河南理工大学《工程力学》课件5 空间任意力系
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工程力学-第五章 空间任意力系
22
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
《工程力学(静力学)》全套精品课件第5章-空间任意力系
F2
A FAy
y
FAx
B
xW
C FC
谢传锋:工程力学(静力学)
7
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
方法二：六矩式方程
M Cy 0 FAz M x 0 F2 M z 0 FC M y 0 F1 M Dz 0 FAx
M Cz 0 FAy
谢传锋:工程力学(静力学)
z
n
n
•主矢 FR Fi Fi '
i1
i1
n
n
•主矩 MO Mi ri Fi
i1
i1
谢传锋:工（程与力简学(静化力点学无) 关）
（与简化点有关）
4
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i1
i1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
空间任意力系平衡的条件：
FR 0
Fx 0
Fy 0 MO 0
M Ox (F ) 0 M Oy (F ) 0
谢传锋:工程力学(静力学)
x
Fz M
0 x (F
)
0
M y (F ) 0
z
2
A
By
W
C
6
静力学
§2 空间任意力系的平衡条件
z
解：取板为研究对象 画受力图
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
5第四篇空间任意力系
表示集度大小分布情况及分布力作用方向的图形称为荷载图。 q
A
B
简化结果为合力。 合力作用线位置：
xc x A A,yc y A A
结论：合力通过荷载图的形心。
例题
F12 ql三角形面积
F ql
第三节 一般平行分布力的简化
简化结果为一个合力。 合力作用线位置：
xxV, yyV c V c V
平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力 通过荷载图体积的形心。
一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而 主矩一般与简化中心有关。
第一节 空间任意力系的简化
主矢和主矩的解析计算
F R F i F i
( F i) x i ( F i) y j ( F i) z k
F R x F i, x F R y F i, y F R z F iz
F F2 F2 F2
由 Y 0 ;Y A P y 0 , Y A P y 35 (N ) 2 m y 0 ; P z 5 0 10 Q 0 x 0 , Q 74 (N )6
mzA0;30Px05P 0y20X0 B5Q 0co2s000, XB43(N 7) X0;XAXBPxQco2s000, XA72(N 9) mxA0;20ZB 030Pz05Q 0si2n000, ZB20(4N)0 Z0;ZAZBPzQsi2n000, ZA38(N 5)
c
Wc
Wc
W
x x i V i,y y i V i ,z z i V i
c
Vc
Vc
V
对于曲面或曲线，只须在上述公式中分别将ΔVi改为ΔAi (面积)或ΔLi (长度)，V改A为或L，即可得相应的重心坐标 公式。
——形心、对称性
A
B
简化结果为合力。 合力作用线位置：
xc x A A,yc y A A
结论：合力通过荷载图的形心。
例题
F12 ql三角形面积
F ql
第三节 一般平行分布力的简化
简化结果为一个合力。 合力作用线位置：
xxV, yyV c V c V
平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力 通过荷载图体积的形心。
一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而 主矩一般与简化中心有关。
第一节 空间任意力系的简化
主矢和主矩的解析计算
F R F i F i
( F i) x i ( F i) y j ( F i) z k
F R x F i, x F R y F i, y F R z F iz
F F2 F2 F2
由 Y 0 ;Y A P y 0 , Y A P y 35 (N ) 2 m y 0 ; P z 5 0 10 Q 0 x 0 , Q 74 (N )6
mzA0;30Px05P 0y20X0 B5Q 0co2s000, XB43(N 7) X0;XAXBPxQco2s000, XA72(N 9) mxA0;20ZB 030Pz05Q 0si2n000, ZB20(4N)0 Z0;ZAZBPzQsi2n000, ZA38(N 5)
c
Wc
Wc
W
x x i V i,y y i V i ,z z i V i
c
Vc
Vc
V
对于曲面或曲线，只须在上述公式中分别将ΔVi改为ΔAi (面积)或ΔLi (长度)，V改A为或L，即可得相应的重心坐标 公式。
——形心、对称性
工学工程力学空间力系PPT课件
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R'Fi 'Fi（主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2,mn 得主矩 MO 即：mO mi mO (F（i) 主矩 MO与简化中心O有关）
31
第31页/共46页
§5-5 空间一般力系简化结果的讨论
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
Fn
F2
M1
Fn
F2
F1
F1
F3
Mn
M2
29
第29页/共46页
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间
汇交力系： F '1,F2 ',F3'F和n ' 附加力偶系
m1,m2 ,[m注n
意]
m1,m2,分m别n 是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 30 第30页/共46页
矢量表示。
第18页/共46页
y
18
MO (F, F ') MO (F ) MO (F ') rA F rB F' (rA rB ) F
M rBA F 力偶矩矢与矩心无关
力偶矩矢的模等于三角形
ABC的面积。
力偶的转向为右手螺旋定则。
O1
从力偶矢末端看去，逆时针
转动为正。
空间力偶是一个自由矢量。
A为球铰链。
求:绳BE、BF的拉力和杆
AB的内力 解：分别研究C点和B点作 受力图
由C点：
Y 0,T1'sin15Qsin450,
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
空间任意力系
，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和OB所构成的平面垂直于铅直平面Oyz， 并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为β
，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第4章
空间力系
例题 5-3
§4-1 空间汇交力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 4-3
解：取O点为研究对象，受力分 析如图所示，这些力构成了空间
比较可得
MO F x M x F MO F y M y F MO F z M z F
