⊂AB 平面ABC ，∴AB P A ⊥1． ……………6分 在三棱柱111C B A ABC -中，P E ,分别为AC C A ,11的中点， ∴E A 1∥CP 且21ACCP E A ==，∴四边形ECP A 1是平行四边形，∴P A 1∥CE ． 又∵AB P A ⊥1，∴CE AB ⊥． …………………………………8分 （2）∵GH ∥CD ，CDE CD 平面⊂，CDE GH 平面⊄，∴GH ∥平面CDE ．………10分 ∵GH AG AD ,4=∥CD ，∴AP AC AH 2141==． 又∵F 为1AA 的中点，∴FH ∥P A 1． ∵P A 1∥CE ，∴FH ∥CE ．又∵CDE CE 平面⊂，CDE FH 平面⊄，∴FH ∥平面CDE ． ……………………………13分 ∵FGH GH 平面⊂，FGH FH 平面⊂，GH ∩FH H =，且GH ∥平面CDE ，FH ∥平面CDE ，∴平面FGH ∥平面CDE ． ……………………………15分 18．（本小题满分15分）（1）设00(,),(,)P x y M x y ，∵2PN MN =，∴2,00yy x x ==， ………………………………3分 ∵点M 在椭圆2214x y +=上，∴220014x y +=， ………………………………5分即22()142x y+=， 整理得224x y +=． ∴曲线C 的方程为224x y +=．………………7分 （2）∵椭圆的右焦点F()0,3，上顶点A ()1,0， ………………………………9分 ∴()(,1)AP FP x y x y ⋅=⋅- )1()3(-+-=y y x x y x y x y x --=--+=34322， ………………………………11分C（第19题理科图）设y x t +=3，即03=-+t y x ，∵2d =， ∴t -4≤≤4， ………………………………13分∴08AP FP ⋅≤≤，∴AP FP ⋅ 的取值范围为[]8,0． ………………………………15分 19.（本小题满分16分）(文科做）（1）∵x x x f ln 2)(-=，∴xx x x f 221)(-=-='， ……………………………2分 令0)(='x f ，∴2=x ．列表如下，从上表可知，∵03ln 22)1()3(<-=-f f ，∴)3()1(f f >，函数()f x 在区间[]31，上的最大值是1，最小值为2ln 22-. ……………………………7分（2）2222))(2(2)2(221)(x a x x x a x a x x a x a x f --=++-=+-+='．……………………………9分 ①当2>a 时，()()+∞∈,2,0a x 时，0)(>'x f ；当()a x ,2∈时，0)(<'x f ．∴()f x 的单调增区间为()2,0，()+∞,a ，单调减区间为()a ,2． …………………………11分 ②当2=a 时，∵)2(0)2()(22≠>-='x x x x f ．∴()f x 的单调增区间为()+∞,0．…………13分③当20<<a 时，()()+∞∈,2,0 a x 时，0)(>'x f ；当()2,a x ∈时，0)(<'x f∴()f x 的单调增区间为()a ,0，()+∞,2，单调减区间为()2,a ． …………………………15分 综上，当2>a 时，()f x 的单调增区间为()2,0，()+∞,a ，单调减区间为()a ,2； 当2=a 时，()f x 的单调增区间为()+∞,0；当20<<a 时，()f x 的单调增区间为()a ,0，()+∞,2，单调减区间为()2,a ………………………16（理科做）（1）以{},,xyz M -，设2==BD PA ，则3=MP ，各点的坐标为： (0,0,0),(1,0,0)M A ,(0,1,0)B ，(1,0,0),(0,1,0)C D --, P ． ………………………2分 由题意得1(2N ，则1(2MN = ．∴(1,0,2PC MN =-=-，∴MN ∥PC ， ………4分又∵PBC PC 平面⊂，PBC MN 平面⊄，∴MN PBC ∥平面． ……………………………………6分（2）设平面PAD 的法向量为1(,,)n x y z = ,由题意得(1,1,0),(0,1,AD PD =--=-，∵110,0,AD n x y PD n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩∴,,x y z y =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得到1(1,1,n =- ， ……………………………………8分∴111cos ,MN n MN n MN n ⋅<>=== ． ……………………10分 ∴AM DEF 与平面． ……………………………………11分 （3）设平面PBC 的法向量为2(,,)n x y z =，由题意得(1,1,0),(0,1,BC PB =--=，∵220,0,BC n x y PB n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩∴,,x y z y =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得到2(n =- ， …………………13分 ∵平面PAD的法向量1(1,1,n =- ，平面PBC的法向量2(n =- ，∴12553cos ,=773n n <= ． ………………………………15分 ∴PBC PAD 平面与平面所成的二面角的余弦值为75． ………………………………16分 20．（本小题满分16分） A 组．(1)由⎩⎨⎧=+=+-1,0122ny mx y x 消去y 化简得012)(2=-+++n nx x n m ． 当0)(4)1)((442>-+=-+-=∆mn n m n n m n 时， 设),,(),,(2211y x B y x A 则nm n x x n m n x x +-=+-=+1,22121， ………………………………2分 弦AB 的中点M 的坐标为),(nm m n m n ++-， ∴ 直线OM 的斜率为13m n -=-，∴m n 3=， ………………………………4分∴椭圆C 的方程为131122=+my m x ，即,31,122m b m a ==∴b a 3=，∴b c 2=， ∴椭圆C 的离心率36=e ． ………………………………6分 （2）①∵OA OB ⊥，∴0=⋅OB OA ，∴02121=+y y x x ． 而)1)(1(21212121+++=+x x x x y y x x 1)(22121+++=x x x x 012)1(2=++-+-=nm nn m n ， ∴2=+n m ， ………………………………8分 又∵m n 3=，∴23,21==n m ，且满足0)(4>-+=∆mn n m ，…………………………10分 ∴椭圆C 的方程为123222=+y x ． ………………………………11分②()2212212212)()(x x y y x x AB -=-+-=)4)((221221x x x x -+=210)1)23((22=--=， ………………………………13分 原点O 到AB 的距离2211100=++-=d ， ………………………………15分∴三角形OAB 的面积为4521=⋅d AB ． ………………………………16分 B 组．（1）设圆M 的半径为R ，∵点(A 在圆22:(16B x y +=内， ∴R AM =，R BM -=4，∴AB BM AM =>=+324，∴圆心M 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………………2分 ∴42=a ，322=c ，∴2=a ，3=c ，∴1=b ，∴曲线C 的方程为1422=+y x ． ………………………………4分（2）①设),(),,(2211y x Q y x P ，∵2,ON OP OQ =+∴0120122,2x x x y y y =+=+． ………6分∵,P Q 在曲线C 上，∴44,4422222121=+=+y x y x ．又∵12121=4OP OQ y y k k x x ⋅⋅=-，∴121240x x y y +=． ………………………………8分于是22222200112211224(44)4(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 20)4(4)4(4)4(222221212121=+++++=y x y y x x y x ．故22004x y +为定值． ………………………………10分②假设存在定值λ，使得点N 也在曲线C 上． ∵,ON mOP nOQ =+ ∴012012,x mx nx y my ny =+=+． ∵,P Q 在曲线C 上，∴44,4422222121=+=+y x y x ． 又=OP OQ k k λ⋅，∴12120x x y y λ-=． ………………………………12分于是222222222200112211224(2)4(2)x y m x mnx x n x m y mny y n y +=+++++ )4()4(2)4(22222212121212y x n y y x x mn y x m +++++= )4(2)4212122y y x x mn n m +++=（． ………………………………14分 ∵点N 也在曲线C 上，故22004=4x y +为定值，∴041212122=+=+y y x x n m ，， ∴存在定值41-=λ，实数,m n 满足的条件为122=+n m ． ……………………………16分。
