浙江省2021年高二数学上学期期中考试卷(三)
浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
2024学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l 过点()1,2A ，()3,4B ，则直线l 的倾斜角为（）A.π6-B.π3-C.π4 D.π3【答案】C 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：42131l k -==-，所以直线l 的倾斜角为：45︒；故选：C2.直线1l ：10x y -+=与直线2l ：2230x y -+=的距离是（）A.24B.22C.D.1【答案】A 【解析】【分析】将直线2l 的方程化为302x y -+=，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.【详解】直线2l ：2230x y -+=化为302x y -+=，又直线1l ：10x y -+=，所以12l l //，所以直线1l 与直线2l 的距离是4=.故选：A.3.“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线2211x y t t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B4.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A.211322a b c-++B.121232a b c -+C.221332a b c +- D.221332a b c +- 【答案】A 【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题可知()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ ，故选：A5.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，1AA =，则异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.3-C.6D.6-【答案】C 【解析】【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量1AC uuu r 与BC的坐标，即可求得异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值．【详解】由题意可知，1,,AB AC AA三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：则 ǡ ǡ，(()()1,1,0,0,0,1,0C C B ．∴(()1,1,1,0AC BC ==-．∴111cos ,6AC BC AC BC AC BC⋅===．异面直线1AC 与1CB所成角的余弦值为6．故选：C ．6.已知点()3,0A ，()5,0B ，()0,5C ，圆()()22:221M x y -++=，一条光线从A 点发出，经直线BC反射到圆M 上的最短路程为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据点关于直线的对称可得()5,2A '，即可根据三角形三边关系结合共线求解.【详解】直线BC 方程为155x y+=，即5y x =-+，设点()3,0A 关于直线BC 的对称点为(),A a b '，则133522ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪-+=⎪⎩，解得5,2a b ==，故()5,2A '，圆心为()2,2M -，半径为1r =，故5A M =='，因此过A 经过BC 反射在P 处，由于4AP PQ A P PQ A Q A M r +=+≥'≥-'='，故光线从A点发出，经直线BC 反射到圆M 上的最短路程为4，故选：B7.已知直线l ：20x y --=与圆O ：221x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（）A.3π4B.2π3 C.π2D.π6【答案】C 【解析】【分析】由题意可得1sin APO OP∠=，可知当OP 最小时，APB ∠最大，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】由题意可知：圆22:1O x y +=的圆心为 ǡ ，半径为1，则圆心O 到直线l 1=>，可知直线l 与圆O 相离，因为2APB APO ∠=∠，且1sin OA APO OPOP∠==，当 最小时，则sin APO ∠最大，可得APO ∠最大，即APB ∠最大，又因为 的最小值即为圆心O 到直线l ，此时2πsin ,24APO APO ∠=∠=，所以APB ∠取得最大值π2．故选：C ．8.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q 若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.57 C.35D.34【答案】B 【解析】【分析】根据题意，用,a c 表示出112,,PF QF QF ，两次利用余弦定理即可容易求得.【详解】连接2QF ，如下图所示：由椭圆定义，以及已知条件，可得：()21123132,22,,222PF c PF a c QF a c QF a c ==-=-=+，在12PF F 和12QF F 中，由余弦定理可得：22222211221122112112022PF F F PF QF F F QF PF F F QF F F +-+-+=⨯⨯，代值整理可得：()()3220a c a c -+-=，57a c =，则离心率57c e a ==.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及余弦定理的使用，椭圆的定义，属综合中档题.二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22195x y +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A.12PF F 的周长为10 B.12PF F 面积的最大值为C.椭圆C 的焦距为6 D.椭圆C 的离心率为49【答案】AB 【解析】【分析】由椭圆的性质直接分析即可.【详解】对A ，因为椭圆C ：22195x y +=，3,2a b c ∴===12PF F 的周长为2210a c +=，故A 正确；对B ，因为124F F =，面积最大时高最大，为b ，所以12PF F 面积的最大值为122c b ⋅⋅=B 正确；对C ，椭圆C 的焦距为4，故C 错误；对D ，椭圆C 的离心率为23c e a ==，故D 错误；故选：AB10.已知圆221:20O x y x ++=与圆222:2220O x y x y +---=交于A ，B 两点，则（）A.两圆的公切线有2条B.AB 直线方程为210x y ++=C.255AB =D.动点(),P x y 在圆1O 上，则()221x y +-1+【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A ，根据两圆方程相减即可判断B ，根据弦长公式即可求解C ，根据点点距离公式即可判断D.【详解】由题意可知()11,0,1O r -=，()21,1,2O R =，故()121,3O O ==，故两圆相交，公切线有2条，A 正确，221:20O x y x ++=与圆222:2220O x y x y +---=相减可得210x y ++=，故AB 直线方程为210x y ++=，B 正确，()21,1O 到直线210x y ++=的距离为d =5AB ==，故C 错误，()221x y +-可看作是圆1O 上的一个点(),P x y 到点()0,1B 的距离的平方，故PB 最大值为11BO r +=+，D 正确，故选：ABD11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在四边形1111D C B A 所在的平面内，若AE =AC DF ⊥，则下述结论正确的是（）A.二面角1A BD A --的平面角的正切值为2B.1CF AC ⊥C.点E 的轨迹是一个圆D.直线DF 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为33【答案】BCD 【解析】【分析】根据二面角的几何法可得其平面角为1AOA ∠，即可求解A ，根据勾股定理可得11A E =，即可求解C ，建立空间坐标系，即可根据向量垂直判断B ，根据向量的夹角即可得sin α=23321λ+求解D.【详解】对于A,连接,AC BD 相交于O ，连接1OA ,由于,AO BD ⊥且11A B DA AB ==，故1,A O BD ⊥因此1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，故112tan 22A A AOA AO ∠===,故A 错误，对于C ：在正方体1111ABCD ABCD -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，1AE ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，故22211AE AA A E =+，则有11A E =，所以点E 的轨迹是以1A 为圆心，1为半径的圆，故选项C 正确；对于B ：在正方体中，平面ABCD ⊥平面11B BDD ，且两平面交线为BD ,,AC BD AC ⊥⊂平面ABCD ，故AC ⊥平面11B BDD ，因为AC DF ⊥，则DF ⊂平面11B BDD ，故F 在11B D 上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点F 的轨迹是线段11B D ，设111D F D B λ=，则(2F λ,22λ-,2)，则(0A ,0,0)，1(0A ,0,2)，(2B ,0,0)，(0D ,2,0)，()2,2,0C ,()12,2,2C ，则(22CF λ=-,2λ-,2)，()12,2,2AC = ,故()1222440CF AC λλ⋅=--+= ，进而可得1CF AC ⊥，故1CF AC ⊥，B 正确，又1(2A B =,0,2)-，(2BD =- ,2,0)，(2DF λ= ,2λ-,2)，设平面1A BD 的一个法向量为(n x =,y ,)z ，则有100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =，故平面1A BD 的一个法向量为(1n =,1,1)，设DF 与平面1A BD 所成的角为α，则sin |cos DF α=< ,2222223|3444321n λλλλλ-+>==⨯+++，当0λ=时，sin α有最大值33，故AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值33，故D 正确．故选：BCD ．非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()2,,1a x =- ，()1,2,0b = ，2a b ⋅=，则a = ________．【答案】5【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得0x =，即可由模长公式求解.【详解】222a b x ⋅=+= ，解得0x =，故()22215a =+-= ，故答案为：513.已知正四面体P ABC -的棱长为1，空间中一点M 满足PM xPA yPB zPC =++，其中x ，y ，z ∈R ，且1x y z ++=.则PM的最小值______．【答案】63【解析】【分析】由题设知M 与A ，B ，C 共面，则||PM的最小值为三棱锥的高，在正四面体中，利用几何法即可求得．【详解】由PM xPA yPB zPC =++，且1x y z ++=，可知M 与A ，B ，C 共面，则||PM的最小值为三棱锥的高，设O 为P 在平面ABC 上的射影，连接CO 并延长交AB 于点H ，则CH AB ⊥，所以32CH =，所以33CO =，所以三棱锥的高为2361()33-=．故答案为：6314.已知点P 是椭圆2212516x y +=上一动点，Q 是圆22(3)1x y ++=上一动点，点(6,4)M ，则|PQ |－|PM |的最大值为______.【答案】6【解析】【分析】易知圆22(3)1x y ++=的圆心是()13,0F -为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，然后由211PQ PM PF PM -≤--求解.【详解】如图所示：由2212516x y +=，得2225,16a b ==，则3c ==，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为()13,0F -，()23,0F ，则圆22(3)1x y ++=的圆心()3,0-为椭圆的左焦点，由椭圆的定义得12210PF PF a +==，所以122110111PQ PF PF PF ≤+=-+=-，又25MF ==，所以211PQ PM PF PM -≤--，()2211111156PF PM MF =-+≤-=-=，故答案为：6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写成文字说明，证明过程或验算步骤．15.已知直线1l 经过点()2,3A ．（1）若1l 与直线2l ：240x y ++=垂直，求1l 的方程；（2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求1l 的方程．【答案】（1）210x y --=（2）50x y +-=或320x y -=【解析】【分析】（1）根据两直线垂直得到1l 的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.【小问1详解】由题可知，2l 的斜率为12-，设1l 的斜率为k ，因为12l l ⊥，所以112k -=-，则2k =，又1l 经过点()2,3A ，所以1l 的方程为()322y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】若1l 在两坐标轴上的截距为0，即1l 经过原点，设1l 的方程为y kx =，将()2,3A 代入解析式得23k =，解得32k =，故1l 的方程为320x y -=，若1l 在两坐标轴上的截距不为0，则设1l 的方程为1x ya a+=，由231a a+=，得5a =，故1l 的方程为50x y +-=，综上，1l 的方程为50x y +-=或320x y -=.16.