3.3 多自由度体系的自由振动
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第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
多自由度自由振动.
2
1、刚度法：（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y2(t)
质点动平衡方程:
m2 .y.2 r2
y2(t) r2
m1 y..1 r1 0, m2 y..2 r2 0
r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2
y1(t) m1.y.1 r1 y1(t) r1
即: m1 y..1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y..2 k21 y1 k22 y2 0
(m111 )Y1 m212Y2 0 m1 21Y1 (m2 22 )Y2 0 D m111 m212 0
m1 21 m2 22
振型方程：其中：λ=1/ω2
Y1 ，Y2不能全为零。
频率方程
不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。
Y1 12m2 Y2 11m1
Y12 12m2
1.125m/ EI
1
Y22 11m1 2 2.5m/ EI 1.125m/ EI 1
2 1
1 1
Yij为正时 表示质量mi的
运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。
m1Y11Y12
m2Y21Y22
m 2
(2) (1)
32
..
mi yi ri 0
(i 1,2,..., n)
ri ki1 y1 ki2 y2 ... kin yn
(i 1,2,..., n)
m.mmm.1.12n.y....yy....12n.m..2..k.kk.1.21n.11y.yy.111....m.k.kkn.1.22n.22y.y.y2yy...y..2...2.1.n2................kkk.k.1.2nk.k111.1.n2n.ynn..ynykkk..nn1n2.222...0..00............
1、刚度法：（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y2(t)
质点动平衡方程:
m2 .y.2 r2
y2(t) r2
m1 y..1 r1 0, m2 y..2 r2 0
r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2
y1(t) m1.y.1 r1 y1(t) r1
即: m1 y..1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y..2 k21 y1 k22 y2 0
(m111 )Y1 m212Y2 0 m1 21Y1 (m2 22 )Y2 0 D m111 m212 0
m1 21 m2 22
振型方程：其中：λ=1/ω2
Y1 ，Y2不能全为零。
频率方程
不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。
Y1 12m2 Y2 11m1
Y12 12m2
1.125m/ EI
1
Y22 11m1 2 2.5m/ EI 1.125m/ EI 1
2 1
1 1
Yij为正时 表示质量mi的
运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同， 为负时，表示 与单位力方向 相反。
m1Y11Y12
m2Y21Y22
m 2
(2) (1)
32
..
mi yi ri 0
(i 1,2,..., n)
ri ki1 y1 ki2 y2 ... kin yn
(i 1,2,..., n)
m.mmm.1.12n.y....yy....12n.m..2..k.kk.1.21n.11y.yy.111....m.k.kkn.1.22n.22y.y.y2yy...y..2...2.1.n2................kkk.k.1.2nk.k111.1.n2n.ynn..ynykkk..nn1n2.222...0..00............
