高中数学第一章集合与函数概念1.3.2函数的奇偶性导学案无答案新人教A版必修120180903249
【导学目标】
1．结合具体函数，理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判断函数的奇偶性；
2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
【自主学习】
知识回顾：
新知梳理：
1.函数图象与奇偶性
(1)观察教材图1.3—7，回答：
两个函数的图象都是关于对称；当自变量 取时，相应的两个函数值相同，即 _____.
（1）图象：奇函数的图象关于对称；
偶函数的图象关于对称.
（2）单调性：
奇函数对称区间上的单调性；
偶函数对称区间上的单调性.
（3）奇函数定义域中含0，则
（4）两个奇函数的和、差仍是.
两个偶函数的和、差仍是.
两个奇函数的乘积是.
两个偶函数的乘积是.
对点练习：3.若函数 是奇函数，则 =
【合作探究】
典例精析
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
D.既是奇函数又是偶函数
对点练习：2.函数 的奇偶性是（）
A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先考察函数的定义域；
(2)若定义域关于原点对称，则判断之一是否成立；
(3)据定义式下结论.
思考：有哪些方法判断函数的奇偶性？
4.函数奇偶性的有关结论
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
(2)观察教材图1.3—9，回答：
两个函数的图象都是关于对称；当自变量 取时，相应的两个函数值相反，即 _____.
2.奇偶性
(1)如果对于函数 定义域内 ，都有，那么函数 就叫偶函数．
(2)如果对于函数 定义域内 ，都有，那么函数 就叫奇函数．
对点练习：1．函数 是（）
A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数
例题1．判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）
变式训练1：判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
例2：已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，求 的解析式.
变式训练2:若函数 在 上是奇函数,求 的解析式.
【课堂小结】
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性教学设计 新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．推进新课新知探究 提出问题(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1(3)(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数的定义域有什么特征？(7)观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： (1)观察图象的对称性．(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．(3)利用函数的解析式来描述． (4)偶函数的性质：图象关于y 轴对称．(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．(2)表1f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数的图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数的定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．应用示例思路1例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4； (2)f (x )＝x 5； (3)f (x )＝x ＋1x；(4)f (x )＝1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )．解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝1x2是偶函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系； ③作出相应结论：若f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，则f (x )是偶函数； 若f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0，则f (x )是奇函数．x －x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．例1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]；(2)f (x )＝x 3－x 2x －1；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2； (4)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x ∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x |≥－x ，则1＋x 2＋x ＞0.则函数的定义域是R .解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵它的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，并不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f (x )的定义域是{－2,2}． ∵f (2)＝0，f (－2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)，f (2)＝－f (2)． ∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )． ∴f (x )既是奇函数也是偶函数． (4)函数的定义域是R . ∵f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1 ＝1＋x 2－(x ＋1)2＋1＋x 2－(x －1)2(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x ＋1)＝1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1 (1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性．定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．1212)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时f (x )＞0，f (2)＝1，(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74的大小．活动：(1)转化为证明f (－x )＝f (x )，利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74转化为同一个单调区间上的函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴2f (－1)＝0. ∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)证明：设x 2＞x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．课本本节练习，1,2. 【补充练习】1．设函数y ＝f (x )是奇函数．若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝__________.解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)．∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2[f (1)＋f (2)]＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－32．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又∵f (x )是偶函数，∴b ＝0.答案：133．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (2＋0)＝－f (0)． 又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.故选B. 答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性．探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y ＝kx (k ≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝k x(k ≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．作业课本习题1.3A 组 6，B 组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立． (3)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数． (4)f (－x )＝f (x )⇔f (x )－f (－x )＝0，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )＋f (－x )＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相同，那么复合函数y ＝f [g (x )]是偶函数，如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的奇偶性相反，那么复合函数y ＝f [g (x )]是奇函数，简称为“同偶异奇”．(6)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相同的单调性；如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相反的单调性．(7)定义域关于原点对称的任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f (x )＝f (x )－f (－x )2＋f (x )＋f (－x )2. (8)若f (x )是(－a ，a )(a ＞0)上的奇函数，则f (0)＝0；若函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)＝f (－|x |)．若函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则有f (x )＝0.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性学案新人教A版必修1
§1.3.2奇偶性班级姓名座号【学习目标】1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【自主学习】一、回顾：复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x=-；（2）1 ()f xx=复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x).二、课前预习：预习教材P33~ P36，找出疑惑之处三、自学检测【课堂探究】：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x=、1()f xx=、3()f x x=；（2）2()f x x=、()||f x x=.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x =.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较. 试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x ；（3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .【当堂训练】1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A ．()()0f x f x --=B ．()()0f x f x +-=C ．()()0f x f x -=D ．(0)0f ≠2.已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）A. (5)(5)f f >-B.(4)(3)f f >C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是 .5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为 .【小结与反馈】1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.【拓展练习】1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定课件新人教A版必修1
目标导航
课标要求
1.理解奇函数、偶函数的定义. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征. 3.掌握判断函数奇偶性的方法.
