利用定积分求旋转体的体积讲解学习
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
绕y轴旋转体的体积可以使用定积分来计算。
假设我们要计算在x轴上由函数y=f(x)和y=g(x)所围成的区域绕y轴旋转一周
形成的体积。
首先，我们可以将该区域在y轴上的投影表示为两个曲线
y=f(x)和y=g(x)之间的区域，即：
ΔV = π * (f(x)² - g(x)²) * Δx
其中，ΔV表示该区域在y轴上的投影扫过的小圆柱体的体积，π表示圆周率，f(x)² - g(x)²表示小圆柱体的底面积，Δx表示小
圆柱体的高度。
然后，我们可以将整个区域划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后将所有小圆柱体的体积求和，即可得到整个
旋转体的体积：
V = ∫[a,b] π * (f(x)² - g(x)²) dx
其中，[a,b]表示区间[a,b]上的积分，表示我们要计算的区域的
范围。
通过对上述积分进行计算，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
请注意，这个方法适用于任何形状的曲线旋转体。
积分求旋转体体积公式
积分求旋转体体积公式
积分求旋转体体积公式是用于计算通过旋转曲线或曲面而形成的立体图形的体积的公式。
该公式是通过对曲线或曲面的积分计算得出的，具体公式如下：
1. 对于曲线绕 x 轴旋转：
V = π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲线的起点和终点，f(x) 表示曲线在 x 坐标上的高度。
2. 对于曲线绕 y 轴旋转：
V = π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲线在 y 轴上的起点和终点。
3. 对于曲面绕 x 轴旋转：
V = 2π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲面的起点和终点，f(x) 表示曲面在 x 坐标上的高度。
4. 对于曲面绕 y 轴旋转：
V = 2π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲面在 y 轴上的起点和终点。
需要注意的是，当计算体积时，应根据具体情况选择合适的公式，并注意积分边界和被积函数的正确表达式。
- 1 -。
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
定积分求旋转体的体积
7.1.3 定积分求旋转体的体积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第三讲 定积分求旋转体的体积
主要内容： 一、旋转体的概念
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
四、小结
引入：
一、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而
2
1
1 e4 e2 2
V b[ f (x)]2 dx a
y
y ex
1
o x=1 x=2 x
练习 求由抛物线 y x2、直线 x 2 及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 32
5
B: 16
5
C: 8
5
解 选A
D: 64
（3）V
Байду номын сангаас
b
[
f
(x)]2 dx
b y2dx
a
a
xx x dx
例1 求由曲线 y ex，直线 x 1, x 2以及 x 轴所围成的平面图
形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
V
2
1
f
x2dx
2
ex
2
dx
1
1 e2x 2
D: 1 e2 1 2
解 选C
四、小结
1. 平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积
V b [ f (x)]2 dx b y2dx
a
a
2. 平面图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积
定积分求体积的四个公式
定积分求体积的四个公式定积分是微积分的一个重要概念，可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质量、重心等各种物理量。
在三维空间中，定积分也可以用来计算体积。
以下是四个常用的定积分求体积的公式：1. 平面图形的旋转体体积公式：假设有一个平面图形，它绕着某个轴旋转一周形成一个立体图形，那么它的体积可以通过定积分计算得到。
设平面图形为函数 y=f(x)，则旋转体的体积 V 可以表示为：V = π∫[a, b] f(x)^2 dx其中，a和b是平面图形上的两个点，π是圆周率。
这个公式可以推广到三维空间中的任意轴。
2. 用截面积求体积公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面积函数为 A(x)，则体积 V 可以表示为：V = ∫[a, b] A(x) dx这个公式适用于任意形状的截面。
3. 用截面面积与高度的乘积求体积公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且高度为 h(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面面积函数为 A(x)，高度函数为 h(x)，则体积 V 可以表示为：V = ∫[a, b] A(x)h(x) dx这个公式适用于各种不规则形状的图形。
4. 旋转体绕轴的体积壳公式：对于一个平面图形，若其在垂直于某个轴的截面上的面积为 A(x)，且旋转轴到截面的距离为 r(x)，则体积可以通过定积分计算得到。
设截面面积函数为 A(x)，旋转轴到截面的距离函数为 r(x)，则体积 V 可以表示为：V = 2π∫[a, b] A(x)r(x) dx这个公式适用于各种不规则形状的图形。
以上四个公式是定积分求体积常用的方法，可以根据具体问题选择适合的公式进行计算。
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积定积分是微积分的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
其中，求解曲线下的面积以及旋转体的体积是定积分应用的两个常见问题。
本文将详细介绍这两个问题的计算方法和应用场景。
一、曲线下的面积在平面直角坐标系中，给定一条曲线y=f(x)，我们希望计算该曲线与平行于x轴的两条直线x=a和x=b所围成的图形的面积。
假设曲线与x轴之间没有发生交叉，则该面积可以利用定积分来计算。
设该曲线下的面积为A，根据定积分的定义，我们可以将曲线下的面积划分为无数个无穷小的矩形，再将这些矩形的面积相加即可得到整个图形的面积。
具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后，选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi)，计算该小矩形的面积ΔAi=yiΔx。
最后，对所有的小矩形面积求和，即可得到曲线下的面积A的近似值。
利用极限的思想，当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋近于曲线下的面积A。