辽宁省五校协作体2015-2016学年高二上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案
2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷 命题学校：大连八中 命题人：吴 岐 校对人：韩 璐本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋1，则a 5＝( )(A) 7 (B) 9(C) 11(D) 12(2) 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则 ( )(A) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02≤0 (B) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＞0 (C) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＜0(D) ¬p ：∀x ∈R ，x 2≤0(3) 设a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )(A) a 2＋b 2＞ab(B)b －aab＜0 (C) a 2＞b 2(D) 2a ＜2b(4) 数列{}a n 、{}b n 满足b n ＝2a n (n ∈N *)，则“数列{}a n 是等差数列”是“数列{}b n 是等比数 列”的( )(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 在直角坐标平面内，满足方程()y 2＋2||x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 216－y 29＝0的点(x , y )所构成的图形为( )(A) 抛物线及原点 (B) 双曲线及原点 (C) 抛物线、双曲线及原点(D) 两条相交直线(6) 设公差不为零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 4＝2(a 2＋a 3)，则S 7S 4＝ ( )(A) 74(B) 145(C) 7(D) 14(7) 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则有 ( )(A) AB ―→²A 1C 1――→＝(B) AC 1―→²BD 1―→＝0 (C) AB ―→²AC 1―→＝(D) BC ―→²DA 1―→＝a 2a 22a 2(8) 若正实数x ，y 满足不等式2x ＋y ＜4，则x －y 的取值范围是 ( )(A)(B) (－4, 2)(C) (－2, 2](D) [－2, 2)(9) 已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上一点，记点P 到此抛物线准线l 的距离为d 1，点P 到圆 (x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4上点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为 ( )(A) 6(B) 1(C) 5(D) 3 (10) 设各项均为正数的数列{}a n 的前n 项之积为T n ，T n ＝2n 2＋n ，则a n ＋122n 的最小值为 ( )(A) 7 (B) 8(C) 4 3 (D) 2 3(11) 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)， (0,0,1)，⎝ ⎛－13,－13,⎭⎪⎫－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是( )(A) OD ⊥平面ABC(B) 直线OB ∥平面ACD (C) 直线AD 与OB 所成的角是45°(D) 二面角D －OB －A 为45°(12) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且||PF 1＝3||PF 2，则此双曲线的离心率的取值范围为( )(A) (1,2) (B) (2,2](C) (1,2](D) [2,+∞)第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡的横线上．(13) 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0, b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2, 1)，则该双曲线的方程为 ．(14) 已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为⎝⎛－∞ ,⎭⎪⎫－12，则关于x 的不等式bx 2－a ＞0的解集为 ．(15) 已知集合A ＝{}(x , y )|||x ＋||y ≤4，B ＝{}(x , y )|||y －||x ≤0，设集合C ＝A ∩B ，则集合C所对应的平面区域的面积为 ．C(16) 设f (x )是定义域为R 的增函数，∀x , y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，若不等式f (x 2－x －3)＜3的解集为{}x |－2＜x ＜3，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和S n ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分10分)已知条件p ：∃m ∈使不等式a 2－5a ＋5≥m ＋2成立；条件q ：x 2＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． (18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，△PCD 是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，BC ⊥CD ，AD＝2BC ＝22．(Ⅰ)若AB ⊥PB ，求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角P －AB －D 的大小．(19) (本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足2S n ＝3a n －1，其中n ∈N *．(Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设a n b n ＝3nn 2＋n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若T n ＜c 2－2c 对n ∈N *恒成立，求实数c 的取值范围．(20) (本小题满分12分)已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m , 0)(m ＞a )的倾斜角为3π4的直线l 交椭圆与C 、D 两点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． (21) (本小题满分12分)已知数列{}a n ＋1是等比数列，a 3＝3，a 6＝31，数列{}b n 的前n 项和为S n ，b 1＝1，且nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)．(Ⅰ)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式； (Ⅱ)设c n ＝b na n ＋1，数列{}c n 的前n 项和为T n ，若不等式T n ≥m －92n 对于n ∈N *恒成立，求实数m 的最大值． (22) (本小题满分12分)已知双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，离心率为22的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ． (Ⅰ)设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2＝1；(Ⅱ)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1与S 2，且PA ―→²PB ―→≤9，求S 1²S 2的最大值．2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13．x 2－y 2＝1 14．(－2, )2 15．16 16．S n ＝n (n ＋4)3三、解答题 17．解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p ，q 一真一假． 