通过本节内容的学习,使学生学会利用图象理解和研究 素养达成
函数性质,提高学生直观想象、逻辑推理的能力.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
x 1
规 得x范2=解1答,即:(x2=)由±1.1x2
x2 1
0, 0
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称. ……………………4分
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. …6分
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), …………………7分 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ………9分
所以 f(x)为奇函数. ………………………………………………12 分
变式探究:本例中函数 f(x)= 1 x2 + x2 1 可化简为 f(x)=0,则该函数既是奇 函数又是偶函数,若将函数变形为 f(x)= x 1 + 1 x ,则函数的奇偶性如何?
解:由于
x 1 1 x
0, 0,
则
x=1,故
【情境导学】 导入 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=- 1 ,③f(x)=2x的图象分别如图所示.
x
想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?
(R;(-∞,0)∪(0,+∞);R.关于原点对称) (2)对于导入中的三个函数计算f(-x),视察对定义域内每个x,f(-x)与f(x) 有怎样的关系? (①f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课堂导学案 新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性课堂导学三点剖析一、函数的奇偶性概念【例1】 判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例2】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=1-x +x -1; (2)f(x)=12-x +21x -; (3)f(x)=xx ||; (4)f(x)=kx+b(k ≠0); (5)f(x)=x+x a (a ≠0); (6)f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).解：(1)由⎩⎨⎧≥-≥-01,01x x 得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-,01,0122x x 得x 2=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数.(3)函数定义域为{x|x ≠0}且f(-x)=xx --||=-f(x).f(x)为奇函数. (4)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b ≠0时，为非奇非偶函数.(5)函数定义域为{x|x ≠0}，且f(-x)=-x-xa =-f(x).函数为奇函数. (6)函数定义域为R ，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b ≠0时，为非奇非偶函数. 温馨提示1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断.2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数.3.一次函数y=kx+b 为奇函数b=0.4.二次函数y=ax 2+bx+c 为偶函数b=0.【例3】 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+3x ),求：(1)f(-8);(2)x<0时，f(x)的解析式.思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+3x ),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x 都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x). (1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+38)=8×(1+2)=24,∴f(-8)=-f(8)=-8(1+38)=-8(1+2)=-24.(2)当x<0时，f(x)=-f(-x).∵-x>0,f(-x)=-x(1+3x -)=-x(1-3x ),∴f(x)=-［-x(1-3x )］=x(1-3x ).三、函数奇偶性的应用举例【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：设x 1<x 2<0,-x 1>-x 2>0,∴f(-x 1)<f(-x 2).由于f(x)是偶函数，因此f(-x 1)=f(x 1),f(-x 2)=f(x 2).∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x)在(-∞,0)上是增函数.温馨提示利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题.【例5】 判断下面函数的奇偶性：f(x)=2|2|42-+-x x ∵f(-x)= 2|2|)(42-+---x x =2|2|42---x x ，故f(x)为非奇非偶函数. 错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.正解：由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,042x x 得-2≤x ≤2且x ≠0,∴函数的定义域为［-2，0］∪(0,2)，此时f(x)=x x 24-,有f(-x)=x x ---2)(4=x x 24-=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. 温馨提示1.判断函数的奇偶性首先求函数的定义域，初学者最容易忽略这一点，若定义域关于原点对称再进一步判断f(-x)与f(x)的关系.2.当判断f(-x)与f(x)的关系比较困难时，有时可以改为判断f(x)±f(-x)是否为0或)()(x f x f -是否为1. 各个击破类题演练1下面四个结论中正确命题的个数是（ ）①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4 解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交.反例：y=x -2,y=x 0等.故①错误，③正确.奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.反例：y=x -1，故②错误.若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.反例：f(x)=21x -·12-x ,其定义域为{-1，1}，故④错误.从而选A. 答案：A类题演练2判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|x|-2x ; (2)f(x)=|3|1-x -|3|1+x ; (3)f(x)=|2|212+--x x ; (4)f(x)=x -x.答案：（1）既奇又偶函数； （2）奇函数； (3)奇函数； （4）非奇非偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性，首先求出函数的定义域，在此基础上，可对函数解析式进行化简，化简后再判断.如（3）若不化简解析式，则判断不出奇偶性,只能得出非奇非偶的判断. 