因此，我们可以通过定积分的方式精确地计算曲线下的面积。
二、旋转体的体积除了计算曲线下的面积，定积分还可以应用于求解旋转体的体积。
在平面直角坐标系中，给定一个曲线y=f(x)，我们可以围绕某一轴线（一般为x轴或y轴）进行旋转，形成一个旋转体。
那么，我们希望计算该旋转体的体积。
设旋转体的体积为V，根据定积分的定义，我们可以将旋转体划分为无数个无穷小的圆盘，再将这些圆盘的体积相加即可得到整个旋转体的体积。
具体而言，假设分割区间为[a, b]，将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后，选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi)，计算该小圆盘的面积ΔVi=πy^2iΔx。
最后，对所有的小圆盘体积求和，即可得到旋转体的体积V的近似值。
同样地，当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋近于旋转体的体积V。
因此，我们可以通过定积分的方式精确地计算旋转体的体积。
应用定积分元素法求旋转体体积
应用定积分元素法求旋转体体积**旋转体体积的计算：应用定积分元素法**
空间几何学中，球体、圆柱体和圆台是一些典型的旋转体，用于描述真实世界
普遍存在的物体形状。
由于它们的复杂结构，引申出计算它们体积的怎么办这一问题，而此问题的解决很容易使用定积分元素法求解。
定积分元素法是指将要计算的物体抽象为几何形状的离散形式，根据抽象出的
形式和数学关系，使用定积分的方法对对应的体积元素依次求和。
具体实现方式是，将旋转体切分为一定空间形状上等份的微元，将投影到某一轴上（以圆柱体为例，一般选择z轴）为圆形，求其面积。
然后，选择合适的极坐标系，计算每个微元的体积 elementDV，它的表达式如下：
elementDV= (∂θ/∂φ)*(∂z/∂θ)*(φ dθ dz)
最后，将所有单元面积求和即可求出旋转体的体积：
V=∑elementDV
总结来说，计算旋转体体积的定积分元素法的基本思路是，将旋转体切分为一
定空间形状上等份的微元，将投影到某一轴上为圆形，求出其体积元素，最后它们依次求和。
这种方式能够尽可能地准确简单地计算出旋转体的体积，已经得到了广泛的应用。
利用定积分求旋转体的体积
定积分的简单应用——简单旋转体的体积【学习目标】:1.进一步理解微积分基本定理，并能应用其求简单的定积分.2.会用定积分解决简单旋转体的体积问题.重点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．难点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．【预习自测】:阅读课本89页—90页，完成下列问题：1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？2.用定积分求简单旋转体体积的步骤？【合作探究】一．由定积分求圆锥(圆台)体积 例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平面图形 绕x 轴旋转一周得到一个圆锥体，求其体积.变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.二. 由定积分求球体体积例2.由曲线x x y 与24-=轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转一周所形成的几何体的体积三.由定积分球一般旋转体的体积例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.变式训练：由曲线x x x xy ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.【我的收获】【巩固练习】1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的面积为（ ）B.2C.π22. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）3.求由曲线x x x x y ,0,112=-=+-=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.4. 求由曲线x x y 与216-=轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.5.求由曲线x x x x y ,2,022===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.能力提升：求由曲线22=+=y x x y 与所围成的平面图形的面积？如将此平面图形绕x 旋转一周得到的旋转体的体积为多少？。
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定积分的简单应用
——简单旋转体的体积
2013.4.11
【学习目标】:
1.进一步理解微积分基本定理，并能应用其求简单的定积分.
2.会用定积分解决简单旋转体的体积问题.
重点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
难点：用定积分解决简单旋转体的体积问题．
【预习自测】:
阅读课本89页—90页，完成下列问题：
1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？
2.用定积分求简单旋转体体积的步骤？
【合作探究】
一．由定积分求圆锥(圆台)体积 例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平面图形 绕x 轴旋转一周得到一个圆锥体，求其体积.
变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
二. 由定积分求球体体积
例2.由曲线x x y 与24-=
轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转一周所形成的几何体的体积
三.由定积分球一般旋转体的体积
例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
变式训练：由曲线x x x x y ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
【我的收获】
【巩固练习】
1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的面积为（ ）
A.0
B.2
C.π2
D.4
2. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）
3.求由曲线x x x x y ,0,112=-=+-=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
4. 求由曲线x x y 与216-=轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
5.求由曲线x x x x y ,2,022
===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.
能力提升：求由曲线22=+=y x x y 与所围成的平面图形的面积？如将此平面图形绕x 旋转一周得到的旋转体的体积为多少？。