由题设知，对于条件p ∵m ∈，∴m ＋2∈∵不等式a 2－5a ＋5≥1成立， ∴a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分对于条件q∵x 2＋ax ＋2＝0有两个负数解， ∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8≥0x 1＋x 2＝－a ＜0，∴a ≥22 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分若p 真q 假，则a ≤1；若p 假q 真，则22≤a ＜4 ∴a 的取值范围是：a ≤1或22≤a ＜4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 18．解：(Ⅰ)∵平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD∴BC ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC ， 同理AD ⊥PD ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分设等边△PCD 的边长为x ，则Rt △PBC 中，||PB 2＝||PC 2＋||BC 2＝x 2＋(2)2＝x 2＋2Rt △PAD 中，||PA 2＝||PD 2＋||AD 2＝x 2＋(22)2＝x 2＋8直角梯形ABCD 中，||AB 2＝||CD 2＋(||AD －||BC ) 2＝x 2＋(2)2＝x 2＋2∵AB ⊥PB ，∴||PA 2＝||AB 2＋||PB 2∴x 2＋8＝(x2＋2)＋(x2＋2) 解得x ＝2 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分作PE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE∵△PCD 是等边三角形，所以PE ＝3，且E 为CD 中点 由平面PCD ⊥平面ABCD ，同理可得PE ⊥平面ABCD ∴V P－ABCD＝13²PE ²S ABCD ＝13²3²12(2＋22)²2＝6 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)如图，以D 为原点，DA ―→的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (22, 0, 0)，B (2, 2, 0)，P (0, 1, 3)设平面PAB 的一个法向量为n →＝(x , y , z )，由⎩⎨⎧n →²PA ―→＝0n →²AB ―→＝0 得⎩⎨⎧n →²(22,－1,－3)＝0n →²(－2, 2, 0)＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧22x －y －3z ＝0 －2x ＋2y ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝3y 令y ＝1，得n→＝(2,1,3) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分又平面ABCD 的一个法向量p →＝(0, 0, 1) ∴cos<n→,p→>＝n →²p→||n →²||p→＝36＝22²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分结合图形可知，二面角P －AB －D 的大小为π4²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 19．解：(Ⅰ)∵S n ＝32a n －12(n ∈N *) ①当n ＝1，S 1＝32a 1－12，∴a 1＝1当n ≥2，∵S n -1＝32a n -1－12 ②①－②得a n ＝32a n －32a n -1，即a n ＝3a n -1(n ≥2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分又∵a 1＝1，∴a n +1a n＝3对n ∈N *都成立，∴{}a n 是等比数列， ∴a n＝3n -1(n∈N *) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)∵a n b n ＝3nn 2＋n ，∴b n ＝3n 2＋n ，∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝3－3n ＋1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分∵3n ＋1＞，∴T n ＜3对n ∈N*都成立 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分∴3≤c 2－2c ，∴c ≥3或c ≤－1∴实数c 的取值范围为(－∞,－1]∪²＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2． ∵FC―→＝(x 1－1,y 1)，FD―→＝(x 2－1,y 2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分∴FC ―→²FD ―→＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2＝7m 2－8m －177²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 ∵点F 在圆G 的内部，∴FC ―→²FD―→＜0，即7m 2－8m －177＜0， 解得4－3157＜m ＜4＋3157由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0，解得－7＜m ＜7． 又m ＞2，∴2＜m ＜4＋3157．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 21．解：(Ⅰ)由a 3＝3，a 6＝31，得a 3＋1＝4，a 6＋1＝32， ∴a n ＋1＝2n -1，∴a n ＝2n -1－1 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分由nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)得，S n +1n ＋1－S n n ＝12，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以S 11＝1为首项，12为公差的等差数列，则S n n＝1＋12(n －1)，∴S n ＝n (n ＋1)2，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分当n ≥2时，b n ＝S n －S n -1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ， ∵b 1＝1满足该式，∴b n ＝n ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知c n ＝b na n ＋1＝n 2n -1，∴不等式T n ≥m －92n ， 即为1＋22＋322＋…＋n 2n -1≥m －92n ，令R n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n -1，则12R n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，两式相减得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12R n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n -1－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴R n ＝4－n ＋22n -1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分由R n ≥m －92n 恒成立，即4－2n －52n ≥m 恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2n －32n +1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2n －52n ＝2n －72n +1， 故当n ＜3时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递减；当n ＝3时，4－2³3－523＝318； 当n ≥4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递增；当n ＝4时，4－2³4－524＝6116； 则4－2n －52n 的最小值为6116，∴实数m 的最大值是6116²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 22．解：(Ⅰ)依题意可得A (－1, 0)，B (1, 0)．设椭圆M 的方程为x 2＋y 2b2＝1(b ＞1)，因为椭圆M 的离心率为22，所以b 2－1b ＝22，即b 2＝2．