变式提升2判断⎩⎨⎧<+>-0),1(,0),1(x x x x x x 的奇偶性.解析：当x>0时，则-x<0,∴f(-x)=-x ［1+(-x)］=-x(1-x)=-f(x),当x<0时，则-x>0,∴f(-x)=-x ［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x).于是f(-x)=⎩⎨⎧<+->--).0(),1(),0(),1(x x x x x x∴f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.类题演练3若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式. 解析：设x<0时，则-x>0,∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-2x(1+x),∴f(x)=2x(1+x).∵f(0)=0,∴f(x)=⎩⎨⎧≤+>-.0),1(2,0),1(2x x x x x x变式提升3设函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0,f(x)=x 2-2x+3,试求出f(x)在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.解析：∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)=0.当x<0时，则-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x 2+2x+3),∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-.0,32,0,0,0,3222x x x x x x x 其图象如右上图所示.由图象得单调增区间是（-∞,-1），［1,+∞］，单调减区间是［-1,0］,(0,1).类题演练4已知f(x)是偶函数，而且f(x)在［a,b ］上是增函数，判断f(x)在［-b,-a ］上是增函数还是减函数，并证明.解析：减函数.证明如下：设［-b,-a ］上任意两个自变量x 1,x 2，且x 1<x 2，则b>-x 1>-x 2>a,∵f(x)在［a,b ］上是增函数，∴f(-x 1)>f(-x 2).∵f(x)是偶函数，∴f(x 1)>f(x 2),∴f(x)在［-b,-a ］上是减函数.变式提升4若f(x)是R 上的偶函数，且在［0,+∞］上是减函数，求满足f(π)<f(m)的实数m 的取值范围. 解析：f(π)<f(m)f(π)<f(|m|).∵f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴π>|m|,∴-π<m<π.类题演练5（2006全国Ⅱ文，13）已知函数f(x)=a-121+x ,若f(x)为奇函数，则a=_______________. 解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-121+-x =-(a-121+x ),得a=21. 答案:21 变式提升5已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=)(1x f 在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解：减函数.证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则有:-x 1>-x 2>0,∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,∴f(-x 2)<f(-x 1)<0,又∵f(x)是奇函数,∴f(-x 2)=-f(x 2),f(-x 1)=-f(x 1),∴-f(x 2)<-f(x 1)<0,∴f(x 2)>f(x 1)>0,F(x 1)-F(x 2)=)(11x f -)(12x f =)()()()(2112x f x f x f x f •->0,即F(x 1)>F(x 2), ∴F(x)=)(1x f 在（-∞,0）上是减函数.。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性教学设计新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数奇偶性是描述函数整体性质．教材沿用了处理函数单调性方法，即先给出几个特殊函数图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现数量特征对定义域中“任意〞值都成立，最后在这个根底上建立了奇(偶)函数概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形结合更加自然．值得注意问题：对于奇函数，教材在给出表格中留出大局部空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立过程，独立地去经历发现、猜测与证明全过程，从而建立奇函数概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．三维目标1．理解函数奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象能力，以及从特殊到一般概括、归纳问题能力．2．学会运用函数图象理解和研究函数性质，掌握判断函数奇偶性方法，渗透数形结合数学思想．重点难点教学重点：函数奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数奇偶性方法与格式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．同学们，我们生活在美世界中，有过许多对美感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生答复可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳标志)生活中美引入我们数学领域中，它又是怎样情况呢？下面，我们以麦当劳标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称形式也很多，这节课我们就同学们谈到与y轴对称函数展开研究．思路2．结合轴对称与中心对称图形定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x 3图象各有怎样对称性？引出课题：函数奇偶性．推进新课新知探究 提出问题(1)如图1所示，观察以下函数图象，总结各函数之间共性．图1(2)如何利用函数解析式描述函数图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数解析式具有什么共同特征？表1(3)(4)偶函数图象有什么特征？(5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数定义域有什么特征？(7)观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1x图象，类比偶函数推导过程，给出奇函数定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生： (1)观察图象对称性．(2)学生给出这两个函数解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样函数称为偶函数． (3)利用函数解析式来描述． (4)偶函数性质：图象关于y 轴对称．(5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]图象关于y 轴不对称；对定义域[－1,2]内x ＝2，f (－2)不存在，即其函数定义域中任意一个x 相反数－x 不一定也在定义域内，即f (－x )＝f (x )不恒成立．