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
3.3多自由度系统的固有频率和模态
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程： MX KX 0
（自由振动方程）
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，
建立动力学方程的影响系数法
2021/4/24
《机械动力学》
1
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
小结：
• 多自由度系统的位移方程： DMX X DF
• 柔度矩阵：
位移的量纲
柔度矩阵dij的含义为系统仅在第 j 个坐标受到单位 力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移
柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵
DK I
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法
2021/4/24
《机械动力学》
8
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程：
（自由振动方程）
MX KX 0
和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率 为振动频率
方程解耦，变成了两个单自由度问题
使系统运动微分方程不存在耦合，成为相互独立方程的坐标 称为主坐标
2021/4/24
《机械动力学》
5
多自由度系统振动 / 固有频率和模态
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变
换关系：
X TY
其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：
MDF
一组N个常微分方程，基本未知量u(t)，方程组需要 一组N个常微分方程，基本未知量u(t)，方程组需要 联立求解
3.2 MDF运动方程 MDF运动方程 （地震作用）
结构绝对位移等于准静位 移（quasi移（quasi-static displacements）与相对位 displacements）与相对位 移之和 准静位移是基础位移引起 的各质点的位移
MDF自振频率和振型 MDF自振频率和振型 的求解是特征值求解 问题 特征方程（频率方程）
展开行列式，关于ω 展开行列式，关于ωn2 的N次代数方程 ωn2 的N个正实根，可 以定出结构的N 以定出结构的N个自振 频率ω n=1,2,…,N） 频率ωn（n=1,2,…,N）
u(t ) = φ n ( An cos ωnt + Bn sin ωn t ) && mu + ku = 0 [−ωn mφ n + kφ n ]qn (t ) = 0
阻尼力和阻尼矩阵
& f D = cu & f D1 c11 c12 L c1N u1 f c u D1 21 c22 L c2 N &2 = M M M M M f DN c N 1 c N 2 L c NN u N & & & & f Di = ci1u1 + ci 2u 2 + L + ciN u N
&& & && mu + cu + ku = −mLu g (t ) u j (t ) = u j (t ) + u j (t )
t s
3.2 MDF运动方程 MDF运动方程 （地震作用）
结构绝对位移等于准静位 移（quasi移（quasi-static displacements）与相对位 displacements）与相对位 移之和 准静位移是基础位移引起 的各质点的位移
MDF自振频率和振型 MDF自振频率和振型 的求解是特征值求解 问题 特征方程（频率方程）
展开行列式，关于ω 展开行列式，关于ωn2 的N次代数方程 ωn2 的N个正实根，可 以定出结构的N 以定出结构的N个自振 频率ω n=1,2,…,N） 频率ωn（n=1,2,…,N）
u(t ) = φ n ( An cos ωnt + Bn sin ωn t ) && mu + ku = 0 [−ωn mφ n + kφ n ]qn (t ) = 0
阻尼力和阻尼矩阵
& f D = cu & f D1 c11 c12 L c1N u1 f c u D1 21 c22 L c2 N &2 = M M M M M f DN c N 1 c N 2 L c NN u N & & & & f Di = ci1u1 + ci 2u 2 + L + ciN u N
&& & && mu + cu + ku = −mLu g (t ) u j (t ) = u j (t ) + u j (t )
t s
2016春华南理工建筑结构抗震随堂练习答案
2016年春华南理工网络教学建筑结构抗震随堂练习答案第一章结构抗震设计的基本知识·1.1地震的基本知识1.建筑抗震设计中所提到的地震主要指（）A.构造地震B.火山地震C.陷落地震D.诱发地震答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.下列关于地震波的说法错误的是（）A.地震波只有纵波和横波两种B.纵波相对于横波来说，周期较短，振幅较小C.横波的传播方向和质点振动方向垂直，纵波的传播方向和质点震动方向一致D.建筑物和地表的破坏主要以面波为主答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.关于地震震级和地震烈度，下列说法正确的是（）A.两者都是表达地震发生时能量的大小B.一次地震只有一个震级一个烈度C.一次地震只有一个震级，但不同地区的地震烈度不同D.震级表达地震时建筑物的破坏程度，烈度表达地震释放的能量大小答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.地震烈度和下列哪些因素无关（）A.地震的震级B.地震的持续时间C.震中距D.地震的类型答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.近震与远震，下列说法中（）是正确的?A.近震指距震中距离较近的地震B.远震的地震影响比近震要小；C.远震是某地区所遭受地震影响来自设防烈度比该地区设防烈度大二度或二度以上地区的地震；D.震级较大、震中距较远的地震，对周期较短的刚性结构的破坏，比同样烈度震级较小，震中距较近的破坏要重。
答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.实际地震烈度与下列何种因素有关（）A.建筑物类型B.离震中的距离C.行政区划D.城市大小答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.2地震的活动性1.以下地区不是世界主要地震带的是（）。
A．环太平洋地震带 B.沿北冰洋、大西洋和印度洋中主要山脉的狭窄浅震活动带C．南极洲 D.欧亚地震带答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.3地震震害1.地震的次生灾害有（）。