所以椭圆M 的方程为x2＋y 22＝1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分证法一：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，直线AP 的斜率为k (k ＞0)， 则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＋y 22＝1整理，得(2＋k 2)x 2＋2k 2x＋k 2－2＝0，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分解得x ＝－1或x ＝2－k 22＋k 2．所以x 2＝2－k 22＋k 2．同理可得，x 1＝2＋k22－k2．∴x 2＝1x 1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分证法二：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)， 则k AP ＝y 1x 1＋1，k AT ＝y 2x 2＋1．∵k AP ＝k AT ， ∴y 1x 1＋1＝y 2x 2＋1，即y 12(x 1＋1)2＝y 22(x 2＋1)2．因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以x 12－y 122＝1，x 22＋y 222＝1．即y 12＝2(x 12－1)，y 22＝2(1－x 22)．所以2(x 12－1)(x 1＋1)2＝2(1－x 22)(x 2＋1)2，即x 1－1x 1＋1＝1－x 2x 2＋1．∴x 2＝1x 1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分- 11 - (Ⅱ)解：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，则PA ―→＝(－1－x 1,－y 1)，PB ―→＝(1－x 1,－y 1)． 因为PA ―→²PB ―→≤9，∴(－1－x 1)(1－x 1)＋y 12≤9，即x 12＋y 12≤10． 因为点P 在双曲线上，则x 12－y 122＝1， 所以x 12＋2x 12－2≤10，即x 12≤4．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，∴1＜x 1≤2．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分因为S 1＝12||AB ||y 2＝||y 2，S 2＝12||OB ||y 1＝12||y 1， ∴S 12²S 22＝y 22²14y 12＝(2－2x 22)(x 12－1)2＝(1－x 22)(x 12－1)． 由(Ⅰ)知，x 2＝1x 1．设t ＝x 12，则1＜t ≤4，S 12²S 22＝t ＋1t－2． 因为f (t )＝t ＋1t在区间(1, 4]上单调递增，f (t )max ＝f (4)． 所以S 12²S 22＝t ＋1t －2≤94即当x 1＝2时，(S 1²S 2)max ＝32²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分。
江苏省徐州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的X围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值X围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为a≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值X围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，f′（x）＜0，f（x）是减函数，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，，∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f （e）≥1．可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，解得a≥．综上：实数a的取值X围为：a≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，某某数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，某某数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值X围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利用向量法能求出AC．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线BC1与AB1所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=60°，∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∴==，解得a=．∴AC=．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值X围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。
2015-2016学年度第一学期期末测试(数学)
2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷
2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。
2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷(带解析)
一、选择题（题型注释）1、若将向东行驶3km，记作＋3km，则向西行驶2km应记作（）A．＋2km B．－2km C．＋3km D．－3km 来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）2、下列各组数中，互为相反数的是（）A．2和－2B．－2和C．－2和D．和2来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）3、下列各组的两个代数式中，是同类项的是（）C．2a与3b D．x与A．m与B．0与来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）4、多项式＋3x－2中，下列说法错误的是（）A．这是一个二次三项式B．二次项系数是1C．一次项系数是3D．常数项是2来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）5、计算的结果是（）A．B．C．D．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）6、下列说法不正确的是（）A．倒数是它本身的数是±1B．相反数是它本身的数是0C．绝对值是它本身的数是0D．平方是它本身的数是0和1来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）7、绝对值小于4．6的整数有（）A．10个B．9个C．8个D．7个来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）8、若那么的值是（）A．2或12B．2或－12C．－2或12D．－2或－12来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）9、下图是一数值转换机的示意图，若输入的值为20，则输出的结果为（）A．150B．120C．60D．30来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）10、如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）A．点A的左边B．点A与点B之间C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）二、填空题（题型注释）11、的倒数是；的相反数是；的倒数的绝对值是．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）12、据报道，春节期间微信红包收发高达3270000000次，数字3270000000用科学记数法表示为．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）13、比较大小：0_______－0．01；－________－．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）14、与是同类项，则＝，n＝．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）15、单项式－ab2c3的次数是；系数是．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）16、已知x＋y＝3，则7－2x－2y的值为．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）17、数轴上的A点表示的数是－3，数轴上另一点B到A点的距离是2，则B点所表示的数是____________．