(6)偶函数定义域中任意一个x相反数－x一定也在定义域内，此时称函数定义域关于原点对称．(7)先判断它们图象共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值变化情况，进而抽象出奇函数概念，再讨论奇函数性质．给出偶函数和奇函数定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数奇偶性，函数奇偶性是函数整体性质；②由函数奇偶性定义，可知函数具有奇偶性一个必要条件是，对于定义域内任意一个x，那么－x也一定是定义域内一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性函数图象特征：偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数定义判断函数奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数奇偶性是函数在定义域上性质，是“整体〞性质，而函数单调性是函数在定义域子集上性质，是“局部〞性质．讨论结果：(1)这两个函数之间图象都关于y轴对称．(2)表1f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意两个相反数，它们对应函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．(3)一般地，如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(4)偶函数图象关于y轴对称．(5)不是偶函数．(6)偶函数定义域关于原点对称．(7)一般地，如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．应用例如思路1例1 判断以下函数奇偶性： (1)f (x )＝x 4； (2)f (x )＝x 5； (3)f (x )＝x ＋1x；(4)f (x )＝1x2.活动：学生思考奇偶函数定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )．解：(1)函数定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．(2)函数定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．(3)函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(4)函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝1x2是偶函数．点评：此题主要考察函数奇偶性．函数定义域是使函数有意义自变量取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数定义域内，此时称为定义域关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性格式步骤：①首先确定函数定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )关系； ③作出相应结论：假设f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，那么f (x )是偶函数； 假设f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0，那么f (x )是奇函数．么当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.活动：学生思考偶函数解析式性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上自变量对应函数值，转化为区间(－∞，0)上自变量对应函数值．利用偶函数性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上自变量对应函数值，转化为区间(－∞，0)上自变量对应函数值．解析：当x∈(0，＋∞)时，那么－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x4点评：此题主要考察函数解析式和奇偶性．函数奇偶性，求函数解析式时，要充分利用函数奇偶性，将所求解析式区间上自变量对应函数值转化为解析式区间上自变量对应函数值．例1 判断以下函数奇偶性．(1)f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]；(2)f (x )＝x 3－x 2x －1；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2； (4)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. 活动：学生思考奇偶函数定义和函数定义域求法．先判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )关系．在(4)中注意定义域求法，对任意x ∈R ，有1＋x 2＞x 2＝|x |≥－x ，那么1＋x 2＋x R .解：(1)∵它定义域关于原点不对称，∴函数f (x )＝2x 4，x ∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵它定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，并不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵x 2－4≥0且4－x 2≥0， ∴x ＝±2，即f (x )定义域是{－2,2}． ∵f (2)＝0，f (－2)＝0， ∴f (2)＝f (－2)，f (2)＝－f (2)． ∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )． ∴f (x )既是奇函数也是偶函数． (4)函数定义域是R . ∵f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1 ＝1＋x 2－(x ＋1)2＋1＋x 2－(x －1)2(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x ＋1)＝1＋x 2－x 2－2x －1＋1＋x 2－x 2＋2x －1(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x ＋1) ＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．点评：此题主要考察函数奇偶性．定义法判断函数奇偶性步骤是：(1)求函数定义域，当定义域关于原点不对称时，那么此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．判断解析式复杂函数奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．12121＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比拟f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74大小． 活动：(1)转化为证明f (－x )＝f (x )，利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性步骤是“去比赛〞；(3)利用函数单调性比拟它们大小，利用函数奇偶性，将函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74转化为同一个单调区间上函数值．