2019-2020学年浙江省杭州市北斗联盟高二下学期期中联考数学试题解析
18．已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值与最小值.
答案：(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值 ，最小值为 .
试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简 ，根据周期公式可得结果；（Ⅱ由 ，可得 ，结合正弦函数的图象可得 时， 取得最大值 ， 时， 的最小值为 .
解：
证明：（1）令 ，
则 ，
，
，
即 ，
数列 是等比数列，
故 是等比数列；
（2）由（1）得 ， ， ，
下面用数学归纳法证明当 ， 时， ．
①当 时，不等式的左边 ，右边 ，而 ，
时，不等式成立；
②假设当 时，不等式成立，即 ；
当 时，
当 时，不等式也成立．
由①②可得，
当 ， 时， ．
点评：
本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了数学归纳法，属中档题.
则 在 上单增，在 上单减，
故 恒成立，解得 .
综上， .
故答案为： .
点评：
本题考查了不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题关键，意在考查学生的分类讨论的能力，综合应用能力.
三、双空题
15．已知圆M的半径长是r，圆心坐标是 .若直线 与圆M相切于点 ，则 ________， ___________.
解：
当 时， 此时函数 在 上递增，值域是 .
当 时， 是减函数，其值域是 .
因为函数 的值域是 ，
所以 .
于是 解得 ，即实数 的最小值是 .
故答案为： .
点评：
本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
13．已知椭圆 长轴的右端点为A，其中O为坐标原点若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________.
试题分析：（Ⅰ）由平面 面 面 再证
面 ；（Ⅱ）建立空间坐标系， 求得面 的法向量为 .
试题解析：
（Ⅰ）作 于 ……①,连接 ，
∵平面 平面 ，且 ，∴ 面 .
∵ ，∴ ,∴ ，
又∵ ，∴ ……②
又 ,由①②，得 面 ，又 面 ，∴ .
（Ⅱ）∵ 是边长为 的等边三角形，
∴ 如图建立空间坐标系，
设面 的法向量为 ，
21．已知抛物线 ，过点 的直线 交C于A，B两点，抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．
（1）若直线 的斜率为1，求 ；
（2）求 面积的最小值．
答案：（1） ；（2） 面积的最小值为2．
试题分析：（1）直线 的方程为 ，代入 消去y，求出方程的根，即可求出 ；．
（2）设直线 的方程为 ，代入 消去y，整理得： ，
， ．
得两切线的交点 ，所以点P到直线 的距离 ．
利用韦达定理，结合弦长公式求出 ，表示出点P的坐标到直线 的距离，即可求出 面积的最小值为．
试题解析：（1）设点 由题意知，直线 的方程为 ，
由 消去y解得， ， ．
所以 ．
（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设点 ．
消去y，整理得： ，
， ，
又 ，所以抛物线 在点A，B处的切线方程分别为
二、填空题
11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，称为祖暅原理.利用这个原理求半球O的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.
答案：
由题意可知，此几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，所以体积等于圆柱体积的三分之二，表面积等于圆柱的底面面积加侧面面积，再加上圆锥的侧面面积.
，令 ，得
，
，设 与面 所成角为
∴直线 与平面 所成角的正弦值 .
20．已知数列 满足 .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）令 ，用数学归纳法证明：
答案：（1）详见解析（2）详见解析
（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明 时，不等式成立；再假设当 时，不等式成立，然后证明 时不等式成立即可.
即椭圆离心率的最大值为 ．
故答案为： ．
点评：
本题主要考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查满足AP垂直PO的点P的轨迹方程，一元二次方程的根，属于中档题．
14．若不等式 在 的定义域内恒成立，则 的取值范围是______.
答案：
讨论 成立， 时， 与 的图象有一个交点，如图1，不成立， 时，计算得到 ，令 ，根据函数的单调性计算最值得到答案.
2．双曲线 的焦点坐标为( )
A． B．
C． D．
答案：D
利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．
解：
双曲线x2﹣4y2＝4，标准方程为： ，
可得a＝2，b＝1，c ，
所以双曲线的焦点坐标：（± ，0）．
故选：D．
点评：
本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
答案：A
根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果.
解：
根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然 ， ， ，因为 ，异面直线 与 的夹角即角 ，根据三角形 中的余弦定理得到 ，故 ，同理在三角形 中利用余弦定理得到：
，故 ，
连接AC，则AC垂直于BD，CE垂直于BD，AC交CE于C点，故可得到BD垂直于面ACE，进而得到BD垂直于AE，而BD平行于 .从而得到 ，故 .
解：
解：由题意知，此几何体为一个圆柱中挖去一个圆锥，底面半径为1，高为1的几何体，
所以几何体的体积为
几何体的表面积为
故答案为： ；
点评：
此题考查了由几何体的三视图求体积和表面积，属于基础题.
12．若函数的 的值域是 ，其中e是自然对数的底数，则实数m的最小值是______.
答案：
利用导数可求得当 时，函数 的值域是 ；当 时，函数的值域是 ，从而可得 ，进而可得结果.
A． B．
C． D．
答案：A
先求得函数 的导函数 ，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.
解：
依题意 ，令 ，则 .由于 ，故排除C选项.由于 ，故 在 处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.
点评：
本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.
6．设a，b是两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“ ”是“ ”的（）
3．设实数x，y满足 ，则 的最小值为（）
A．-2B．-1C．0D．1
答案：B
由约束条件作出可行域，再令 ，化目标函数 为 ，由直线在 轴的截距的范围确定目标函数的最值即可.
解：
由约束条件作出可行与如图，
令 ，则 ，因此求 的最小值，
即是求直线 在 轴截距的最大值，
平移直线 ，由图可知，当 过点（0,1）时，直线 截距最大，即 .
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
点评：
本题考查了必要不充分条件，考查了直线、平面的平行与垂直关系，属于基础题.
7．若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
答案：A
可根据题意，把 重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
B
当 时，可能有 、 、 与 相交但不垂直、 四种情况，；当 时，根据直线与平面垂直的判定和性质可得 ，再根据必要不充分条件的概念可得答案.
解：
如果 ， ，当 时， 或 或 与 相交但不垂直或 ，
如果 ， ，当 时，可得 ，可得 ，
答案：
由过切点的半径与切线垂直可求得 ，然后由两点间距离求得 .
解：
由题意 ，解得： ，所以 ，
故答案为： ；
点评：
本题考查圆的切线的性质，掌握切线性质是解题关键，考查计算能力，属于基础题.
性质：过切点的半径与切线垂直.
