第三章 时间响应分析(第8讲)
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第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
第三章 时间响应分析
(t 0)
单位阶跃响应曲线：
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
特点：
1 et T
x
t T
T
0 2 4 6 8 10
(1)瞬态响应为 e T ，稳态值为1； (2)单调上升的指数曲线； (3)T表示系统输出以最大初速达到 稳态值所需的时间 xo(T)=0.632 (4)当T ↓，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。
第三章
基本要求
时间响应分析
(1)了解系统时间响应的组成； (2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；
(3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系， 其输出也存在微积分关系的基本结论；
r (t ) t 1 u (t )
xor (t ) 1 e
t
T
xou (t )
u(t ) (t )
输入：
输出：
单位脉冲 =
单位脉冲响应 =
1 tT xo (t ) e w(t ) T
d d 单位阶跃 = 单位斜坡 dt dt
d d 单位阶跃响应 = 单位斜 坡响应。 dt dt
= 0.1 0.3 0.5 0.7
n =1
0.9 1.0 1.2
5 10 15
二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减小，其振 荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当 ＝0时达到等幅振荡. 在 =1和 >1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过 程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 =1时的过渡过 程时间最短。工程上通常使 =0.4～0.8之间，其超调不大，过渡过程 较短。
单位阶跃响应曲线：
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
特点：
1 et T
x
t T
T
0 2 4 6 8 10
(1)瞬态响应为 e T ，稳态值为1； (2)单调上升的指数曲线； (3)T表示系统输出以最大初速达到 稳态值所需的时间 xo(T)=0.632 (4)当T ↓，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。
第三章
基本要求
时间响应分析
(1)了解系统时间响应的组成； (2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；
(3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系， 其输出也存在微积分关系的基本结论；
r (t ) t 1 u (t )
xor (t ) 1 e
t
T
xou (t )
u(t ) (t )
输入：
输出：
单位脉冲 =
单位脉冲响应 =
1 tT xo (t ) e w(t ) T
d d 单位阶跃 = 单位斜坡 dt dt
d d 单位阶跃响应 = 单位斜 坡响应。 dt dt
= 0.1 0.3 0.5 0.7
n =1
0.9 1.0 1.2
5 10 15
二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减小，其振 荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当 ＝0时达到等幅振荡. 在 =1和 >1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过 程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 =1时的过渡过 程时间最短。工程上通常使 =0.4～0.8之间，其超调不大，过渡过程 较短。
第3章 系统的时间响应分析
第3章 系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成一、时间响应的概念所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ，因变量为输出()[()]o x t y t二、时间响应的组成分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。
ω。
应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为nω与作用力频率ω无关，由响应并不完全自由。
因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类：按振动性质可分为自由响应与强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）Array所以我们的研究对象是：零状态响应。
另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。
反映了系统的快、稳特性。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。
反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡第3.2节 典型的输入信号由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型信号的时间响应。
不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同，反映出各种系统动态特性的差异，从而可以定出相应的性能指标，对系统的性能予以评定。
尽管在实际中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统，所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
