第三章 平稳时间序列分析的ARIMA过程
SAS学习系列39. 时间序列分析Ⅲ—ARIMA模型
39. 时间序列分析Ⅱ——ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。
而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方法的不足。
时间序列数据分析的第一步都是要通过有效手段提取序列中所蕴藏的确定性信息。
Box 和Jenkins 使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。
而Gramer 分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。
（一）ARMA 模型即自回归移动平均移动模型，是最常用的拟合平稳时间序列的模型，分为三类：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
一、AR(p )模型——p 阶自回归模型 1. 模型：011t t p t p t x x x φφφε--=+++其中，0p φ≠，随机干扰序列εt 为0均值、2εσ方差的白噪声序列（()0t s E εε=, t ≠s ），且当期的干扰与过去的序列值无关，即E(x t εt )=0.由于是平稳序列，可推得均值011pφμφφ=---. 若00φ=，称为中心化的AR (p )模型，对于非中心化的平稳时间序列，可以令01(1)p φμφφ=---，*t t x x μ=-转化为中心化。
记B 为延迟算子，1()p p p B I B B φφΦ=---称为p 阶自回归多项式，则AR (p )模型可表示为：()p t t B x εΦ=.2. 格林函数用来描述系统记忆扰动程度的函数，反映了影响效应衰减的快慢程度（回到平衡位置的速度），G j 表示扰动εt -j 对系统现在行为影响的权数。
例如，AR(1)模型（一阶非齐次差分方程），1, 0,1,2,j j G j φ==模型解为0t j t j j x G ε∞-==∑.3. 模型的方差对于AR(1)模型，2221()()1t jt j j Var x G Var εσεφ∞-===-∑. 4. 模型的自协方差对中心化的平稳模型，可推得自协方差函数的递推公式：用格林函数显示表示：200()()i j t j t k j j kj i j j k G G E GG γεεσ∞∞∞---+=====∑∑∑对于AR(1)模型，21121()(0)1k k k εσγφγφφ==- 5. 模型的自相关函数 递推公式：对于AR(1)模型，11()(0)k k k ρφρφ==.平稳AR(p )模型的自相关函数有两个显著的性质： （1）拖尾性指自相关函数ρ(k)始终有非零取值，不会在k 大于某个常数之后就恒等于零；（2）负指数衰减随着时间的推移，自相关函数ρ(k)会迅速衰减，且以负指数k iλ（其中i λ为自相关函数差分方程的特征根）的速度在减小。
arima参数求解过程
arima参数求解过程
ARIMA（自回归综合移动平均模型）是一种常用的时间序列分析方法，用于预测未来的数据趋势。
ARIMA模型的参数求解过程涉及到确定自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）的阶数。
首先，我们需要确定差分阶数（d），即使时间序列变得平稳的差分次数。
这可以通过观察时间序列的自相关图和偏自相关图来进行初步判断。
如果时间序列在原始状态下不平稳，我们需要进行差分直到它变得平稳为止。
其次，我们需要确定自回归阶数（p）和移动平均阶数（q）。
这可以通过观察自相关图和偏自相关图来进行初步判断。
自相关图可以帮助确定移动平均项的阶数，而偏自相关图可以帮助确定自回归项的阶数。
一旦初步确定了差分阶数（d）、自回归阶数（p）和移动平均阶数（q），接下来可以使用最大似然估计或者信息准则（如AIC、BIC）来进行参数的精确估计。
这个过程通常涉及尝试不同的参数组合，然后选择使模型拟合最佳的参数组合。
最后，一旦确定了ARIMA模型的参数，就可以使用这些参数来拟合时间序列数据，并进行预测。
通常会使用软件工具（如Python 中的statsmodels库或者R语言中的forecast包）来进行ARIMA模型的参数求解和拟合。
需要注意的是，ARIMA模型参数的求解是一个复杂的过程，需要结合对时间序列数据的深入理解和统计建模的知识。
同时，参数的选择也可能涉及到一定的主观判断和经验积累。
因此，在使用ARIMA模型时，建议结合多种方法和经验来进行参数的选择和模型的建立。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
时间序列分析与ARIMA模型
时间序列分析与ARIMA模型时间序列分析是一种研究时间上连续测量所构成的数据的方法。