16．在 中，内角 所对的边分别是 .若 ， ，则 __， 面积的最大值为___.
答案：
由 垂直 ，可得 点满足方程 ，代入椭圆 得 在 ， 上有解，据此能求出椭圆的离心率 的范围．其补集即为不存在点P，使AP垂直PO时的离心率，可得离心率的最大值．
解：
设点 ，假设AP垂直PO，
根据题意得，点P在圆 上，
，整理得 ，
即
解得 ，或 （舍去）
又因为 ，
，化简得： ，
，
又因为 ，
，
若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，椭圆离心率的取值范围为 ．
故答案为A.
点评：
这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.
9．下列命题正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
答案：C
构造函数 ，利用导数求得函数 的单调性，由此判断出正确的选项.
试题解析：（Ⅰ） ，
所以 的最小正周期为 .
（Ⅱ）因为 ，所以 .
当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时，
.
即 的最小值为 .
19．如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，平面 平面 ， ，点 是线段 上靠近点 的三等分点
（1）求证：
（2）若 是边长为 的等边三角形，求直线 与平面 所成角的正弦值
答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） .
故选：B
点评：
本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型.
2019-2020学年浙江省A9协作体高二下学期期中联考数学试题答案
x2 = 4y
x2 − 2tx − 4 = 0 ……….………11 分
xt = 2 y − 2
AB =
1+ ( t )2 2
x2 − x1
= t2 + 4 ……….………12 分
t2 + 4
又点 M 到直线 xt = 2y − 2 的距离 d =
= t2 + 4 …….………13 分
t2 + 4
13． ，1 − 2 16． (−1, 0)
17． 3 5 4
三、解答题
18．解：
（1）由题意得
1 2
ac sin 600
=
3
2 ……… 2 分
ac
=
2
………4 分
a2 + c2 − ac = 4
a + c = 10
a, c 是方程 x2 − 10x + 2 = 0 的两根……… 6 分,又 a c
f (1) 1 1 + a + b 1
a +1 = (1+ a + b) − b 1 + a + b + b 2 ….………10 分
−3 a 1 ….……….………11 分 所以， a2 + b2 10 ……….……12 分
又当 a = −3,b =1时， f (x) = x2 − 3x +1 在 0,1 上单调递减，
PN ⊥ AD ………1 分 又 M 是 BC 中点，所以 NM / / AB, AB ⊥ AD ………2 分
所以， NM ⊥ AD ……………..3 分 所以， AD ⊥ 平面 PMN ………4 分 所以， AD ⊥ PM …………….. 5 分
2019-2020学年浙江省杭州市北斗联盟高二上学期期中考试物理试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市北斗联盟高二（上）期中物理试卷一、选择题I（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.下列说法中，不符合物理学史实的是()A. 亚里士多德认为，必须有力作用在物体上，物体才能运动B. 牛顿认为，力是物体运动状态改变的原因，而不是物体运动的原因C. 麦克斯韦发现了电流的磁效应，即电流可以在其周围产生磁场D. 奥斯特发现给导线通电时，导线附近的小磁针会发生偏转『答案』C『解析』【详解】A．亚里士多德认为，必须有力作用在物体上，物体才能运动，即力是维持物体运动的原因，故A正确；B．牛顿认为，力是物体运动状态改变的原因，而不是物体运动的原因，故B正确；C．奥斯特发现了电流的磁效应，即电流可以在其周围产生磁场，故C错误；D．奥斯特发现给导线通电时，导线附近的小磁针会发生偏转，故D正确。
故选C．2.玉环文旦是浙江柚类水果中的优良品种之一。
一般产果3~5年的文旦树经过修剪后比一个正常成人身高略高。
若果农在采摘过程中，由于轻微震动使得果树顶部一颗成熟的文旦脱落掉下，下落过程中没有受到其他碰撞。
g取210m/s，则该文旦落地的速度最接近() A. 2m/s B. 6m/s C. 10m/s D. 15m/s『答案』B『解析』【详解】正常成人身高约为1.7m，果实自然脱落，则初速度为零，下落时做自由落体运动，所以落地的速度为：v≈6m/s故B正确，ACD错误。
故选：B 。
3.甲、乙两物体做直线运动，其运动过程的图像分别如图所示，其中甲图为速度-时间()v t -图像，乙图为位移-时间()x t -图像。
关于两物体的运动下列说法正确的是( )A. 4s 末两物体速度大小相等B. 甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动C. 甲在前4s 内的平均速度为2m/s ，乙在前4s 内的平均速度为4m/sD. 甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动『答案』D 『解析』【详解】A ．4s 末甲物体的速度为8m/s 。
2019-2020学年浙江省杭州二中高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州二中高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=1+2i32+i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应点的坐标为()A. (1,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (0,−1)2.某商场为了吸引顾客，特设了一个有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖组，特等奖1名，一等奖50名，二等奖100名，那么某顾客买了1000元的物品，那么他中特等奖的概率为().A. B. C. D.3.(1−i)10(i为虚数单位)的二项展开式中的第七项为()A. −210B. 210C. −120iD. 120i4.(2x−y)4的展开式的中间项为()A. 24B. −8C. 24x2y2D. −8xy35.用数学归纳法证明“1+a+a2+⋯+a2n+1=1−a2n+21−a，(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得项为()A. 1+a+a2+a3+a4B. 1+aC. 1+a+a2D. 1+a+a2+a36.已知1<a<3，2<b<4，现给出以下结论：(1)3<a+b<7；(2)−3<a−b<1；(3)2<a⋅b<12；(4)14<ab<32；以上结论正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A. 540B. 729C. 216D. 4208.已知函数f(x)=2x−1，则函数y=|f(x−1)|的图象可能是()A.B.C.D.9. 已知函数f(x)=x 2−3−me x ，若f(x)=0有三个不等实根，则实数m 的取值范围是( )A. (−2e,6e 3)B. (−∞,6e 3)C. (0,2e)D. (0,6e 3)10. 若f(x)是定义在R 上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x +2)是偶函数；③当0<x ≤2时，f(x)=log 2017x ，当x =0时，f(0)=0，则方程f(x)=−2017在区间(1,10)内的多有实数根之和为( )A. 0B. 10C. 12D. 24二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (理)抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件A ∪B 的概率P(A ∪B)=______．12. {a n }是无穷数列，若{a n }是二项式(1+2x)n (n ∈N +)展开式各项系数和，则n →∞lim(1a 1+1a 2+⋯+1a n)= ______ ．13. 已知函数f(x)={13x +1,≤0|lnx|,x >0 若函数f(x)−ax =0恰有3个零点，则实数a 的取值范围为______．14. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日(星期五)是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有______ 个.15. 平面直角坐标系中，若函数y =f(x)的图象将一个区域D 分成面积相等的两部分，则称f(x)等分D ，若D ={(x,y)||x|+|y|≤1}，则下列函数等分区域D 的有______(将满足要求的函数的序号写在横线上)．①y =sinx ⋅cosx ，②y =x 3+12016x ，③y =e x −1，④y =|x|−34，⑤y =−92x 2+58．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 已知复数z =lg(m 2−4m +11)+(m 2−2m −8)i ，当实数m = (1) ，z 为实数，当实数m = (2) 时，z 为虚数． 17. 已知随机变量X 的分布列为：随机变量Y =2X +1，则X 的数学期望EX = (1) ；Y 的方差DY = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共73.0分）18. 某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则不能获得奖金． 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？(Ⅲ)已知公司共有100人在活动中选择了方案甲，试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数．19. 已知在二项式(√x 3−2√x 3)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值，并求含x 2项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．20.已知数列{a n}中，a10=17，其前n项和S n满足S n=n2+cn+2．(1)求实数c的值；(2)求数列{a n}的通项公式．21.(本题满分13分)已知函数。