机械控制工程基础第三章 时间响应分析
第三章 时间响应分析
基本要求、重点和难点
一、基本要求
（1）了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部 对系统自由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关 系。 （2）了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特 点。 （3）掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位 脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线 的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也 存在微分关系的基本结论。 （4）掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响 应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间 的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的 关系。 （5）了解主导极点的定义及作用； （6）掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌 握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以 及干扰对系统偏差的影响。 （7）了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 二、本章重点 （1）系统稳定性与特征根实部的关系。 （2）一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单 位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 （3）二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、 单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关 系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 （4）系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态 误差的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影 响。 三、本章难点 （1）二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状 及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义 及其与系统特征参数之间的关系。 （2）系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影 响。 第一节 时间响应及其组成
基本要求、重点和难点
一、基本要求
（1）了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部 对系统自由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关 系。 （2）了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特 点。 （3）掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位 脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线 的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也 存在微分关系的基本结论。 （4）掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响 应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间 的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的 关系。 （5）了解主导极点的定义及作用； （6）掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌 握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以 及干扰对系统偏差的影响。 （7）了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 二、本章重点 （1）系统稳定性与特征根实部的关系。 （2）一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单 位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 （3）二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、 单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关 系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 （4）系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态 误差的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影 响。 三、本章难点 （1）二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状 及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义 及其与系统特征参数之间的关系。 （2）系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影 响。 第一节 时间响应及其组成