它可以用来分析数据中的趋势、周期性和随机性，并预测未来的走势。
ARIMA（自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一。
本文将介绍时间序列分析的基本概念以及ARIMA模型的原理和应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测数据。
在时间序列分析中，我们常常关注序列中的趋势（trend）、季节性（seasonality）和周期性（cycle）等特征。
趋势是指长期上升或下降的走势；季节性是指数据在相同周期内波动的规律性；周期性是指超过一年的时间内出现的规律性波动。
二、ARIMA模型的原理ARIMA模型是由自回归（AR）和滑动平均（MA）模型组成的。
AR模型用过去的观测值来预测未来的值，滑动平均模型则用过去的噪声来预测未来的值。
ARIMA模型是将这两种模型结合起来，对时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型包括三个主要部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和滑动平均阶数（q）。
p表示模型中的自回归项数目，d表示需要进行的差分次数，q表示模型中的滑动平均项数目。
通过对时间序列的观测值进行差分，ARIMA模型可以将非平稳的序列转化为平稳的序列。
然后，可以通过对平稳序列的自回归和滑动平均建模，预测未来的值。
三、ARIMA模型的应用ARIMA模型在实际应用中被广泛使用。
它可以用于经济学、金融学、气象学等领域中的时间序列预测和分析。
以股票市场为例，投资者可以利用ARIMA模型对历史股价进行分析，预测未来股价的走势。
在气象学中，ARIMA模型可以用于预测未来的天气情况。
除了ARIMA模型，时间序列分析还包括其他模型，如季节性分解、移动平均、指数平滑等。
这些模型都有各自的优点和应用领域。
在实际应用中，根据不同的数据特点和研究目的，选择合适的模型进行分析和预测是十分重要的。
总结时间序列分析和ARIMA模型是研究时间数据的重要方法。
时间序列中的ARIMA模型
时间序列中的ARIMA模型时间序列指的是一组按时间顺序排列的数据，这些数据通常都带有某种趋势、周期或季节性变化。
时间序列经常用于分析股票市场、商品价格、销售量等等。
因为随时间变化的规律性，使得时间序列分析成为了一种非常有效的预测方法。
而ARIMA模型则是对时间序列进行分析和预测的重要工具之一。
ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）又称为差分自回归滑动平均模型，是一种以时间序列自身的滞后值和移动平均值为基础，对时间序列进行拟合和预测的统计模型。
ARIMA模型是其他一些时间序列分析工具的基础，比如自回归移动平均模型（ARMA）和指数平滑模型等等。
通常情况下，一个时间序列中包含以下三个方面的变化情况：1.趋势变化（Trend）：即随着时间变化呈现的长期趋势，比如一个公司销售量的增长或下降趋势。
2.季节性变化（Seasonality）：即固定周期性的变化，比如圣诞节或节假日前后销售量的高峰期。
3.不规则变化（Residual）：即与时间没什么关系的随机波动，比如房价因为某些非时间相关的事件而突然上涨或下跌。
基于这些变化情况， ARIMA模型主要有以下三个参数：1.p：表示时间序列的滞后（Lag）阶数，即AR模型的自回归项数。
p越大，模型就会考虑越多的过去数据，但是过度拟合也会带来过多的噪音。
2.d：表示进行差分（隔期间差异）的次数，即使时间序列具有平稳性（Stationary）的一阶差分系列，d=1；否则，需要再进行差分，直到为平稳性。
3.q：表示滑动平均（MA）模型中移动平均项数，即在随机波动中引入前q个误差项。
实际应用中，ARIMA模型常常需要经过以下步骤：首先，检查时间序列数据是否平稳（Stationary），如果不是平稳状态，就需要对其进行处理，通常需要差分（Differencing）操作。
因为ARIMA模型只有在平稳性条件下才能产生可靠的估计结果。
arima使用方法
arima使用方法ARIMA模型是一种常用的时间序列分析方法，可以用于预测未来的数据趋势。
本文将介绍ARIMA模型的使用方法，包括数据准备、模型建立、模型诊断和预测等步骤。
一、数据准备在使用ARIMA模型之前，首先需要准备好时间序列数据。
时间序列数据是按时间顺序排列的一系列观测值，例如每月的销售额、每日的气温等。
在准备数据时，需要确保数据的稳定性，即数据的均值和方差在时间上保持稳定。
如果数据存在趋势或季节性等非稳定性，需要先进行差分或转换等预处理步骤，使数据变得稳定。
二、模型建立ARIMA模型是由自回归(AR)、差分(I)和移动平均(MA)三个部分组成的。
模型的阶数分别用p、d和q表示。
其中，p表示自回归部分的阶数，d表示差分部分的阶数，q表示移动平均部分的阶数。