(1)证明：令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴2f (－1)＝0. ∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (2)证明：设x 2＞x 1＞0，那么f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解：由(1)知f (x )是偶函数，那么有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74. 点评：此题是抽象函数问题，主要考察函数奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数奇偶性和单调性通常应用定义法，比拟抽象函数值大小通常利用抽象函数单调性来比拟．其关键是将所给关系式进展有效变形和恰当赋值．课本本节练习，1,2. 【补充练习】1．设函数y ＝f (x )是奇函数．假设f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，那么f (1)＋f (2)＝__________.解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)．∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2[f (1)＋f (2)]＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－32．f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，那么a ＝__________，b ＝__________.解析：∵偶函数定义域关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又∵f (x )是偶函数，∴b ＝0.答案：133．定义在R 上奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，那么f (6)值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2)＝f (2)＝f (2＋0)＝－f (0)． 又f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0. ∴f (6)＝0.应选B. 答案：B拓展提升问题：根本初等函数奇偶性．探究：利用判断函数奇偶性方法：定义法和图象法，可得 正比例函数y ＝kx (k ≠0)是奇函数； 反比例函数y ＝k x(k ≠0)是奇函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，当b ＝0时是奇函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数．课堂小结本节主要学习了函数奇偶性，判断函数奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数奇偶性时，必须注意首先判断函数定义域是否关于原点对称．作业课本习题组 6，B 组 3.设计感想单调性与奇偶性综合应用是本节一个难点，而本节设计题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生综合应用能力，以便满足高考要求．备课资料 奇、偶函数性质(1)奇偶函数定义域关于原点对称；奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．(2)奇偶性是函数整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立． (3)f (－x )＝f (x )⇔f (x )是偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )是奇函数． (4)f (－x )＝f (x )⇔f (x )－f (－x )＝0，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )＋f (－x )＝0. (5)两个奇函数和(差)仍是奇函数，两个偶函数和(差)仍是偶函数．奇偶性一样两个函数积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反两个函数积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )奇偶性一样，那么复合函数y ＝f [g (x )]是偶函数，如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )奇偶性相反，那么复合函数y ＝f [g (x )]是奇函数，简称为“同偶异奇〞．(6)如果函数y ＝f (x )是奇函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有一样单调性；如果函数y ＝f (x )是偶函数，那么f (x )在区间(a ，b )和(－b ，－a )上具有相反单调性．(7)定义域关于原点对称任意函数f (x )可以表示成一个奇函数与一个偶函数和，即f (x )＝f (x )－f (－x )2＋f (x )＋f (－x )2.(8)假设f(x)是(－a，a)(a＞0)上奇函数，那么f(0)＝0；假设函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)．假设函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)＝0.。
高中数学人教A版必修1 第一章1.3.2 函数的奇偶性教案
优质资料---欢迎下载1.3.2函数的奇偶性（1）年级：高一年级版本：人教A版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
因此，本节课没有一开始就给出定义，而是先让学生观察一组图形，从中寻找它们的共性，目的是先让学生有个直观上的认识。
为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立概念，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力。
【教学目标】一、知识与技能1.从形和数两方面进行引导，使学生理解函数的奇偶性及其几何意义，学会判断函数的奇偶性；2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
二、过程与方法师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
三、情感态度与价值观从生活中的对称联想到数学中的对称，再通过严密的代数形式去表达、推理。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学过程】12（一）创设情景，揭示课题回顾轴对称图形和中心对称图形的概念，和点出“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？请从对称的角度对下列函数进行分类。
④O xy()x f 1=③O xy①②xyxx f =)(oO yx-1f x |x |=通过讨论归纳：函数①③关于y 轴对称，函数②④关于原点对称。
（二）新知探究观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．函数的奇偶性定义： 1．偶函数3一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．概念辨析：问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？ （定义域关于原点对称） 问题2：为什么强调任意和都有？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题3：偶函数的图像有什么特点？ （关于y 轴对称） f(x)为偶函数f(x)的图像关于y 轴对称问题4：如何判断一个是否为奇函数？1 形----观察函数图像是否关于y 轴或原点对称。