时间响应分析
本章重点
(1)一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(2)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系， 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(3)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差 的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的 影响。
Xi (s)
1 Xo(s) T s +1
G(s) Xo (s) 1 X i (s) Ts 1
T：一阶系统的时间常数
2. 一阶系统的单位阶跃响应
输出信号拉氏变换为：
Xo
(s)
G(s) X
i
(s)
1 Ts 1
1 s
时间响应为：
xo (t)
L1[X o
(s)]
L1[ 1 ] s(Ts 1)
1
e tT
6
5
4
3
2 1
xo
(t)
t
T
Te
t T
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(t 0)
5. 一阶系统典型信号输入与输出的关系
r(t) t 1 u(t)
u(t) (t)
xor (t) 1 e tT xou (t)
xo (t )
1 T
e
t T
w(t )
输入：
单位脉冲= d 单位阶跃= d 单位斜坡
（1）定义：
u(t
)
1 0
t0 t0
（2）L变换：
L[u(t)] 1 s
u (t) 1
t
第三章时间响应分析
二、典型输入信号 1、定义: 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动， 扰动通常是随机的，即使控制输入，有时其函数形式 也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较 不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的 输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系 统的典型输入信号。
7
2、作用: 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于 在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输 入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只 要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：
名 单位阶跃信号 称 时域表达式 复数域表达式 1(t)，t0
1 s 1
s2 1 s3
单位速度(斜坡)信号 t， t0
单位加速度信号 单位脉冲信号
正弦信号
1 2 t , t0 2
(t)，t=0
Asint
1
A s2 2
9
5、典型输入信号的选择原则
能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可 选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐 变化，则可选速度信号。
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该 输入信号响应的导数。
同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系 统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初 始条件确定。 这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性 定常系统均成立。
19
6、不同时间常数下的响应情况
由上图可知，T越大，惯性越大。 一阶系统的性能指标：ts,它是一阶系统在阶跃输入 作用下，达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许 误差)。
因在定义系统的传递函 数时，已指明系统的初 态为零，故取
的输出为y ' (t )
5
3第三章 系统的时间响应分析
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
第三章系统时域响应分析
2
(t) 1
t n
c
os
t
t n
s
in
t
x e e o
d
2
d
1
1 nt (cos t sin t)
e d
2
d
1
t
n
2
1
e 1
sin( t arctg
)
2
d
xo(t)
1
1
0
t
说明
（1）系统阶次n和特征根si取决于系统的固有特性， 与系统的初态无关；
（2）因传递函数G(S)定义的前提为：零初始状态 ∴由拉氏逆变换求得xo(t)=L-1[G(S).Xi(S)]为系统的 零状态响应，即系统在零初始状态下，仅有输入 引起的响应。
（3）瞬态响应和稳态响应
若所有的特征根（极点）均具有负实部Re[si]<0，则 自由响应最终趋于零，即收敛，此时系统稳定。 对应的自由响应——瞬态响应
d n)2
d
2
n 2
1
x (t) L1[G(s)] o jω
n
t
n
s
in
t
e 2
d
1
xo(t)
s1
0
t
s2
(t)
n
t n
s
in
t
x e o
2
d
1
jω
s1
2
s j 1
1,2
1,2
n
n
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X or (s )
1 X 0r ( s) = X i (s) H ( s) X i (s)
1 H (s)
⊗
E (s)
−
⊗
E1 ( s )
−
G (s )
X o (s)
H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图
又 E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 误差与偏差的关系为：
E ( s) = H ( s) E1 ( s)
3.6.5 与干扰有关的稳态偏差 输入信号为零时，系统在干 扰信号作用下的稳态偏差反 映了系统的抗干扰能力。
X i (s )
B (s )
−
⊗