浙江省北斗星盟阶段性联考2019-2020学年高二下学期数学学科试题(PDF版,无答案)
绝密★考试结束前2019学年第二学期浙江省北斗星盟阶段性联考高二年级数学学科 试题考生须知：1．本试题卷共4 页，满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸规定区域内，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2A =−，1−，0，1，2}，{||1|1}B x x =−，则A B = ( ) A ．{1−，0} B ．{1，2} C ．{0，1，2} D ．{2−，0，1}2．已知双曲线22:1y E x k−=的一个焦点是(2，0)，则E 的渐近线方程为 ( ) A．y = B ．y x =± C．y = D．y =3．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，csin aA==，则cos B = ( ) A ．12− B ．12 C．2− D．24． 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥5．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =−+的图象可能是 ( )A B C D6．已知圆222:(0)C x y r r +=>，直线:1l x =，则“112r <”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（第5题图）7．若40x y >>，则y xx y y+4−的最小值为 ( ) A ．54B ．1C ．34D ．128．已知数列{}n a 中，2112,1n n n a a a a +==−+. 记12111n nA a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅则 ( ) A.202020201A B +> B. 202020201A B +< C. 2020202012A B −>D. 2020202012A B −< 9．已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（左右顶点除外），G为12PF F ∆的重心．若1223FGF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 ( ) A ．1(0,]3B ．1(0,]2C ．11[,]32D ．1[,1)210．设函数21()1x f x a b x x =++++，a ,b ∈R ．若()f x M ≤对任意[)+∞∈,1x 恒成立，则M 的最小值为 ( ) A ．32B ．12C ．14D ．34二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知直线1:230l ax y +−=和直线2:(3)10l a x y −++=．若12l l ∥，则实数a 的值为 ▲ ，此时，两直线1l 与2l 之间的距离为 ▲ ．12．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则正视图的面积是 ▲ ，该“堑堵”的体积 是 ▲ ．13．设0k <，若不等式组20,20,0x y kx y y +−⎧⎪−+⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为4，则k = ▲ ，2x y −的最大值为 ▲ .14. 已知符号函数1,0,sgn()0,0,1,0,x x =x x >⎧⎪=⎨⎪−<⎩设函数2()sgn()()f x x x x =⋅−，若互不相同的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x +x +x 的取值范围为 ▲ .15．若数列5(21)()6n n ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k = ▲..1俯视图(第12题图)16．已知正四面体P ABC −的棱长为2，动平面PQR 交线段,BC AC （含端点）于点,Q R ，且平面PQR ⊥平面ABC ，设平面PQR 和平面PAB所成二面角的平面角为，则cos 的最大值为 ▲ .．17．如图，已知边长为2的正方形ABCD 内有一点E ，满足BE BC =，则EA EB EC ED +++的最小值是 ▲ ，过E 做,EH AB P ⊥为EBH ∆的内心，则PA PB ⋅的最小值是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()2sin cos f x x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）若函数()y f x a =−在[0,]2x π∈有两个零点，求实数a 的取值范围．19．如图，在侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C −中，90ACB ∠=︒，112AC BC AA ===1，D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面1BDC 所成角的正弦值．20. 已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且2241nn n a a S +=−，n ∈N *. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记212n n n n b a a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .(第17题图)D1A (第19题图)21. 如图，抛物线x y 42=的焦点为F ，AB 为过点F 的弦，设直线AB 的斜率为(0)k k >. AB 的中垂线与x 轴交于点P ，抛物线在A ，B 两点处切线交于点Q . （Ⅰ）当AB =6时，求△P AB 的面积；（Ⅱ）判断PABQABS S △△是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.22.已知函数()bxf x ax e =⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为20ex y e −−=，,a b R ∈.（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若不等式2()ln 1f x tx x x−−≥对任意),0(+∞∈x 恒成立，求实数t 的取值范围.(第21题图)。
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A ={2,3，5，9}，集合B ={4,5，6，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {5,9}B. {2,3}C. {1,8，10}D. {4,6，7}2.题中，真命题的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 43. 命题甲：f(x)是R 上的单调递增函数；命题乙：∃x 1<x 2，f(x 1)<f(x 2).则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤20≤x ≤1则z =2x +4y 的最大值是( )A. −4B. 2C. 6D. 85. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：(1)此函数一定有零点；(2)此函数可能没有零点；(3)此函数有奇数个零点；(4)此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 2−1e x，则f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，a =1，b =3，C =60°，则c =( )A. √7B. 7C. √13D. 138.若函数在上可导，下列说法正确的是()A. 若，对任意恒成立，则有B. 若，对任意恒成立，则有C. 若，对任意恒成立，则有D. 若，对任意恒成立，则有9.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1.若二面角C−AB−C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为()．A.B.C.D. 110.双曲线C：x24−y2=1的两条渐近线夹角(锐角)为θ，则tanθ=()A. 815B. 158C. 34D. 43二、单空题（本大题共3小题，共9.0分）11.已知函数f(x)=lnx+ax ，x∈(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤12恒成立，则实数a的取值范围是______．12.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F//BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是______.(写出所有真命题的序号)13. 已知函数f(x)={|2x +1|,x ≤1log 2(x −1),x >1，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等)，则实数x 1+x 2+x 3的取值范围为______．三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14. 已知复数z =i 6+1a+i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部为−1，则a = ，|z|= ． 15. 双曲线x 24−y 212=1的焦距是 (1) ，渐近线方程是 (2) ．16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．17. 设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，则f(f(−1))= (1) ，不等式f(x)≤3的解集是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x.(Ⅰ)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，f(c)=3，c =1，ab =2√3，求a ，b 的值．19. 已知函数f(x)=x +4x (其中常数a >0)．