控制系统典型的输入信号
机械工程控制基础填空题
.1.线性系统和非线性系统的根本区别在于线性系统满足迭加原理，非线性系统不满足迭加原理。
2．令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的特征方程3． 时域分析法研究自动控制系统时最常用的典型输入信号是阶跃函数4．设控制系统的开环传递函数为G(s)=)2s )(1s (s 10++，该系统为I 型系统5．二阶振荡环节的相频特性)(ωθ，当∞→ω时，其相位移)(∞θ为-180° 6. 根据输入量变化的规律分类，控制系统可分为 恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统7．采用负反馈连接时，如前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则其等效传递函数为 )s (H )s (G 1)s (G +8． 一阶系统G(s)=1+Ts K 的时间常数T 越大，则系统的输出响应达到稳态值的时间(越长) 9．拉氏变换将时间函数变换成复变函数 10．线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 11．若某系统的传递函数为G(s)=1Ts K +，则其频率特性的实部R(ω)是 22T1K ω+12. 微分环节的频率特性相位移θ(ω)= 90° 13. 积分环节的频率特性相位移θ(ω)= -90° 14.传递函数反映了系统的动态性能，它与系统的结构参数有关15. 系统特征方程式的所有根均在根平面的左半部分是系统稳定的充分必要条件 16. 有一线性系统，其输入分别为u 1(t)和u 2(t)时，输出分别为y 1(t)和y 2(t)。
当输入为a 1u 1(t)+a 2u 2(t)时(a 1,a 2为常数)，输出应为a 1y 1(t)+a 2y 2(t)17. I 型系统开环对数幅频渐近特性的低频段斜率为-20(dB/dec)18. 设系统的传递函数为G(s)=255252++s s ，则系统的阻尼比为2119．正弦函数sin t ω的拉氏变换是 22s ω+ω20．二阶系统当0<ζ<1时，如果增加ζ，则输出响应的最大超调量%σ将 减小21．主导极点的特点是距离虚轴很近 22．余弦函数cos tω的拉氏变换是22s sω+23．设积分环节的传递函数为G(s)=s1，则其频率特性幅值M(ω)=ω124. 比例环节的频率特性相位移θ(ω)= 0° 25. 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的.开环幅相频率特性来判据闭环系统稳定性的一个判别准则。
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
典型输入信号
典型输入信号控制系统的动态性能可以通过其在输入信号作用下的响应过程来评价，其响应过程不仅与其本身的特性有关，也与外加输入信号的形式有关。
通常情况下，系统所受到的外加输入情号中，有些是确定性的，有些是具有随机性而事先无法确定的。
在分析和设计控制系统时，为了便于对控制系统的性能进行比较，通常选定几种具有典型意义的试验信号作为外加的输入信号，这些信号称为典型输入信号。
所选定的典型输入信号应满足：数学表达式尽可能简单，尽可能反映系统在实际工作中所受到的实际输入，容易在现场或实验室获得，同时该信号能够使系统工作在最不利情况。
常用的典型输人情号包括以下五种。
1．阶跃输入阶跃输入定义为这里，只为阶跃输入的幅值，只＝l时的阶跃输人称为单位阶跃输入。
阶压输入的波形如图3．1(a)所示。
工程实际中，电源电压的突然波动、负载的突然改变等都可视为阶跃输人形式的外作用。
一般将系统在阶跃输入信号作用下的响应特性作为评价系统动态性能的主要依据。
2．斜坡输入斜坡输入也称为速度输入，其定义为3．1(b)所示。
防空系统中，当雷达跟踪的目标以恒定速率飞行时用之下。
3．加速度输入加速度输入也称为抛物线输入，其定义为式中，R为加速度输入的加速度值．只＝1时的加速度输入称为单位加速度输入。
加速度输入的波形如图3．1(c)所示。
防空系统中，当雷达跟踪的目标作机动飞行时，可avx视为该系统工作于加速度输人作用之下。
4．单位脉冲输入单位脉冲输入通常用8(Z)表示，其定义为单位脉冲输入如图3．1(d)所示。
脉冲输入在现实中是不存在的，只有数学上的定义，但它却是一个重要而有效的数学工具。
在控制理论研究中．单位脉冲输人也具有重要的作用。
例如，一个任意形式的外作用可以分解为不同时刻一系列脉冲输入之和，这样，通过研究系统在脉冲输入作用下的响应特性，便可以了解其在任意形式作用下的响应特性。
5．正强输入正弦输入的定义为式中，A为正弦输入的幅值，。
为正弦输入的角频率。
典型输入信号及暂态性能指标
5）超调量σ ％
指响应的最大值h(tp)超过稳态值h(∞)的百分数，即 %
h(t p ) h() h ( )
100%
6）振荡次数N
指在调节时间ts内，h(t)偏离h(∞)振荡的次数，即
N
ts 。 T
h(t)
a
误差范围±0.05h（∞） 或±0.02h（∞）
0.5h（∞） 0.1h（∞） 0 td tr tp ts t
2）上升时间tr
指响应曲线第一次达到稳态值h(∞) 所需的时间。
3）峰值时间tp
指响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间。
4）调节时间ts
指响应曲线到达并保持在稳态值±5％（或±2％）内所需的时间。
指系统在典型信号作用下，系统输出量从初始 状态到最终状态度相应过程。 表现形式：衰减、发散或等幅振荡。
2）稳态过程
指系统在典型信号作用下，当时间t趋于无穷时， 系统输出量的表现方式。 衡量标准：稳态精度。
2、暂态性能指标
1）延迟时间td
指响应曲线第一次达到稳态值 0.5h(∞)所需的时间。
h(tp) h（∞）
第三章 自动控制系统的时域分析
§3-1 典型输入信号及暂态性能指标
一．典型输入信号
1、阶跃函数
A t 0 r (t ) 0 t 0
r(t) A t
A=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(s)=1/s。
2、斜坡函数
r(t)
Bt r (t ) 0
t 0 t 0
R
0 t t 0, t
当
R 时，则称为单位脉冲函数。 1 t 0 (t ) 0 t 0 R(s) 1
自动控制原理及应用课件(第三章)
即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中，待定系数分别为A1=1，A2=-1，A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
R(s) A0 s2
3．抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中，A0为常数。