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）18、如图，每个图案都由若干个棋子摆成，依照此规律，第n个图案中棋子的总个数可以用含n的代数式表示为．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）19、观察下列式子：；；；……．（1）请写出第4个等式：；（2）请写出第n个等式；来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）三、计算题（题型注释）20、（1）（2）（3）（4）来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）四、解答题（题型注释）21、2a－3a＋5a来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）22、2（a－b）－3（a＋b）来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）23、化简并求值：2（2a－3b）－（3a＋2b＋1），其中a＝2，b＝－．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）24、出租车司机小傅某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的．若如果规定向东为正，则行车里程（单位：km）如下：＋11，－2，＋3，＋10，－11，＋5，－15，－8（1）当把最后一名乘客送到目的地时，小傅距离出车地点的距离为多少？（2）若每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，则这天下午他盈利多少元？来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）25、有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．（1）你认为选取的一个恰当的基准数为；（2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表；（3）这8筐水果的总质量是多少？来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）26、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示－3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a＝；（2）若数轴上表示数a的点位于－4与2之间，求+的值；（3）当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由．来源：2015-2016学年江苏省常州市七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）参考答案1、B2、A3、B4、D5、C6、C7、B8、A9、A10、D11、－3，－，12、3．27×10913、＞，＞14、3，215、6 －116、117、－5或－118、n（n＋1）19、（1）（2）20、（1）0；（2）-10；（3）-76；（4）-1821、4a22、-a-5b23、a－8b－1；524、（1）7；（2）357．525、（1）25；（2）见解析（3）19826、（1）3；5；1或5；（2）6（3）9【解析】1、试题分析：根据相反意义的量的表示，可知向西记为“-”，因此向西行驶2km应记作-2km．故选B考点：正负数2、试题分析：根据只有符号不同的两数互为相反数，可知A正确．故选A考点：相反数3、试题分析：根据同类项的特点，含有相同的字母，相同字母的指数相同，可知0与是同类项．故选B考点：同类项4、试题分析：根据多项式的意义，可知这是一个二次三项式，二次项的系数为1，一次项系数为3，常数项为-2．故选D考点：多项式5、试题分析：根据去括号法则，括号前是“+”，括号内的各项不变号，括号前是“-”，括号内的各项均变号，可知x-y-（x-y）=x-y-x-y=-2．故选C考点：去括号的法则6、试题分析：根据乘积为1的两数互为倒数，可知倒数是本身的数是±1，故正确；根据只有符号不同的两数互为相反数，可知相反数为本身的数是0，故正确；根据一个正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值为其相反数，故不正确；根据0²=0,1²=1，可知平方是它本身的数是0和1，故正确．故选C考点：倒数，相反数，绝对值，平方7、试题分析：根据绝对值和数轴，可知符合条件的整数有-4，-3，-2，-1,01,2,3,4，因此共有9个．故选B考点：1．数轴，2．绝对值8、试题分析：根据=7，可求得x=±7，=5，可求得y=±5，然后由x+y＞0，可知：当x=7，y=5时，x+y=12＞0，所以x-y=7-5=2；当x=7，y=-5时，x+y=2＞0，所以x-y=7-（-5）=12；而当x=-7时，x+y均小于0，故不符合条件．故选A考点：绝对值9、试题分析：将x=20代入3（x-10）中计算，得到结果小于100；继续将结果代入计算，判断结果是否大于100，若大于100输出；若小于100，代入计算，因此可知：若输入的数为20，代入得：3（20-10）=30＜100；此时输入的数为30，代入得：3（30-10）=60＜100；此时输入的数为60，代入得：3（60-10）=150＞100，则输出的结果为150．故选A考点：代数式的求值10、试题分析：根据题意可知|a|＞|b|＞|c|，所以可知点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，又因为AB=BC，可知原点O的位置是在点B、C之间或点C的右边，且靠近点C的地方．故选D．考点：实数与数轴11、试题分析：根据乘积为1的两数互为倒数，可知是-3；根据只有符号不同的两数互为相反数，可知的相反数为-；根据倒数的意义可知是-，其绝对值为．考点：1．倒数，2．相反数，3．绝对值12、试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．因此可求3270000000=3．27×109．考点：科学记数法13、试题分析：根据数轴上，左边的数小于右边的数，负数小于0小于正数，两负数相比较，绝对值大的反而小，可知第一个是“＞”，第二个是“＞”．考点：数的大小比较14、试题分析：据据同类项的特点，含有相同的字母，相同字母的指数相同，可得m=3，n=2．考点：同类项15、试题分析：根据单项式的次数为各个子母因式的指数和，因此其次数为6次，系数为-1．考点：单项式16、试题分析：根据添括号法则，括号前是“+”，括号内的各项不变号，括号前是“-”，括号内的各项均变号，因此可知7-2x-2y=7-2（x+y）=7-2×3=1．考点：1．添括号法则，2．整体代入法17、试题分析：设A点表示的有理数为x，B点表示的有理数为y，根据题意知点B与点A的距离为2，即|y-x|=2，因此可得|y-（-3）|=2，解得y1=-5，y2=-1．考点：1．绝对值，2．数轴18、试题分析：每个图案的纵队棋子个数是：n，每个图案的横队棋子个数是：n+1，那么第n个图案中棋子的总个数可以用含n的代数式表示为：n（n+1）．考点：规律总结19、试题分析：根据所给式子找到规律，然后代入求值即可．试题解析：（1）；（2）考点：规律探索20、试题分析：根据有理数的混合运算的顺序，和有理数的加减乘除乘方运算的性质进行计算即可，然后注意运算符号的应用．试题解析：（1）1－（－2）＋8＋（－3）－（＋8）＝1＋2＋8－3－8＝0（2）－2＋2÷（－）×2＝－2＋2×（－2）×2＝－2－8＝－10（3）（1－＋）÷（－）＝（1－＋）×（－48）＝1×（－48）－×（－48）＋×（－48）＝－48＋8－36＝－76（4）－22×5－（－2）3÷4＝－4×5－（－8）÷4＝－20＋2＝－18考点：有理数的混合运算21、试题分析：根据同类项及合并同类项的法则化简计算即可．试题解析：原式＝4a考点：整式的化简22、试题分析：根据去括号的法则去括号，然后合并同类项即可．试题解析：原式＝2a－2b－3a－3b＝－a－5b考点：整式的化简23、试题分析：根据去括号的法则去括号，然后合并同类项，然后代入求值即可．试题解析：52（2a－3b）－（3a＋2b＋1）＝4a－6b－3a－2b－1＝a－8b－1．当a＝2，b＝－，代入原式＝2－8×（－）－1＝5考点：整式的化简求值24、试题分析：（1）可以把出车地看做0，然后根据题意列式，即可推出结果，（2）根据司机下午的总营运路程，由每千米的营运额为7元，成本为1．5元/km，推出每千米的盈利，用每千米的盈利乘以总营运路程即可推出这天下午他的总盈利．试题解析：（1）＋11－2＋3＋10－11＋5－15－8＝－7答：距离出发地点7km．（2）11＋2＋3＋10＋11＋5＋15＋8＝6565×（7－1．5）＝357．5元答：当天下午盈利357．5元．考点：1．有理数的运算，2．绝对值25、试题分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，如以25为基数，高于25，记作“+”，那么低于25，应记作“-”．则与基准数的差距从左到右依次为：+2，-1，-2，+3，-4，+1，-3，+2．这8筐水果的总质量为：（+2-1-2+3-4+1-3+2）+25×8=-2+200=198（千克）．试题解析：（1）25；（3）这8筐水果的总质量是：25×8＋2＋（－1）＋（－2）＋3＋（－4）＋1＋（－3）＋2＝198（kg），答：这8筐水果的总质量是198kg．考点：有理数的加减26、试题分析：（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据|a+4|+|a-2|表示数a的点到-4与2两点的距离的和即可求解．试题解析：（1）3；5；1或5；（2）∵表示数轴上数和数－4，2之间距离的和，又因为位于－4，2之间，∴等于－4，2之间的距离和，即＝|2－（－4）|＝6．（3）∵表示数轴上数和数－5，1，4之间距离的和，∴a＝1时距离的和最小∴＝＝|4－（－5）|＝9考点：1．数轴，2．绝对值。