已知直线:1,l y kx l =+与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，点Q 在圆C 上运动．（1）当AB =时，求k ；（2）已知点()2,1P ，求PQ 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）0k =（2）2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意可得圆心()1,0C 到直线l 的距离1d =，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）设(),M x y ，利用相关点法求点的轨迹方程.【小问1详解】由题意可知：圆22:(1)4C x y -+=的圆心()1,0C ，半径2r =，则圆心()1,0C 到直线l 的距离1d ==，1=，解得0k=.【小问2详解】设(),M x y ，因为点()2,1P ，且M 为PQ 的中点，则()22,21Q x y --，又因为点Q 在圆C 上，则()()22221214x y --+-=，整理得2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹方程为2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是1AA 、BC 的中点，1AC BC ==，12AA =，90BCA ∠=︒.（1）求证：//AE 平面1C BD ；（2）求点E 到平面1C BD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.【小问1详解】因为111ABC A B C -为直三棱柱，则1C C ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=︒，以C 的原点，1,,CA CB CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AC BC ==，12AA =，且D ，E 分别是1AA ，BC 的中点，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,0,2,0,1,0,1,0,1,0,,02C A C BDE ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()()110,1,2,1,0,1C B C D =-=- ，设平面1C BD 的法向量为(),,n x y z =，则11200n C B y z n C D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则2x z y z =⎧⎨=⎩，取1z =，则1,2x y ==，则平面1C BD 的一个法向量为()1,2,1n =，因为AE ⊄平面1C BD ，且0AE n ⋅=，则//AE 平面1C BD .【小问2详解】由（1）可知，平面1C BD 的一个法向量为()1,2,1n =，且10,,02EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点E 到平面1C BD 的距离12626EB nd n⨯⋅===.18.如图，已知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB AD BC ===，E 是BC 的中点，AE BD M = ，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE △，使平面1B AE ⊥平面AECD.(1)求证：CD ⊥平面1B DM ；(2)求1B E 与平面1B MD 所成的角；(3)在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，1112B P BC =.【解析】【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明AE ⊥平面1B MD ，再证明//AE CD 即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点P 的具体位置，即可求解.【详解】(1)因为//AD BC ，E 是BC 的中点，所以122AB AD BE BC ====，故四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，所以BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，1AE B M ⊥，AE DM ⊥,又因为1B M DM M ⋂=，所以AE ⊥平面1B MD ，由题意，易知//AD CE ，=CE AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM ；(2)因为AE ⊥平面1B MD ，所以1B E 与平面1B MD 所成的角为1EB M ∠，由已知条件，可知AB AE CD ==，122AB AD BE BC ====，所以1B AE △是正三角形，所以130EB M ∠=，所以1B E 与平面1B MD 所成的角为30°；(3)假设线段1B C 上是存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作//PQ CD 交1B D 于Q ，连结MP ，AQ，如下图：所以////AM CD PQ ，所以A ，M ，P ，Q 四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，故12AM PQ CD ==，所以P 为1B C 中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P BC =.19.已知1F 、2F 分别为椭圆 t的左、右焦点，点,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、E 两点，1827ADE S =△，求直线l 的方程．（3）若过椭圆上一点 ǡ 的切线方程为00221x x y ya b+=，利用上述结论，设d 是从椭圆中心到椭圆在点Q 处切线的距离，当Q 在椭圆上运动时，判断212d QF QF 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）()1y x =±-（3）为定值，且定值为12，【解析】【分析】（1）根据椭圆上的点和a ，b ，c 的数量关系即可求出a ，b ，即得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据三角形面积公式，代入化简求解斜率.（3）根据0(Q x ,0)y 的切线方程为00221x x y ym n+=，计算原点到切线的距离d =式可得101|||4|2QF x =+和201|||4|2QF x =-，对212||||d QF QF 化简计算即得．【小问1详解】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，12c e a ==，故2a c =， 点26,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，则2224119a b +=，222b ac =- ，故得22224119a a c +=-，即2222411912aa a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭解得2,a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知，(2,0)A -，2(1,0)F ，若直线l 的斜率不存在，则1x =，代入椭圆方程可得21143y +=，故32y =，此时211182233227ADE S y AF ==⨯⨯≠,故直线有斜率，直线l 的斜率为k ，则l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222(43)84120k x k x k +-+-=，①显然0∆>，设1(D x ,1)y ，2(E x ,2)y ，则221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++，于是，()2122111322ADE S y y AF k x x =-=⨯-==1827===,化简可得4217180k k +-=，即()()22117180k k -+=，解得1k =±，所以直线的方程为()1y x =±-【小问3详解】由于椭圆2222:1,(0)x y C m n m n+=>>上一点0(Q x ，0)y 的切线方程为00221x x y y m n +=．依题意，设椭圆上的点0(Q x ,0)y ，则过点0(Q x ,0)y 的切线方程为00143x x y y +=，即0034120x x y y +-=，原点到切线的距离为d ==由两点间距离公式可得，10142QF x ==+，同理201|||4|2QF x =-，则22120011|||||16|(16)44QF QF x x =-=-，故22120201441||||(16)124834d QF QF x x =⨯-=-为定值．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值.。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()()16f f <B ．函数()y f x =的最大值为()5f C ．1是函数()y f x =的极小值点所以函数e2x=-图象与直线y x故选：B20．(1)21,3nn na nb =+=(2)13n n +×【分析】（1）根据题意，列出方程组求出公差、公比即可得解；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）设数列{}na 的公差为d ，数列{}nb 的公比为q ，则()11102221143912129933333(33)3a d b q a b d q a d b qa b d q +-=×-=-=ìììÞÞííí+=×=+=×îîî，消元得2603q q q --=Þ=或2q =-（舍去），故2d =，故()132121,3·33n n n na n nb -=+-=+==.（2）由()213n n n nc a b n =×=+×，则()()()()123211322132313213n nS n =+´+´+´+´+´+´++´L ①()()()()231321132213213213n n n S n n +=+´+´+´++-´++´´L ②①-②得：()()()()23121233233321332333213n n n n nS n n ++-=´++++-+×=++++-+×L L所以(6)620BD BG k k k k k -=--+-=，故BD BG k k =，故DG 过定点(1,0)B .【点睛】关键点点睛：本题求定点问题，方法与一般方法有差异，先求,BD BG 的斜率，再利用根与系数的关系，证明0BD BG k k -=是问题的关键点与难点，据此得出BD BG k k =，再由此得出定点为B.答案第161页，共22页。
2023-2024学年浙江省台金七校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 13．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√25．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√106．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ）A ．97B ．119C ．139D ．527．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+41010．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√3312．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 ．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是 ．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 ． 16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为 ．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高．18．（12分）已知圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝r 2（r ＞0），两点A （﹣3，0）、B （﹣5，0）． （1）若r ＝6，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程； （2）若圆C 上存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝10，求圆C 半径r 的取值范围．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx−2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，FB ＝FC ＝BC ＝2，AB ＝4，G 是棱CF 上一点． （1）证明：AE ∥平面BCF ；（2）当BG ∥平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：直线x −√3y +1＝0互为斜截式，得y =√33x +√33∴直线x −√3y +1＝0d 的斜率为√33，设倾斜角为θ，则tan θ=√33，∴θ=π6 故选：A ．2．