在建立ARIMA模型时，首先需要确定模型的阶数。
可以通过观察自相关图(ACF)和偏自相关图(PACF)来选择合适的阶数。
ACF图可以展示出时间序列与其滞后值之间的相关性，PACF图可以展示出时间序列与其滞后值之间的直接相关性。
根据ACF和PACF图的特征，可以确定ARIMA模型的阶数。
接下来，可以使用Python中的statsmodels包来建立ARIMA模型。
首先，需要导入相关的包和数据。
然后，使用ARIMA函数来建立模型，设置模型的阶数。
最后，使用fit函数来拟合模型。
三、模型诊断建立ARIMA模型后，需要对模型进行诊断，以评估模型的拟合效果。
可以通过查看模型的残差图、残差的自相关图和残差的正态性等来判断模型的拟合效果。
残差图应该呈现出随机性，而不应该呈现出任何趋势或周期性。
残差的自相关图应该接近于零，表示残差之间没有相关性。
残差的正态性可以通过观察残差的分布情况来评估。
四、模型预测在完成模型的诊断后，可以使用建立好的模型进行未来数据的预测。
可以使用forecast函数来预测未来的数据，设置预测的时间长度。
可以通过设置alpha值来设置置信水平，以获得预测结果的置信区间。
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记
《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记笔记：⼀、检验：1、平稳性检验：图检验⽅法：时序图检验：该序列有明显的趋势性或周期性，则不是平稳序列⾃相关图检验：（acf函数）平稳序列具有短期相关性，即随着延迟期数k的增加，平稳序列的⾃相关系数ρ会很快地衰减向0（指数级指数级衰减），反之⾮平稳序列衰减速度会⽐较慢衰减构造检验统计量进⾏假设检验：单位根检验adfTest()——fUnitRoots包2、纯随机性检验、⽩噪声检验（Box.test（data，type，lag=n）——lag表⽰输出滞后n阶的⽩噪声检验统计量，默认为滞后1阶的检验统计量结果）1、Q统计量：type=“Box-Pierce”2、LB统计量：type=“Ljung-Box”⼆、模型1、ARMA平稳序列模型1.1平稳性检验1.2ARMA的p、q定阶——acf（），pacf（），auto.arima（）⾃动定阶1.3建模arima()1.4模型显著性检验：残差的⽩噪声检验Box.test（）；参数显著性检验t分布2、⾮平稳确定性分析2.1趋势拟合：直线、曲线（⼀般是多项式，还有其它函数）2.2平滑法移动平均法：SMA()——TTR包指数平滑法：HoltWinters()3、⾮平稳随机性分析3.1ARIMA1平稳性检验，差分运算2拟合ARMA3⽩噪声检验3.2疏系数模型arima（p,d,f）3.3季节模型可以叠加的模型4、残差⾃回归模型：4.1建⽴线性模型4.2对滞后的因变量间拟合线性模型，对模型做残差⾃相关DW检验。
dwtest()——lmtest包，增加选项order.by指定延迟因变量4.3对残差建⽴ARIMA模型5、条件异⽅差模型：异⽅差检验：LM检验ArchTest（）——FinTS包，⽤ARCH、GARCH模型建模第⼀章简介统计时序分析⽅法：1、频域分析⽅法2、时域分析⽅法步骤：1、观察序列特征2、根据序列特征选择模型3、确定模型的⼝径4、检验模型，优化模型5、推断序列其它统计性质或预测序列将来的发展时域分析研究的发展⽅向：1、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）2、异⽅差场合：ARCH，GARCH等（计量经济学）3、多变量场合：“变量是平稳”不再是必需条件，协整理论3、⾮线性场合：门限⾃回归模型，马尔科夫转移模型第⼆章时间序列的预处理预处理内容：对它的平稳性和纯随机性进⾏检验，最好是平稳⾮⽩噪声的序列1、特征统计量1.1概率分布分布函数或密度函数能够完整地描述⼀个随机变量的统计特征，同样⼀个随机变量族{Xt}的统计特性也完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定。
arima模型解释
ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种用于时间序列分析和预测的统计模型。
它结合了自回归（AR）、积分（I）和移动平均（MA）三个组成部分。
ARIMA模型通常用于处理非平稳时间序列数据，通过差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
ARIMA模型由三个参数来描述，分别是p、d、q：- p（自回归阶数）：表示模型中自回归部分的阶数。
即用多少个过去的观测值来预测当前的值。
- d（差分阶数）：表示为了使时间序列变得平稳，需要进行的差分操作的次数。
差分操作是指当前时刻的观测值与其前一个时刻的观测值之差。