E (s )
G1 ( s )
N (s )
⊗
H (s )
X 0 (s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
E ( s) = X i ( s) − B( s) = − B( s) = − X o ( s) H ( s)
E ( s ) = X i ( s ) − B( s )
系统的误差和偏差之间的关系 引入反馈的目的在于利用偏差对系统的输出进行 控制。在输出等于理想输出的时刻，系统无须反 馈回路进行调节，此时系统的偏差为零。故当
X 0 r ( s ) = X 0 ( s ) 时，有：
E ( s) = X i ( s) − B( s) = X i ( s) − X 0 ( s) H ( s) = X i ( s) − X 0r ( s) H ( s) = 0
1 − K 2G20 ( s) −1 ess = lim[ s ⋅ ⋅ ]= s →0 s 1 + K1K 2G10 ( s)G20 ( s) K + 1 1 K2 K1、 K 2 分别为 G1 ( s)、G2 ( s) 的放大系数。可见， 1、 K 2 K
X i (s)
B(s)
−
⊗
E(s)
G1(s)
N (s)
⊗
H (s )
X 0 ( s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
1 ε ss = lim ε (t ) = lim sE ( s ) = lim s X i (s) t →∞ s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s )
系统的稳态偏差不仅与系统的结构和参数有关，而 且与系统输入特性的参数有关。
稳态偏差总述
⑴稳态偏差与输入信号的形式有关； 位置信号、速度信号、加速度信号分别对应于阶跃信号、 斜坡信号、抛物线信号，输入该信号引起的稳态偏差分 别称之为稳态位置误差系数、稳态速度误差系数、稳态 加速度误差系数，或称为位置无偏系数、速度无偏系数、 加速度无偏系数，它们表示了稳态的精度。 无偏系数越大，精度越高； 无偏系数为零时稳态偏差为，不能跟随输出； 无偏系数为时稳态无差。
K K = lim ν −2 , K 为加速度无偏系数。 a sν s →0 s
0、Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
K a = 0， ε ss = 1 K a = ∞ K a = K， ε ss = 1 K a = 1 K
Ⅲ型或Ⅲ型以上系统 K a = ∞，ε ss = 1 K a = 0 结论：0、Ⅰ型系统不能跟随斜坡输入，因其稳态偏差 为∞；Ⅱ型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差， 可以通过增大K来减小偏差；Ⅲ型或高于Ⅲ型系统对斜 坡输入响应的稳态是无差的（P102图3.6.5）。
K K P = lim G K ( s ) = lim ν 为位置无偏系数。 s →0 s →0 s
ε ss 0型系统为有差系统， =
1 1 = 1+ KP 1+ K
,K越大偏差越小。
Ⅰ型和Ⅱ型系统,
K P = lim
s →0
K ε = ∞ ，ss = 0 ，为无差系统。 ν s
结论：有积分环节的系统，系统阶跃响应的稳态值是 无差的，无积分环节系统则是有差的。可以用提高放 大倍数K的方法来减少误差，但过大的K会影响系统的 稳定性。
X i (s )
N (s )
+⊗ B (s )
E (s )
G1 ( s ) +
+
⊗
X 0 (s)
G2 ( s )
H (s )
反馈控制系统的典型结构
3.6.1 系统的误差与偏差
设控制系统的理想输出为 x 0 r (t ) ，实际输出为 x 0(t ) ， 系统误差定义为：e(t ) = x0 r (t ) − x0 (t ) 拉氏变换为： E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 系统的偏差是在输入端定义的，即系统的输入与反 馈之差： ε (t ) = xi (t ) − b(t ) 拉氏变换为：
令
Φ X i ( s) =
1 − GX i (s) ， Φ (s) = −G (s) N N H ( s)
得：E1 (s) = X 0r (s) − X 0 (s) = X i (s) − GX (s) X i (s) − GN (s) N (s)
H ( s)
i
=[
1 − GX i (s)]X i (S ) + [−GN (s) N (s)] = Φ X i (s) X i (S ) + Φ N (s) N (s) H ( s)
⑵增加系统的型别时，系统的准确度将提高，但稳定 性将变差； ⑶由线性系统叠加原理，当输入上述多种典型信号的 组合时，输出量的稳态误差为它们分别作用时产生 的稳态误差之和； ⑷对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。对于 非单位反馈系统，可用式
1 E1 ( s ) = E (s) H (s)
将稳态偏差换算成稳态误差进行处理。
若实数极点距虚轴较近，而共轭复极点距 虚轴较远时，取决于实数极点。 一般情况下，一阶因子引起非周期指数衰 减，二阶欠阻尼因子则引起阻尼振荡。 在研究高阶系统时，可以将系统的过渡过 程近似地由主导极点所决定的二阶振荡系统 的过渡过程所代替。
3.6 系统误差分析与计算
系统的误差是指期望的输出与实际输出之间的差。 系统的输出量由瞬态响应和稳态响应构成，系统误 差也分为瞬态误差和稳态误差，它们都是由系统本身 的结构和输入量及其导数的连续变化引起的。
⑶当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差为：
ε ss
1 1 1 = lim sE ( s ) = lim s = X i ( s ) = lim 2 s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s H ( s )G ( s ) Kα
s →0 s →0
K a = lim s 2GK ( s ) = lim s 2
X i (s) E(s)
N (s)
B(s)
−
⊗
G1(s)
⊗
H (s )
X 0 (s)
G2 ( s)
反馈控制系统的典型结构
G1(s)G2 (s) Xi (s) G2 (s)N(s) 1 = + X 0r ( s) = X i ( s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) ,由于 H (s)