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1 B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 1解：建系如图：设该正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0，、D （0，0，0），A 1（1，0，1）、 B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），对于A 选项，A 1B →=(0，1，−1)，AC 1→=(−1，1，1)，则A 1B →⋅AC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥AC 1； 对于B 选项，DC 1→=(0，1，1)，A 1B →⋅DC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥C 1D ，B 对； 对于C 选项，CB 1→=(1，0，1)，CB 1→⋅DC 1→=1，故C 1D 和B 1C 不垂直，C 错；对于D 选项，C 1B 1→=(1，0，0)，A 1B →⋅C 1B 1→=0，故A 1B ⊥B 1C 1，D 对． 故选：C ．3．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →解：CG →=CA →+AG →=CA →+12AD →=（BA →−BC →）+12（BD →−BA →）＝（a →−b →）+12(c →−a →)=12a →−b →+12c →． 故选：B ．4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√2解：依题意可得AB →=(−1，−1，2)，BC →=(1，−1，0)，OA →=(1，2，0)， 设平面ABC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅BC →=x −y =0，取n →=(1，1，1)， 所以点O 到平面ABC 的距离是d =|OA →⋅n →||n →|=1+23=√3．故选：B ．5．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√10解：对于A 项：当直线l 与直线x +y +2＝0平行，得斜率为：−3kk+2=−1，解得：k ＝1，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线x +y +2＝0垂直，得斜率：−3k k+2=1，解得：k =−12，故B 项正确； 对于C 项：直线l 化简为：（3x +y ﹣10）k +2y ﹣2＝0，由{3x +y −10=02y −2=0，解得：{x =3y =1，即l 恒过定点（3，1），故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：√(3−0)2+(1−0)2=√10，故D 项正确． 故选：C ．6．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ） A ．97B ．119C ．139D ．52解：由题意知，点F （0，1），设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），其中x 1＞0，y 1＞0， 由于|PF |＝5，所以|PF |＝y 1+1＝5，即y 1＝4，将y 1＝4代入C ：x 2＝4y 得x 12=16，∵x 1＞0，∴x 1＝4，即P （4，4）， 故直线l 的斜率为k PM =46=23，其方程为y =23(x +2)， 联立{y =23(x +2)x 2=4y ，可得3x 2﹣8x ﹣16＝0，解得x 2=−43，x 1=4， 所以y 2=23×(−43+2)=49， 由抛物线的定义，得|QF|=y 2+1=139． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)解：如图所示，圆心为C （3，0），半径为r =√2，圆心C 到直线l 的距离为d =6|m|√m 2+1，考虑P A 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|CA |＝|CB |，|PC |＝|PC |，则△P AC ≌△PBC ， 设∠APC ＝θ，则∠APB ＝2θ， 因为AC ⊥P A ，则sinθ=|AC||PC|≤√2d， 所以当PC ⊥l 时，θ最大，此时，∠APB 最大，因为对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则2θ＜π2，可得θ＜π4， 则√2d ＜sin π4=√22，可得d =6|m|√m 2+12，解得m ＜−√24或m ＞√24， 所以m 的取值范围是（﹣∞，−√24）∪（√24，+∞）． 故选：B ．8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73解：如图，延长PF 1交交双曲线于M 点，连接PF 2，QF 1，MF 2，因为F 1P →=2F 2Q →，所以PM ∥QF 2，根据双曲线的对称性可得M ，Q 关于原点对称， 所以MF 1→=F 2Q →，则四边形F 1MF 2Q 为平行四边形，所以∠PMF 2=∠F 1QF 2=π3， 设|MF 1|＝|F 2Q |＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义可得：|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a +2m ，|MF 2|＝2a +m ，|PM |＝2m +m ＝3m ，在△PMF 2中，由余弦定理得|PF 2|2=|PM|2+|MF 2|2−2|PM|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2a +2m)2=(3m)2+(2a +m)2−2×3m ×(2a +m)×12， 化为4a 2+4m 2+8am ＝9m 2+4a 2+4am +m 2﹣6am ﹣3m 2， 整理得m =10a3， 所以|MF 1|=10a3，|MF 2|=16a3，在△F 1MF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2c)2=(10a3)2+(16a3)2−2×10a3×16a3×12，整理得c 2=499a 2，所以c =73a ． 则该双曲线的离心率是ca=73．故选：D ．二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+410解：因为f(α+π3)=sin(α+π3+π6)=sin(α+π2)=cosα，故A 错误； 由题意，令x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π3+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称，故B 正确； 由题意知f(2x)=sin(2x +π6)，将f （2x ）图像上所有点向右平移π6个单位，得y =sin[2(x −π6)+π6]=sin(2x −π6)，故C 正确；因为f(α)=sin(α+π6)=35，且π3＜α＜5π6，所以π2＜α+π6＜π，所以cos(α+π6)=−45，因为sinα=[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)cos π6−cos(α+π6)sin π6，得sinα=3√3+410，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底解：选项A ，OA →在OB →上的投影向量为OA →⋅OB →|OB →|2⋅OB →=0+1+23•OB →=OB →，即选项A 正确；选项B ，因为G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，所以AG →=23×12（AB →+AC →）=13（AB →+AC →）， 所以OG →−OA →=13（OB →−OA →+OC →−OA →），整理得，OG →=13(OA →+OB →+OC →)，即选项B 正确；选项C ，因为OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，且−25+35+35≠1，所以A ，B ，C ，G 四点不共面，即选项C 错误；选项D ，由c →=λa →+μb →可知，a →，b →，c →共面，所以{a →，b →，c →}不能构成空间的一个基底，即选项D 错误． 故选：AB ．11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√33解：对于A ，若存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2，则点P 在以|F 1F 2|为直径的圆x 2+y 2＝1上，而点P 在椭圆上，易知椭圆C 1：x 24+y 23=1与圆x 2+y 2＝1无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，则可得|PF 1|＝4﹣|PF 2|， 所以|PM |﹣|PF 1|＝|PM |﹣（4﹣|PF 2|）＝|PM |+|PF 2|﹣4≥|MF 2|﹣4，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时满足题意，又F 2（1，0），M （4，4）可得|MF 2|＝5， 即|PM |﹣|PF 1|≥|MF 2|﹣4＝1，所以B 正确； 对于C ，将x 24+y 23=1变形可得3x 2+4y 2﹣12＝0，结合直线l 可得9cos 2θx 2+12cos 2θy 2﹣36cos 2θ＝0，联立直线l ：(3cosθ)⋅x =6−(2√3sinθ)⋅y ，消去x 可得y 2−2√3sinθ⋅y +3sin 2θ=0， 显然该方程仅有一解y =√3sinθ，所以当θ∈R 时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切，即C 正确； 对于D ，易知圆C 2：(x −1)2+y 2=1的圆心为F 2（1，0），所以可得|PN |≤|PF 2|+1， 不妨设P （x 0，y 0），则由x 024+y 023=1可得y 02=3−3x 024，则|PO||PN|≥√x 02+y 02√(x 0−1)2+y 02+1=√x 2+3−3x 024√(x 0−1)2+3−3x 024+1=√x 024+3√x 024−2x 0+4+1=√x 02+12√x 02−8x 0+16+2=√x 02+12√(x 0−4)2+2=√x 02+124−x 0+2=√x 02+126−x 0=√x 02+12x 02−12x 0+36，易知x 0∈[﹣2，2]，令f(x)=x 2+12x 2−12x+36，x ∈[−2，2]，则f ′(x)=−12(x−6)(x+2)(x 2−12x+36)2在x ∈[﹣2，2]上满足f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[﹣2，2]上单调递增，即f(x)≥f(−2)=14，因此可得|PO||PN|≥√x 02+12x 02−12x0+36≥√14=12，即|PO||PN|的最小值为12，即D 错误．故选：BC ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 解：根据题意，如图建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），M （0，2，1），N （x ，y ，0），A 1（2，0，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2）， 设N 的坐标为（x ，y ，0）； 依次分析选项：对于A ，假设∠ANM =π2，则NA →⋅NM →=0，且NA →=(2−x ，−y ，0)，NM →=(−x ，2−y ，1)，故N 轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，当x ＝0时，y ＝0，点（0，0）既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确；对于B ，若|A 1N|=√5，A 1（2，0，2）， N 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，则N 在底面内轨迹的长度是（x ﹣2）2+y 2＝1周长的14，即轨迹的长度为14×1×π=π4，B 正确，对于C ，A 1B →=(0，2，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设面A 1BC 1的法向量n →=(x ，y ，z)，故有{2y −2z =0−2x +2y =0，解得{x =1y =1z =1，故n →=(1，1，1)∵MN ∥平面A 1BC 1，∴MN →⋅n →=0，∴N 的轨迹方程为x +y ﹣3＝0， ∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，C 错误； 对于D 选项，B 1N →=(x −2，y −2，−2)，A 1M →=(−2，2，−1)， ∵B 1N ⊥A 1M ，∴B 1N →⋅A 1M →=0，∴N 的轨迹方程为﹣x +y +1＝0，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 （2，1，6） ． 解：空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是（2，1，6）． 故答案为：（2，1，6）．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是x 24−y 22=1 ．解：由题意可设双曲线方程为mx 2﹣ny 2＝1，m ，n ＞0； 由渐近线方程为x ±√2y =0可得n ＝2m ，将点A(√6，1)代入可得6m ﹣n ＝1，解得m =14，n =12， 所以双曲线标准方程为x 24−y 22=1．故答案为：x 24−y 22=1．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 116．解：依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点F(p 2，0)， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线MN 的方程为x =ty +p2，由{x =ty +p2y 2=2px，得：y 2﹣2pty ﹣p 2＝0，所以y 1y 2=−p 2，x 1x 2=y 12y 224p 2=p 24，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−34p 2=−3， 又p ＞0，所以p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，而y 1＝1，故y 2＝﹣4，所以x 1=y 124=14，x 2=y 224=4， 所以M 、N 两点到y 轴的距离之比为|x 1||x 2|=116．