- q（移动平均阶数）：表示模型中移动平均部分的阶数。
即用多少个过去的误差值来预测当前的值。
ARIMA模型的一般形式可以表示为ARIMA(p, d, q)。
在应用ARIMA模型时，通常需要通过观察时间序列的自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定合适的p、d、q值。
ARIMA模型的预测过程包括以下步骤：1. 数据平稳化（Stationarity）：对原始时间序列进行差分操作，直到得到平稳时间序列。
2. 模型拟合（Model Fitting）：利用差分后的平稳时间序列，通过观察ACF 和PACF选择合适的p、d、q值，拟合ARIMA模型。
3. 模型诊断（Model Diagnosis）：检查模型的残差序列，确保它们是白噪声，即不存在系统性的模式。
4. 预测（Forecasting）：使用拟合好的ARIMA模型进行未来时刻的预测。
总的来说，ARIMA模型是一种强大的时间序列分析工具，适用于各种不同类型的时间序列数据。
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data example3_1; input x@@; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.36 4.42 3.48 2.99 0.21 -0.10 -1.27 -1.02 -0.27 0.14 -0.50 -1.93 -1.49 -2.24 -3.46 -3.97 0.78 0.88 2.07 -0.97 -0.30 -0.28 1.80 0.56 -0.11 0.07 -0.69 -1.96 1.06 -0.39 -0.16 0.94 -0.08 -0.66 ；
平稳时序的SAS过程－ARIMA
二、模型识别 proc arima data= example3_1; identify var=x nlag=8; run;
平稳时序的SAS过程－ARIMA
三、模型相对最优定阶 proc arima data= example3_1; identify var=x nlag=8 minic p=(0:5) q=(0:5); run; 语句说明：minic选项是指定SAS系统输出所有自相关延迟阶数 小于等于5，移动平均延迟阶数小于等于5的ARMA（p,q）模型 的BIC信息量，并指出其中BIC信息量达到最小的模型的阶数， 这实际上就是模型优化的过程。
平稳时序的SAS过程－ARIMA
四、模型参数估计 estimate q=4; run; 2、参数估计和参数检验
Conditional Least Squares Estimation Standard Approx Parameter Estimate Error t Value Pr > |t| MU -0.0013871 0.34414 -0.00 0.9968 MA1,1 -0.91784 0.08919 -10.29 <.0001 MA1,2 -0.83200 0.11931 -6.97 <.0001 MA1,3 -0.59806 0.11906 -5.02 <.0001 MA1,4 -0.62317 0.08945 -6.97 <.0001 Constant Estimate Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals -0.00139 0.773431 0.87945 221.6456 233.7996 84
Lag 0 1 2 3 4
平稳时序的SAS过程－ARIMA
四、模型参数估计 estimate q=4 noint; run; 2、参数估计和参数检验
Conditional Least Squares Estimation
Standard Estimate Error Approx t Value Pr > |t| Lag
--------------------Autocorrelations--------------------0.021 0.002 0.103 -0.038 0.076 -0.062 0.052 -0.141 0.006 0.059 0.042 0.018 -0.097 0.048 -0.106 0.005 0.080 -0.182 0.079 -0.020 0.121 -0.028 -0.082 -0.013
Parameter
MA1,1 MA1,2 MA1,3 MA1,4
-0.91780 -0.83198 -0.59789 -0.62314
0.08862 0.11833 0.11829 0.08888
-10.36 -7.03 -5.05 -7.01
<.0001 <.0001 <.0001 <.0001
1 2 3 4
平稳时序的SAS过程－ARIMA
四、模型参数估计 estimate q=4 noint; run; 3、拟合模型的具体形式