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相
应坐标轴的矩。
第4章 空间力系
§4–2 力对轴的矩
坐标轴的矩。 几何证明
力矩关系定理
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应
方向余弦
cos( M O , i ) yFz zFy MO ,
zF xFz cos( M O , j ) x , MO
cos( M O , k )
xFy yFx MO
第4章
空间力系
§4–2 力对轴的矩
思考题
思考题
受力情况如图所示，求（1）F1力对 x，y，z 轴的矩，（2） F2力 对 z′轴的矩。
力对坐标轴的矩的解析表达式
M x F yFz zFy ,
M y F zFx xFz ,
M z F xFy yFx
力对原点的矩的解析表达式
M O ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第4章
空间力系
例题 5-3
§4-1 空间汇交力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 4-3
解：取O点为研究对象，受力分 析如图所示，这些力构成了空间
比较可得
MO F x M x F MO F y M y F MO F z M z F
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相
应坐标轴的矩。
第4章 空间力系
§4–2 力对轴的矩
坐标轴的矩。 几何证明
力矩关系定理
力对坐标原点的矩在各坐标轴上的投影，等于该力对相应
方向余弦
cos( M O , i ) yFz zFy MO ,
zF xFz cos( M O , j ) x , MO
cos( M O , k )
xFy yFx MO
第4章
空间力系
§4–2 力对轴的矩
思考题
思考题
受力情况如图所示，求（1）F1力对 x，y，z 轴的矩，（2） F2力 对 z′轴的矩。
力对坐标轴的矩的解析表达式
M x F yFz zFy ,
M y F zFx xFz ,
M z F xFy yFx
力对原点的矩的解析表达式
M O ( F ) yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
空间任意力系
B
Fx
mz ( F ) mz ( Fx ) Fx a 25 2 50N .m
x
Fy a 2m
y
11
[练习1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内，求力P对三个 坐标轴的矩。
解：
Pz P sin 45 1000 2N
Pxy P cos45 1000 2 N Px Pxy sin 60 500 6 N Py Pxy cos60 500 2 N
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
my (F ) mx ( F ) mz ( F ) cos ,cos ,cos mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
17
§5-3 空间汇交力系的合成与平衡
"
29
⑵ R '∥ M o ; 这种情况力与力偶不能再合成，这就是 力系简化的最终结果，称为力螺旋。如钻孔、攻丝、拧木
螺钉等。
力螺旋中力的作用线称为原力系的中心轴，中心轴过简 化中心。
O·
Mo R'
=
R' · O
O·
R'
Mo
=
· O
R'
右螺旋
左螺旋
力螺旋与力、力偶一样，都是组成力系的基本元素。
30
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
16
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
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工程力学
第五章 空间任意力系
1) 空间任意力系简化为平衡的情形 当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0，主矩 MO ＝ 0 ，这是空间任意力系平衡的情形。 2) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 F'R＝0，MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。
4R yC = 3π
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工程力学
第五章 空间任意力系
∑F
∑M
z
x
= 0， FA+FB+FC－F－W =0
( F ) = 0 ，1.5 m·FA－0.6m·F－0.5 m·W = 0 1.5 0.6m·F 0.5
∑M
y
( F ) = 0 ，－0.5 m·FA－1m·FB +0.4m·F+0.5 m·W = 0
从而求得 FA =5.667kN，FB =3.667kN，FC =5.666kN
y=
3 r 2
, z=h
M x ( F ) = yFz − zFy =
F ( h − 3r ) 4
M y ( F ) = zFx − xFz =
3 F (r + h) 4
1 M z ( F ) = xFy − yFx = − Fr 2
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第五章 空间任意力系
§5-3 空间任意力系向一点简化
0 ∑ F =， F + F − ( F + F )cosθ = 0 0 ∑ M (F ) =， FBz (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)cosθ = 0
z
Az
Bz
3
4
x
∑M ∑M
解得
y
( F ) =， F2 r1 − F1r1 + F3 r2 − F4 r2 = 0 0 ( F ) =， − FBx (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)sinθ − ( F1 + F2 )a = 0 0
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第五章 空间任意力系
3) 空间任意力系简化为一合力的情形 F'R ≠ 0，MO ＝ 0 这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简 化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。 F'R ≠ 0，MO≠0 ，且F'R ⊥MO
MO O F'R F"R O F'R O' d FR O O' FR
一、空间任意力系向一点的简化 空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力 偶系，如图。
z O y F2 F1 z
，
z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
，
M2
M1 O x F'n
，
＝
MO O x
F'R y
F1' = F， F2' = F， Fn' = Fn 2 ⋅⋅⋅ 1
M1 = M O ( F1 ) M 2 = M O ( F2 ，⋅⋅⋅ M n = M O ( Fn ) ) ，
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工程力学
第五章 空间任意力系