故答案为：116．16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为27√32π ．解：把平面P AB 展开到与底面ABCD 共面的P ′AB 的位置，延长DC 到D ′，使得CD ′＝1，则DF＝D ′F （如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE +EF +FD ＝P ′E +EF +FD ′最小，即P ′，E ，F ，D ′四点共线， 易知P ′D ＝6，DD ′＝4，P′D CF=DD′CD′，可得CF ＝3，所以BF =2，AB =2√2，DF =√13，∠DAF ＝45°， 由正弦定理可得△ADF 外接圆的半径r =12×√13sin45°=√262，设△ADF 外接圆圆心为O ′，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的球心O 一定在过O ′且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点P ，A 的距离相等，所以OA =√r 2+(PA2)2=√274=3√32， 即三棱锥P ﹣ADF 外接球的半径为R =3√32， 所以外接球的体积为V =43πR 3=27√32π． 故答案为：27√32π．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高． 解：（1）由a +2c cos A ＝2b 及正弦定理， 可得sin A +2sin C cos A ＝2sin B ，又在△ABC 中，易知A +B +C ＝π，可得A +C ＝π﹣B ， 所以sin （A +C ）＝sin （π﹣B ）＝sin B ，即sin A+2sin C cos A＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，可得sin A＝2sin A cos C，显然sin A≠0，所以1＝2cos C，所以cosC=12，又C∈（0，π），可得C=π3；（2）由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=12，代入c=√7b整理可得a2﹣ab﹣6b2＝0，解得a＝3b或a＝﹣2b（舍），所以△ABC的面积为S=12absinC=3√3，解得b＝2，所以a＝6，设BC边上的高为h，则S=12ℎ⋅|BC|=12aℎ=3√3，可得ℎ=√3，即BC边上的高为√3．18．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0），两点A（﹣3，0）、B（﹣5，0）．（1）若r＝6，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得|P A|2+|PB|2＝10，求圆C半径r的取值范围．解：（1）当r＝6时，圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝36，圆心为C（4，0），因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为d=√r2−32=√62−32= 3√3，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝﹣5，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+5），即kx﹣y+5k＝0，则d=9|k|√k+1=3√3，解得k=±√22，所以，直线l的方程为y=√22x+5√22或y=−√22x−5√22；（2）解：设点P（x，y），则|P A|2+|PB|2＝（x+3）2+y2+（x+5）2+y2＝10，整理可得（x+4）2+y2＝4，因为点P在圆C上，则圆C与圆（x+4）2+y2＝4有公共点，且圆（x+4）2+y2＝4的圆心为E（﹣4，0），半径为2，则|r﹣2|≤|CE|≤r+2，且|CE|＝8，故|r﹣2|≤8≤r+2，因为r＞0，解得6≤r≤10，故r的取值范围是[6，10]．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．解：（1）将正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1补成正三棱锥P ﹣ABC ，因为B 1C 1∥BC ，且BC ＝2B 1C 1＝2，则A 1、B 1分别为P A 、PB 的中点， 则P A ＝2AA 1＝2，PC ＝PB ＝P A ＝2，故△PBC 是边长为2的等边三角形， 由此可知，△P AB 、△P AC 都是边长为2的等边三角形，易知△ABC 是边长为2的等边三角形，△A 1B 1C 1是边长为1的等边三角形，故正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为3×34S △PAB +S △ABC +S △A 1B 1C 1=94×√34×22+√34×22+√34×12=7√32．（2）证明：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正△ABC 的中心， 取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，CM =ACsin π3=2×√32=√3，则CO =23CM =2√33， 因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP ⊥CO ， 所以，PO =√PC 2−OC 2=√22−(2√33)2=2√63， 以点O 为坐标原点，CO →、AB →、OP →的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(−2√33，0，0)、B(√33，1，0)、P(0，0，2√63)、A(√33，−1，0)、 D(√34，−34，√66)、E(−√312，14，√63)，则DE →=(−√33，1，√66)，CP →=(2√33，0，2√63)，CB →=(√3，1，0)，所以DE →⋅CP →=−23+23=0，DE →⋅CB →=−1+1=0，所以，DE ⊥CP ，DE ⊥CB ，因为CP ∩CB ＝C ，CP 、CB ⊂平面BCC 1B 1，故DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx −2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）当m ＝4时可得f(x)={x +4x−2，x ＞01−42x ，x ≤0； 显然当x ＞0时，x +4x −2≥2√x ⋅4x−2=2，当且仅当x ＝2时，等号成立， 当x ≤0时，易知函数1−42x 在（﹣∞，0]上单调递增，所以可得1−42x ≤1−420=−3， 即x ≤0时，1−42x ∈(−∞，−3]； 综上可知，函数f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）； （2）①当m ≤0时，函数y =x +mx −2在（0，+∞）上单调递增， 且当x 趋近于0时，y ＜0，当x 趋近于+∞时，y ＞0，即函数y =x +mx−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上单调递减，且当x ∈（﹣∞，0]时，y ＞0恒成立，即函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上无零点；所以当m ≤0时，函数f （x ）仅有1个零点；②当0＜m ＜1时，易知y =x +mx −2在(0，√m)上单调递减，在(√m ，+∞)上单调递增， 此时最小值为2√m −2＜0，即函数y =x +mx −2在（0，+∞）上存在两个零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＞0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上有一个零点；所以当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；③当m＝1时，易知y=x+1x−2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，此时最小值为0，即函数y=x+1x−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y=1−12x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为0，即函数y=1−12x在（﹣∞，0]上有一个零点；即当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；④当m＞1时，易知y=x+mx−2在(0，√m)上单调递减，在(√m，+∞)上单调递增，此时最小值为2√m−2＞0，即函数y=x+mx−2在（0，+∞）上无零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＜0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上无零点；所以当m＞1时，函数f（x）没有零点；综上可知，当m≤0时，函数f（x）仅有1个零点；当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；当m＞1时，函数f（x）没有零点．21．（12分）已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）当BG∥平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值．解：（1）证明：多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点，∵底面ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ，∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ，因为AD ∩DE ＝E ，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF ；（2）如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，∵△FBC 是等边三角形，∴FN ⊥BC ，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，∴MN ⊥NB ，以N 为坐标原点，NM ，NB ，NF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，A(4，1，0)，B(0，1，0)，C(0，−1，0)，D(4，−1，0)，F(0，0，√3)，则CF →=(0，1，√3)，设CG →=tCF →(0≤t ≤1)，则G(0，t −1，√3t)，可知BG →=(0，t −2，√3t)，AF →=(−4，−1，√3)，BD →=(4，−2，0)，由底面是平行四边形，得AE →=AF →+FE →=AF →+BD →=(0，−3，√3)，设平面AEF 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{−4x 1−y 1+√3z 1=0−3y 1+√3z 1=0，取z 1=√3，得n →=(12，1，√3)， 由题意BG ∥平面AEF ，则BG →⋅n →=0×12+(t −2)×1+√3t ×√3=0，解得t =12，∴CG →=12CF →，即G 是CF 中点， ∵AE →=(0，−3，√3)，∴E(4，−2，√3)，∴DE →=(0，−1，√3)，DG →=(−4，12，√32)，设平面DEG 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{−y 2+√3z 2=0−4x 2+12y 2+√32z 2=0， 取z 2＝1，得m →=(√34，√3，1)，BG →=(0，−32，√32)，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜BG →，m →＞|=|BG →⋅m →||BG →|⋅|m →|=|0−3√32+√32|√6716=4√6767 .∴BG 与平面DEG 所成角的正弦值为4√6767． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由题意可知离心率为e =c a =√32，将点D(√3，12)代入椭圆方程可得3a 2+14b 2=1， 又a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）易知A （﹣2，0），B （2，0），设直线l 的方程为x ＝my +4，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＜x 2，联立直线和椭圆方程{x 24+y 2=1x =my +4，整理可得（m 2+4）y 2+8my +12＝0，所以Δ＝（8m ）2﹣4×12（m 2+4）＞0，可得m 2＞12，且y 1+y 2=−8m m 2+4，y 1y 2=12m 2+4， 可得直线P A 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)=y 1my 1+6(x +2)， 直线QB 的方程为y =y2my 2+2(x −2)， 解得M(2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2−y 1，2y 1y 23y 2−y 1)， PQ =√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=4√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4， M 点到直线PQ 的距离为d =|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2 所以△PQM 的面积为S 1=12|PQ|⋅d =2×√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2=12√m 2−12m 2+4⋅|(y 1−y 2)3y 2−y 1|， △ABM 的面积为S 2=12|AB|⋅|2y 1y 23y 2−y 1|=4|y 1y 23y 2−y 1|， 所以S 1S 2=3×√m 2−12m 2+4⋅|y 1−y 2||y 1y 2|=3×√m 2−12m 2+4⋅4√m 2−12m 2+412m 2+4=m 2−12m 2+4=1−16m 2+4，又m 2＞12可得1−16m 2+4∈(0，1)， 即可得S 1S 2的取值范围是（0，1）．。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。
浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
的方程化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线
l2
：
2x
-
2
y
+
3
=
0
化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，
又直线 l1 ： x - y +1 = 0 ，所以 l1//l2 ，
l1
l2
所以直线 与直线 的距离是
1
-
3 2
=
12 + (-1)2
2. 4
故选：A.
3．B
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得 t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
2c, PF1
=
2a
- 2c,QF1
=
3 2
(a
- c),QF2
=
1 2
a
+
3 2
c
，
在 VPF1F2 和 VQF1F2 中，由余弦定理可得：
PF12 + F1F22 - PF22 2PF1 ´ F1F2
+
QF12 + F1F22 - QF22 2QF1 ´ F1F2
=0，
代值整理可得：
3(a - c) + 2(a - 2c) = 0 ，
故选：AB 10．ABD 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断 A，根据两圆方程相减即可 判断 B，根据弦长公式即可求解 C，根据点点距离公式即可判断 D.
【详解】由题意可知 O1 (-1, 0), r = 1， O2 (1,1), R = 2 ，
浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。
2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.723．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=14．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√555．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1]B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√16637．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x+y+2z的最大值为（）A．1+√66B．2√63C．1+√62D．83二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）A．众数为60或70B．45%分位数为70C．平均数为73D．中位数为7510．已知点P（0，1）和直线l：2x+y+1＝0，下列说法不正确的是（）A．经过点P的直线都可以用方程y＝kx+1表示B．直线l在y轴上的截距等于1C．点P关于直线l的对称点坐标为(−85，15)D．直线l关于点P对称的直线方程为2x+y+3＝011．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C 上一个动点，则（）A．三棱锥A1﹣EFG的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 112．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD ．若椭圆上恰有6个不同的点P ，使得△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆E 的离心率的取值范围是(13，12)∪(12，1) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 条．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为 ．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为 ．16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明． 20．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣12＝0． （Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x +y ﹣7＝0与圆C 的交点，且面积最小的圆的方程．21．（12分）如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AC =√5，B 1C 1=2BC =2√2，AA 1=2√6，点A 在平面A 1B 1C 1上的射影在∠B 1A 1C 1的平分线上． （Ⅰ）求证：AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）若A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，求直线AC 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意两条直线垂直时，则m （m ﹣3）+m （m ﹣1）＝0，即2m 2﹣4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝2，所以“m ＝2”是“直线l 1：（m ﹣3）x +my +1＝0与直线l 2：mx +（m ﹣1）y ﹣2＝0互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．2．已知事件A ，B 相互独立，P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，则P （A +B ）＝（ ） A ．0.88B ．0.9C ．0.7D ．0.72解：因为事件A ，B 相互独立，所以P （AB ）＝P （A ）•P （B ）＝0.5×0.4＝0.2．所以P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7． 故选：C ．3．过点(√2，2)，且与椭圆y 225+x 216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．x 218+y 29=1 B ．y 218+x 29=1C ．x 212+y 23=1D ．y 212+x 23=1解：根据题意可设所求椭圆方程为：y 225−λ+x 216−λ=1，λ≤16，又该椭圆过点(√2，2)， ∴425−λ+216−λ=1，解得λ＝13，∴所求椭圆方程为y 212+x 23=1．故选：D ．4．已知A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0），则点O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．√1111B ．2√1111C ．√55D ．2√55解：由A （0，0，2），B （1，0，﹣1），C （1，1，0），O （0，0，0）， 可得AB →=（1，0，﹣3），AC →=（1，1，﹣2），OA →=（0，0，2）， 设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•AB →=n →•AC →=0，即x ﹣3z ＝x +y ﹣2z ＝0，可取n →=（3，﹣1，1），则点O 到平面ABC 的距离是|n →⋅OA →|n →||=29+1+1=2√1111．故选：B ．5．点P （x ，y ）在圆x 2+y 2＝2上运动，则|x ﹣y +3|的取值范围（ ） A ．[0，1] B ．[0，4]C ．[1，5]D ．[1，4]解：|x ﹣y +3|=|x−y+3|√2×√2，√2为（x ，y ）到直线x ﹣y +3＝0的距离， 由题意可得圆心O （0，0）到直线x ﹣y +3＝0的距离d =3√2=32√2， 故=2∈[32√2−√2，32√2+√2]＝[12√2，52√2]，∴|x ﹣y +3|的取值范围为[1，5]． 故选：C ．6．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →=3EC →，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．3√19010B ．√22C ．3√2D ．√1663解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， 设P （m ，n ，0），B 1（3，3，3），B （3，3，0），C （0，3，0），D 1（0，0，3），B 1P →=（m ﹣3，n ﹣3，﹣3），BC →=3EC →，即3EC →=（﹣3，0，0），E （1，3，0），D 1E →=（1，3，﹣3）， 由B 1P ⊥D 1E ，可得B 1P →•D 1E →=m ﹣3+3n ﹣9+9＝0，即m +3n ＝3， 当m ＝0时，n ＝1；当n ＝0时，m ＝3，即0≤n ≤1，|B 1P |=√(m −3)2+(n −3)2+9=√9n 2+n 2−6n +18=√10n 2−6n +18=√10(n −310)2+17110， 由于0≤n ≤1，可得n =310时，|B 1P |取得最小值3√19010； 当n ＝1时，|B 1P |取得最大值√22． 故选：B ．7．已知A ，B 是圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0）上两点，且|AB|=2√2．若存在a ∈R ，使得直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0与l 2：x +ay ﹣5a ＝0的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(0，2√2−1]B ．(0，2√2−2]C ．(0，2√2+1]D ．(0，2√2+3]解：圆C ：（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝3（m ＞0），半径r =√3，设M 恰为AB 的中点，直线与圆相交弦长|AB |＝2√r 2−|MC|2=2√2，所以|MC |＝1， ∴M 的轨迹方程是（x ﹣m ）2+（y ﹣3）2＝1．又直线l 1：ax ﹣y +4a +1＝0过定点Q （﹣4，1），直线l 2：x +ay ﹣5a ＝0过定点S （0，5），且l 1⊥l 2， 则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心（﹣2，3），半径为12|QS |＝2√2，∴P 的轨迹方程是（x +2）2+（y ﹣3）2＝8，由于l 1的斜率存在， 所以点P 的轨迹要除去点（﹣4，5）， 由已知得M 的轨迹与点P 的轨迹有公共点，∴2√2−1≤|MP |≤2√2+1，即2√2−1≤|m +2|≤2√2+1， 又m ＞0，所以2√2−1≤m +2≤2√2+1，解得2√2−3≤m ≤2√2−1， ∴实数m 的取值范围为（0，2√2−1]． 故选：A ．8．已知动点P ，Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ →=xAB →+yAC →+zAD →，则x +y +2z 的最大值为（ ） A ．1+√66B ．2√63C ．1+√62D ．83解：由题意，连接AD ，EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点， 设正方体棱长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ， 设内切球半径为r 1，外接球半径为r 2， 三棱锥外接球半径r 2=√22+22+222=√3，而由正三棱锥内切球半径公式 r 1=22√3=√33，取任意一点P ，使得(x +y +2z)⋅AT →=xAB →+yAC →+zAD →=xAB →+yAC →+2zAM →， 则点T 在面BCM 上，∴|(x +y +2z)⋅AT →|=|PQ →|≤r 1+r 2=√3+√33=4√33， 点A 到面BCM 距离为d ＝AM ， 则|AT →|≥d =AM =2√2=√2， x +y +2z =|(x+y+2z)⋅AT →||AT →|≤4√332=2√63． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ）A ．众数为60或70B ．45%分位数为70C ．平均数为73D ．中位数为75解：对于选项A ，由频率分布直方图可知：小矩形最高是[60，70]这一小组， 所以众数为60+702=65，故A 错误；对于选项B ，[50，60]这一小组的小矩形面积为0.005×10＝0.05，[60，70]这一小组的小矩形面积为0.04×10＝0.4， 0.05+0.4＝0.45，即45%分位数为70，故B 正确；对于选项C ，平均数为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10＝73，故C 正确；对于选项D ，[70，80]这一小组的小矩形面积为0.03×10＝0.3，设中位数为y ， 则结合B 选项有0.05+0.4+（y ﹣70）×0.03＝0.5，解得y =2153，故D 错误． 故选：BC ．10．已知点P （0，1）和直线l ：2x +y +1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．经过点P 的直线都可以用方程y ＝kx +1表示B ．直线l 在y 轴上的截距等于1C ．