2015届高三数学(理)一轮复习课件：4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算(人教A版)
所以点C,D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD =(-2,-4).
【加固训练】 1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=( A.(6,3) B.(7,3) C.(2,1) )
列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.
1 【变式训练】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 AC 1 AB， DA BA， 3 3
求点C,D的坐标和 CD 的坐标. 【解析】设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 得 AC =(x1+1,y1-2), AB =(3,6),
x y 6, x 4, 解得 x 3y 2, y 2,
故b=-4a-2c.
【规律方法】平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则 来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的 坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向
量的坐标
(x2-x1,y2-y1) ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =____________ x1y2-x2y1=0 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔__________
向量共线的
坐标表示
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
向量
①a与-2b; ② a + b与 a - b; ③a+b与a+2b; ④ a b与 a b. 其中可以作为基底的是 (只填序号即可).
1 2 1 2 1 4
(2)(2014·莱芜模拟)如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将
OB 分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设 OA a,OB b.
所以 OC 2OA OB 2a b,
2 5 DC OC OD (2a b) b 2a b. 3 3
②由题意知, EC DC ， 故设 EC xDC. 因为 EC OC OE (2a b) a (2 )a b, DC 2a 5 b, 所以 (2 )a b x(2a 5 b).
由于a,b为基底,
1 3 1 m n, m , 2 解得 5 所以 1 m 1 n, n 4 , 3 5
所以 AE 2 a 1 b.
5 5
【加固训练】 1.下列各组向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7);
②e1=(3,5),e2=(6,10);
3 3
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
3 x , 2 2x, 5 得 解得 5 4 1 x, . 3 5 4 故 . 5
【互动探究】本例(1)中,若将条件a与b不共线省去,则情况如 何? 【解析】若a与b共线,不妨令a≠0,b=0,则所给4组向量都共线, 故4组向量都不能作为基底.
1 1 1 1 1 1 1 a b (a b)， a b a b 共线.由基向量的定义 故 与 2 4 2 2 2 4 2
知,①②③都可以作为基底,④不可以. 答案:①②③
(2)①由题意知,A是BC的中点,且 OD 2 OB， 由平行四边形法则,
3
得 OB OC 2OA，
【解析】1.选A.①中的两向量不共线;②中e1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 线;③中e2=
1 e1,故两向量共线.综上,只有①中的两向量可作为 4
1 e2,故两向量共 2
平面的一组基底. 2.因为 AD 2 AB, DE∥BC, 所以 AE 2 AC 2 b． BC AC AB b a． 由△ADE∽△ABC,得 DE 2 BC 2 (b a)．
λ 1e1+λ 2e2 λ 2,使a=__________.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量
a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数
(x,y) 其中a在x轴上的坐标 对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,
【规律方法】
1.构成平面一组基底的条件
(1)一组基底有两个向量. (2)这两个向量不共线(其中没有零向量). 2.应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要 条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,
3 3 3
考点2
平面向量的坐标运算
【典例2】(1)(2014·杭州模拟)在平行四边形ABCD中,AC为一 条对角线,AB =(2,4), AC =(1,3), 则 AD =( A.(2,4) B.(1,1) C.(-1,-1) ) D.(-2,-4)
(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所 示,若c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则
③e1=(2,-3),e2= ( , )， 能作为表示它们所在平面内所有向量
1 2 3 4
的一组基底的是(
A.①
)
B.①③
C.②③
D.①②
2.如图,在△ABC中,AD 2 AB, DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM
3
交DE于N.设 AB a,AC b，用a,b表示向量 AE,BC,DE， DN,AM,AN ．
=
.
【解题视点】(1)先将 AD 用 AB ， AC 表示,再利用向量坐标运
算法则求解. (2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标 运算及平面向量基本定理列方程组求解.
【规范解答】(1)选C.因为四边形ABCD为平行四边形,所以 因此 AD AC AB =(1,3)-(2,4)=(-1,-1). AB AD AC ， (2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正 方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+
是x,a在y轴上的坐标是y.
3.平面向量的坐标运算 (x1+x2,y1+y2) 向量的加法、 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=____________, (x1-x2,y1-y2) 减法 a-b=____________
向量的数乘
向量坐标的 求法
(λ x,λ y) 设a=(x,y),λ ∈R,则λ a=__________
第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
【知识梳理】 1.平面向量基本定理 不共线 的向量e ,e 叫做表示这一平面内的所 (1)基底:平面内_______ 1 2 有向量的一组基底. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向
量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ 1,
5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则实数 m= .