2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性教案 新人教A版必修1
第1课时函数的奇偶性[目标] 1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力．[重点] 掌握判断函数奇偶性的方法．[难点] 奇偶性的含义及判断.知识点一偶函数、奇函数的概念[填一填]设函数f(x)的定义域为D，1．偶函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．2．奇函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．[答一答]1．奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2，3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的．从这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称．这个条件是必不可少的．抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的．也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域．2．从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．3．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？提示：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.知识点二 偶函数、奇函数的图象特征[填一填]1．偶函数的图象关于y 轴对称． 2．奇函数的图象关于原点对称．[答一答]4．一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？提示：若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．5．如图是偶函数f (x )在y 轴右侧部分的图象，试画出函数f (x )在y 轴左侧部分的图象．提示：利用偶函数的图象关于y 轴对称的特点，可作出函数y ＝f (x )在y 轴左侧部分的图象．如图所示．类型一 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝2x 2＋x x ＋1；(3)f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ∈R )； (4)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2.[分析] 首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，验证f (x )与f (－x )的关系．[解] (1)函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，关于原点对称，此时f (x )＝0，所以函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．(2)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．①当a ≠0时，f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－(|x ＋a |－|x －a |)＝－f (x )；②当a ＝0时，f (x )＝|x ＋a |－|x －a |＝|x |－|x |＝0.综上，当a ≠0时，函数f (x )为奇函数；当a ＝0时，函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (4)由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1. 由|x ＋2|－2≠0，得x ≠0，且x ≠－4.故函数f (x )的定义域是[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称． 显然x ∈[－1,0)∪(0,1]时，x ＋2>0. 则f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x.∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x2x ＝－f (x )，∴f (x )＝1－x2|x ＋2|－2是奇函数．(1)对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.(2)当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.(3)因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.[变式训练1] (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( D )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝x 2＋1x2D ．y ＝x ＋x 2解析：A ，C 选项是偶函数，B 选项是奇函数，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．∴选D.(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0的奇偶性．解：函数的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x [1－(－x )]＝－x (1＋x )＝－f (x )．当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )[1＋(－x )] ＝－x (1－x )＝－f (x )．∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．类型二 函数奇偶性的图象特征[例2] (1)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)(2)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )<0的解集是________．[答案] (1)D (2){x |－2<x <0或2<x ≤5}[解析] (1)由f (x )在(－∞，0]上是减函数，又偶函数的图象关于y 轴对称知，f (x )在[0，＋∞)上是增函数．又由f (2)＝0知，函数图象过点(2,0)．故作符合题设条件的示意图如图(1)，由图象知使f (x )<0的x 的取值范围为(－2,2)，故选D.(2)由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f (x )在定义域[－5，5]上的图象如图(2)，由图可知不等式f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.[变式训练2] 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是(－∞，_1]∪[3,_＋∞)．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞， 1]∪[3, ＋∞)．类型三 利用函数的奇偶性求参数[例3] (1)已知函数f (x )＝x 2＋(2－m )x ＋m 2＋12为偶函数，则m 的值是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 (2)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________.