仰角、俯角;坡度、坡角
生铅垂高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出。
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
A 3 EB 3 E 2 3 69m
220
在Rt△DCF中，同理可得
i CF 1 FD 2.5
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约
F D 2.5 2 C .2 5 F 3 57.5为m 22°。 A A D E E F FD
=69+6+57.5
C·
4455 3300
DD
A 200BB
解 这位同学能计算出河宽.
在Rt△ACD中,设CD=x,由
∠ CAD=450,则CD=AD=x.
在Rt△BCD中,AB=200,
则BD=200+X,由∠CBD=300,
C
则tan300= CD BD
即 3 x 3 x 200
解得 x1003100 所以河宽为 (100310)米 0.
视线的仰角为30o ,若双眼离地面1.5m,则旗
杆高度为多少米？
D
A
30o
E
B
C
2、一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对 岸边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿 河岸边向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小 树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问这位同学能 否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算 出河宽.
我军某部在一次野外训练中,有一
辆坦克准备通过一座小山,且山脚
和山顶的水平距离为1000m，山高
为565m,如果这辆坦克能够爬300
的斜坡,试问:它能不能通过这座小
山？
B
565m A 1000m C
练习1
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
关 已知两边求一边， 勾股定理最方便；
系 已知锐角求锐角， 互余关系要记好；
式 已知直边求斜边， 用除还需正余弦；
计算方法要选择， 能用乘法不用除.
动手做一做
1、一架飞机以300角俯冲400米, 则飞机的高度变化情况是( )
自学指导1
请同学们认真看课本113--114页练习以上内容。
思考：什么是仰角、俯角？
仰角和俯角
铅 垂
线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
视线
仰角 俯角
水平线
视线
1.如图,升国旗时某同学站在离旗杆24m处行
注目礼,当国旗升到旗杆顶端时,这位同学的
iDE 4 ta4n5 AEAE
AE 4 4(米) ta4n5
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.9(3米) ta3n0
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 答： 路基下底的宽约为22.93米．
在涉及梯形问题时，常常首先把 梯形分割成我们熟悉的三角形（直角 三角形）、平行四边形（矩形），再 借助这些熟悉的图形的性质与特征加 以研究。
24.4 解直角三角形
测量问题、坡度问题
三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
cos
A
A的邻边 斜边
AC AB
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
学习目标1
1、了解仰角、俯角的概念；
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、 方位角有关的实际问题。
A
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
6
i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
垂足分别为点E、 F,由题意可知
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
BE=CF=23m EF=BC=6m
A BA2E B2E 629 223 72.7
在Rt△ABE中
iB AE E1 3
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4 由计算器可算得
=13பைடு நூலகம்.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底 的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°，求路基下底的宽．（精确 到0.1,米, 3 1.732 ，2 1.414 ）
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
ihl tan 坡度等于坡角的正切值
1、斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=______度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
45 30
D
A 200 B
学习目标2
1、了解坡度、坡角的概念；
2、会运用解直角三角形的有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题。
自学指导2
请同学们认真看课本115--116页练习以上内容。
思考：什么是坡度、坡角？
1、坡角
坡面
i= h : l
h
α 水平面
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
h α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 1 0）
分析：（1）由坡度i会想到产
C
1.2
1.2
30°
A
B
练习2
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
优 选
已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边， 正切余切理当然； 已知两边求一角， 函数关系要选好；
第5课时 仰角、俯角、坡度、坡比1
北
视线
o
东
例3、
北
75海里
A
正 北
C
B
东
8:00
10:00
v船 =？
（2013年四川自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图）， 在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮 船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮 船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请 说明理由．
俯角、仰角，坡度、坡比
LOREM IPSUM DOLOR
俯角与仰角
视线 仰角 俯角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ水平线
仰角：向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角 俯角：向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