【解析】a+b=(1,m-1). 因为(a+b)∥c, 所以2-(-1)(m-1)=0,所以m=-1.
答案:-1
考点1
平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)(2014·绍兴模拟)若a与b不共线,已知下列各组
常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
(3)强化共线向量定理的应用
提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方
便.
【变式训练】如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且 AN 1 NC,
2
BN与CM相交于点E,设 AB a,AC b, 试用基底a,b表示向量 AE.
【解析】易得 AN 1 AC 1 b, AM 1 AB 1 a, 由N,E,B三点共线
)
【解析】选C.由题意,得
2 x 3, x 1, 解得 所以x+y=4. y 1 4， y 5.
3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(
)
A.3a+b
C.-a+3b
B.3a-b
D.a+3b
x＋y＝2，
x－y＝4， 【解析】选B.设c=xa+yb,则 x＝3， 所以 故c=3a-b. 1 y＝－，
①用a和b表示向量 OC ， DC ； ②若 OE OA, 求实数λ 的值.
【解题视点】(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断. (2)①由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解; ②由平面向量基本定理及共线向量定理求解.
【规范解答】(1)因为a与b不共线,所以,对于①,显然a与-2b不 共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则存在实数λ,使a+b=λ(ab),则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假设不成立,即 a+b与a-b不共线;同理,对于③,a+b与a+2b也不共线;对于④
3 3 3 3 3
又AM是△ABC的中线,DE∥BC,
所以 DN 1 DE 1 (b a).
2 3
又 AM AB 1 BC a 1 (b a) 1 (a b)．
2 2 2
因为△ADN∽△ABM, AD 2 AB， 所以 AN 2 AM 1 (a b)．
2 知,存在实数m,满足 AE mAN (1 m)AB 1 mb (1 m)a. 3 3 3 2
由C,E,M三点共线知存在实数n, 满足 AE nAM (1 n)AC 1 na (1 n)b.
高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版
平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________．2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π2a ⊥b3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．3.互相垂直4．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴 ②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是________的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为__________，反之亦成立.(O 是坐标原点)②终点A (x ，y )注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 5．平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.|a |＝____________.(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 21 （2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． |AB →|＝______________. (2)终点 始点x 2－x 12＋y 2－y 126．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． x 1y 2－x 2y 1＝0注意：.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等.7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为_____________________．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．7.(1)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 331.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y ). 当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________.(7,3)2.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为____.(－3，－5)3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.04.在平面坐标系内，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0).给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.45.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( B )A.3a ＋bB.3a －bC.－a ＋3bD.a ＋3b6．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]7．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.] 8.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上，则实数λ等于( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－32A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.]9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120° .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA→＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______. 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)．∵OC →＝xOA→＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴错误!∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 探究点一 平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d表示AB →，AD →.解 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ， ①b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a . ②将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入②得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d ).∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ).方法二 设AB →＝a ，AD→＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c b ＝232c －d，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ). 变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析 如右图，OC →＝OD →＋OE → ＝λOA →＋μOB →在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°， 可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.（2）在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边 AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，如图，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.解∵AD→＝14AB→，DE∥BC，M为BC中点，∴DN→＝14BM→＝18BC→＝18(b－a).探究点二平面向量的坐标运算例 2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2) 求M、N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2) 设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴M(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴MN→＝(9，－18).变式训练2（1）已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．解析∵向量AB→与a同向，∴设AB→＝(2t,3t) (t>0)．由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.∵t>0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．设B为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.解 如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)， D (x ，y ). (1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →， 而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5).由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5).(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →2. 而AB →＝(4,0)，CD →2＝(x －1，y ＋5).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5).(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD →3＝CB →. 而AD →3＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).探究点三 在向量平行下求参数问题例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)， a ＋b ＝(2,4)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).变式训练3 （1）已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.（2）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1). ①求|a ＋3b |；②当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解 ① 因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.②k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反.（3）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4，5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， ①求点P 在第二象限的充要条件.②证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线； ③试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形.①解 OP→＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，P在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2<02t 1＋3t 2>0有解.∴－32t 2<t 1<－3t 2且t 2<0.②证明 当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线. ③解 由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况.当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝2t 2＝1；当OA →＝PB→，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝1；当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝－1.点评：1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．一、选择题1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，(λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝01．