第5讲 二次根式及其运算
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是数学中的一个重要概念，它与根式和平方根密切相关。
在本文中，我们将介绍二次根式的定义、运算法则以及一些常见的例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，√称为根号，a称为被开方数。
二次根式有以下几个基本特点：1. 当被开方数a为非负实数时，二次根式有意义，结果为一个实数；2. 当被开方数a为负实数时，二次根式无意义，即不存在实数解。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的相加减法则：对于两个二次根式，若它们的被开方数相同，则它们可以直接相加或相减。
例如：√2 + √2 = 2√2；5√3 - 2√3 = 3√32. 二次根式的乘法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行乘法运算，并将结果相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法法则：对于两个二次根式，可以对它们的被开方数和根号下的数分别进行除法运算，并将结果相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的化简在进行二次根式的运算过程中，我们常常需要对二次根式进行化简，使得结果更简洁。
在化简二次根式时，可以利用以下的方法：1. 因式分解法：将被开方数进行因式分解，然后利用乘法法则将二次根式化简。
例如：√(8) = √(2 × 2 × 2) = 2√22. 合并同类项法：对于具有相同根号下的数的二次根式，可以合并为同一个二次根式。
例如：5√3 + 3√3 = 8√3四、二次根式的应用举例下面我们来举一些常见的二次根式的应用例题，帮助读者更好地理解和运用二次根式的概念和运算法则。
例题一：计算下列各式的值，并化简结果：√12 + 2√3解：首先对被开方数进行因式分解：√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3将化简后的结果代入原式：2√3 + 2√3 = 4√3例题二：化简下列各式：5√6 - √24解：对被开方数进行因式分解：√24 = √(2 × 2 × 2 × 3) = 2√6将化简后的结果代入原式：5√6 - 2√6 = 3√6总结：本文介绍了二次根式的定义、运算法则，以及二次根式的化简方法。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
二次根式及其运算ppt课件
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
二次根式的概念及其运算
第1章 二次根式及其乘除运算回顾与思考1．二次根式的定义和性质(1)定义：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数． 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．(2)性质：①a (a≥0)是一个非负数，；②(a)2= (a≥0)；③a 2= ；(1)=2)(a （a≥0）；；(3)⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a(3)(a)2与a 2的区别：①运算顺序不同：(a)2先 ，后 ．a 2先 ，后 ；②字母取值范围不同：(a)2中的a ，a 2中的a ；③运算结果不同：(a)2= ，a 2= ．2．二次根式的乘除法(1)二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变，即a·b= (a≥0，b≥0)． (2)二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即 ab= (a≥0，b>0)． 3．二次根式的乘除：(1)计算公式：{⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b ab a b a 除法运算：乘法运算： (2)化简公式：⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b a b a b a 当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便．二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的．4．二次根式的加减：(1)法则： . (2)概念：⎩⎨⎧同类二次根式：最简二次根式：.2.1二次根式的加减步骤：(1)化简；(2)判断；(3)分类；(4)合并。
3．最简二次根式(1)被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (2)化二次根式为最简二次根式的步骤：一分：分解因数（因式）、平方数（式）；二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；三化：化去被开方数中的分母． 4．分母有理化(1)概念：①把分母中的根号化去，叫做分母有理化．②两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．常用有互为有理化因式有以下几种：a 与a(这里的a 为最简二次根式)互为有理化因式；a+b 与a –b 互为有理化因式；a+b 与a –b 或m a+n b 与m a –n b 互为有理化因式．(2)分母有理化的方法有两种：直接约分化去分母中的根号；根据分式的基本性质，分子和分母都乘以分母的有理化因式，可以使分母不含根号． 5. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中的重要概念，它们在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍二次根式的定义、运算法则，以及一些常见的计算方法和运用技巧。