(Ⅰ)求证：f(x)在(0,2]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=√2，a=2，求△ABC面积的最大值．21.已知椭圆的焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于P1，P2，P3，P4试探究1|P1P2|+1|P3P4|是否为定值？并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．22. 已知函数f(x)={−e 2x +bx +c,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1(Ⅰ)若0<b <2e 2，试讨论函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性； (Ⅱ)若函数f(x)在x =0处取得极值1，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2,3，5，9}，集合B={4,5，6，7，9}，∴∁U A={1,2，4，6，7，8，10}，∁U B={1,2，3，8，10}，则(∁U A)∩(∁U B)={1,8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：此题考查四种命题及其真假的判断．故选C．3.答案：A解析：解：根据函数单调性的定义可知，若f(x)是R上的单调递增函数，则∀x1<x2，f(x1)<f(x2)成立，∴命题乙成立．若：∃x1<x2，f(x1)<f(x2)，则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：由已知不等式组得到平面区域如图：z=2x+4y变形为y=−12x+z4，此直线经过图中D(0,2)时，在y轴截距最大即z最大，所以z的最大值为2×0+4×2=8；故选D．先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．5.答案：B解析：解：函数f(x)是定义在R上的奇函数时，此函数一定有零点，因为f(x)在R上有定义，所以f(0)=0，0是f(x)的零点；所以(1)正确，(2)错误；根据奇函数的对称性知，函数f(x)有零点，则零点关于原点对称，再加上原点处，共有奇数个零点；所以(3)正确，(4)错误．综上知，正确的结论是(1)(3)，共2个．故选：B．根据奇函数的定义与性质，对题目中的命题判断正误即可．本题考查了函数的奇偶性与命题真假的判断问题，是基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，当x≥0时，f(x)=x2−1，则区间(0,1)上，f(x)<0，在区间(1,+∞)上，f(x)>0，排除D，e x当x→+∞时，f(x)→0，排除A，故选：C．根据题意，由f(x)满足f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，排除B，再分析f(x)>0与f(x)<0的区间，排除D，又由当x→+∞时，f(x)→0，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．7.答案：A解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用余弦定理列出关系式，将a，b及cos C的值代入即可求出c的值．解：∵在△ABC中，a=1，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1+9−3=7，则c=√7．故选A．8.答案：D解析：构造函数则函数为单调递增，A错误构造函数，则函数单调递减B错误构造函数则函数为单调递增，，C错误则函数 为单调递减 ，D 正确9.答案：A解析：取AB 中点D ，连接CD ，C 1D ，则∠CDC 1是二面角C −AB −C 1的平面角． 因为AB =1，所以CD =，所以在Rt △DCC 1中，CC 1=CD ·tan 60°=×=，C 1D ==．设点C 到平面C 1AB 的距离为h ， 由VC −C 1AB =VC 1−ABC ，得××1×ℎ=××1××，解得ℎ=.故选A10.答案：D解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到． 解：双曲线C ：x 24−y 2=1的两条渐近线分别为y =±12x ，则斜率分别为−12，12． 由两直线的夹角公式可得， tanθ=|12−(−12)1+12×(−12)|=43．故选D ．11.答案：a≥12解析：解：由f(x)=lnx+ax ，(a>0)，得到f′(x)=x−ax2∴f′(x0)=x0−ax02，且以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立则f′(x0)=x0−ax02≤12在(0,3]上恒成立，即a≥x0−12x02在(0,3]上恒成立，令g(x)=x0−12x02(0<x≤3)，可知g(x)max=g(1)=12，∴a≥12，故答案为：a≥12．切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′(x0)=x0−ax02≤12恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围．本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．12.答案：①②③④⑤解析：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F=AF，B′F=BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．解析：解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A=AF，B′B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F//BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点故答案为①②③④⑤．13.答案：(1,8)解析：本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．作出函数f(x)的图象，令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，由图象的对称性可得x1+x2=−1，由条件可得2<x3<9，即可得到答案．解：令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，作出函数f(x)图象，虚线为y=t，x=1时，f(1)=3，已知f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，则有x1+x2=−1，0<f(x3)<3．由y=3，即有log2(x−1)=3，x=9，即x3<9，y=0时，有log2(x−1)=0，解得x=2，即x3>2，即2<x3<9，可得x1+x2+x3的取值范围为(1,8)，故答案为：(1,8)．14.答案：0√2解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解．解：因为z=i6+1a+i =−1+a−ia2+1的实部为−1，所以−1+aa2+1=−1，解可得a=0，则z=−1−i，|z|=√2．故答案为：0，√2．15.答案：8y=±√3x解析：解：双曲线x24−y212=1的a=2，b=2√3，c=√4+12=4，可得2c=8，渐近线方程为y=±√3x.故答案为：8，y=±√3x.求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的焦距2c，渐近线方程y=±bax.，本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：563π解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1−13×12×1×1×1=56．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3． 因此其球的表面积是4π⋅(√32)2=3π．故答案为：56，3π．由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.答案：1[−1,27]解析：解：∵函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0], ∴f(−1)=(−1)2+2=3， f(f(−1))=f(3)=log 33=1，当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0； 当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，解得0<x ≤27， 综上不等式f(x)≤3的解集是[−1,27]． 故答案为：1，[−1,27]．推导出f(−1)=(−1)2+2=3，从而f(f(−1))=f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集．本题考查函数值、不等式的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1(2分)=2sin(2x +π6)+1(4分)∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，(6分)∴函数f(x)的值域为[0,3]. (7分) (Ⅱ)∵f(C)=3，∴2sin(2C +π6)+1=3，即sin(2C +π6)=1．∵0<C <π， ∴2C +π6∈[π6,13π6]，∴2C +π6=π2， ∴C =π6. (10分) 又c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =1，ab =2√3，cosC =√32，∴a 2+b 2=7.(12分)由{a 2+b 2=7ab =2√3，得 {a =2b =√3或 {a =√3b =2. (14分)解析：(Ⅰ)利用三角函数间的关系将f(x)化简为f(x)=2sin(2x +π6)+1，由x ∈[0,π2]；可求得2x +π6∈[π6,7π6]，从而可求得函数f(x)的值域．(Ⅱ)由f(C)=3可求得C ，利用余弦定理可求得a 2+b 2=7，通过解方程可求得a 、b 的值． 本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．19.