数学北师大版九年级下册中考第一轮复习------解直角三角形的应用
数学北师大版九年级下册解直角三角形应用举例
巩固再现
古塔究竟有多高
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那 么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将 其数学化.
请与同伴交流你是怎么想 的? 准备怎么去做?
例题欣赏
行家看“门道”
视线
应用知识，解决问题
问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼 顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热 气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取 B 整数）？ （1）从热气球看一栋楼顶部的仰 α D 角为 30°→ α=30°． （2）从热气球看一栋楼底部的俯 A β 角为 60°→ β=60°． （3）热气球与高楼的水平距离为 120 m→AD=120 m，AD⊥BC．
A
N1
N
45˚
60˚
D
C
D
B
变式二（三角形位置变化）
. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65° P
80
A C
34°
B
（五）我的收获
300
0 0 A 50m x tan 60 x tan 30 50 . 50 50 x 25 3 43 m . 0 0 tan 60 tan 30 3 3 3
┌ B C
600
答:该塔约有43m高. 老师期望:这道题你能有更简单的解法.
做一做
船有无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ礁的危险
北师大版九年级数学下册第一章1.4解直角三角形应用(共21张PPT)
A （1）三边之间的关系 :
（2）两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系(以角A为例):
Ca
B
例1:方位角问题
据报道：中国籍货 轮“德新海”号 于2009年10月19号在印度洋海域遭到索 马里海盗劫持。
例1:方位角问题
在实行紧急救援过程中，援 救小组的船只向正北方向航行, 在点A测得 “德新海”号在北 偏西30º处, 援救小组又以每小 时30海里航行10小时后到达 “德新海”号正东方向B处时, 问援救小组的船只此时与“德 新海”号的距离是多少? （结果可含 ）.
即
3 BD 3 120
BD 120 3 40 3 3
B ?
30 D A 60 120
?
又Q 在RtACD 中，tan 60 CD AD
即 3 CD 120
C
CD 120 3 120 3
BC 40 3 120 3=160 3
答：这栋楼高为 160 3 m .
1、第117页练习 2、第120页的A组第4题 3、设计两种测量上海东方明珠塔高度的方案（不一
仰角、俯角问题
1、在A处测得一建筑物顶 部B处的仰角为47度
BAC 47
仰角、俯角问题
2、从热气球上看一栋 高楼顶部仰角为30度，
底部俯角为45度，
BAD 30 处，用仪器测得一路灯电线 杆底部B处的俯角为 30度，仪器高度AD为1.5m。求这根 电线杆与这座楼的距离BC。 (精确到1m)
= 135°，BD = 520m，∠D=45°，要使A，C，E成一
直线那么开挖点E离D的距离是多少（结果用 表示 ） ？
初中数学_解直角三角形及其应用中考复习教学设计学情分析教材分析课后反思
解直角三角形及其应用教学设计【导学目标】1、理解锐角三角函数的概念，并准确记忆30°，45°，60°角的三角函数值。
2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
【导学过程】 一、知识梳理1、锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且∠C=90°，∠A 的正弦sinA=c a=∠斜边的对边A ；∠A 的余弦cosA==）（）（________； ∠A 的正切tanA==）（）（________. 2、特殊的三角函数值：α sinα cosα tanα 300 450 600(1)含30°角的直角三角形中三边之比_________________. (2)含45°角的直角三角形中三边之比___________________. 3、解直角三角形应用中的有关概念： ⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直水平线视线⑵坡度坡角：如图，斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。
【设计目的】：1.做好知识铺垫，为夯实基础。
2. 抓好关键概念学习。
3. 培养数形结合思想二、典例分析考点一 锐角三角函数的概念典例1、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠＝（ ） 对应训练1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tanα等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1252．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） A ．23B ．32C ．21313D ．31313【设计目的】：利用坐标、网格渗透数形结合思想，培养添加辅助线的意识。
考点二 特殊角的三角函数值 典例2、 0033sin 602cos 458-+对应训练AB O1．计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）A ．43B ．4C ．53 D ．52．在△ABC 中，若|sinA-12|+（cosB-12）2=0，则∠C 的度数是（ ）A ．30°B．45°C．60°D．90°【设计目的】：抓好三角函数计算，将三角函数值与角度有机结合。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.4《解直角三角形》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容，它不仅巩固了初中阶段的知识，同时也为高中阶段的数学学习打下了基础。
本节课的主要内容是让学生掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，引导学生主动探索，培养他们的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.能够运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数的定义及应用。
2.教学难点：如何引导学生运用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探索直角三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生思考和解决问题，培养学生的思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际的直角三角形问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼房的高度等，引出直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质，引导学生观察和思考，总结出直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际问题，运用勾股定理和锐角三角函数解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）设置一些练习题，让学生独立完成，检查他们对直角三角形性质的掌握程度。