一、二次根式的定义在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
它的特点是其值是满足a≥0的正实数x，使得x²=a。
二次根式是一种特殊的无理数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以进行加减运算。
即，如果√a和√b是同类项，则有：√a ± √b = √(a ± b)。
2. 二次根式的乘法运算：对于任意的实数a和b，有：√a × √b =√(ab)。
3. 二次根式的除法运算：对于任意的实数a和b（其中b≠0），有：√(a/b) = √a / √b。
需要注意的是，二次根式的运算法则不同于常规的有理数运算法则，需要根据具体情况进行变形和化简。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：当二次根式的被开方数具有完全平方因子时，可以进行化简。
例如，√(4x²y²) = 2xy。
2. 合并同类项：对于同类项的二次根式，可以进行合并运算。
例如，√5 + √7 - √5 = √7。
3. 运用分式化简：对于含有二次根式的分式，可以运用分式化简法则进行化简。
例如，化简√(x+1) / (√(x-1) + 1)。
四、二次根式的运用技巧1. 消去根号：在一些问题中，可以通过消去根号的方法简化计算。
例如，对于√(x+1) + √(x-1) = 2，可以通过平方等式的性质消去根号。
2. 使用代换：在一些复杂的问题中，可以使用代换的方法简化计算。
例如，对于含有二次根式的方程，可以令√a = t进行变量代换，从而降低问题的复杂性。
3. 运用二次根式性质解决问题：二次根式具有一些特殊性质，如平方等式、分式等式等，可以通过运用这些性质解决一些相关问题。
例如，根据二次根式性质解决面积、体积等几何问题。
二次根式的概念和运算
二次根式的概念和运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它是指一个数的平方根。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念和运算法则。
一、概念二次根式是指一个数的平方根，可以表示为√a的形式，其中a 是一个非负实数。
如果a是一个正实数，则二次根式√a是一个正实数；如果a是零，则二次根式√0等于零；如果a是一个负实数，则二次根式√a 是一个虚数。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4；√9 = 3，因为3的平方等于9；√0 = 0；而√-1是一个虚数，通常表示为i。
二、运算法则1. 二次根式的加法和减法当我们进行二次根式的加法和减法运算时，需要满足被开方数相同的条件。
例如，√5 + √5 = 2√5，√3 - √3 = 0。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法遵循以下法则：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
3. 二次根式的除法二次根式的除法遵循以下法则：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
注意，当二次根式的分母含有根号时，需要进行有理化处理，即将分母有理化为不含根号的形式。
例如，√2 / (√3 + √2)可以有理化为(√2 / (√3 + √2)) * ((√3 - √2) / (√3 - √2))，得到(√2 * (√3 - √2)) / ((√3)^2 - (√2)^2) = (√6 - 2) / (3 - 2) = √6 - 2。
4. 二次根式的化简当我们遇到二次根式较复杂的情况时，可以尝试对其进行化简。
例如，√72可以化简为√(36 * 2)，进一步化简为√36 * √2，即6√2。
另外，还存在一些特殊的二次根式，如√4 = 2，√1 = 1等。
三、实例演练接下来，让我们通过一些实例来加深对二次根式运算法则的理解。
例1：计算√5 + 2√5。
解：根据二次根式的加法法则，√5 + 2√5 = 3√5。
第5课 二次根式及其运算
探究提高 1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负. 2.注意二次根式性质( a )2＝a(a≥0)， a2＝|a|的区别， 判断出各式的正负性，再化简．
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解二次根式的意义 二次根式 a 定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分， 不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意 义．在具体问题中，一旦出现了二次根式 a ，就意味着 a≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如： 3 、 ab(ab≥0)、 x＋3(x≥－3)都是二次根式．
2．注意正确的化简及二次根式的混合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混 合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如： 运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减， 如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算 中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公 式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然 适用．
6＝
3 2
6.
(3)计算：－ 4 5
45
×
1 2
15
解：原式＝－ 4 × 1× 52
45×15
＝－ 4 × 1×15× 52
3 ＝－6
3.