坡角与坡度
坡角:水平面与坡面的夹角叫做坡角
坡度:坡面的铅直高度与水平宽度的 比叫做坡度（又叫坡比）
坡度越大坡角越大坡面就越陡 单击此处改变坡比大小 坡角 交点A沿铅直方向拉动 水平面
坡 面 铅 直 高 度
如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期 来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长 AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
方向角
方向角：在平面上，过观测点O作一条水平 线和一条铅垂线（向上为北），则从O点出 发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫观 测的方向角。
解：（1）如图，∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形。 ∵AB=40km，AC=km， ∴（km）。 ∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分， ∴（千米/小时）。 答：该轮船航行的速度为千米/小时。
解直角三角形
〖归纳小结二〗
• 转化思想贯穿全章。把实际问题转化为数学问题。 • 数形结合思想。画出图形，使已知元素和未知元素更直观。 • 函数思想。锐角的四个三角函数，角度与函数值一一对应。 • 方程思想。若某个元素无法直接求解，往往设未知数，根据三角形
A
BC
E
D
外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的 区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为 160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点， 在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时 是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
100海里
距离.（精确到1米）
A 2000 B
解：在RtΔABC中，
D 300
∵ ∠CAB = 900 － ∠DAC = 600
∵ tan ∠CAB = BC
AB
C
∴ BC = AB·tan ∠CAB
=2000× tan 600 ≈3464（米）
又∵cos ∠CAB =
AB AC
AC
AB COS 600
2000 400（0 米） 0.5
A
B
C
例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的 地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落 在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解：设RtΔABC中，∠C=900，
AC =10m，BC=24m.
10m
则 AB= BC 2 AC 2
242 102 = 26（米）
24m A
26+AB，小强从点B沿山坡向上
仰角俯角;坡度坡角
山？
B
565m A 1000m C
练习1
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
练习2
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
h α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 1 0）
分析：（1）由坡度i会想到产
A
BD
C
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、 方位角有关的实际问题。
自学指导1
请同学们认真看课本113--114页练习以上内容。
思考：什么是仰角、俯角？
仰角和俯角
铅 垂
线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
视线
仰角 俯角
水平线
视线
=69+6+57.5
=132.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底 的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°，求路基下底的宽．（精确 到0.1,米, 3 1.732 ，2 1.414 ）
解 直 角 三 角 形 的 应 用
在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°
F
∴DF=30 3 ，FA=30
A
又FM=FA+AB－BM=130－40t，MD=20 10
D 30° 东
∴（30 3 ）2+（130－40t）2=(20 10)2 M
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13 4
13
, t2
13 4
13
∴台风抵达D港的时间为 13 13小时。 B
⑵设货轮从出发点D到两船相遇处E共航行了x海里。 过D作DF⊥CB于F，连结DE，则DE=x，AB+BE=2x。
（提高的船速取整数， 13 3.6）？
B
解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为 t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则 有AC2+AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=AB－BE=100－ 40t，EC=20 10，则（20t）2+（100－40t）2=(20 10)2， 若 可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。
故填上26。
例3 （2002年福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市 内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已 知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元
B、225a元 C、150a元 D
A
h 20米 150°
D、300a元
30米
B
C
解：如图所示，作出此三角形的高h。
CE
AE=CE• tan60º= 3 3
60° C 30° E
D
B
AB=AE+EB= 4 36.92(米） 8(米）
坡度坡角课件
3.坡度与坡角的关系：
1、坡度（或坡比）：
坡面的铅垂高度（h）和水平距离（l）的比，记作i
2ห้องสมุดไป่ตู้坡角：坡面与水平面的夹角，记作
3、坡度与坡角的关系：i h tan
l
坡度是坡角的正切
图19.4.5
坡度表示斜坡的倾斜程度，你能通过以下两道题 发现坡度的大小与斜坡倾斜程度的关系吗？
斜坡的坡比i=1:1,则坡角是 4 5 0 . 斜坡的坡角为300，则坡比是 1 : 3 .
坡度越大，坡面就越陡, 坡角越大。
i=1:1
450
i = 1: 3
300
1、如图所示，堤高BC=1米，迎
B
水坡AB的长为2米，则斜坡AB的
坡度i= 1 : 3 。 2、如图，水坝横断面是梯形
C
A
ABCD，坝顶宽BC为3米，坝高4
课堂小结
1. 坡比、坡角的概念及其应用，特别是：
i＝
h l
=tanα
它体现了坡比和坡角间的关系.