例5.3 如图所示的水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，可绕 轴AB转动，胶带轮的半径r1= 200mm，r2= 250 mm，尺寸 a=b= 500mm，c=1000mm，套在轮C上的胶带是水平的，且 拉力F1=2F2= 5 kN；套在轮D上的胶带与铅垂线成，且拉力 F3=2F4，求在平衡的状态下，拉力F3和F4的值，由胶带拉力 引起的轴承约束力。
F
B
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。 河南理工大学土木工程学院
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第五章 空间任意力系
力对轴之矩实例
Fz
Fx
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工程力学 MO F'R F'R O
第五章 空间任意力系
＝
O
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO 分解为两个分力偶M"O 和M'O ，它们分别垂直 于F'R 和平行于F'R ，则M"O 和F'R 可用作用于点O' 的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
V
yd V V xd S S , zC , zC
∫ =
S
V
zdV V
S
xd S S
∫ =
l
S
∫ =
l
xd S S
xC
∫ xdl , y =
l
l
C
∫ =
yd l l , zC
∫ zd l =
l
均质物体的重心就是几何中心，即形心。
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第五章 空间任意力系
例5.4 试求图示半径为R、圆心角为 2ϕ 的扇形面积的重心。
＝
＝
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第五章 空间任意力系
这时亦得一与原力系等效的合力，其大小和方向等于 原力系的主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为
MO d= FR
4) 空间任意力系简化为力螺旋的情形 F'R ≠ 0，MO≠0 ，且F'R ∥MO 此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种 力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。F'R 与MO 同 方向时，称为右手螺旋； F'R与MO反向时，称为左手 螺旋。图示为一右手螺旋。
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第五章 空间任意力系
MO
F'R
θ
O
＝
MO
"
F'R M'O O
＝
FR O M' O O'
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第五章 空间任意力系
§5-4 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡方程 F'R＝0，MO ＝ 0 ==>
∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0,
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的概念与实例
z C A B A FAy FAx FBx Fx B y Fy Fz D FAz FBz
Q
x
Q
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平 面内的力系，即空间任意力系，空间任意力系是最一 般的力系。 河南理工大学土木工程学院
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第五章 空间任意力系
工程力学
第五章 空间任意力系
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第五章 空间任意力系
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第五章 空间任意力系
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的概念与实例 §5-2 力对轴之矩 §5-3 空间任意力系向一点简化 §5-4 空间任意力系的平衡条件 §5-5 重心
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第五章 空间任意力系
z MO O x F'R y
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uu r uu r ′ FR = ∑ Fi′ = ∑ Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：
uur uur uu r M O = ∑ M O ( Fi )
Fy
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工程力学 设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则
第五章 空间任意力系
z
Fz F B A(x,y,z) Fx Fy
uu r uuu r M z ( F ) = M O ( Fxy ) uu r uur = M O ( Fx ) + M O ( Fy ) = xFy − yFx
第五章 空间任意力系
二、空间汇交力系的平衡方程
∑F
∑F
x
= 0 ， Fy = 0，∑ Fz = 0 ∑
三、空间平行力系的平衡方程
z
= 0 ， M x (F ) = 0 ， M y (F ) = 0 ∑ ∑
四、 空间约束类型
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第五章 空间任意力系
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力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
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第五章 空间任意力系
结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力 偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通 过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心 的主矩。 二、空间任意力系简化结果分析 空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： (1) F'R＝0，MO ＝ 0 (2) F'R＝0，MO≠0 ; (3) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (4) F'R ≠ 0，MO≠0 ;
3
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工程力学
A = ∫ dA = ∫ 1 2 R dθ = R 2ϕ −ϕ 2
ϕ
第五章 空间任意力系
由面积形心坐标公式，可得
2 1 Rcosθ ⋅ R 2 dθ 2 sinϕ ∫ ydA = ∫−ϕ 3 2 yC = = R A R 2ϕ 3 ϕ