G0 ( s ) =
∏ (T s + 1)
i
∏ (T s + 1)
i j =1
i =1 n
lim G
s →0
0
( s) = 1
KG0 ( s) GK ( s) = sγ
⑴当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为：
ε ss = lim sE ( s ) = lim s
s →0 s →0
1 1 1 X i ( s ) = lim = s →0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + H ( s )G ( s ) 1+ KP
⑵当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差为：
1 1 1 X i ( s ) = lim ε ss = lim sE ( s ) = lim s = s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 sH ( s )G ( s ) KV K K KV = lim sGK ( s ) = lim s ν = lim ν −1 ，K V 为速度无偏系数。 s →0 s →0 s s →0 s
X or (s)
1 H ( s)
X i (s)
⊗ −
E (s)
G(s)
⊗ − X (s) o
E1 ( s)
H (s)
1 E (s) H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图
或
E1 ( s ) =
对单位反馈系统，有 H ( s ) = 1 从而： 偏差=误差
3.6.2 误差e(t)的一般计算
在一般情况下，输入信号 X i (s) 和干扰信号 N (s) 同时 作用于系统，如常用反馈控制系统典型结构图：
e Φ X i ( s ) 为无干扰信号[n(t ) = 0]时误差[ (t ) ]对输入信号
[xi (t)] 的传递函数。
Φ N ( s ) 为无输入信号时[ xi (t ) = 0]误差对干扰信号的传函。
二者总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参 数对误差的影响。
3.6.3 系统的稳态误差与稳态偏差
0型系统 KV = 0，ε ss = 1 KV = ∞ Ⅰ型系统 KV = K， ε ss = 1 KV = 1 K Ⅱ型或Ⅱ型以上系统 KV = ∞，ε ss = 0 结论：0型系统不能跟随斜坡输入，因其稳态偏差为 ∞；Ⅰ型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，可 以通过增大K来减小偏差；Ⅱ型或高于Ⅱ型系统对斜坡 输入响应的稳态是无差的（P101图3.6.4） 。
X i (s)
B(s)
−
⊗
E(s)
1 X 0r ( s) = X i (s) H ( s) X i (s)
1 H (s)
⊗
E (s)
−
⊗
E1 ( s )
−
G (s )
X o (s)
H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图
又 E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 误差与偏差的关系为：
E ( s) = H ( s) E1 ( s)
3.6.5 与干扰有关的稳态偏差 输入信号为零时，系统在干 扰信号作用下的稳态偏差反 映了系统的抗干扰能力。
X i (s )
B (s )
−
⊗
E (s )
G1 ( s )
N (s )
⊗
H (s )
X 0 (s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
E ( s) = X i ( s) − B( s) = − B( s) = − X o ( s) H ( s)
E ( s ) = X i ( s ) − B( s )
系统的误差和偏差之间的关系 引入反馈的目的在于利用偏差对系统的输出进行 控制。在输出等于理想输出的时刻，系统无须反 馈回路进行调节，此时系统的偏差为零。故当
X 0 r ( s ) = X 0 ( s ) 时，有：
E ( s) = X i ( s) − B( s) = X i ( s) − X 0 ( s) H ( s) = X i ( s) − X 0r ( s) H ( s) = 0
1 − K 2G20 ( s) −1 ess = lim[ s ⋅ ⋅ ]= s →0 s 1 + K1K 2G10 ( s)G20 ( s) K + 1 1 K2 K1、 K 2 分别为 G1 ( s)、G2 ( s) 的放大系数。可见， 1、 K 2 K
X i (s)
B(s)
−
⊗
E(s)
G1(s)
N (s)
⊗
H (s )
X 0 ( s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
1 ε ss = lim ε (t ) = lim sE ( s ) = lim s X i (s) t →∞ s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s )
系统的稳态偏差不仅与系统的结构和参数有关，而 且与系统输入特性的参数有关。
稳态偏差总述
⑴稳态偏差与输入信号的形式有关； 位置信号、速度信号、加速度信号分别对应于阶跃信号、 斜坡信号、抛物线信号，输入该信号引起的稳态偏差分 别称之为稳态位置误差系数、稳态速度误差系数、稳态 加速度误差系数，或称为位置无偏系数、速度无偏系数、 加速度无偏系数，它们表示了稳态的精度。 无偏系数越大，精度越高； 无偏系数为零时稳态偏差为，不能跟随输出； 无偏系数为时稳态无差。
K K = lim ν −2 , K 为加速度无偏系数。 a sν s →0 s
0、Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
K a = 0， ε ss = 1 K a = ∞ K a = K， ε ss = 1 K a = 1 K
Ⅲ型或Ⅲ型以上系统 K a = ∞，ε ss = 1 K a = 0 结论：0、Ⅰ型系统不能跟随斜坡输入，因其稳态偏差 为∞；Ⅱ型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差， 可以通过增大K来减小偏差；Ⅲ型或高于Ⅲ型系统对斜 坡输入响应的稳态是无差的（P102图3.6.5）。
