中考数学 第5讲 二次根式及其运算1
中考数学一轮总复习 第5课时 二次根式(无答案) 苏科版
第5课时：二次根式【课前预习】（一）知识梳理1、平方根与立方根：①平方根定义；②算术平方根定义；③立方根定义．2、二次根式的有关概念：①二次根式定义；②最简二次根式；③同类二次根式；④分母有理化．3、二次根式的性质：①；（a ≥0）；② ()=2a （a ≥0）；③ =2a ；④ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑤ =ba （0,0>≥b a ）. 4、二次根式的运算：①二次根式的加减；②二次根式的乘除．（注意：计算结果必须是最简二次根式）（二）课前练习1、16的平方根是_ __，-27的立方根是__ _，36的算术平方根是_ _.2、当x ______x ______时，代数式x -21有意义．3、下列根式：①②③④中不是．．最简二次根式的是 ．4、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A C 5、已知012=-++b a ，那么2007)(b a +=__________；=-+-x x 22 ．6、化简：2)2(-= ，24= ，= ，312= ，321-= .7= ；=÷⨯263_________．8、如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ．【解题指导】例1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？①()22+x ； ② 53--x x ； ③ xx ---512； ④ 32-+x x ； ⑤ 231--x ．例2 计算：（1）24－32＋23－2 16 ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷3232292443.例3 已知b a a b a b ==-求的值．【巩固练习】 1、下列计算正确的是（ ）=B 4= D 3=-2、设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ）A ．．2＝a D3、对于实数a 、b b -a ，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4、使2-x 有意义的x 的取值范围是 ．5、25的平方根是 ，()24-的算术平方根是 ，16的算术平方根是_______.6、16-= ，412-= ，24）（- ．7、若最简根式1+x 和y 3是同类根式，则 x y +＝______.834请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来______________________9、化简或计算：(1) -3018⨯752⨯ (2)【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、函数y =x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤22()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．33、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B ． C D 4、 16的平方根是 ；函数y =自变量x 的取值范围是 ．5= ；= ；= ．6、当x ≤0时，化简1x -的结果是 ．7、有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？ （只需填字母）.A ．．2E ．08小的整数 .9、对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a -+，如3※2=52323=-+． 那么12※4=10、计算：（1）（2）24616323252⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷（3)2；11、先化简再求值：33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中.o二、选做题：12的值( )A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间 D ．在4到5之间2、若x y=xy 的值是（ ）A ．B ．C ．m n + D．m n -3、实数,,a b ca －b │．4、若y ＝3x －6＋6－3x ＋x 3，则10x ＋2y 的平方根为________；5、已知||6－3m ＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n ＝________．6、计算12121...571351131-+++++++++n n .7、已知：a ＝12＋3，求a 2－1a ＋1－a 2－2a ＋1a 2－a 的值．。
2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式
2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。
中考数学总复习第5课 二次根式
的值为
()
A．－15
B．15
C．－125
D.125
解析：由二次根式的定义，得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，∴x
≥5且 2
x≤52，∴x＝52，∴y＝－3，∴2xy＝2×52×(－3)＝－
15.
答案：A
【预测演练 1－3】 化简：( 3－x)2－ x2－10x＋25.
解析：∵3－x≥0，∴x≤3，原式＝3－x－|x－5|＝3－x－ (5－x)＝3－x－5＋x＝－2.
解析：(1)4 1－ 8＝4× 2－2 2＝2 2－2 2＝0.
2
2
(2)原式＝( 2＋1)( 2－1)× 2＝(2－1)× 2＝ 2.
(3)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(4)原式＝( 10－3)2013·( 10＋3)2013·( 10＋3)
∴a＝m 2＋2n 2，b＝2m n . 这样，小明找到了把部分 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的
式子分别表示 a，b 得，a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空： ______＋______ 3＝(______＋______ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2 且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解析：x－3≥0, ∴x≥3.