答案：证明：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，所以x 1x 2>4，则：f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=x 1−x 2+4x 1−4x 2=x 1−x 2−4(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2>所以f(x)在[2,+∞)为单调增函数． 同理f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)在区间[2,4]上为增函数， f(2)=2+2=4，f(4)=4+1=5， 所以：值域为[4,5]．解析：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，可得：x 1x 2>4，由于f(x 1)−f(x 2)>0，即可证明f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理可证f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)函数f(x)在区间[2,4]上为增函数，计算f(2)，f(4)的值即可得解值域．本题的考点是函数单调性的判断与证明及函数的值域的求法，本题采取了定义法证明，考查了转化思想，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)∵14T =14⋅2πω=π8−(−π8)=π4，∴T=2πω=π，解得ω=2．根据五点法作图可得2×π8+φ=0，求得φ=−π4，∴函数f(x)=2sin(2x−π4).(Ⅱ)设锐角△ABC中，∵f(A)=2sin(2A−π4)=√2，∴sin(2A−π4)=√22，∴A=π4．∵a=2，由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosπ4≥(2−√2)bc，∴bc≤2−2=4+2√2，当且仅当b=c时，bc最大为4+2√2，故△ABC面积12bc⋅sinA的最大值为(2+√2)×√22=√2+1．解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据周期求得ω，再根据五点法作图求得φ，从而求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC中，由f(A)=√2，求得sin(2A−π4)的值，可得A的值．由余弦定理并利用基本不等式可得bc≤2−√2=4+2√2，由此求得△ABC面积12bc⋅sinA的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)由题意，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由焦点F2的坐标为(1,0)知a2−b2=1，①再由12a2+y2b2=1，整理得y=±b2a．∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，∴2b2a=3.②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为x24+y23=1.…(3分)(Ⅱ)若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是1|P1P2|+1|P3P4|=14+13=712.…(5分)若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k (x +1)消去x 得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0， ∴y 1+y 2=−6k 3k 2+4,y 1y 2=−93k 2+4， ∴|P 3P 4|=√1+k 2|y 1−y 2|=√1+k 2√36k 2(3k 2+4)2+363k 2+4=12(k 2+1)3k 2+4．同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，∴1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=4k 2+312(k 2+1)+3k 2+412(k 2+1)=712．∴综上知1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712(定值).…(9分)∵1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712≥2√1|P 1P 2||P 3P 4|，∴|P 1P 2||P 3P 4|≥(247)2=57649， ∴S max =12|P 1P 2||P 3P 4|≥28849．当且仅当|P 1P 2|=|P 3P 4|， 即12(k 2+1)4k 2+3=12(k 2+1)3k 2+4时，S 最小，此时解得k =±1，∴四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时， l 1、l 2的直线方程：y =±(x +1).…(13分)解析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知条件推导出a 2−b 2=1，2b 2a=3.由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)若l 1、l 2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712.若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k(x +1)得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，由韦达定理求出|P 3P 4|=12(k 2+1)3k 2+4.同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，由此能求出四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时，l 1、l 2的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)当x ≤1时，f′(x)=−2e 2x +b ，易知函数f′(x)为(−∞,1]上的减函数，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x =12ln b2， 因为0<b <2e 2，因此x =12ln b2<1，故导数值在(−∞,12ln b2)为正，在(12ln b 2,1]为负， 所以函数f(x)在(−∞,12ln b2)为增函数，在(12ln b2,1]为减函数； (Ⅱ)由题意当x =0时，f(0)=c −1=1， ∴c =2，当x <1时，f′(x)=−2e 2x +b ， 依题意得f′(0)=b −2=0， ∴b =2，经检验b =2，c =2符合条件，因此f(x)={−e 2x +2x +2,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1当−2≤x ≤1时，f(x)=−e 2x +2x +2，f′(x)=−2e 2x +2， 令f′(x)=0得x =0当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知f(x)在[−2,1]上的最大值为1． 当1<x ≤2时，f(x)=a(x 2lnx −x +1)+1． f′(x)=a(2xlnx +x −1)， 令g(x)=2xlnx +x −1，当1<x ≤2时，显然g(x)>0恒成立， 当a <0时，f′(x)=a(2xlnx +x −1)<0， f(x)在(1,2]单调递减，所以f(x)<f(1)=1恒成立． 此时函数在[−2,2]上的最大值为1； 当a =0时，在(1,2]上f(x)=1，当a >0时，在(1,2]上f′(x)=a(2xlnx +x −1)>0 所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数． ∴f(x)在(1,2]最大值为a(4ln2−1)+1，∵a(4ln2−1)+1>1，故函数f(x)在[−2,2]上最大值为a(4ln2−1)+1．综上：当a≤0时，f(x)在[−2,2]上的最大值为1；当a>0时，f(x)在[−2,2]最大值为a(4ln2−1)+1．解析：(Ⅰ)当x≤1时，f′(x)=−2e2x+b，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x=12ln b2，讨论各区间上导函数的符号，可得函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性；(Ⅱ)根据函数f(x)在x=0处取得极值1，可求出b，c的值，对a进行分类讨论，可得a取不同值时，f(x)在区间[−2,2]上的最大值．本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的单调性和最值，是分段函数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．。
浙江省2019学年杭州北斗联盟下学期期中联考高二数学试卷