北师大版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用一知识讲解【学习目标】1.了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2 .会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题.【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ ABC中，/C=90° ,匕A ZB、/ C所对的边分别为a、b、c,则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.②锐角之间的关系：/A+Z B=90° .③边角之间的关系：a I）asi n 4 二一，co$ 4 二一，讪刃二一，bc 匕b a b,-，、广,I -.c c a④一一白& ——ck , h为斜边上的［Wj .2 2要点诠释：（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90° ），是已知值.（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解^要点诠释：1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算^2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键^解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解^拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母Q表示.. ,k 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离J的比叫做坡度，用字母i表示，贝Ijz-y=tana，如图, 坡度通常写成i=h: J的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.90°的水平角，叫做方向角，如图②中的 南偏东45° ,南偏西80° ,北偏西60° . 45° ,西南方向指的是南偏西45° ,西使其转化为直角三角形或矩形(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方 向PA PB, PC 的方位角分别为是 40° , 135° , 245° .(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于目标方向线 OA OB, OC OD 的方向角分别表示北偏东 30° , 特别如：东南方向指的是南偏东 45 ,东北方向指的是北偏东 北方向指的是北偏西 45° . 要点诠释：1 .解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最 好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线， 来解.3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意 (关键弄清其中名词术语的意义 )，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解.①【典型例题】类型一、解直角三角形C1.在Rt △ ABC中，ZB 90° , a、b、c分别是/ A Z 8 / C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形.（1）Z B=60° , a = 4;（2）a = 1, b =焰.【答案与解析】（1）Z A= 90 ° —Z B= 90° —60 ° = 30° .b由tan B =一知，b = a|_tan B =4 Ktan60 = 4\/3., a 站 a 4由cos B =—知，c = -------= -------- 7 = 8 -c cosB cos60b（2）由tanB=—=龙得Z B= 60 , Z A= 90 -60 = 30 .aa2+b2=c2, •• c = Ja2 +b2 =V4 = 2.【总结升华】解直角三角形的两种类型是：（1）已知两边；（2）已知一锐角和一边.解题关键是正确选择边角关系.常用口诀：有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦（斜边）用切（正切）.（1）首先用两锐角互余求锐角Z A,再利用/ B的正切、余弦求b、c的值；（2）首先用正切求出/ B 的值，再求/ A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.举一反三：【变式】（1）已知Z C=90° , a=2j? , b=2，求Z A、Z B和c; （2）已知sinA= - , c=6 ，求a 和b;3【答案】（1）c=4; Z A=60°、Z B=30° ;（2） a=4; b= 2^52. （2015?湖北）如图，AD 是^ ABC 的中线，tanB=』，cosC=^ , AC=J^.求：3 2(1)BC的长；(2)sin / ADC 的值.【答案与解析】解：过点A作AE ± BC于点E,cosC^^—,2... / C=45 °,在Rt△ ACE 中，CE=AC?cosC=1,AE=CE=1 ,在Rt△ ABE 中，tanB=Jl,即焚=1,3 BE 3••• BE=3AE=3 ,••• BC=BE+CE=4 ;(2) AD 是^ABC 的中线,••• CD=』BC=2 ,2••• DE=CD - CE=1 ,. AE±BC, DE=AE ,•••Z ADC=45 °,•••sin / ADC=也2【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用. 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3.（2016?盐城）已知△ ABC中，tanB=Z, BC=6 ,过点A作BC边上的高，垂足为点D,且满足3BD : CD=2 : 1,则^ ABC面积的所有可能值为 .【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得. 【答案】8或24.【解析】解：如图1所示：图1. • BC=6 , BD : CD=2 : 1 ,BD=4 ,-■ AD ± BC , tanB=—,3.AD_2—=,则AD于E,如图,BD 39 只. . AD=^BD= 一 ,3 3. oIs — 1 8… --S AABC ==BC?AD= = X 6X k =8;223'= -BD 3—9 一 - AD= —BD=8 ,3••• S AABC =【BC?AD=【X 6x 8=24 ;2 2综上，△ ABC 面积的所有可能值为 8或24, 故答案为8或24.【总结升华】 本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本 题的关键. 举一反三：【变式】（2015?河南模拟）如图，在等腰 RtAABC 中，/ C=90°,AC=6 ,D 是AC 上一点，若tanZ DBA=」,5•••/ C=90 °, AC=BC=6 ,ACB 为等腰直角三角形，AB^2AC=^2,•.•Z A=45 °,在Rt △ ADE 中，设AE=x，贝U DE=x , AD=姬乂,在Rt△ BED 中，tanZ DBE=^=±,BE 5BE=5x ,•••x+5x=6 如，解得x=J云. . AD=V^ >V2 =2.(2)在 Rt △ DEC 中,七却"=近=如,EC 3ZC类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 C 4 .某过街大桥的截面图为梯形，如图所示，其中大桥斜面CD 的坡度为i =1： J 3 （i = 1: J 3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），CD 的长为10 m,大桥另一斜面 AB 的坡角/ ABCC= 45° .