当A0=1时，称为单位抛物线信 号，也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示，它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4．脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号，其数学表达式为
0 t < 0；t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4（a）所示，
当A0=1时，若令脉宽 →0，则
称为单位理想脉冲函数，记作
(t)，单位脉冲函数如图3-4（
b）所示， (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换，则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡，超调量为100％，振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛，系统处于临界稳定状 态。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
控制系统典型的输入信号
第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00 ,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。
它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。
3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。
单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
自动控制原理(3)
# 3—3 一阶系统分析 四、一阶系统的单位脉冲响应 R(s)=1 C(s)=[1/(Ts+1)]*1 -1 Ct(t)=L [1/(Ts+1)] --t/T K(t)=(1/T)*e (t > 0) 响应初始斜率： 响应初始斜率： 1/T dk(t)/dt|t=0 --t/T 2 = --(1/T )*e 1/2T 2 = --1/T
# 3—3 一阶系统分析 3— 3、性能指标 、 1）暂态性能 ） 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 所以性能指标主要 是调节时间ts，它表征 系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输 系统过渡过程的快慢。由于 时 出响应可达稳定值的95%；t=4T时，输 出响应可达稳定值的 ； 时 出响应可达稳定值的98%，故一般取： 出响应可达稳定值的 ，故一般取： ts=3T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为5%） ts=4T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为2%） 显然，系统的时间常数T越小，调节 显然，系统的时间常数 越小， 越小 就越小，响应过程的快速性也好。 时间ts就越小，响应过程的快速性也好。
0 T 2T 3T 4T 3/2T
# 3—3 一阶系统分析 五、三种响应之间的关系 Ct(t) = ∫ = ∫ (1-e )dt (t > 0 ) 0 --t/T = t – T+Te
超调 量 0.9 0.5 0.1 tr 峰值 tp ts td
误差带
# 3—3 一阶系统分析 3—
由一阶微分方程描述的系统即 为一阶系统，一些控制元、 为一阶系统，一些控制元、部件 及简单系统如R——C网络，发 网络， 及简单系统如 网络 电机，空气加热器， 电机，空气加热器，液面控制系 统等。 统等。
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第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。
它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。
3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。
单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
1 动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。
上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。
峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。
调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。
超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即 σ％100)()()(⨯∞∞-=h h t h p ％在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。
2 稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。
稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。
一阶系统的阶跃响应一. 一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为11111)()()(+-=•+=•Φ=Ts Ts s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得t Tec(t)11--=或写成tt ss c c c(t)+=式中，c ss =1，代表稳态分量；t Tttec 1--=代表暂态分量。
当时间t 趋于无穷，暂态分量衰减为零。
显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。
响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。
一阶系统的单位阶跃响应二阶系统的阶跃响应典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2)1(/1)1(/2222nn ns s ωζωω++= 式中K v --开环增益；ωn --无阻尼自然频率或固有频率，mvn T K =ω； ζ--阻尼比，mn T ωζ21=。