[答案] (1)C (2)－1[解析] (1)因为函数f (x )＝x 2＋(2－m )x ＋m 2＋12为偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 即x 2＋(2－m )x ＋m 2＋12＝(－x )2－(2－m )x ＋m 2＋12，即4－2m ＝0，所以m ＝2. (2)法1：(定义法) 由已知f (－x )＝－f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )－x ＝－(x ＋1)(x ＋a )x.显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.法2：(特值法) 由f (x )为奇函数得f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1，整理得a ＝－1.由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.[变式训练3] (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0； (2)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为5. 解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0. (2)因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6，解得a ＝5.1．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( A )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称．又f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－x 3－1x ＝－(x 3＋1x)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∴其图象关于原点对称． 2．函数f (x )＝x 的奇偶性为( D ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数．3．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0. 解析：∵f (x )＝f (－x )，∴x 2－|x ＋a |＝x 2－|－x ＋a |. ∴|x ＋a |＝|x －a |，平方得4ax ＝0恒成立． ∴a ＝0.4．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，则f (0)＋f (1)＝－2. 解析：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)＝－2，∴f (0)＋f (1)＝0－2＝－2.5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1，试求f (x )的解析式．解：当x <0时，－x >0，此时f (x )＝f (－x )＝2－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，2－x ＋1，x <0，即f (x )＝2|x |＋1.——本课须掌握的三大问题1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．函数奇偶性的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．学习至此，请完成课时作业12学科素养培优精品微课堂抽象函数的奇偶性开讲啦对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定义加以判断．[典例] 函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．[证明] 令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．[名师点评] (1)要善于对所给的关系式进行赋值．(2)变形要有目的性，要以“f(－x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形．[对应训练] 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( C )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1，所以f(x)＋1为奇函数．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数的奇偶性教学设计 新人教A版必修1-新人教A版高一
函数的奇偶性一．教学背景分析1 . 教材的地位与作用(1)本节课内容选自（人教A版）普通高中课程标准实验教科书《数学必修Ⅰ》第一章第三节第二课；(2)函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,是函数的重要性质之一,对它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起着重要的铺垫作用；（3）奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析（1）已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；（2）在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；（3）所任教班级的学生虽然基础比较弱，但也具备一定的观察能力，只是观察的深刻性及稳定性还有待进一步提高；他们有明确的学习动机，能主动自觉配合教师完成教学内容。
二、教学目标1、知识与技能：（1）通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。
然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
（2）通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，形成判断奇偶性的步骤，从而能应用到简单的数学问题中去。
（3）经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言积累，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。
在这个过程中，通过师生共同探究活动，体验数学概念的形成过程；通过积极的数学思考，培养和提升数学思维能力。
2、过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用多媒体辅助教学，培养学生的类比，观察,归纳能力；渗透数形结合的思想方法；感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。
3、情感态度与价值观培养合作、交流的能力；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，感受数学美，陶冶情操。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 新人教A版必修1
即f(-x)=f(x), ∴f(x)偶函数.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1) 首先确定函数的定义域,并且判断其 定义域是否关于原点对称; (2) 确定f(-x)与f(x)的关系;
(3) 作出相应结论: 若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数; 若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数.
