总复习第5讲 数的开方与二次根式
2020年春数学中考一轮复习5.重庆数学 第5讲数的开方与二次根式
＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×
中考复习之 数的开方与二次根式
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1
x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
2013届中考数学考前热点冲刺《第5讲 数的开方及二次根式》课件 新人教版
第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2
二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
(2021年整理)初中数学复习数的开方与二次根式教案
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第6课数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1。
理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根.会求实数的平方根、算术平方根和立方根(包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3。
掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化.内容分析1．二次根式的有关概念（1）二次根式式子)0a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．a(（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．（2)三次根式的乘法二次根式相乘,等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
中考一轮复习-第5讲数的开方与二次根式PPT课件
.
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平方根与立方根
平方根 立方根
如果x2＝a，则x 叫做a的平方根
如果x3＝a，则x 叫做a的立方根
正数有__两____个平方根，且 它们互为_相__反__数___； 0的平方根是_0___； 负数__没_有___平方根
正数有一个_正___的立方根； 0的立方根是_0___；
7．在 16x3、－ 32、－ 0.5、
的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
a x
、
3
25
中，最简二次根式
D．4
.
第4讲┃ 二次根式
.
第4讲┃ 二次根式
考点3 二次根式的运算
二次根式 先将二次根式化成_最 __简__二__次__根__式__，再
的加减法
__合_并______其中的同类二次根式
二次根式 的乘法
原式＝6
3－23
3＋4
3÷2
3＝238
3÷2
3＝134.
. 第4讲┃ 二次根式
负数有一个__负__的立方根
. 第4讲┃ 二次根式
1.[2012·泸州] 25的算术平方根是( A )
A．5
B．－5
C．±5
D. 5
2. 16的平方根是( C )
A．±4
B．4
C．±2
D．2
3.（2012．湛江）若二次根式 x 1
＿
x 有意义，则 x 的取值范围是＿1
4.(2012 梅州 ) m 2有意义的最小整 2＿数 ＿是＿
.
第4讲┃ 二次根式
考点2 二次根式的有关概念及性质
二次根式 的概念
第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式
第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。
如21的最简形式应为22。
考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。
积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。
考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。
题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。
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总复习第5讲 数的开方与二次根式
一、考点诠释
㈠平方根、算术平方根、立方根
1、平方根：若a x =2，则a x ±=（)0≥a
⑴正数有两个平方根，它们互为相反数
⑵0的平方根是0
⑶负数没有平方根
2、算术平方根：)0(0≥≥a a ，0的算术平方根是0。
3、立方根：若a x =3，则3a x =。
说明：任何数都有一个立方根，且立方根的符号与它本身符号相同。
㈡二次根式、最简二次根式、同类二次根式
1、二次根式：形如()0≥a a 的式子。
2、最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含有二次根式。
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。
㈢二次根式的性质
1、非负性：二次根式0≥a ，并且被开方数0≥a 。
2、两个等式：()a a =2，a a =2
㈣二次根式的运算
1、二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式。
2、二次根式的乘除法：⑴b a ab •= ⑵b
a b a = 3、二次根式的分母有理化：将分母中的根号化去。
说明：二次根式的混合顺序与实数中的运算顺序相同。
二、考题精练
㈠选择题：
1、下列等式成立的是（ ）
A 、=+9494+
B ．3+3 =33
C ．2)4(-=-4
D ．27=33
2、下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A 、14
B 、48
C 、2
1 D 、44+a 3、下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A 、24
B 、12
C 、
23 D 、18 4、下面4个算式中正确的是（ ）
A 、228=÷
B 、652332=+
C 、()662-=-
D 、652535=•
5、下列运算中，错误的是（ ） A 、632=⨯ B 、222
1= C 、252322=+ D 、()32322
-=- ㈡填空题： 1、当x 时，二次根式2-x 在实数范围内有意义。
2、比较大小：7
50。
（填“>”、“＝”、“<”） 3、计算：()()
=-+2525 4、计算：=•ab a
5、已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝
6、10在两个连续整数a 和b 之间，且b a <<10，则a 、b 的值分别为 。
㈢解答题：
1、计算：2145051183-+
2、计算：
()9821223102--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---
3、计算：
()01122122118--+÷--
4、计算：
()︒-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-60tan 3314.33102π
5、先化简，后求值：()()()[]x y x y x y x 22÷-++-，其中3=x 、5.1=y 。
6、先化简，再求值：3
29632-÷--+m m m m ， 其中2-=m 。
7、先化简，再求值：222211y
xy x y y x y x +-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--，其中21+=x 、21-=y 。
8、先化简，再求值：141151--÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+x x x x ，其中425-=x。