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝k AC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]2.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( D )A.(2,0)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(0,2) 3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6]3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m≤1.] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2 D ．23 5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM→＋nAN →，AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2＝1. ∴m ＋n ＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3 S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32＝ 3.三、解答题 9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →. 9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴ＥＦ→∥ＡB →.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sinA )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 ∵m ∥n ，∴a cosB ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π.∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．11.如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC→，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； （2）若m +n=1,求MN 的最小值．11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12λ(ＡB →＋AC →)， 所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12(1－m )AB → ＋12(1－n )AC →， 又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB → ＋12mAC →， 所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB→·AC →＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.故当m ＝12时，|MN →|min ＝34. 一、选择题1.与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为 (C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±5132.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于 (B )A.(－2,7)B.(－6,21)C.(2，－7)D.(6，－21)3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于 ( C )A.－2B.2C.－12D.124．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于 ( A )A.(－3,6)B.(3，－6)C.(6，－3)D.(－6,3) 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( D )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2，－6)D.(－2，－6)二、填空题6.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝___.(－2,0)或(－2,2)____________.7.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝__60°______.8.已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝___2_____.9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为___12_____.10.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是___8_____. 三、解答题11.a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b ).∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.12.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB → ＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令 CP →＝p ，试用p 表示PQ →.解 设PA →＝a ，PB →＝b ，由已知条件3CP →＝PA →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ，PQ →＝λCP →＝λ3(a ＋2b )，又PQ →＝PA →＋AQ →＝PA →＋μAB →＝PA →＋μ(PB →－PA→)＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝1－μ2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .13.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8).(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标. 解 (1)设点D (x ，y )，因为AD →＝BC →，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)， 所以顶点D 的坐标为(2,7).(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，72，(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，52，BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝9152，y ＝299104， 则点I的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9152，299104.14.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB→且△ABM 的面积为12时a 的值.8.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM→＝(4t 2,4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA→＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2).又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
高三理科数学第一轮复习§4.2：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
点拨
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
高考理科第一轮复习课件(4.2平面向量的坐标运算)
（λ x,λ y） 设a=（x,y）,λ ∈R，则λ a=____________
标
(x2－x1，y2－y1) _______________
4．向量平行的坐标表示 设a,b是非零向量且a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,y1,y2≠0，则 x1y2-x2y1=0 a∥b⇔__________. 定理1：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的 成比例 坐标_______.
【互动探究】在本例题（2）图中，连接CD交AM于点P，若
AP AM,CP CD 求λ ,μ 的值． ，
【解析】CD AD AC 2 AB AC 2 a b，
3 3 1 1 AM （AB AC） （a b）． 2 2 AC AP PC AP CP AM CD
则向量 MN =______. CM 3CA CN 2CB ， ，
【思路点拨】（1）利用向量坐标运算的法则求解即可.
（2）根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可.
（3）利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.
【规范解答】（1）选B.设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)= (-1,1), 故
)
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任 何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
（5）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示 成 x1 ＝ y1 . (
x2 y2
)
【解析】（1）错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底.
第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示
uuur 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，
uuur
uur
uuur
uuur
BC ＝b，CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； uuuur
(3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
返回
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
返回
(2)设
uuur OA
＝xi＋yj，则向量
uuur OA
的坐标(x，y)就是终点A
的坐
标，即若
uuur OA
＝(x，y)，则A点坐标为
(x，y)
，反之亦成
立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ．
返回
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2011·北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量
uuur a＝(1,2)，若 AB∥a，则实数 y 的值为
()
A．5
B．6
C．7
D．8
uuur
uuur
解析：因为 AB＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB∥a，
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(2015年高考总复习)
考源教学资源网
第8页
返回导航
第四章
第二节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
→ → ②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是 终点 A 的坐标， → 即若OA＝(x，y)，则 A 点坐标为 (x，y) ，反之亦成立．(O 是坐标 原点) 2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算． (2)向量坐标的求法：
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
考源教学资源网
第20页
返回导航
第四章
第二节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
考源教学资源网
第21页
返回导航
第四章
第二节
1→ → → → AD＝AM－DM＝c－2AB.① 1→ → → → 在△ABN 中，AB＝AN－BN＝d－2AD.② → 2 → 2 由①②得AB＝3(2d－c)，AD＝3(2c－d)．
考源教学资源网
第24页
返回导航
第四章
第二节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
第7页
返回导航
第四章
第二节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
(3)平面向量的坐标表示： ①在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对 实数 x，y，使 a＝xi＋yj，把有序数对 (x，y) 叫做向量 a 的坐标， 记作 a＝(x，y) ，其中 x 轴上的坐标． 叫 a 在 x 轴上的坐标， y 叫a在y
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件5.2平面向量的基本定理及坐标运算(人教版)
若 A,B,C 三点共线,则1������ + 2������的最小值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
关闭
kAB=-1������+-12,kAC=-������2-1,∵A,B,C
三点共线,∴kAB=kAC,即-1������+-12
=
2 ,∴2a+b=1,
-������-1
∴1 + 2 = 2������+������ + 4������+2������=4+������ + 4������≥4+2 ������ · 4������=8,
0=(0,0),i=(1,0),j=(0,1).