2019学年第二学期杭州北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷规定位置填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效，考试结束只需上交答题卷.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0,2A x R x x =∈≤≥或，{}1B x R x =∈<，则()R C A B =（） A.()0,1B.()0,2C.()1,2D.()1,2- 2.双曲线2244x y -=的焦点坐标为（）A.()B.()C.(0,D.(0, 3.设实数x ，y 满足1020210x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最小值为（）A.-2B.-1C.0D.14.已知复数()12z i i =+（i 为虚数单位），则1z =（） A.2155i + B.2155i - C.2155i -+ D.2155i -- 5.已知()21cos 2f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（） A. B.C. D.6.设a ，b 是两条直线，α，β表示两个平面，如果a α⊂，//αβ，那么“a b ⊥”是“b β⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若平面向量a ，b ，c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）A. B.8.已知长方体1111ABCD A B C D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则（）A.γβα<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.αβγ<<9.下列命题正确的是（）A.若ln ln 2a b a b -=-，则0a b >>B.若ln ln 2a b b a -=-，则0b a >>C.若ln ln 2a b a b -=-，则0b a >>D.若ln ln 2a b b a -=-，则0a b >> 10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-.则下列说法正确的是（） A.2020322a << B.2020312a << C.2020112a << D.2020102a << 二、填空题本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，称为祖暅原理.利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________，表面积为________________.12.已知圆M 的半径长是r ，圆心坐标是()0,0x .若直线230x y --=与圆M 相切于点()3,3A --，则0x =___________________，r =__________________.13.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =____________，ABC △面积的最大值为__________________.14.若正实数a ，b 满足23ab a b =+，则ab 的最小值为_________；a b +的最小值为____________.15.若函数的()2,ln ,x m x e f x x x x e -+<⎧=⎨-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是_____________.16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，其中O 为坐标原点.若椭圆上不存在点P ，使AP 垂直PO ，则椭圆的离心率的最大值为_________________.7.若不等式210x ax x a-+≥+在x 的定义域内恒成立，则3a 的取值范围是______________. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）已知函数()22sin cos 12sin f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 19.（本题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PC =，45ABC ∠=︒，点E 是线段PA 上靠近点A 的三等分点.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB △是边长为2的等边三角形，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足11a =-，()()*13346n n n a n a n N n ++++=∈.（Ⅰ）证明：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令132n n n b a -=+，用数学归纳法证明：()*122412,521n n n b b b n n N n +++++<-≥∈+. 21.（本题满分15分）已知抛物线2:C y x =.过点()1,2M 的直线l 交C 于A ，B 两点.抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P .（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求AB ；（Ⅱ）求PAB △面积的最小值.22.（本题满分15分）设,a b R ∈，已知函数()ln f x a x =，()2g x x bx b =++. （Ⅰ）设()()2xf x F x a=，求()F x 在[],2a a 上的最大值()M a ； （Ⅱ）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4a b e +≤.。
浙江省杭州市北斗联盟2019-2020学年高二上学期期中物理试题及答案解析
浙江省杭州市北斗联盟2019-2020学年高二上学期期中考试物理试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题1．下列说法中，不符合物理学史实的是（）A．亚里士多德认为，必须有力作用在物体上，物体才能运动B．牛顿认为，力是物体运动状态改变的原因，而不是物体运动的原因C．麦克斯韦发现了电流的磁效应，即电流可以在其周围产生磁场D．奥斯特发现给导线通电时，导线附近的小磁针会发生偏转2．玉环文旦是浙江柚类水果中的优良品种之一。
一般产果3~5年的文旦树经过修剪后比一个正常成人身高略高。
若果农在采摘过程中，由于轻微震动使得果树顶部一颗成熟的文旦脱落掉下，下落过程中没有受到其他碰撞。
g取210m/s，则该文旦落地的速度最接近（）A．2m/s B．6m/s C．10m/s D．15m/s3．甲、乙两物体做直线运动，其运动过程的图像分别如图所示，其中甲图为速度-时间（v-t）图像，乙图为位移-时间（x-t）图像。
关于两物体的运动下列说法正确的是（）A．4s末两物体速度大小相等B．甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动C．甲在前4s内的平均速度为2m/s，乙在前4s内的平均速度为4m/s4．某电视台在讲解围棋棋局节目中，铁质的棋盘竖直放置，每个棋子都是一个小磁铁，能吸在棋盘上。
不计棋子间的相互作用力。
对其中某一棋子，下列说法正确的是（ ） A ．棋子共受三个力作用B ．棋子对棋盘的压力大小一定等于其所受重力的大小C ．棋子的磁性越强，棋子所受的摩擦力越大D ．减小棋子的质量，棋子所受的摩擦力减小5．如图所示，一小球从某高度处水平抛出，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g 。
下列说法正确的是（ ） A ．小球水平抛出时的初速度大小为tan gtθB ．小球在t 时间内的位移与水平方向的夹角为2θ C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D ．若小球初速度增大，则θ增大6．设计师设计了一个非常有创意的募捐箱。
浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题(含答案)
浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则的值为A ．-4B ．4C ．-6D ．64．为虚数单位，则A ．B ．iC ．-1D ．15．已知正数x ，y 满足，则的取值范围是A ．[1，4]B ．[0，4]C ．D ．6．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为A ．B ．C ．D ．7．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是A ．是3的倍数的概率为0.4B ．是3的倍数的概率为0.6C ．是3的倍数的概率为0.2D ．是3的倍数的概率为0.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．{}2{||3},11A x x B x x =<=∈<N ∣∣A B ⋂={2,1,0,1,2,3}--{0,1,2}{1,2,3}{1,2}22:1936x y E -=14y x =±12y x =±2y x =±4y x=±(1,2),(3,)a b m == ()a a b ⊥+m i 2320241i+i +i i +++=i-2x y +=22x y xy +-[1,4)[1,3)π9π10π20π8π16π{}n a {}n a 11(1)n n a n a na ++-=S T S S T T9．若直线与圆相交于A ，B 两点，则|AB |的长度可能等于A ．3B ．4C ．5D ．610．已知，则下列等式成立的是A ．B ．C ．D ．11．下列定义在上的函数中，满足的有A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，含项的系数是______．13．已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．14．若不等式对任意满足的正实数x ，y ，z 均成立，则实数的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．16．（15分）已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．17．（15分）如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．y kx =22(2)(1)9x y -++=,αβ∈R 22cos()cos()cos cos αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()cossin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()sinsin αβαβαβ+-=- (0,)+∞()f x 1(0,),()2(1)x f x f f x ⎛⎫∀∈+∞+⎪⎝⎭…()f x =2()1x f x x =+()cos πf x x =()exf x =5(2)x y +32x y 22221(0)x y a b a b+=>>A l y M N AOM||2||MN NA =22()xy y z k x y z +++…y z x +…k 2(),()e xf x xg x ==()()y f x g x =+0x =()()f x yg x =X X 111ABC A B C -E 1BB（1）求证：平面平面．（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．18．（17分）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点C ，D ，当恰好为线段AB 的中点时，（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．