点P 关于直线l 的对称点坐标为(−85，15) D ．直线l 关于点P 对称的直线方程为2x +y +3＝0解：对于A 选项．当直线斜率不存在时不能用方程y ＝kx +1表示，故A 选项错误；对于B 选项．直线l ：2x +y +1＝0，即y ＝﹣2x ﹣1，直线l 在y 轴上的截距等于﹣1，故B 选项错误；对于C 选项．设点P 关于直线l 的对称点坐标为（a ，b ），则{b−1a ⋅(−2)=−12⋅a 2+b+12+1=0，解得{a =−85b =15， 所以点P 关于直线l 的对称点坐标为（−85，15），故C 选项正确；对于D 选项．直线l 关于点P 对称直线方程为2x +y +b ＝0， 由题意，√5=√5，得b ＝﹣3或b ＝1（舍去）．∴直线方程为2x +y ﹣3＝0，故D 选项错误． 故选：ABD ．11．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则（ ）A ．三棱锥A 1﹣EFG 的体积为定值B ．点E 到直线B 1C 的距离为34√2C ．线段B 1C 上存在点G ，使得FG ⊥BDD ．线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1 解：∵B 1C ∥平面AA 1D 1D ，∴G 到平面A 1EF 的距离相等， 又△A 1EF 的面积为定值，∴V A 1−EFG =V G−A 1EF 为定值，故A 正确；以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）， C 1（0，2，2），E （ 1，0，2），F （ 2，0，1）， B 1（2，2，2），CB 1→=(2，0，2)，CE →=(1，−2，2)， cos ＜CB 1→，CE →＞=CB 1→⋅CE →|CB 1→||CE →|=2+422×3=√22，则cos ＜CB 1→，CE →＞=√22， 可得点E 到直线B 1C 的距离为|CE →|sin ＜CB 1→，CE →＞=3×√22=3√22，故B 错误；设G （t ，2，t ），0≤t ≤2，则DB →=(2，2，0)，FG →=(t −2，2，t −1)，由BD →⋅FG →=2(t −2)+2×2=0，解得t ＝0，即线段B 1C 上存在点G 与C 重合，使得FG ⊥BD ，故C 正确；DB →=（2，2，0），DC 1→=（0，2，2），EF →=（1，0，﹣1）， 设G （m ，2，m ），（0≤m ≤2），则FG →=（m ﹣2，2，m ﹣1）， 设平面BDC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DC 1→=2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，1）， 设平面EFG 的法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅EF →=a −c =0m →⋅FG →=(m −2)a +2b +(m −1)c =0，取a ＝1，得m →=（1，3−2m 2，1），设n →=km →，即（1，﹣1，1）＝k （1，3−2m 2，1），解得k ＝1，m =52，∵0≤m ≤2，∴不合题意，故线段B 1C 上不存在点G ，使平面EFG ∥平面BDC 1，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）A ．若点P 为椭圆上一点，则|PF 2|﹣|PF 1|的最大值是2cB ．若点T 的坐标为(12a ，0)，P 是椭圆上一动点，则线段PT 长度的最小值为12aC ．过F 2作垂直于x 轴的直线，交椭圆于A ，B 两点，则AF 2=a −c 2aD．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是(13，1 2)∪(12，1)解：对于选项A：易知|PF2|﹣|PF1|≤|F1F2|，P在左顶点时，等号成立，所以|PF2|﹣|PF1|的最大值为2c，故选项A正确；对于选项B：不妨设P（m，n），m∈[﹣a，a]，因为点P在椭圆上，所以m2a2+n2b2=1，|PT|2=(m−12a)2+n2＝m2﹣am+14a2+b2−b2m2a2=c2a2(m−a32c2)2+14a2+b2−a44c2，若b＜c，可得a2＜2c2，0＜a32c2＜a，所以当m=a32c2时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2+b2−a44c2，可得线段PT长度的最小值为√14a2+b2−a44c2；若b≥c，可得a2≥2c2，a32c2≥a，所以当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为14a2，可得线段PT长度的最小值为12a，故选项B错误；对于选项C：当x＝c时，解得y=±b2a，此时|AF2|=b2a=a2−c2a=a−c2a，故选项C正确；对于选项D：不妨设椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D，易知上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，要让椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，此时以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的P1，P2两点，需满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|，即a﹣c＜2c且a≠2c，解得c a＞13且c a≠12，综上，椭圆E 的离心率的取值范围为(13，12)∪(12，1)，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有 4 条． 解：根据题意，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2的圆心为（3，4），半径r =√2， 由题意可知切线的斜率存在，当截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0， 所以√k 2+1=√2，化简得7k 2﹣24k +14＝0，因为Δ＝（﹣24）2﹣4×7×14＝184＞0，所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条， 当截距不为零时，设切线方程为x +y ﹣a ＝0， 所以√2=√2，解得a ＝5或a ＝9，所以不过原点的切线为x +y ﹣5＝0或x +y ﹣9＝0，有2条，综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝2相切的直线有4条． 故答案为：4．14．已知矩形ABCD ，AB =1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若|BD|=√2，则二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，由等面积法知，12AB ⋅BC =12AC ⋅BE =12AC ⋅DF ，所以BE =DF =√32，则AE =CF =12，所以EF ＝1， 因为BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，所以BE →⋅EF →=0，EF →⋅FD →=0，由二面角的概念知，二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角即为EB →，FD →所成角， 因为BD →=BE →+EF →+FD →，所以BD →2=(BE →+EF →+FD →)2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →⋅EF →+2EF →⋅FD →+2BE →⋅FD →=34+1+34+2BE →⋅FD →=2， 所以BE →⋅FD →=−14，即EB →⋅FD →=14，则cos ＜EB →，FD →＞=EB →⋅FD →|EB →||FD →|=14√32×√32=13，所以二面角B ﹣AC ﹣D 的余弦值为13．故答案为：13．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，椭圆上的点M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）分别在第一、二象限内，若△OAN 与△OBM 的面积相等，且x M 2+x N 2=4b 2，则C 的离心率为√32． 解：由△OAN 与△OBM 的面积相等可得：12a •y N =12b •x M ， ∴x M 2a 2=y N 2b 2，又x M 2+x N 2=4b 2，∴4b 2−x N 2a 2=y N 2b 2，∴4b 2a 2=x N 2a 2+y N 2b 2=1，∴b 2a 2=14，∴a 2＝4b 2＝4（a 2﹣c 2），∴e =ca =√32． 故答案为：√32． 16．某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为l ：y ＝kx +b ，C ：x 2+y 2＝r 2，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得k ，b ，r ∈{1，2，3，4}，并且他填写的结果为直线与圆相交．若数组（k ，b ，r ）的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为 78．解：易知数组（k ，b ，r ）有43＝64种结果，若要直线与圆相交，需圆心C （0，0）到直线l 的距离d =b√k +1r ⇒b2r2＜k 2+1，显然b ≤r 时，b 2r+2≤1＜k 2+1恒成立，若b ＞r ，①当b ＝2，r ＝1，此时k ＝1不符题意；②当b ＝3，r ＝1，此时k ＝1，2不符题意，当b ＝3，r ＝2，此时k ＝1不符题意； ③当b ＝4，r ＝1，此时k ＝1，2，3不符题意，当b ＝4，r ＝2，此时k ＝1不符题意， 当b ＝4，r ＝3，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为P =1−864=78． 故答案为：78．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是空间中的三个单位向量，且a →⊥b →，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°．若OM →=2a →+b →−c →，OA →=a →+b →+c →，OB →=a →+2b →+c →． （Ⅰ）求|MB →|；（Ⅱ）求MB →和OA →夹角的余弦值．解：（Ⅰ）因为MB →=OB →−OM →=a →+2b →+c →−(2a →+b →−c →)=−a →+b →+2c →， 所以|MB →|=√(−a →+b →+2c →)2=√a →2+b →2+4c →2−2a →⋅b →−4a →⋅c →+4b →⋅c →=√1+1+4−4×1×1×12+4×1×1×12=√6；（Ⅱ）因为|OA →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →=√1+1+1+2×1×1×12+2×1×1×12=√5，MB →⋅OA →=(−a →+2b →+c →)⋅(a →+b →+c →)=−a →2+2b →2+c →2+a →⋅b →+3b →⋅c →=−1+2+1+12+3×12=4， 所以cos ＜MB →，OA →＞=MB →⋅OA→|MB →|×|OA →|=4√6×√5=2√3015．18．（12分）为调查高一、高二学生心理健康情况，某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人、40人参加心理健康测试（满分10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩x i （i ＝1，2，3，⋯，60）的平均分x =8，方差s x 2=2，高二学生成绩y i （i ＝1，2，…，40）的统计表如表：（Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差s y 2； （Ⅱ）估计该学校高一、高二全体学生的平均分z 和方差s z 2．解：（Ⅰ）y =140×(4×1+5×2+6×9+7×15+8×10+9×3)=7， s y 2=140×[（4﹣7）2+2×（5﹣7）2+9×（6﹣7）2+15×（7﹣7）2+10×（8﹣7）2+3×（9﹣7）2]＝1.2； （Ⅱ）z =1100×(60×8+40×7)=7.6，s z 2=1100×[60×2+40×1.2+60×4060+40×(8−7)2]＝1.92．19．（12分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号； ②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．解：（Ⅰ）重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： （1，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）， ∵信号的传输相互独立，∴“至少收到两次1”的概率为P =23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027． （Ⅱ）事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：P =13×13×12=118， ∴至少收到一个正确信号的概率为P （A ）＝1−118=1718； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能为：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性， P （B ）=13×13×12+13×13×12+13×23×12+23×13×12=13，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：（0，0，0），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性，P（AB）=13×13×12+13×23×12+23×13×12=518，∵P（A）P（B）≠P（AB），∴事件A与事件B不互相独立．