（1） 写出过街大桥斜面 AB 的坡度； （2） 求DE 的长；（3） 若决定对该过街大桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30° ,方便过路群众，改建后斜面为 AF,试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长（结果精确到.0.01 m ）.【答案与解析】(1)作 A(^ BC 于 G Dd BC 于 E, 在 Rt △ AGB 中，Z AB 孚 45° , A8 BG........ AG••- AB 的坡度「=—兰=1 .BG=30 .又.. CD = 10 m . ... DE=1CD=5m 2 '(3) 由(1)知 A8 B8 5 m,在 Rt△ AFG 中，Z AF 孚 30° ,AG .35 -tan NAFG =常，即，解得 FB =5店—5 =3.66（m ）.答：改建后需占路面的宽度 FB 的长约为3.66 m .【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解.（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值.e/ 5 .腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30° ,底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60° （如图所示）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据扼=1.73）精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案与解析】 过点C 作CN AB 于E./ 4 90° — 60° = 30° , / AC 孚 90° — 30° = 60° , Z CA 孚 180° - 30° - 60°=90° .. • CD = 10,AC = 1Ct> 5. 2在 Rt △ ACE 中， 5 AE= AC • sin Z ACE 5 x sin 30 =—, 2CA AC • cos Z ACE 5 x cos 30 ° = 5 构，2 在 Rt△ BCE 中，.• / BCE 45° ,AB = AE+BE=5+：X /3=5（V3 + 1）-6.8（米）.雕塑AB 的高度约为6.8米.【总结升华】 此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角） 过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊.B。
数学北师大版九年级下册解直角三角形应用
教学内容分析：本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。
将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。
对部分学生来说，有一定的难度。
教学目标：1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2、数学思维：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。
3、解决问题：通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力4、情感态度和价值观形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。
从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。
通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。
教学课时：一课时教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。
难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。
教学过程：一、创设情境：问题1：如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡∠FAE是30°，求大树的高度（结果保留整数。
参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）二、知识回顾：已知：在ΔＡＢＣ中，∠C=90°，你能说出这个图形有哪些性质吗？1、在一个三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）2、在RtΔABC中，∠C=90°。
a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？讨论复习：RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？总结：直角三角形的边角关系（1）两锐角互余：∠A+∠B=90°（2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2（3）边与角的关系：sinA=cosB=a/ccosA=sinB=b/ctanA=cotB=a/bcotA=tanB=b/a在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形。
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》说课稿
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》的教材内容主要包括锐角三角函数的定义及计算方法、解直角三角形的应用等。
这部分内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点。
通过复习，使学生掌握锐角三角函数的定义及计算方法，提高解直角三角形的能力，为高中阶段的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角函数和解直角三角形的相关知识，对基本概念和基本公式有一定的了解。
但部分学生对概念的理解不够深入，公式的应用不够熟练，解题方法不够灵活。
因此，在复习时，要注重巩固基础知识，提高解题技能，培养学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过复习，使学生掌握锐角三角函数的定义及计算方法，提高解直角三角形的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究问题的能力，提高解决问题的策略。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生体验到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用。
2.教学难点：对锐角三角函数概念的理解，解直角三角形方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习已学过的知识，引导学生回顾锐角三角函数和解直角三角形的相关内容，为新课的学习做好铺垫。
2.知识梳理：讲解锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用，让学生掌握基本概念和基本公式。
3.例题讲解：分析典型例题，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的解题技能。
4.练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，检测学习效果，及时巩固所学知识。
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
北师大版初三数学下册中考专题复习——三角函数及应用
中考考前专题复习——三角函数及应用一、教材剖析1、本节内容属于北师大版九年级数学下册第一章的内容，位于本册书的第 19 页至 21 页（包含练习题）。