答案：x ≥3
【预测演练 1－1】
等式 2k－1＝ k－3
数 k 的取值范围是
2k－1成立，则实 k－3
()
2020年春数学中考一轮复习5.重庆数学 第5讲数的开方与二次根式
＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×
2014中考复习备战策略_数学PPT_第5讲_二次根式
【点拨】原式＝ 2 2＋ 3－ 2 2＝ 3.故选 B. 【答案】 B 方法总结 二次根式加减运算的实质是去括号， 合并被开方数 相同的二次根式；二次根式的乘除运算中，要注意乘法 运算律仍然适用 .
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点四
二次根式的混合运算
例 4 (2013· 宿迁)计算 2( 2－ 3)＋ 6的值是__． 【点拨】原式＝ 2× 2－ 2× 3＋ 6＝2－ 6 ＋ 6＝2. 【答案】 2
考点训练
5．(2013· 泰州)下列计算正确的是( C A．4 3－3 3＝1 C．2 1 ＝ 2 2 B.
)
2＋ 3＝ 5
D．3＋2 2＝5 2
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2x＋ 1 6． (2013· 娄底)使式子 有意义的 x 的取值范 x－1 围是( A ) B． x≠1 1 D． x＞－ 且 x≠1 2 1 A． x≥－ 且 x≠ 1 2 1 C． x≥－ 2
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方法总结 二次根式的混合运算要注意运算的顺序， 可应用整 式的运算律改变运算的顺序，从而使运算简便.
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考点训练
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1． 要使二次根式 2x－4有意义， 那么 x 的取值范 围是( C ) B．x＜2 D．x≤2
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中考典例精析
基础巩固训练
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考点五
二次根式的运算
1．二次根式的加减法 先将各二次根式化为最简二次根式 ，然后再合并 同类二次根式．
2013届中考数学考前热点冲刺《第5讲 数的开方及二次根式》课件 新人教版
第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2
二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0
初中数学二次根式
初中数学二次根式中考数学：二次根式的3个基本性质1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是√ai。
二次根式一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
负根号二到底是不是二次根式负的根号2是二次根式。
形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的形式是二次根式的表现形式，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。
中考数学：判断式子是不是二次根式形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注意，被开方数不为完全平方数。
当a>0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a>0;当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
中考数学：二次根式二次根式作为“式子”模块的最后一个章节，一般都是紧跟着实数这一章下来的。
为什么呢?因为之前学过的两个式子，整式和分式都有可以类比的“数”，整式类比正数，整式的因式分解也可以类比整数的“分解因数”。
八年级数学上第5章二次根式5.2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法课湘教
(3)a
3bc a ·2
2bac(a＞0，b＞0，c≥0)．
解：原式＝2a 3abc·2bac＝2a 6c2＝2 6ac.
*11.将 a －1a根号外的因式移到根号内为( A. －a B．－ －a C．－ a
) D. a
错解：A 诊断：本题学生容易把 a 直接从外面平方后 移到根号内化简，即 a －1a＝ a2·－1a＝ －a.忽视了 a 的取值为负数，应先留负号在根号外，然后再平方后 移到根号内化简．
9．一个直角三角形的两条直角边长分别为 a＝2 3，b＝3
6，那么这个直角三角形的面积是( C )
A．8 2
B．7 2
C．9 2
D. 2
10．计算：
(1)2 3×5 15；
解：原式＝2×5× 3×15＝10 3×3×5＝30 5.
(2)
2a 3·
18ab(a≥0，b≥0)；
原式＝ 23a·18ab＝ 12a2b＝2a 3b.
2 (3)b
ab3·－32
a3b·3
ab(a>0，b>0)．
解：原式＝2b·－32·3· ab3·a3b·ab＝－9b a5b3＝－9a2 ab.