(2)设������������=xi+yj,则 向量������������的坐标 就是终点 A 的坐标,即若
������������=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
-5-
想一想向量的坐标与点的坐标有何异同?
关闭
对于 A,∵e1,e2 不共线,故 λ1=λ2=0 正确;对于 B,空间向量 a 应改为与 e1,e2 共面的向量才可以;C 中,λ1e1+λ2e2 一定与 e1,e2 共面;D 中,根据平面向量基本关闭 定A理,λ1,λ2 应是唯一一对.
解析 答案
-13-
考点一 平面向量基本定理的应用
【例 1】 已知梯形 ABCD,如图所示,2������������ = ������������,M,N 分别为 AD,BC 的中点关.闭 设∵������2������������=������e1=,���������������������=���,e∴22,试���������用���=e21,e2 表示������������, ������������, ������������.
2015高三复习：第4单元-平面向量-数学(理科)-人教B版(逐字编辑)
第26讲
第27讲Leabharlann 平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的数量积与平面向量应用举例
单元网络
返回目录
核心导语
一、概念与运算 1．定义——大小与方向，解题时要关注向量的起点与终点． 2．关系——两个向量的共线、平行与两个向量的相等、相反 的异同． 3．特殊向量——单位向量和零向量，特别关注零向量在解题 中的影响． 4．线性运算——向量的运算法则和运算的几何表示． 二、基本定理 1．基底表示——结合几何知识，把任意向量用基底表示． 2．坐标表示——直角坐标系下的向量表示，可以将向量运算 转化为实数运算．
[答案] 西南方向飞行 100 2 km
[解析] 如图，令起点为 A，向西飞行 100 km 到达 B， 由 B 向南飞行 100 km 到达 C，则飞机两次飞行后的位移向 → ，且|AC → |＝100 量为AC 2 km，方向为西南方向．
返回目录
第25讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
返回目录
第25讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念及表示 名称 向量 表示 在平面中， 既有 用 a，b，c，„ 大小 又有 或AB → ，BC → ，„ ________ 方向 的量 ________ 表示 向量 a 的 大小 ， ________ 也就 是表示向量 a → 的有向线段AB 长度 的________( 或 称模) ________或 →| ________ |AB 定义
返回目录
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第25讲 平面向量的概念及其 线性运算
返回目录
考试说明
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.1平面向量的概念及线性运算
针对训练 1．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零． (4)λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ( A．1 C．3 B．2 D．4 )
→ → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) → ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解．
2λ＋2μ＝2k， 由 －3λ＋3μ＝－9k.
得 λ＝－2μ.
故存在这样的实数 λ、μ，只要 λ＝－2μ，就能使 d 与 c 共线．
易错易混：概念理解不清致误 【典例】 (2014· 郑州模拟)已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b， d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 同向，则实数 λ 的值为________． 【规范解答】 由于 c 与 d 同向，所以 c＝kd(k＞0)，
1 → → → → → → BF＝AF－AB＝AD＋DF－AB＝b＋2a－a 1 ＝b－ a，连接 BD，因为 G 是△CBD 的重心， 2
1→ 1 → 2 1 → 所以CG＝3 CA＝－3AC＝－3(a＋b)． 2
• 【归纳提升】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的 相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向 量将加减法相互转化． • (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的 位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简 结果．
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
完整版ppt
11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
完整版ppt
13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
完整版ppt
14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
完整版ppt
8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
完整版ppt
6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
完整版ppt
7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三 点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.