2、本章“直角三角形的边角关系”属于三角学，主要内容包含：锐角三角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法在解有关的综合题中的运用（意识）。
解直角三角形在实质中间有着宽泛的应用，锐角三角函数为解直角三角形供给了有效的工具．相像三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时常常使用的数学结论，所以本章与“勾股定理” 和“相像”两章有着亲密关系。
锐角三角函数是本套教科书中独一出现过的初等超越函数，出现过的其余函数（一次函数、二次函数等）都是代数函数。
锐角三角函数的一个突出特色是看法的产生和应用都与图形分不开 .锐角三角函数拥有鲜亮的几何意义，其自变量是角，函数值是直角三角形中边长的比值。
学习本章不单能够使学生对函数看法的认识更全面，并且能够对用变化和对应的看法议论几何图形问题的方法认识得更深入 .。
3、本节内容属于三角学内容的一部分，是在直角三角形三角函数知识教授以后的简单运用。
是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化” 中的重要内容。
主要研究解利用三角函数解决实质问题.掌握锐角三角函数的看法和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
二、学生知识情况剖析学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系（勾股定理）；角与角的关系（直角三角形两锐角互余）；边与角的关系（正弦、余弦、正切）。
并能够利用这三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，并且能依据生活中的一些情形，用所学知识解决一些简单的实质问题。
在整个学习过程中学生已经经历了好多合作学习的过程，拥有了必定的合作学习的经验，具备了必定的合作与沟通的能力。
并对用数学有相当的兴趣和踊跃性.可是学生研究和解决问题的能力毕竟有限，尚待增强.本节课主假如在学生原有认知能力的基础上，进一步学惯用锐角三角函数解决实质问题，经历把实质问题转变成数学识题的过程，成立相应的数学模型，以提升应用数学知识解决实质问题的能力。
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中考数学第一轮复习
------解直角三角形的应用
教学目标
【考试目标】
能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
【教学重点】
掌握仰角、俯角，坡度、坡角，方向角等概念；学会把实际问题抽象化. 教学过程
一、体系图引入，引发思考
二、引入真题、归纳考点
【例1】（2016年呼和浩特）在一次综合实践活动中，
小明要测某地一座古塔AE的高度．如图，已知塔基顶
端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为
（海里）3
.710310≈-=⋅=∴BC AC AB 80m ．她先测得∠BCA=35°，然后从C 点沿AC 方向走
30m 到达D 点，又测得塔顶E 的仰角为50°，求塔高AE ．
（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示） 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=35°，BC=80m ，
∴cos ∠ACB= AC/AB ，∴AC=80cos35°.
在Rt △ADE 中，tan ∠ADE=AE/AD ，
∵AD=AC+DC=80cos35°+30，
∴AE=（80cos35°+30）tan50°．
答：塔高AE 为（80cos35°+30）tan50°m
【例2】（2016年临沂）一艘轮船位于灯塔P 南偏
西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行
多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处
（参考数据： ≈1.732，结果精确到0.1）？
【解析】如图，AC ⊥PC ，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，
在Rt △APC 中，∵cos ∠APC=PC//AP ，∴PC=20•cos60°=10，
在△PBC 中，∵∠BPC=45°
， ∴△PBC 为等腰直角三角形， ∴BC=PC=10，
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P 南偏
西45°方向上的B 处．
【例3】（2016年济宁）某地的一座人行天桥如图
所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，为了
方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使
新坡面的坡度为1： .
（1）求新坡面的坡角a ；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM 是否需要拆 桥？请说明理由．
【解析】（1）∵新坡面的坡度为1：，
3310102022=-=∴
AC 3
∴tanα=tan ∠
CAB= = .
∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a 为30°；
（2）文化墙PM 不需要拆除．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD=6， ∵坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，
AD=6 ，∴AB=AD ﹣BD=6 -6＜8，∴文化墙PM 不需要拆除．
【例4】如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面
示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以
点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．
已知OA=OB=10cm ．
（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm ）
（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截
的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断
部分的长度．（结果精确到0.01cm ）（参考数据：sin9°≈0.1564，
cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）
【解析】（1）如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AB=2BC ，
∠BOC=12∠AOB=9°，∴在Rt △OBC 中，
BC=OB×sin9°≈10×0.1564=1.564(cm).
∴AB=2×1.564=3.128≈3.13(cm).
答：所作圆的半径约为3.13cm.
（2）∵∠B=12(180°-∠AOB)=81°＜90°，故可在BO 上找到一点D ， 使得AD=AB ，此时所作圆的大小与（1）中所作圆的大小相等.如图， 过点A 作AE ⊥OB 于点E ，则BD=2BE.
在Rt △AOE 中，OE=AO×cos18°≈10×0.9511=9.511(cm)，
∴BE=10-9.511=0.489(cm)，
∴BD=2×0.489≈0.98(cm).
答：铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 3331333
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对与解三角形的实际问题的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.。