13．把下列根号外的因式移到根号内： (1)a 1a； 【点拨】要想把根号外的因式移到根号内，需利用 a＝ a2(a≥0)将根号外的因式转化为二次根式的形式． 解：因为 a＞0，所以 a＝ a2. 所以 a 1a＝ a2· 1a＝ a2·1a＝ a.
(3)－2a 21a； 【点拨】要想把根号外的因式移到根号内，需利用 a＝
a2(a≥0)将根号外的因式转化为二次根式的形式． 解：因为21a＞0，所以 2a＞0.所以－2a＝－ (2a)2.所以－ 2a 21a＝－ (2a)2·21a ＝－ 2a.
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16< 17< 25，即 4< 17<5.
1பைடு நூலகம்“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0；二是算术平
A. 18
B.
1 3
C. 24
D. 0.3
4．(2016·南充)下列计算正确的是( A )
A. 12＝2 3 B.
32＝
3 2
C. －x3＝x －x D. x2＝x
5．(2016·许昌模拟)已知 x＝ 52－1，y＝ 52＋1，则 x2＋xy＋y2 的值为(B )
A．2 B．4 C．5 D．7
二次根式概念与性质
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】 (1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合
并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，
ba＝
a(a≥0，b＞0)， b
前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即
③( 10－3)2 016·( 10＋3)2 017. (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值． 解：原式＝( 10－3)2 016×( 10＋3)2 016×( 10＋3)＝[( 10－3)( 10＋3)]2 016×( 10＋3) ＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
方根 a的值是非负数，即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙
求解； (2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 2．求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1)2＝2
(2)(2016·平顶山模拟)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①
1；③ ab÷ ba＝－b.其中正确的是( B)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
ba＝
a；② b
a b·
ba＝
(3)计算： 24－ 32＋ 23－2 16； (4)计算： 48÷ 3－ 12× 12＋ 24 解：原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6
1．二次根式的概念 式子____________叫做二次根式． 2．二次根式的性质
(1) a(a≥0)是一个___非___负___数_． (2)( a)2＝__a__(_a_≥__0_)．
a(a＞0) (3) a2＝|a|＝ 0(a＝0)
－a(a＜0)
3．二次根式的运算 (1)二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)二次根式的乘法： a· b＝_________________；
【例 1】 (1)下列各式中
2，3 5，－ 3， －7， x2＋1，一定是二次根式的有( B)
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5
(2)(2017·中考预测)等式
2k－1＝ k－3
2kk－－31成立，则实数 k 的范围是( D)
A．k＞3 或 k＜12 B．0＜k＜3
C．k≥12 D．k＞3
(3)(2016·南阳模拟)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，试化简： （a＋b＋c）2＋ （a－b－c）2＋ （b－c－a）2＋ （c－a－b）2.
[对应训练]
1．(1)如果 （2a－1）2＝1－2a，则( B)
A．a<12 B．a≤12 C．a>12 D．a≥12
(2)(2016·自贡)若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是__x_≥__1__． (3)若 20n是整数，则正整数 n 的最小值为__5__．
二次根式的运算
【例 2】 (1)(2015·宁夏)下列计算正确的是( B)
(3)二次根式乘法的反用： ab＝__________________；
(4)二次根式的除法： a＝___________________； b
(5)二次根式除法的反用： ba＝_______________________．
4．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 5．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－ b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a ＋【点2评b】＋2(1c)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于 0；(2)注意二次根
式性质( a)2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4)二次根式乘除结果 要化为最简二次根式．
2．(1)(2016·包头)计算：6 13－( 3＋1)2＝__-_4_；
(2)计算： ① 24× 13－4× 18×(1－ 2)0； ②(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
解：原式＝2 6× 33－4× 42×1＝2 2－ 2＝ 2 解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2
1．(2016·贵港)式子
1 在实数范围内有意义，则 x－1
x
的取值范围是(
C)
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．(2016·潍坊)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ （a－b）2的结果
是( A)
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b
3．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( B)
解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3.∴a2－b2＝32－( 10－ 3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