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：复数与算法初步
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编复数与算法初步一、复数1、（常州市2015届高三）设复数3i 1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ 2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）设复数z 满足()i 432i z -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）若复数a i z i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ 4、（南通市2015届高三）已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为5、（苏州市2015届高三上期末）已知23(,,i a bi a b R i i+=+∈为虚数单位)，则a b += 6、（泰州市2015届高三上期末）复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ 7、（无锡市2015届高三上期末）已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为8、（扬州市2015届高三上期末）已知i 是虚数单位，则21(1)i i +－的实部为＿＿＿＿ 参考答案1、-3 3、-1 4、15 5、1 6、43i - 7、1 8、12-二、算法初步1、（常州市2015届高三）右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为▲3、（南京市、盐城市2015届高三）运行如图所示的程序后，输出的结果为▲4、（南通市2015届高三）有图是一个算法流程图，则输出的x的值是5、（苏州市2015届高三上期末）运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==， 则输出的a 的值为6、（泰州市2015届高三上期末）执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲7、（无锡市2015届高三上期末）根据如图所示的流程图，则输出的结果i为8、（扬州市2015届高三上期末）如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿参考答案1、1272、73、424、595、96、47、78、15、。
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：导数及其应用
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（常州市2015届高三）曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲二、解答题1、（常州市2015届高三）已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x = 定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，a R ∈． (1)若2a =，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式()1f x ax -≤恒成立，求整数a 的最小值；(3)若2a =-，1x ，2x 是两个不相等的正数，且1212()()0f x f x x x ++=，求证：1212x x +≥．3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+. （1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.4、（南通市2015届高三）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()(1)x f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）7、（无锡市2015届高三上期末）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+. (1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数2(),()xf x eg x ax bx c ==++。
常州市2015～2016学年度第一学期期中阶段性质量调研九年级数学试卷及答案
2015～2016学年度第一学期阶段性质量调研九年级数学试题一、选择题（每题2分，共16分）1．⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是 -------------------------------------- 【 】A ．5B ．6C ．7D ．82．方程x 2＋6x －5＝0的左边配成完全平方后所得方程为 ------------------------------------ 【 】A ．2)3(+x ＝14B ．2)3(-x ＝14C ．2)6(+x ＝21D ．2)3(+x ＝43．下列方程中，没有实数根的是 -------------------------------------------------------------------- 【 】 A ．2x －4x ＋4＝0 B ．2x －2x ＋5＝0C ．2x －2x ＝0D ．2x －2x －3＝0 4．已知x ＝1是关于x 的一元二次方程2x 2－x ＋a ＝0的一个根，则a 的值是 --------- 【 】A ．2B ．－2C ．1D ．－15．如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC ．若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的大小为 --------------------------------- 【 】A ．40°B ．50°C ．80°D ．100° 6．如图，扇形的圆心角为60°----------------------- 【 】 ABCD7．如果等腰三角形的两边长分别是方程x 2－10x ＋21＝0的两根，那么它的周长为 - 【 】A ．17B ．15C ．13D ．13或178．学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是 ---- 【 】A ．221x =B ．1(1)212x x -= C ．21212x = D ．(1)21x x -=二、填空题（每题2分，共16分）9．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．10．方程(2)(3)2x x x +-=+的解是 ．11．若关于x 的一元二次方程x 2＋4x －a ＝0有两个实数根，则a 的取值范围是 ． 12．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x 的值为 ．2015.1113，则该圆锥的侧面积为 ．14．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x ，根据题意得方程为：． 15．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，AO ＝AB ，则∠ACB ＝ 度．16．如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（0，3），（4，3），（0，-1），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．三、解下列方程（每题4分，共16分）17．⑴ 2)2(+x ＝3⑵ 2x －5x －6＝0⑶ 2x －6x －6＝0⑷ 32x －x －1＝0四、解答题（8小题，共52分）18．（6分）已知关于x 的方程0222=-++a x x .⑴ 若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； ⑵ 若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．第13题图 y 第16题图第15题图19．