最新二旋转体的体积
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二旋转体的体积
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
O a x1
xi-1 xi
xn b x
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V = b [ f ( x ) ] 2 d x 。 a
体积为
y
V = d [(y)]2dy c
d
x=(y)
c
o
x
例 6 求摆线 x = a(t - sin t)，y = a(1 - cos t)的
一拱与 y = 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转
构成旋转体的体积.
y(x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx=
2ay2(x)dx
0
a 2a
= 2 a 2 (1 - cto )2a s (1 - cto )dst 0
= a 32 ( 1 - 3 cto + 3 c s2 o t- c s3 o t) d= s5t2a3. 0
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B x=x2(y)
可看作平面图OABC与OBC o x=x1(y)
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dV=hr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V =
0hhr x2dx=
r 2 h2
x3 h 3 0
=
hr 3
2
.
2
2
2
例 5 求星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a 0)绕 x轴旋转
解 取积分变量为y, y[0,4]
体积元素为
P
dy Q
M
dV =[P2 M - Q2M ]dy 3 = [ ( 3 + 4 - y ) 2 - ( 3 - 4 - y ) 2 ] dy
=1 24-yd,y
4
V=1 20 4-ydy=6 4.
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕 y轴旋转一周
例3
求椭圆 x 2 a2
+
y2 b2
=1
绕x轴旋转产生的旋转体的体
b y y=b a2 -x2 a
积。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
的旋转体的体积：
V x = 2 0 a y 2 d x = 2 0 a b a 2 2 ( a 2 - x 2 ) dx
= 2 b 2 ( a 2 x - x 3 ) a = 4 a 2 。 b a 2 3 0 3 下页
平行截面面积为已知的立体的体积
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy = 02ax22(y)dy- 02ax12(y)dy
=a2(t-sit)n 2asitn dt 2 -a2(t-sit)n 2asitn dt 0
=a3 2(t-sit)n 2sitn d=t63a3. 0
例 7 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 =a3 -x3,
y2
2 =a3
-
2
x3
3
-a
x[-a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V=
-aaa32
2
-x3
3 dx=
32 a3 105
.
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x =(y)、直线y =来自百度文库、y =d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
例 4 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x = h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆
锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y= r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x + d ] ， x
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
O a x1
xi-1 xi
xn b x
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：V = b [ f ( x ) ] 2 d x 。 a
体积为
y
V = d [(y)]2dy c
d
x=(y)
c
o
x
例 6 求摆线 x = a(t - sin t)，y = a(1 - cos t)的
一拱与 y = 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转
构成旋转体的体积.
y(x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx=
2ay2(x)dx
0
a 2a
= 2 a 2 (1 - cto )2a s (1 - cto )dst 0
= a 32 ( 1 - 3 cto + 3 c s2 o t- c s3 o t) d= s5t2a3. 0
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B x=x2(y)
可看作平面图OABC与OBC o x=x1(y)
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dV=hr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V =
0hhr x2dx=
r 2 h2
x3 h 3 0
=
hr 3
2
.
2
2
2
例 5 求星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a 0)绕 x轴旋转
解 取积分变量为y, y[0,4]
体积元素为
P
dy Q
M
dV =[P2 M - Q2M ]dy 3 = [ ( 3 + 4 - y ) 2 - ( 3 - 4 - y ) 2 ] dy
=1 24-yd,y
4
V=1 20 4-ydy=6 4.
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕 y轴旋转一周
例3
求椭圆 x 2 a2
+
y2 b2
=1
绕x轴旋转产生的旋转体的体
b y y=b a2 -x2 a
积。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
的旋转体的体积：
V x = 2 0 a y 2 d x = 2 0 a b a 2 2 ( a 2 - x 2 ) dx
= 2 b 2 ( a 2 x - x 3 ) a = 4 a 2 。 b a 2 3 0 3 下页
平行截面面积为已知的立体的体积
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy = 02ax22(y)dy- 02ax12(y)dy
=a2(t-sit)n 2asitn dt 2 -a2(t-sit)n 2asitn dt 0
=a3 2(t-sit)n 2sitn d=t63a3. 0
例 7 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 =a3 -x3,
y2
2 =a3
-
2
x3
3
-a
x[-a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V=
-aaa32
2
-x3
3 dx=
32 a3 105
.
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x =(y)、直线y =来自百度文库、y =d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
例 4 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x = h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆
锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y= r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x + d ] ， x