K K P = lim G K ( s ) = lim ν 为位置无偏系数。 s →0 s →0 s
ε ss 0型系统为有差系统， =
1 1 = 1+ KP 1+ K
,K越大偏差越小。
Ⅰ型和Ⅱ型系统,
K P = lim
s →0
K ε = ∞ ，ss = 0 ，为无差系统。 ν s
结论：有积分环节的系统，系统阶跃响应的稳态值是 无差的，无积分环节系统则是有差的。可以用提高放 大倍数K的方法来减少误差，但过大的K会影响系统的 稳定性。
X i (s )
N (s )
+⊗ B (s )
E (s )
G1 ( s ) +
+
⊗
X 0 (s)
G2 ( s )
H (s )
反馈控制系统的典型结构
3.6.1 系统的误差与偏差
设控制系统的理想输出为 x 0 r (t ) ，实际输出为 x 0(t ) ， 系统误差定义为：e(t ) = x0 r (t ) − x0 (t ) 拉氏变换为： E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 系统的偏差是在输入端定义的，即系统的输入与反 馈之差： ε (t ) = xi (t ) − b(t ) 拉氏变换为：
令
Φ X i ( s) =
1 − GX i (s) ， Φ (s) = −G (s) N N H ( s)
得：E1 (s) = X 0r (s) − X 0 (s) = X i (s) − GX (s) X i (s) − GN (s) N (s)
H ( s)
i
=[
1 − GX i (s)]X i (S ) + [−GN (s) N (s)] = Φ X i (s) X i (S ) + Φ N (s) N (s) H ( s)
⑵增加系统的型别时，系统的准确度将提高，但稳定 性将变差； ⑶由线性系统叠加原理，当输入上述多种典型信号的 组合时，输出量的稳态误差为它们分别作用时产生 的稳态误差之和； ⑷对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。对于 非单位反馈系统，可用式
1 E1 ( s ) = E (s) H (s)
将稳态偏差换算成稳态误差进行处理。
若实数极点距虚轴较近，而共轭复极点距 虚轴较远时，取决于实数极点。 一般情况下，一阶因子引起非周期指数衰 减，二阶欠阻尼因子则引起阻尼振荡。 在研究高阶系统时，可以将系统的过渡过 程近似地由主导极点所决定的二阶振荡系统 的过渡过程所代替。
3.6 系统误差分析与计算
系统的误差是指期望的输出与实际输出之间的差。 系统的输出量由瞬态响应和稳态响应构成，系统误 差也分为瞬态误差和稳态误差，它们都是由系统本身 的结构和输入量及其导数的连续变化引起的。
⑶当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差为：
ε ss
1 1 1 = lim sE ( s ) = lim s = X i ( s ) = lim 2 s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s H ( s )G ( s ) Kα
s →0 s →0
K a = lim s 2GK ( s ) = lim s 2
X i (s) E(s)
N (s)
B(s)
−
⊗
G1(s)
⊗
H (s )
X 0 (s)
G2 ( s)
反馈控制系统的典型结构
G1(s)G2 (s) Xi (s) G2 (s)N(s) 1 = + X 0r ( s) = X i ( s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) ,由于 H (s)
G0 ( s ) =
∏ (T s + 1)
i
∏ (T s + 1)
i j =1
i =1 n
lim G
s →0
0
( s) = 1
KG0 ( s) GK ( s) = sγ
⑴当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为：
ε ss = lim sE ( s ) = lim s
s →0 s →0
1 1 1 X i ( s ) = lim = s →0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + H ( s )G ( s ) 1+ KP
⑵当输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差为：
1 1 1 X i ( s ) = lim ε ss = lim sE ( s ) = lim s = s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 sH ( s )G ( s ) KV K K KV = lim sGK ( s ) = lim s ν = lim ν −1 ，K V 为速度无偏系数。 s →0 s →0 s s →0 s
X or (s)
1 H ( s)
X i (s)
⊗ −
E (s)
G(s)
⊗ − X (s) o
E1 ( s)
H (s)
1 E (s) H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图
或
E1 ( s ) =
对单位反馈系统，有 H ( s ) = 1 从而： 偏差=误差
3.6.2 误差e(t)的一般计算
在一般情况下，输入信号 X i (s) 和干扰信号 N (s) 同时 作用于系统，如常用反馈控制系统典型结构图：
e Φ X i ( s ) 为无干扰信号[n(t ) = 0]时误差[ (t ) ]对输入信号
[xi (t)] 的传递函数。
Φ N ( s ) 为无输入信号时[ xi (t ) = 0]误差对干扰信号的传函。
二者总称为误差传递函数，反映了系统的结构与参 数对误差的影响。
3.6.3 系统的稳态误差与稳态偏差
0型系统 KV = 0，ε ss = 1 KV = ∞ Ⅰ型系统 KV = K， ε ss = 1 KV = 1 K Ⅱ型或Ⅱ型以上系统 KV = ∞，ε ss = 0 结论：0型系统不能跟随斜坡输入，因其稳态偏差为 ∞；Ⅰ型系统可以跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，可 以通过增大K来减小偏差；Ⅱ型或高于Ⅱ型系统对斜坡 输入响应的稳态是无差的（P101图3.6.4） 。
X i (s)
B(s)
−
⊗
E(s)