圆锥体(台)展开图
柱、锥、台表面积体积公式
乌海市滨河中学 贾宽
学习目标： 1．知道棱柱、棱锥及棱台的表面积的求法。 2．了解圆柱、圆锥及圆台的表面积公式， 了解柱体、锥体及台体的体积公式。 3．能够利用上述几何体的表面积与体积公 式解决问题。
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
l
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
柱体体积
一般柱体的体积是：
V Sh
其中S是什么？h是什么？
锥体体积
1 V Sh（其中S是什么？h是什么？） 3
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别是什么? h是什么?
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
1 V ( S S S S )h V Sh 3 S为底面面积，S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
2r '
r 'O’
2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
1 V Sh 3 S为底面面积， h为柱体高
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
机械制图(第四版)第10章第四节 锥管制件的展开
学生制作的各种圆锥管接头模型。
第十章 第四节 锥管制件的展开
锥管制件作图题：
两节渐缩变形接头
φ26
圆柱与圆台斜交管接头Biblioteka 148 72φ26
φ90
第十章 第四节 锥管制件的展开
第十章 第四节 锥管制件的展开
§11 — 4 锥管制件的展开
[例一] 作斜切圆锥的展开图。 作图步骤： 1. 作出完整锥面的展开图（为一扇形）； 2. 将底圆及展开图中的扇形圆弧做相同等分（本例为12等分）； 3. 在视图中求出等分素线被截断部分的实长后， 量取在展开图中相应的等分线上； 4. 依次光滑的连接各点如图所示。
§10 — 4 锥管制件的展开
圆锥体表面展开为一扇形，扇形角θ=180°× d/L，展开方法如图所示。 作带切口的圆锥管的展开图，先要确定出切口上各点在展开图中
的位置，然后连接各点。
[例一] 作斜切圆锥的展开图。 作图分析：正圆锥被倾斜于轴线的平面截切后在锥面上形成 一椭圆如图所示。椭圆切口在圆锥的展开图上为一曲线，作 图的要点在于确定椭圆上各点在展开图上的位置。
圆锥的表面积公式(圆锥的面积公式)
圆锥的表面积公式（圆锥的面积公式）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱的侧面展开图是一个矩形。
如果圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，那么圆柱的底面面积为πr²，侧面面积为2πrl 。
圆柱的表面积为S = 2 π r² + 2 π r l= 2 π r ( r + l )圆柱和圆锥展开图圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如果圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，圆锥的表面积为S = π r ² + π r l = π r ( r + l )圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S = π ( r'² + r² + r'l+ r l )圆台展开图柱体、锥体与台体的体积柱体的体积为V = S h锥体(圆锥和棱锥)的体积为同低等高的柱体(圆柱和棱柱)的三分之一，即椎体的体积公式台体的体积为球的体积和表面积设球的半径为R，它的体积是以R为自变量的函数。
球的体积球的表面积S也是以R为自变量的函数。
球的表面积证明题祖暅原理与柱体、椎体、台体及球体的体积祖暅原理: “幂势既同，则积不容异”。
“ 幂”即面积，“ 势”即高，这原理是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那这两个几何体的体积一定相等。
祖暅原理根据祖先杵的原理，可以推导出两个等底等高椎体的体积相等。
用祖暅原理推导几何体的体积公式设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体(或柱体)，使它们的底面在同一平面内。
根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。
① ②根据图② 可得三棱锥的体积等于棱柱体积的三分之一。
应用祖暅原理研究半球(半径为R)的体积计算:设平行于大圆且与大圆的距离为ι 的平面截半球所得圆面的半径为 r，r = √( R²-ι² )，于是截面面积S1 = π r² =π (R²-ι²) = πR² - πι²S1 可以看成是在半径为 R 的圆面上挖去一个半径为 l 的同心圆，所得圆环的面积。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件高一数学课件
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3．如何求简单多面体的侧面积？ 提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩 形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与 斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量 与条件中已知几何元素间的桥梁． (2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相 等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的 个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下 底面之间的关系．
B．100π
C．168π
4 4，母线长为 D．169π
解析：
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先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长 l＝ h2＋r2－r12
＝ 4r12＋3r12＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S 侧＝π(r2＋ r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr12＋πr22＝100π＋4π＋64π ＝168π.