二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0其特征根为n s ωζζ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±-=122,11. 临界阻尼(ζ=1)其时域响应为())1(1t et c n tn ωω+-=-上式包含一个衰减指数项。
c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。
(a) (b) (c)ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应2. 过阻尼(ζ＞1)具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。
其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。
图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼（0<ζ＜1）图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应4. 无阻尼(ζ＝0)())(222nns s s C ωω+=其时域响应为()t t c n ωcos 1-=在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应5. 负阻尼（ζ＜0）当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而tn e ζω-为发散的，系统是不稳定的。
显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。
下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。
欠阻尼二阶系统的动态性能指标1. 上升时间t r上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。
21ζωθπωθπ--=-=n d r t 由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。
固有频率ωn 越大，t r 越小，反之则t r 越大。
2. 峰值时间t p 及最大超调量M p21ζωπωπ-==n d p t最大超调量 πζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p最大超调百分数 %100.)()(%)1/(max 2πζζδ--=∞∞-=e c c c c3. 调整时间t s707.00 4)]1ln(214[1%)2( 707.00 3)]1ln(213[1%)5(22<<≈--=<<≈--=ζζωζζωζζωζζω，，nn s n n s t t图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ4. 振荡次数μ在调整时问t s 之内，输出c(t)波动的次数称为振荡次数μ，显然fst t =μ 式中 2122ζωπωπ-==n df t ，称为阻尼振荡的周期时间。
()122122++=TS S T s φ 这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为： 最大超调百分数%3.4%100)1/(%2=⨯=--πζζδe上升时间T t n r 7.412=--=ζωθπ调整时间()T t s 43.8%2=(用近似式求得为8T) ()T t s 14.4%5=(用近似式求得为6T)有一位置随动系统其中K k ＝4。
求该系统的(１)固有频率；(2)阻尼比；(3)超调量和调整时间；(4)如果要求实现工程最佳参数ζ＝l ／2，开环放大系数k k 值应是多少？【解】系统的闭环传递函数为 ()kkK s s K s ++=2φ 4=k K 与二阶系统标准形式的传递函数()2222nn ns s s ωζωωφ++= 对比得：(1) 固有频率24===k n K ω(2) 阻尼比 由12=n ζω得 25.021==nωζ(3) 超调()%47%100%)1/(2=⨯=--ne ζζδ(4) 调整时间()s t ns 63%5=≈ξω当要求21=ζ时，由12=n ζω 得 5.0,212===n k n K ωω可见该系统要满足工程最佳参数的要求，须降低开环放大系数k K 的值。
但是，降低kK 值将增大系统的误差。
劳斯稳定判据将系统的特征方程式写成如下标准式0122110=+++++---n n n n n a s a sa s a s a ΛΛ 将各系数组成如下排列的劳斯表1112124321343212753116420g s f s e e s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s on n n nM M M M M M ΛΛΛΛΛΛΛΛ---表中的有关系数为130211a a a a a b -=150412a a a a a b -=170613a a a a a b -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ系数i b 的计算，一直进行到其余的b 值全部等于零为止。
121311b b a a b c -=131512b b a a b c -=141713b b a a b c -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ这一计算过程，一直进行到 n 行为止。
为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
(l) 第一列所有系数均不为零的情况 第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。
方程式的根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是，方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。
例如， 三阶系统的特征方程式为0322130=+++a s a s a s a列出劳斯表为3130211312203a s a a a a a s a a s a a s -则系统稳定的充分必要条件是00>a ，01>a ，02>a ，03>a ，0)(3021>-a a a a系统的特征方程为054322345=+++++s s s s s 试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表532059031532411012345s s ss s s -由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9。