（6分）小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE＝60°．⑴求∠D的度数；⑵当BC＝4时，求劣弧AC的长．21．（6分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？22．（6分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝4cm ．一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm /s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm /s 的速度运动．P ，Q 两点同时出发，运动时间为t （s ）． ⑴ 若△PCQ 的面积是△ABC 面积的41，求t 的值； ⑵ △PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值； 若不能，说明理由．23．（6分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元．已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x 元． ⑴ 填表（不需化简）：⑵ 商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？AC P BQ24．（8分）如图，△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO延长线于点M，CM交⊙O于点D．⑴AM与AC相等吗？为什么？⑵若AC＝3，求MC的长．25．（8分）如图，直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P ，OA ＝5．AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ． ⑴ AB 与AC 相等吗？为什么？ ⑵ 若PC＝O 的半径． 九年级数学参考答案及评分建议一、选择题（每题2分，共16分） 1．A 2．A C ．B 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B二、填空题（每题2分，共16分）9．2，－3，1 10．－2或4 11．a ≥－4 12． 1±3 13．3 14．112)1(x +＝18.59 15．150 16．（2，1） 注：第9题，对而不全1分．三、解下列方程（每题4分，共16分）17．⑴ x ＝－2±3⑵ 1x ＝－1，2x ＝6 ⑶ x ＝3±15 ⑷ x ＝6131±过程2分，结果2分．结果正确，没有过程，只给2分．四、解答题（8小题，共52分）18．解：⑴ ∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ． ------- 2分∴a 的取值范围是3<a ． ----------------------------------------------------------- 3分⑵ 将x ＝1代入原方程得21＋2×1＋a －2＝0，a ＝－1 -------------------------- 4分 将a ＝－1代入原方程得2x ＋2x －3＝0 ----------------------------------------- 5分则a 的值是－1，该方程的另一根为－3． ---------------------------------------- 6分19．解：设平均每年增长的百分率为x ，则根据题意可列方程为：52)1(x +＝6.05， ----------------------------------------- 3分 解得：x 1＝0.1，x 2＝－2.1（舍去） --------------------------------------------------- 5分 答：平均每年增长的百分率为10%． ------------------------------------------------ 6分20．解：⑴ ∵AE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AE ， ∴∠BAE ＝90°， ∵∠CAE ＝60°，∴∠BAC ＝∠BAE －∠CAE ＝90°－60°＝30°，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°， ∴∠B ＝60°， --------------- 2分 ∵∠D ＝∠B ， ∴∠D ＝60° ------------------------------------------------------ 3分 ⑵ 连接OC ， ∵OB ＝OC ，∠B ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∵BC ＝4， ∴OB ＝BC ＝4，∠BOC ＝60°， --------------------------------- 4分 ∴∠AOC ＝120°， -------------------------------------------------------------------- 5分∴劣弧AC 的长是：1804120⨯π＝π38． ----------------------------------------- 6分21．解：设道路的宽应为x 米，由题意有：（22－x ）（17－x ）＝300， ----------------- 3分解得：x 1＝37（舍去），x 2＝2． --------------------------------------------------------------- 5分 答：修建的路宽为2米． ----------------------------------------------------------------------- 6分22．解：⑴ ∵S △PCQ ＝21t （8－2t ），S △ABC ＝21×4×8＝16， ∴21t （8－2t ）＝16×41， 整理得 t 2－4t ＋4＝0， -------------------------------------------------------------- 2分解得 t ＝2． ----------------------------------------------------------------------------- 3分⑵ 当S △PCQ ＝21S △ABC 时，21t （8－2t ）＝16×21， 整理得t 2－4t ＋8＝0， ------------------------------------------------------------------ 4分 △＝（－4）2－4×1×8＝－16＜0， --------------------------------------------- 5分 ∴此方程没有实数根，∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半． ------------------------------- 6分23．解：⑴ 填表如下：解得：x ＝150． ------------------------------------------------------------------------- 5分 ∴实际售价定为：2900－150＝2750（元） ．答：每台冰箱的实际售价应定为2750元． ------------------------------------- 6分24．⑴ 解：AM 与AC 相等．理由如下： -------------------------------------------------------- 1分连接OA ， ∵AM 是⊙O 的切线，∴∠OAM ＝90°，∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°， ------------------------- 2分 ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝30°， ------------------- 3分 ∴∠AOM ＝60°，∴∠M ＝30°，∴∠OCA ＝∠M ， -------------------------------------------- 4分∴AM ＝AC ------------------------------------------------------ 5分⑵ 作AG ⊥CM 于G ， ∵∠OCA ＝30°，AC ＝3，∴AG ＝23， 由勾股定理得，CG ＝233， ----------------------------- 7分则MC ＝2CG ＝33． ---------------------------------------- 8分25．解：⑴ AB 与AC 相等．