2.
1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 解直角三角形问题）；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，应用直角 三角形的有关性质，解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
A
D
βα
EB
C
第19题图
5（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告 牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的 仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶 部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： ， AB=10米，AE=15米． （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计， 结果精确到0.1米．参考数 据： 1.414， 1.732）
解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编
:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。
解直角三角形的应用(专题训练)
12mm
l
200mm
B D C
3.某段公路,每前进100m,路面就上升4m,
则路面的坡度为( D )
1 A. 50
1 B. 25
C. 22°
39 D. 156
4.如图所示，是某市的一块三角形空地， 准备在上面种植某种草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价为a元，则购 买这种草皮至少需要( )C A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
5.如图所示, 水坝的横断面是等腰梯形， 斜坡AB的坡度i=1:3, 斜坡AB的水平宽度 BE=3 3 m, AD=2m, 求∠B, 坝高AE及坝 底宽BC.
1, 2 3 2
6.(09吉林)小鹏学完解直角三角形知识后,给 同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长 方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰 好四个顶点都在横格线上,已知=360,求长方 形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精 确到1mm)(参考数据:sin360≈0.60， cos360≈0.80, tan360≈0.75）
4.如图所示,某地下车库的入口处有斜 坡AB, 其坡度i=1:1.5, 且AB=
13 m.
5.如图所示, 一渔船上的渔民在A处看见 灯塔M在北偏东600方向, 这艘渔船以28 海里/时的速度向正东航行, 半小时至B处, 在B处看见灯塔M在北偏东150方向, 此时 灯塔M与渔船的距离是( A )海里 A. 72 B.142 C. 7 D. 14
6.如图所示，Rt△ABC是一防洪堤背水 坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它 的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能 力，现将背水坡改造坡比为1∶1.5的斜 坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
28.2.2解直角三角形的应用1-仰角、俯角
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式1】如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点 在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
注意变式 例：b=c∙sinB
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC=
温故而知新
B
（2）若∠B=60°，BC=3，则AC=
A
C
【定义】 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解法一：
P
C
30°
D
A
45°Biblioteka 200米OB
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解法二：
C P
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
abcd仰角水平线俯角合作与探究变式热气球的探测器显示从热气球看一栋高楼顶部的仰角仰角????为为45看这栋高楼底部的俯角俯角????为为60已知这栋楼的高度bc为50m求热气球与高楼的水平距离ad结果保留根号
24.4 第2课时 方位角、仰角、俯角 公开课获奖课件
1．(4 分)小明沿坡度为 1∶3 的斜坡向上行走了 10 m， 则他上升的竖直高度是( B )
10 A. 3 m
B. 10 m
C．10 m
D．30 m
2．(4 分)如图，已知一坡面的坡度 i＝1∶ 3，则坡角α为( C ) A．15° B．20° C．30° D．45°
3．(4 分)(凉山州中考)拦水坝横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡比 是 1∶ 3，坝高 BC＝10 m，则坡面 AB 的长度是(D ) A．15 m B．20 3 m C．10 3 m D．20 m 4．(4 分)有一拦水坝是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m， 高为 2 3 m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( C)
则 A′E＝ 23x，故 CA′＝2A′N＝2× 23x＝ 3x， ∴ 3x＋x＝40 3.解得 x＝60－20 3. 答：此时“中国海监 50”的航行距离为(60－20 3)海里
米，试求旗杆的高度． BC 交 AD 于点 H，则 BH⊥AD.在 Rt△ACH 中， AH＝30°，∴CH＝AC·sin 30°＝5，AH＝AC·co 中，BH＝ AB2－AH2＝11，∴BC＝BH－CH＝6(米
8．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30°，45°，
如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，
解：过点 A 作 AM⊥EF 于 M，过点 C 作 CN⊥EF 于 N， ∴MN＝0.25 m∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，设 AM＝ME＝x m， 则 CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25) m，∵∠ECN＝30°， ∴tan∠ECN＝ECNN＝x－x＋0.625＝ 33，解得：x≈8.8， 则 EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)． 答：旗杆的高 EF 为 10.3 m
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。