19．（17分）对于正整数m ，n ，存在唯一的自然数a ，b ，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．（1）求和．（2）求的前3项．1A EC ⊥11ACC A 111AA A B =1A EC 111A B C 2:2(0),(2,1)Γy px p M =>M 12,l l 1l Γ2,,A B l ΓM ||AB =ΓAC DBm an b =+,0,a b n b ∈<∈N N …(,),(,)a D m n b M m n ==i i {}()n T i ()n T i =()()11,3,33n n n M i M i ---(2024,9)D (2024,9)M {}(100)n T（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．（ⅰ）求证：函数是增函数．（ⅱ）求证：．0n 0()0n T i ≠0,()0n n n T i >=0()n T i 0()1n T i ={}()n T i {}()nT i '002,,()(),.n n n n T i T i n n '=⎧=⎨≠⎩0()2n T i ={}()n T i {}()n T i '01001,1,()(),1,0, 1 1.n n n n T i T i n n n n n '-=+⎧⎪=<⎨⎪=>+⎩或…{}()n T i '{}()n T j ()f i j =()f i ()f i (())3f f i i =浙江强基联盟2024年5月联考高二数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCADCDCA1．，所以选B ．2．，所以选C ．3．因为，所以选A ．4．因为，所以原式，即选D ．5．因为，所以．故选C ．6．上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为，即选D ．7．充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．故选C ．8．首先是3的倍数的情况包括，所以概率为0.4．T 是3的倍数的情况数为，所以概率为0.6．故选．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCDBDACD9．设圆心到直线的距离为，则，即，所以选BCD ．10．取，排除，再取，排除，所以选BD ．(3,3),{0,1,2,3},{0,1,2}A B A B =-=⋂=2202936x y y x -=⇒=±205324a a b m m =+⋅=++⇒=-1231i ii i i (11)i (11)0kk k k k k +++++++=-+-=1=2()014x y xy +<=…222()343[1,4)x y xy x y xy xy +-=+-=-∈2π(13)416π2⨯+⨯={}n a ()11111(1)(1)(1)n a n a a n a nd na n n d ++-=+-+=+-=n na 11(1)n n a n a na ++-=121(1)n n a na n a +++=+2n na +-11(1)(1)n n n n a n a na ++-=+-212n n n na na na +++={}n a 35()C 10,n S Ω=={3,4,5},{2,3,4},{1,3,5},{1,2,3}1214C C 6=A (2,1)-y kx =d 0d (2)2||94AB d +=4||6AB ……0α=A 0β=C11．A ．，则，满足条件．B ．，则，不满足条件．C ．，显然成立．D ．，，满足条件．故选ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．40131412．13．不妨设，所以，代入得，化简得．14．因为，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）函数，导函数，切点为，切线斜率为1，所以切线方程为．………………………………………………………………………………4分（2）函数，导函数，所以单调递增区间为，单调递减区间为，．极大值为，极小值为．………………………………………………………………13分()f x =1()22(1)f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2()1xf x x =+2221122()12(1)11111x x xf x f f x x x x x x⎛⎫+=+=== ⎪++⎝⎭++…min 1()cos π,()1(1),()2(1)f x x f x f f x f f x ⎛⎫==-=∴+⎪⎝⎭ (11)()e ,(0,),2,2xf x x x x x x=∈+∞∴+∴- (1)21()e e e e 2e 2(1)x x x x f x f f x -⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭ (12)225240C =(,0),(0,)A a M a 2,33a a N ⎛⎫⎪⎝⎭224199a b +=e =2()()y x y z y z k x y z z x y ++=+++ (21)2222y z y z y z z z x y z y z z y z +++=+-+++ (1)2-2e xy x =+e 2xy x '=+(0,1)1y x =+2ex x y =(2)e x x x y '-=(0,2)(-∞0),(2,)+∞24(2)e f =(0)0f =16．【解析】（1）当且仅当前两次摸到2个黑球即可，于是………………………………5分（2）因为，所以的分布列为123．………………………………………………………………………………15分17．【解析】（1）连接，交于点，再连接EM （图略），则M 为的中点．因为，所以，同理可证．又因为，所以平面，所以平面平面………………6分（2）两个平面的一个法向量分别为和，所以所成二面角的大小为……15分18．【解析】解法一：（1）设直线，联立得，所以．…………………………………………………………………3分又因为是中点，所以，………………………………………………………………………………6分代入化简得，解得．故抛物线的方程为．……………………………………………………………………………8分（2），………………………………………………10分因为2224C 1.C6P ==212211(1),(2),(3)424336P X P X P X =====⨯===X X P1213161235()2363E X =++=1AC 1AC M 1AC 1A E CE =1EM A C ⊥1EM AC ⊥11AC A C ⊥1AC ⊥1A CE 1A EC ⊥11,ACC A 1C A 1C C 145.AC C ︒∠=()()1122:2(1),,,,AB x m y A x y Bx y -=-22,2,x my m y px =-+⎧⎨=⎩22240y pmy pm p -+-=12122,24y y pm y y pm p +==-(2,1)M 1212y y pm +==2||AB y =-===()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD =-- ||||||||MC MD MA MB MC MD MA MB =--=+||||1MA MB =-，………………………………………………………………12分同理，…………………………………………………………………………14分所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为12．……………………………………………………17分解法二：（1）设直线AB 的倾斜角为，再设A ，B 的坐标都为，代入抛物线方程得，化简得．因为是AB 的中点，所以，即．又因为将代入化简得，即，所以抛物线的方程为．………………………………………………………………8分（2），而，所以CD 的倾斜角为或，同理可求得，即，当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为12．…………………………………………17分19．【解析】（1），所以．……………………4分（2）()()()()()2212121211111m y ym y y y y =+--=+-++()()221|2421|31m m m m =+--+=+21||||31MC MD m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()22221131313212AC DB m m m m ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …1m =±θ(2cos ,1sin )t t θθ++2(1sin )2(2cos )t p t θθ+=+22sin2(sin cos )140t t p p θθθ+-+-=M 120t t +=tan p θ=12t t =-=22222tan sin 1tan 1p pθθθ==++()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD MC MD MA MB =--=-- 1223,sin MA MB t t AB CD θ-=-=⊥π2θ-π2θ+23cos MC MD θ-= 223312sin cos AC DB θθ=+=…π4θ=3π4θ=202422498=⨯+(2024,9)224,(2024,9)8D M ==123(100,3)(100,1)(100,9)(100,3)(100)1,(100)0,(100)13M M M M T T T --====．…………………………………………………………………………7分（3）（ⅰ）对任意正整数，总有，且一定存在，使得，此时有，即当时，．因为，所以，又，所以，所以．因为．若和的变换数列分别为和，且，数列满足，且当时，，数列满足，且当时，．当时，，则．当时，若，则．