理由如下：------------------------------------------------------------ 1分如图，连接OB ． ∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝90° ∴∠OBP ＋∠ABP ＝90°，∠ACP ＋∠APC ＝90°， ∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB ，∵∠OPB ＝∠APC ， -------------------------------------- 2 ∴∠ACP ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ------------------------------ 4 ⑵ 如图，设圆半径为r ，则OP ＝OB ＝r ，P A ＝5－r ， ----------- 5分 由⑴可知 AB ＝AC而222AB OA OB =-＝225r -，因此2AC ＝225r - ---------------------- 6分∵ △P AC 中，∠P AC ＝90° ∴ 222PC PA AC =+∴ （225r -）＋2)5(r -＝2)52( --------------------------------------------- 7分解得：r ＝3．即⊙O 的半径为3． ------------------------------------------------------------------- 8分九年级数学参考答案及评分建议一、选择题（每题2分，共16分）1．A 2．A C ．B 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B二、填空题（每题2分，共16分）9．2，－3，1 10．－2或4 11．a ≥－4 12． 1±3 13．3 14．112)1(x +＝18.59 15．150 16．（2，1） 注：第9题，对而不全1分．三、解下列方程（每题4分，共16分）17．⑴ x ＝－2±3⑵ 1x ＝－1，2x ＝6 ⑶ x ＝3±15 ⑷ x ＝6131±过程2分，结果2分．结果正确，没有过程，只给2分．四、解答题（8小题，共52分）18．解：⑴ ∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ． ------- 2分∴a 的取值范围是3<a ． ----------------------------------------------------------- 3分⑵ 将x ＝1代入原方程得21＋2×1＋a －2＝0，a ＝－1 -------------------------- 4分 将a ＝－1代入原方程得2x ＋2x －3＝0 ----------------------------------------- 5分则a 的值是－1，该方程的另一根为－3． ---------------------------------------- 6分19．解：设平均每年增长的百分率为x ，则根据题意可列方程为：52)1(x +＝6.05， ----------------------------------------- 3分 解得：x 1＝0.1，x 2＝－2.1（舍去） --------------------------------------------------- 5分 答：平均每年增长的百分率为10%． -6分 20．解：⑴ ∵AE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AE ， ∴∠BAE ＝90°， ∵∠CAE ＝60°，∴∠BAC ＝∠BAE －∠CAE ＝90°－60°＝30°，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°， ∴∠B ＝60°， --------------- 2分 ∵∠D ＝∠B ， ∴∠D ＝60° ------------------------------------------------------ 3分 ⑵ 连接OC ， ∵OB ＝OC ，∠B ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∵BC ＝4， ∴OB ＝BC ＝4，∠BOC ＝60°， --------------------------------- 4分∴∠AOC ＝120°， -------------------------------------------------------------------- 5分∴劣弧AC 的长是：1804120⨯π＝π38． ----------------------------------------- 6分21．解：设道路的宽应为x 米，由题意有：（22－x ）（17－x ）＝300， ----------------- 3分解得：x 1＝37（舍去），x 2＝2． --------------------------------------------------------------- 5分 答：修建的路宽为2米． ----------------------------------------------------------------------- 6分22．解：⑴ ∵S △PCQ ＝21t （8－2t ），S △ABC ＝21×4×8＝16， ∴21t （8－2t ）＝16×41， 整理得 t 2－4t ＋4＝0， -------------------------------------------------------------- 2分解得 t ＝2． ----------------------------------------------------------------------------- 3分⑵ 当S △PCQ ＝21S △ABC 时，21t （8－2t ）＝16×21， 整理得t 2－4t ＋8＝0， ------------------------------------------------------------------ 4分 △＝（－4）2－4×1×8＝－16＜0， --------------------------------------------- 5分 ∴此方程没有实数根，∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半． ------------------------------- 6分23．解：⑴ 填表如下：解得：x ＝150． ------------------------------------------------------------------------- 5分 ∴实际售价定为：2900－150＝2750（元） ．答：每台冰箱的实际售价应定为2750元． ------------------------------------- 6分24．⑴ 解：AM 与AC 相等．理由如下： -------------------------------------------------------- 1分连接OA ， ∵AM 是⊙O 的切线，∴∠OAM ＝90°，∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°， ------------------------- 2分 ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝30°， ------------------- 3分 ∴∠AOM ＝60°，∴∠M ＝30°，∴∠OCA ＝∠M ， -------------------------------------------- 4分∴AM ＝AC ------------------------------------------------------ 5分⑵ 作AG ⊥CM 于G ， ∵∠OCA ＝30°，AC ＝3，∴AG ＝23， 由勾股定理得，CG ＝233， ----------------------------- 7分则MC ＝2CG ＝33． ---------------------------------------- 8分25．解：⑴ AB 与AC 相等．理由如下：------------------------------------------------------------ 1分如图，连接OB ． ∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝90° ∴∠OBP ＋∠ABP ＝90°，∠ACP ＋∠APC ＝90°， ∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB ，∵∠OPB ＝∠APC ， -------------------------------------- 2 ∴∠ACP ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ------------------------------ 4 ⑵ 如图，设圆半径为r ，则OP ＝OB ＝r ，P A ＝5－r ， ----------- 5分由⑴可知 AB ＝AC而222AB OA OB =-＝225r -，因此2AC ＝225r - ---------------------- 6分∵ △P AC 中，∠P AC ＝90° ∴ 222PC PA AC =+∴ （225r -）＋2)5(r -＝2)52( --------------------------------------------- 7分解得：r ＝3．即⊙O 的半径为3． ------------------------------------------------------------------- 8分。