探究提高 1.二次根式化简，依据 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)，
a＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 bb (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
3．(2011·泰安)下列运算正确的是( D )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
1．(1)(－ 2)2 的平方根是 ± 2
；9 的算术平方根是
-4 是－64 的立方根． 3 ；____ ____
(2)(2014· 达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的取 值范围是( D )
A．x≥－2
C．x＜2
B．x＞－2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1） ＝1－2a，则( B ) 1 A．a＜2 1 C．a＞2 1 B．a≤2 1 D．a≥2
解： (1)∵x＝2－ 3， y＝2＋ 3， x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3) ＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 －xy＝42－1＝15 1 1 (2)已知 x＋ ＝－3， 求 x－x的值． x 12 12 1 2 (2)∵(x－ ) ＝(x＋ ) －4＝(－3) －4＝5，∴x－ ＝± 5 x x x
4．(2014· 福州)若(m－1) 2＋ n＋ 2＝0， 则 m＋ n 的值是( A ) A．－1 B． 0 C． 1 D． 2 5．(2014· 内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值 为 2，则最后输出的结果是( C )
A． 14
B． 16
C ．8 ＋ 5 2
D． 14＋ 2
二次根式概念与性质
【点评】
(1)二次根式混合运算，把若干个知
识点综合在一起，计算时要认真仔细；(2)可以
运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
3．(1)(2014· 荆门)计算： 24×
1 3－4×
1 0 (1 2) . × － 8
3 2 解：原式＝2 6× －4× ×1＝2 2－ 2＝ 2 3 4
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
(2)二次根式的乘法： a· b＝
ab(a≥0，b≥0)
；
(3)二次根式乘法的反用： ab＝ a· b(a≥0，b≥0) ； a (a≥0，b＞0) a b (4)二次根式的除法： ＝ ； b a (a≥0，b＞0) a b (5)二次根式除法的反用： ＝ ． b
要点梳理 4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二
2．(1)(2012· 安顺 )计算 27的结果是 ( D ) A．± 3 3 B．3 3 C．± 3 D． 3
3
(2)(2012· 福州 ) 若 20n 是整数 ， 则正整数 n 的最小值为
5 ． ____
(3)(2014· ____ 抚州 )计算： 27－ 3＝2 3 ．
二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
(3)(2012· 南通)计算： 48÷ 3－
1 2× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】
b≥0)，
(1)二次根式化简 ，依据 ab＝ a · b (a≥0 ， a a ( 0 0) b＝ b a≥ ，b＞ ，前者将被开方数分解，后
者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数，即可将其移到根号外； (2)二次根式加减，即化简 之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为最 简二次根式．
2 2 (1) x xy y 【点评】 ＋ ＋ 是一个对称式，可先求出基本 2 2 2 4 1 ( ) x y xy x xy y x y 对称式 ＋ ＝ ， ＝ ， 然后将 ＋ ＋ 转化为 ＋
12 12 －xy，整体代入即可；(2)注意到(x－x) ＝(x＋x) －4，可 12 1 得(x－x) ＝5，x－x＝± 5.
2
二次根式的运算
【例 2】 各式：① (1)(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面
a a b ＝ b， ②
a b a · ＝1，③ ab÷ ＝－ b， b a b
其中正确的是 ( B )
A．①②
C．①③
B．②③
D ．①②③
(2)计算： 24－
3 2＋
2 3－2
1 6.
1 1 1 3 解：原式＝2 6－ 6＋ 6－ 6＝ 6 2 3 3 2
次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须
是非负数，即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数， 即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着 “a≥0”这个条件 ，做
－2． ____
4．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的 值为( C ) A．9 B．±3 C．3 D．5
1 x－4＋ 4－x y (2)(2014· 德州)若 y＝ －2，则(x＋y) ＝____ 4 ； 2
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－ （m－3）n2，则 m－n＝
影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别注意，问 题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4) 巧用换元；(5)巧用倒数．
1．(2014· 安徽) 设 n 为正整数 ，且 n＜ 65＜n＋1，则 n 的值 为( D ) A．5 B． 6 C． 7 D． 8 2．(2013· 安徽)若 1－ 3x 在实数范围内有意义， 则 x 的取值 1 范围是__x≤ __． 3 3．(2014· 徐州)下列运算中错误的是( A ) A. 2＋ 3＝ 5 C. 8÷ 2＝2 B. 2 × 3 ＝ 6 D．(－ 3)2＝ 3
题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．
两个防范
(1)求 a 时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等
2 式 a ＝|a|， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时
2
就要分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探
求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接
2k－1 【例 1】 (1)等式 ＝ k－3 2k－1 成立，则实数 k 的 k－3
范围是( D )
1 A．k＞3 或 k＜2 1 C．k≥2 B．0＜k＜3
D．k＞3
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长 ，试化简：
2 2 2 a b c a ห้องสมุดไป่ตู้ c b c a （ ＋ ＋ ）＋ （ － － ） ＋ （ － － ） ＋
解：(1)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
(2)( 10－3)2012· ( 10＋3)2013.
原式＝( 10－3)2012×( 10＋3)2012×( 10＋3)＝ [( 10－3)( 10＋3)]2012×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b ＝ 10－3.∴a2 －b2＝32 －( 10－3)2 ＝9－(10－6 10 ＋9) ＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧
2 2 4 (1) x 2 3 y 2 3 x xy y 【例 】 已知 ＝ － ， ＝ ＋ ，求 ＋ ＋
的值；
安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念 a(a≥0) 式子 2．二次根式的性质 (1)( a)2＝
(2) a2＝|a|＝
叫做二次根式．
a(a≥0)
a（a＞0） ； 0（a＝0） ； －a（a＜0） Ｗ.
。
要点梳理
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
（ c － a－ b ）
2
.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋
|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋
(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方
数大于或等于 0；(2)注意二次根式性质( a) ＝a(a≥0)， a ＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．