若，(100,27)(100,9)29M M -==i (,1)0M i =0n 013n i ->()0,3n M i =()01,3n M i i -=0n n >()0n T i =()0,33n n M i <…()()()11,3,33,33n n n n D M i D --<=()()()11,3,3,3nn n M M i M i --=()()()()111,33,3,3,3n n n n n M i D M i M i ---=+()()1(),3,3{0,1,2}n n nT i D M i -=∈()()()()()()()00000112,3,3,3,3,3((,9)n n n n n i M i M i M i M i M i M i ---==-+-++ 000012121(,3))((,3)(,1))3()3()3()()n n n n M i M i M i T i T i T i T i ----+-=++++ (){}1n T i (){}2n T i (){}1n T j (){}2n T j 12i i <(){}1n T i ()110n T i ≠1n n >()10n T i =(){}2n T i ()220n T i ≠2n n >()20n T i =12n n <()()()()11111211111121333n n n n i T i T i T i T i ---=++++ ()1111211123239312312323nn n nn j j --<+++++=⨯-<⨯⨯< …12n n =()()12121n n T i T i ==()()()111121111121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()222122222121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()1111211111212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 21210j j i i -=->()()12122n n T i T i ==()()()1111211111212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()11112111112133330,n n n j T i T i T i --=+++++则，所以是增函数．若，则，与矛盾，所以这种情况不存在．若，则，所以是增函数．…………………………………………………………………………………………12分（ⅱ）若数列的变换数列为，数列的变换数列为，即证．数列满足，且当时，．若，则，若，则，，．综上，．…………………………………………………………………………………………17分()()()22212222212133330,n n n j T i T i T i --=+++++ ()212130j j i i -=->()f i ()()12122,1n n T i T i ==1111111223323232n n n i i --⨯>+⨯++⨯+ ……12i i <()()12121,2n n T i T i ==1221223233n nn i j j +⨯=⨯<……()f i {}()n T i {}()n T j {}()n T j {}()n T k 3k i ={}()n T i 0()0n T i ≠0n n >()0n T i =0()1n T i =0001212133()3()()n n n i T i T i T i ---=++++ 00012121233()3()(),n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0 3.n n n k T i T i T i i--=+++++= 0()2n T i =00012121233()3()()n n n i T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0n n n j T i T i T i --=+++++ 00012121233()3()3()03n n n k T i T i T i i --=⨯+++++= (())3f f i i =。
浙江省杭州市S9联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题含答案
2023学年第二学期杭州S9联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}31,B x x k k ==-∈N ，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2D ．{}12．复数()()13i 1i z =-+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若tan α=，则()sin sin cos ααα⋅+=（）A ．94+-B ．94+C ．34+D ．34+-4．已知正方体1111ABCD A B C D -则点1A 到面11AB D 的距离为（）A ．1B C ．2D 5．已知函数()212ln .2f x x x x =-+若()()121,f a f a +≥-则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)3,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．数列{}n a 的前n 项的和n S 满足()*1n n S S n n ++=∈N ，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若11,a =则{}n a 的最小项的值为－1C ．若11,a =-则20241012S =D ．若11,3a <则{}n a 是递增数列7．直线0:10l x y -+=，直线1:210l ax y -+=与0l 平行，且直线2:30l x by ++=与0l 垂直，则a b +=（）A ．4B ．2C ．3D ．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为,F 渐近线方程为,y x =±焦距为8，点A 的坐标为()1,3，点P 为C 的右支上的一点，则PFPA +的最小值为（）A ．B ．C ．+D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(含答案)
第二学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题（每小题5分共40分）1．集合{}1,2,3,4A =，{}25B x x =∈<<N ，则A B = （ ）A ．{}234，，B ．{}34，C ．{}345，，D ．{}2345，，，2．已知空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（ ）①m α⊥，n α⊥则m n ∥②m α∥，n β∥，αβ∥则m n ∥③m α⊥，m β⊥则αβ∥④n α⊥，n β∥则αβ⊥A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④3．已知非零向量a ，b ，则“两向量a ，b 数量积大于0”是“两向量a ，b夹角是锐角”的（ ）条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．即不充分也不必要4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种。
A ．120B ．240C ．480D ．7205．已知等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，5a 、2020a 是方程2230x x --=两根，则2024S =（ ）A ．2020B ．2022C ．2023D ．20246．空间点()1,1,1A -，()1,2,3B -，()1,2,4C 则点A 到直线BC 的距离d =（）A B C D 7．已知4tan 3θ=-，()3π,4πθ∈，则sin θ=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，1AC AB ==，120CAB ∠=︒则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．9π2C ．18πD ．36π二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9．已知直线1l ：1110A x B y C ++=和直线2l ：2220A x B y C ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若20A =，则2l 表示与x 轴平行或重合的直线B ．直线1l 可以表示任意一条直线C ．若12210A B A B -=，则12l l ∥D ．若12120A A B B +=，则12l l ⊥10．已知正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，前n 项积为n T ，且满足71a >，781a a <，则下列说法正确的是（ ）A ．01q <<B ．1q >C ．14131T T <<D ．{}n T 存在最大值11．已知定义域为R 的函数()f x 不恒为零，满足等式()()()2xf x x f x '=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 在定义域上单调递增C ．()f x 是偶函数D ．函数()f x '有两个极值点三、填空题（每小题5分共15分）12．复数34i z =+，则2iz+的虚部为______．13．一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______14．三角形ABC ，AB c =，BC a =，CA b =，D 为AB 边上一点，2CD =，AC CD ⊥，45BCD ∠=︒，则)b +的最大值为______四、解答题（共77分）15．（本题13分）函数()212ln 2f x x x x =--，[]1,3x ∈，求()f x 的最大值和最小值16．（本题15分）如图多面体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，EF AB ∥，22AB AF EF ===，120FAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABCD（1）求证BD CE⊥（2）求平面BDE 与平面ADF 所成锐角的余弦值17．（本题15分）（1）求圆O ：221x y +=和圆M ：22680x y y +-+=的公切线 （2）若 与抛物线24xy =相交，求弦长18．（本题17分）在高等数学中对于二阶线性递推式21n n n a pa qa ++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列21n n n a pa qa ++=+的特征方程写为2x px q =+①，若①有两个不同实数根α，β，则可令1112n n n a c c αβ--=+；若①有两个相同的实根α，则可令()112n n a c nc α-=+，再根据1a ，2a 求出1c ，2c ，代入即可求出数列{}n a 的通项。