∴f(x)偶函数;
(2) 定义域为R, ∵ f(-x)=(-x)5=-f(x),
即f(-x)=-f( 定义域为{x|x≠0}, (4) 定义域为{x|x≠0}, ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x), ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x),
即f(-x)=-f(x), ∴f(x)奇函数;
注意
1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶 性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即 定义域关于原点对称）．
注意
3.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
2.两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称; 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称.
奇偶函数图象的性质
1.奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个 函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为 奇函数.
2.偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函 数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函 数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a.简化函数图象的画法; b.判断函数的奇偶性.
一般地，对于函数 f (x)的定义域内的 任意一个x，都有f (－x)=f (x)，那么 f (x) 就叫做偶函数 (even function) ．
高中数学第一章集合与函数概念132第1课时奇偶性的概念学案新人教A版必修1
2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：1.3.2 奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标核心素养1.理解奇函数、偶函数的定义．2．了解奇函数、偶函数图象的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，提升直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，提升逻辑推理素养.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于函数f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是()A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]B[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A BC DB[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1.] 4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 3 [∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.]函数奇偶性的判断【例1】 (教材改编题)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.[解] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－(x －1)，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：[跟进训练]1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x 2；④f (x )＝x ＋1x；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]．②③ [对于①，f (－x )＝－x 3＝－f (x )，则为奇函数； 对于②，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数；对于③，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，则为偶函数；对于④，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 2．判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (2)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|； (3)f (x )＝1－x 2x；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x ＞0.x 2＋2x ＋3，x ＜0.解：(1)定义域[－4,4)不关于原点对称，因此函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f (x )定义域为R ，且f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，因此函数f (x )为偶函数．(3)由⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≠0得－1≤x ＜0或0＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，又f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．(4)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )， 当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－f (x )． 综上知，f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数．奇偶函数的图象问题【例2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解] (1)如图所示(2)由(1)可知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.[跟进训练] 3．如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．[解] 因为f (x )＝1x 2＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x ，若f (－x )＋f (x )＝0，则函数f (x )是否具有奇偶性？若f (－x )－f (x )＝0呢？提示：由f (－x )＋f (x )＝0得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．由f (－x )－f (x )＝0得f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．2．若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)的值可求吗？若f (x )为偶函数呢？ 提示：若f (x )为奇函数，则f (0)＝0；若f (x )为偶函数，无法求出f (0)的值．【例3】 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；(2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. 思路点拨：(1)f (x )是偶函数――――→定义域关于原点对称求a 的值――――→图象关于y 轴对称求b 的值(2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ―→判断g (x )的奇偶性―→计算g (－3)―→代入求得f (3)(1)13 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13. 又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ， 则g (x )是奇函数，∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2， 又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5.又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7.]利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数即可求解.[跟进训练]4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝________.－32 [由题意知f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎡⎦⎤(－1)2－12×(－1)＝－32.] 5．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.4 [法一：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，f (－x )＝(－x ＋a )(－x －4)＝x 2－(a －4)x －4a ，两式恒相等，则a －4＝0，即a ＝4.法二：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a －4＝0，则a ＝4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x )＝ax 2＋c 的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a ＝4.]1．核心要点：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数f (x )定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．2．数学思想：奇(偶)函数图象的对称性，也体现了在关于原点对称的定义域上自变量互为相反数的两个函数值及其性质的相互转化，这是数形结合思想的具体体现．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)是偶函数．( )(2)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数． (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋1x －1，则f (－2)＝( )A ．－112 B.112 C ．－92 D.92D [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(－22＋12－1)＝92.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.0 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，∴2ax 2＝0对任意x ∈R 恒成立，所以a ＝0.] 4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象； (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合． [解] (1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。