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（Ⅰ）求过点（7，5）且与圆C相切的直线方程；（Ⅱ）求经过直线x+y﹣7＝0与圆C的交点，且面积最小的圆的方程．解：（Ⅰ）由圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0，得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，所以圆心为（2，3），半径为5，当过点（7，5）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝7，与圆C相切，符合题意，当过点（7，5）的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，根据题意可得√k2=5，即√k2=5，化简整理得20k＝﹣21，解得k=−2120，所以直线方程为21x+20y﹣247＝0，综上所述：切线方程为x＝7或21x+20y﹣247＝0；（Ⅱ）设过经过直线x+y﹣7＝0与圆C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0的交点的圆的方程为：x2+y2﹣4x﹣6y﹣12+k（x+y﹣7）＝0，即x2+y2+（k﹣4）x+（k﹣6）y﹣12﹣7k＝0，即（x+12k﹣2）2+（y+12k﹣3）2＝（12k﹣2）2+（12k﹣3）2+12+7k=12k2+2k+25，半径r2=12k2+2k+25=12（k+2）2+23，则当k＝﹣2时，半径r2最小为23，此时圆面积最小，此时圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝23．21．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=√5，B1C1=2BC=2√2，AA1=2√6，点A在平面A1B1C1上的射影在∠B1A1C1的平分线上．（Ⅰ）求证：AA1⊥B1C1；（Ⅱ）若A到平面A1B1C1的距离为4，求直线AC与平面AA1B1B所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：设点A 在平面A 1B 1C 1上的射影为O ，则点O 在∠B 1A 1C 1的平分线A 1D 上， 所以AO ⊥平面A 1B 1C 1，因为B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AO ⊥B 1C 1， 因为AB ＝AC ，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以A 1B 1＝A 1C 1，所以A 1D ⊥B 1C 1， 又因为AO ∩A 1D ＝O ，AO ⊂平面AA 1O ，A 1O ⊂平面AA 1O ，所以B 1C 1⊥平面AA 1O ，又因为AA 1⊂平面AA 1O ，所以AA 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）解：以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为A 到平面A 1B 1C 1的距离为4，所以A （0，0，4），A 1O =√AA 12−AO 2=√(2√6)2−42=2√2，所以A 1（0，﹣2√2，0），因为B 1C 1＝2BC ＝2√2，所以A 1B 1＝A 1C 1＝2AB ＝2√5，所以A 1D =√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以OD =√2，所以B 1（√2，√2，0），C 1（−√2，√2，0），所以AC →=12A 1C 1→=（−√22，3√22，0），A 1A →=（0，2√2，4），A 1B 1→=（√2，3√2，0），设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1A →=0n →⋅A 1B 1→=0，即{2√2y +4z =0√2x +3√2y =0，令y ＝﹣1，得x ＝3，z =√22，所以n →=（3，﹣1，√22），设直线AC 与平面AA 1B 1B 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AC →＞|=|n →⋅AC →||n →||AC →|=|−3√22−3√22+0|√9+1+12×√12+92+0=2√10535．22．（12分）设圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E ． （Ⅰ）写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，过A 且与l 平行的直线与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|AD →⋅PQ →|的取值范围．解：（Ⅰ）已知圆x 2+y 2+2x ﹣15＝0的圆心为A ，所以圆A 的标准方程为（x +1）2+y 2＝16，圆心A （﹣1，0），半径r ＝4， 易知|AD |＝|AC |＝r ＝4，EB ∥AC ， 可得∠EBC ＝∠ADC ＝∠ACD ， 所以|EB |＝|ED |，此时|EA |+|EB |＝|EA |+|ED |＝|AD |， 则|EA |+|EB |＝4，不妨设A （﹣1，0），B （1，0）， 因为|AB |＝2＜|EA |+|EB |，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；（Ⅱ）不妨设直线CD 的方程为x ＝ty +1， 可得直线PQ 的方程为x ＝ty ﹣1，联立{x =ty +1x 2+y 2+2x −15=0消去x 并整理得（t 2+1）y 2+4ty ﹣12＝0， 此时Δ＝16t 2+48（t 2+1）＝64t 2+48＞0， 解得x =−4t±√64t 2+482(t 2+1)=−2t±2√4t 2+3t 2+1，联立{x =ty −1x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3t 2+4）y 2﹣6ty ﹣9＝0，因为点A 在椭圆内，所以该方程一定有两个不相等的实数根， 不妨设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），第21页（共21页） 由韦达定理得y 3+y 4=6t 3t 2+4，y 3y 4=−93t 2+4， 则(y 3−y 4)2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=(6t 3t 2+4)2−4×(−93t 2+4)=144(t 2+1)(3t 2+4)2，x 4﹣x 3＝ty 4﹣1﹣（ty 3﹣1）＝t （y 4﹣y 3），此时PQ →=(x 4−x 3，y 4−y 3)=（ty 4﹣ty 3，y 4﹣y 3），AD →=(x D +1，y D )， 可得AD →⋅PQ →=(x D +1)(ty 4−ty 3)+y D （y 4﹣y 3）＝（t 2y D +y D +2t ）（y 4﹣y 3）， 因为t 2y D +y D +2t =(t 2+1)⋅−2t±2√4t 2+3t 2+1+2t =±2√4t 2+3，所以|AD →⋅PQ →|=|t 2y D +y D +2t |•|y 4﹣y 3|＝24√(t 2+1)(4t 2+3)(3t 2+4)2，不妨令m ＝3t 2+4，m ≥4，此时|AD →⋅PQ →|=8√m 2−11m+7m 2=8√7m 2−11m +4，不妨令n =1m ，0＜n ≤14，此时|AD →⋅PQ →|=8√7n 2−11n +4，易知函数y ＝7n 2﹣11n +4是开口向上的二次函数，对称轴x =1114，所以函数y ＝7n 2﹣11n +4在（0，14]上单调递减，则当x =14时，函数y ＝7n 2﹣11n +4取得最小值，最小值为2716， 所以y ＝7n 2﹣11n +4∈[2716，4），则8√7n 2−11n +4∈[6√3，16），故|AD →⋅PQ →|的取值范围为[6√3，16）．。
【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（ ） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−， 所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−， 所以z 的虚部为3−， 故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =， 因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =， 所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ， 所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点， 所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（ ）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解， 所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5， 故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（ ）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（ ）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ， 过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ， 因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠， 由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合， 设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO， 根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义， 设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，， 因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =， 因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ， 又因为20304y ，所以267174434y ， 所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个， 故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=， 即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤， 故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =， 所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确； 故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（ ） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确； 若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确； 故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（ ）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形， 又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确； 对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确； 对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确； 对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号， 所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________． 【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =， 圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =， 所以，圆锥的高为223h l r =−=， 因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点， 由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−， 当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−． 故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−， 则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−， 即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ． 【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积 【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差． 