Model for variable x No mean term in this model Moving Average Factors Factor 1: 1 + 0.9178 B**(1) + 0.83198 B**(2) + 0.59789 B**(3) + 0.62314 B**(4 )
0.00 1.74 -1.45 -0.07 -2.35 -4.60 1.44 0.80 0.10 0.04 2.07 -0.21
0.17 2.40 -1.19 0.10 -2.18 -3.09 1.50 0.91 -0.56 1.59 1.35 -0.77
0.45 0.11 -1.47 -0.15 -0.39 -2.19 0.29 1.95 -1.34 0.20 1.46 -0.52
MA 5 -0.30354 -0.26115 -0.2096 -0.15753 -0.14008 -0.0899
平稳时序的SAS过程－ARIMA
四、模型参数估计 estimate q=4; run; 结果如下： 1、模型检验
Autocorrelation Check of Residuals To Lag 6 12 18 24 ChiPr > Square DF ChiSq 2.00 2 0.3684 4.70 8 0.7892 11.40 14 0.6542 14.75 20 0.7908
平稳时序的SAS过程－ARIMA
五、模型序列预测 拟合、预测图：
proc gplot data=results; plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay; symbol1 c=black i=none v=star; symbol2 c=red i=join v=none; symbol3 c=green i=join v=none l=32; run;
平稳时序的SAS过程－ARIMA
五、模型序列预测 forecast lead=5 id=time out=results; run; 预测结果：
Obs 85 86 87 88 89 Forecasts for variable x Forecast Std Error 95% Confidence Limits 0.6185 0.8739 -1.0943 2.3314 0.2725 1.1862 -2.0525 2.5974 0.3923 1.3913 -2.3346 3.1193 0.4696 1.4862 -2.4433 3.3825 0.0000 1.5828 -3.1023 3.1023
2.15 0.96 -1.34 -0.36 -0.52 -1.21 -0.36 1.77 -2.47 0.39 1.50 0.05
平稳时序的SAS过程－ARIMA
一、画时序图，初步判断数据的平稳性； proc gplot data=example3_1; plot x*time=1; symbol1 c=red I=join v=star; run;
平ima data= example3_1; identify var=x nlag=8;run;
To Lag 6 ChiSquare 111.79 Autocorrelation Check for White Noise Pr > DF ChiSq --------------------Autocorrelations-------------------6 <.0001 0.804 0.615 0.437 0.236 0.038 -0.014
平稳时序的SAS过程－ARIMA
三、模型相对最优定阶 proc arima data= example3_1; identify var=x nlag=8 minic p=(0:5) q=(0:5); run; 结果如下：
Lags AR 0 AR 1 AR 2 AR 3 AR 4 AR 5
Minimum Information Criterion MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 0.756693 0.566331 0.345231 0.070485 -0.34069 -0.2796 -0.22796 -0.18901 -0.18561 -0.3029 -0.23293 -0.18092 -0.1398 -0.13454 -0.25115 -0.18805 -0.1358 -0.09201 -0.08275 -0.19909 -0.23786 -0.18799 -0.17594 -0.12337 -0.17314 -0.23719 -0.21421 -0.21202 -0.17287 -0.13442 Error series model: AR(8) Minimum Table Value: BIC(0,4) = -0.34069