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类型二 锥体的侧面积与表面积 【例 2】 正四棱锥底面边长为 4 cm，高和斜高的夹角为 30°，如图，求正四棱锥的侧面积．
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【解】 正棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt △POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴PE＝siOn3E0°＝4 cm. 因此 S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)．
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知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [填一填]
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 - 副本
A’ O’ B’ 轴 侧 面
母 线
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
A
O B
底面
注：棱柱与圆柱统称为柱体
特征:
A O B
① 两底面是圆面且平行全等,
轴 侧面 底面
母线
A O B
② 母线互相平行且平行于轴,
③ 母线及母线端点与底面 圆心的连线与轴围成矩形.
表示:
圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱OO
思考1：平行于圆柱底面的截面，经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图 形？
思考2：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征 吗？
圆柱、圆锥、圆台和球
请欣赏下面几幅图片
再请欣赏下面几幅图片
圆锥 圆柱
圆台
§1.1.1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是 什么？
1.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。
④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱． A．1 C．3
[答案] B
B．2 D．4
2.圆锥的结构特征：
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其 余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。
S
顶点
底面：另外一条直角边旋转形成的圆 面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲 面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点
高中数学 必修2(北师大)6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题易出现的错误有：(1)错误判 断几何体的形状，如绕 x 轴旋转时 漏掉了线段 OB 所产生的圆面，这 样计算时就少了这个圆的面积；(2) 用错旋转体的面积计算公式，特别 是圆台的侧面积公式，导致运算错 误.
确定平面图形旋转形成的几何体 的形状时，要根据旋转体的定义， 将平面图形分成一些矩形、直角三 角形、直角梯形、半圆等，要注意 形成的旋转体之间的关系，尤其是 几何体的挖空或重叠，防止求解几 何体的表面积时造成遗漏或重复 计算.
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则该长方体 的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11
解析：长方体的表面积为 S 表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 答案：A
3．若圆柱的轴截面为边长为 2 的正方形，求圆柱的侧面积( ) A．2π B．4π C．6π D．8π
解析：设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，
如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′. 因为 S 侧＝2S 底，
所以21×3a×h′＝ 43a2×2， 所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2，
所以
32＋
63×
3h′2＝h′2，
所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的 展开图形状都相同，面积都相等．( √ ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图 形．( × ) (3)空间几何体的侧面积即是表面积．( × ) (4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( √ )
圆台侧面的展开的两种方法
圆台侧面的展开的两种方法
圆台是圆锥平行地切去顶部得到的剩下的一部分，它的上底面和下底面平行，圆台的立体图见Fig 1：
Fig 1 圆台实图
如果沿着圆台的母线即剪开圆台，如图Fig 2，并展开剪下来的图形，那么会得到什么样的图形呢，下面我们从两个思路出发解答这个问题。
Fig 2 圆台立体图
第一种方法：利用圆台的定义。
圆台是圆锥平行地切去顶部得到的剩下的一部分，那么是不是可以从圆锥的展开图中得到圆台的展开图呢，而圆锥的展开图是一个扇形，这是大家都知道的，圆锥的立体图和展开图如图Fig 3(a)和Fig 3(b)。
Fig 3(a) 圆锥立体图Fig 3(b) 圆锥展开图
这样我们想象把圆锥剪开和圆台剪开的区别，就是一个大圆锥减去一个相似的小圆锥就是圆台，那么对应的展开图也是一样一个大扇形减去一个小扇形，就是圆台的展开图，如图Fig 4。
Fig 4 圆台展开图
第二种方法：想象圆锥极端的情形。
如果把圆锥的锥角看成0度，那么圆台也就变成了圆柱，而圆柱我们是知道的，它的展开图是一个矩形，这个时候母线与底面曲线展开的曲线（弧度为无穷，变成了直线）是垂直的，那么换成圆台显然就不垂直了，而是和底面曲线展开的圆弧的切线垂直，那么就得到了如图Fig 4的图形。