【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解； （3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下： 列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =， 男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可； （2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==； 【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−， 又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥； （2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==， 因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==， 又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=， 同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥， 因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ， 因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ， 过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ， 因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点， 则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=， 因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==， 则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥， 因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ， 则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅， 因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+； 【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩， 当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程． 【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>， 又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。
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浙江省2021年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本题共10题，每小题4分，共40分）1．直线y=x+2的倾斜角是（）A． B．C． D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β3．圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=9与圆x2+（y+1）2=4的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．外离4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．25．圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y﹣4）2=2 B．（x﹣3）2+（y+4）2=2C．D．6．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2C．D．37．已知A（﹣2，0），B（2，0），点P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是（）A．22 B．10 C．36 D．268．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，Q是该棱柱内切球表面上的动点，则|PQ|的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，3]D．[1，]9．已知△ABC中，∠C=，∠B=，AC=2，M是AB的中点，沿直线CM将CBM 折起，若AB=，设二面角B﹣CM﹣A的平面角为α，则α的大小为（）A．B．C．D．10．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，点D，E，F分别是BB1，AA1，CC1，的中点，若侧棱AA1与底面三角形的相邻两边都成60°角，则四棱锥D﹣A1C1EF的体积是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7题，每小题3分，共21分）11．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为．13．已知直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，则这两条平行线之间的距离为．14．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则直线PC与AB 所成角的大小是．15．若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围．16．已知实数a，b满足：a2+b2≠0，过点M（﹣1，0）作直线ax+by+2b﹣a=0的垂线，垂足为N，点P（1，1），则|PN|的最大值为．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，满足PQ∥平面AC1D1，则PQ与平面BDD1B1所成角的范围是．三、解答题（本题共5题，共39分）18．已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．20．已知圆C的圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点A（3，﹣1）．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l过点P（1，1）且截圆C所得的弦长为，求直线l的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，AC与BD的交点为M，点N在线段PB上，且PN=．若二面角A﹣BC ﹣P的正切值为2．（I）求证：MN∥平面PDC；（Ⅱ）求平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值．22．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+y2﹣2x﹣y﹣2=0，记两圆的公共弦所在的直线为l．（I）求直线l的方程．（Ⅱ）设直线l与x轴的交点为M，过点M任作一条直线与圆O相交于点A，B，是否存在x轴上的定点N，连接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．B．2．D．3．C．4．C 5．A．6．C．7．D．8．B 9．D．10．A．二、填空题11．解：由三视图可知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧和底面垂直，且这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是故答案为：12．解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π，故r2=1，解得r=1，∴l=2r=2，故答案为：213．解：直线x﹣2y+1=0与直线2x﹣4y+1=0平行，即直线x﹣2y+1=0与直线x﹣2y+=0平行，平行线之间的距离为：=．故答案为：．14．解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△AEG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．15．解：曲线y=即x2+y2=4 （y≥0），表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图．当直线y=x+m与半圆相切时，由2=，可得m=2，或m=﹣2（舍去）．当直线y=x+m过点（﹣2，0），把点（﹣2，0）代入直线y=x+m可得0=﹣2+m，故m=2．当直线y=x+m过点（2，0），把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=﹣2．数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点时，则m的取值范围是：，故答案为：．16．解：直线ax+by+2b﹣a=0化为a（x﹣1）+b（y+2）=0，令，解得x=1，y=﹣2．∴直线ax+by+2b﹣a=0过定点Q（1，﹣2）．∴垂足N在以MQ为直径的圆上，圆心即相等MQ的中点C（0，﹣1）．其圆的方程为：x2+（y+1）2=2．|PC|=．∴|PN|的最大值为．故答案为：．17．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，1），设平面AC1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设P（0，1，t），Q（a，b，0），a，b，t∈[0，1），，0≤λ＜1，∴（a，b，0）=（λ，λ，0），∴Q（λ，λ，0），，∵PQ∥平面AC1D1，∴，t=λ，∴，∵AC⊥平面BDD1B1，∴平面BDD1B1的一个法向量=（﹣1，1，0），设PQ与平面BDD1B1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||==，0≤λ＜1，∴λ=时，（sinθ）max==，此时，λ=1时，（sinθ）min==，此时，∴PQ与平面BDD1B1所成角的范围是（，]．故答案为：．三、解答题18．解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），∵k AB==﹣，∴线段AB的中垂线的斜率k=，∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．19．解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；且AB∩PA=A，∴EA⊥平面PAB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，∴CD⊥平面PAE；又AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD；又AH⊥PE，且CD∩AE=E，∴AH⊥平面PCD，∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；﹣﹣﹣﹣﹣﹣在Rt△PAE中，∵PA=2，AE==，∴tan∠AEP===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．解：（I）设圆心为（x0，5﹣3x0），则解得，所以圆的方程：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为，弦长为符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线l不垂直于x轴时，设方程为y﹣1=k（x﹣1），由弦心距三角形得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以方程为5x+12y﹣17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y﹣17=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．证明：（Ⅰ）在△ACD中，∵△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=，∴由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴，∴，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥CD，BC⊥PC，∴∠PCD为二面角A﹣BC﹣P的平面角，∴，∵CD=，∴PD=，∵BD=BM+MD=，∴PB=2，∴，∴MN∥PD．∵MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．解：（Ⅱ）分别延长CD，AB交于点G，则PG为两个平面的棱，作CE⊥PG，连结BE，∵BC⊥平面PDC，∴BE⊥PG，∴∠CEB为平面DCP与平面ABP所成的锐平面角，∵，∴，∴平面DCP与平面ABP所成的锐角的余弦值为．22．解：（Ⅰ）圆O与圆C两边相减得l：2x+y﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）由题意得M（1，0），当AB⊥x轴时显然成立．当AB不垂直于x轴时，设AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意得N点不是M点，所以直线AN，BN的斜率存在∠ANM=∠BNM⇔k AN+k BN=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴⇒k[2x1x2﹣（n+1）（x1+x2）+2n]=0由韦达定理得k[2n﹣8]=0，所以n=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以点N存在为N（4，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
——罗曼罗兰不要询问世界需要什么。
问问什么事情可以使你活跃，然后付诸实践。
因为世界需要活跃的人。
----霍华德瑟曼大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。
——李白不为外撼，不以物移，而后可以任天下之大事。
吕坤《呻吟语应务》书，能保持我们的童心；书能保持我们的青春。