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第五章 空间任意力系
1) 空间任意力系简化为平衡的情形 当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0，主矩 MO ＝ 0 ，这是空间任意力系平衡的情形。 2) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 F'R＝0，MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。
4R yC = 3π
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第五章 空间任意力系
∑F
∑M
z
x
= 0， FA+FB+FC－F－W =0
( F ) = 0 ，1.5 m·FA－0.6m·F－0.5 m·W = 0 1.5 0.6m·F 0.5
∑M
y
( F ) = 0 ，－0.5 m·FA－1m·FB +0.4m·F+0.5 m·W = 0
从而求得 FA =5.667kN，FB =3.667kN，FC =5.666kN
y=
3 r 2
, z=h
M x ( F ) = yFz − zFy =
F ( h − 3r ) 4
M y ( F ) = zFx − xFz =
3 F (r + h) 4
1 M z ( F ) = xFy − yFx = − Fr 2
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第五章 空间任意力系
§5-3 空间任意力系向一点简化
0 ∑ F =， F + F − ( F + F )cosθ = 0 0 ∑ M (F ) =， FBz (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)cosθ = 0
z
Az
Bz
3
4
x
∑M ∑M
解得
y
( F ) =， F2 r1 − F1r1 + F3 r2 − F4 r2 = 0 0 ( F ) =， − FBx (a + b + c) − ( F3 + F4 )(a + c)sinθ − ( F1 + F2 )a = 0 0
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3) 空间任意力系简化为一合力的情形 F'R ≠ 0，MO ＝ 0 这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简 化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。 F'R ≠ 0，MO≠0 ，且F'R ⊥MO
MO O F'R F"R O F'R O' d FR O O' FR
一、空间任意力系向一点的简化 空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力 偶系，如图。
z O y F2 F1 z
，
z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
，
M2
M1 O x F'n
，
＝
MO O x
F'R y
F1' = F， F2' = F， Fn' = Fn 2 ⋅⋅⋅ 1
M1 = M O ( F1 ) M 2 = M O ( F2 ，⋅⋅⋅ M n = M O ( Fn ) ) ，
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第五章 空间任意力系
例5.3 如图所示的水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，可绕 轴AB转动，胶带轮的半径r1= 200mm，r2= 250 mm，尺寸 a=b= 500mm，c=1000mm，套在轮C上的胶带是水平的，且 拉力F1=2F2= 5 kN；套在轮D上的胶带与铅垂线成，且拉力 F3=2F4，求在平衡的状态下，拉力F3和F4的值，由胶带拉力 引起的轴承约束力。
F
B
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。 河南理工大学土木工程学院
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第五章 空间任意力系
力对轴之矩实例
Fz
Fx
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工程力学 MO F'R F'R O
第五章 空间任意力系
＝
O
F'R ≠ 0，MO≠0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO 分解为两个分力偶M"O 和M'O ，它们分别垂直 于F'R 和平行于F'R ，则M"O 和F'R 可用作用于点O' 的力 FR来代替，最终得一通过点O '的力螺旋。
V
yd V V xd S S , zC , zC
∫ =
S
V
zdV V
S
xd S S
∫ =
l
S
∫ =
l
xd S S
xC
∫ xdl , y =
l
l
C
∫ =
yd l l , zC
∫ zd l =
l
均质物体的重心就是几何中心，即形心。
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例5.4 试求图示半径为R、圆心角为 2ϕ 的扇形面积的重心。
＝
＝
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这时亦得一与原力系等效的合力，其大小和方向等于 原力系的主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为
MO d= FR
4) 空间任意力系简化为力螺旋的情形 F'R ≠ 0，MO≠0 ，且F'R ∥MO 此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种 力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。F'R 与MO 同 方向时，称为右手螺旋； F'R与MO反向时，称为左手 螺旋。图示为一右手螺旋。
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第五章 空间任意力系
MO
F'R
θ
O
＝
MO
"
F'R M'O O
＝
FR O M' O O'
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第五章 空间任意力系
§5-4 空间任意力系的平衡条件
一、空间任意力系的平衡方程 F'R＝0，MO ＝ 0 ==>
∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0,
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的概念与实例
z C A B A FAy FAx FBx Fx B y Fy Fz D FAz FBz
Q
x
Q
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平 面内的力系，即空间任意力系，空间任意力系是最一 般的力系。 河南理工大学土木工程学院
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第五章 空间任意力系
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§5-1 空间任意力系的概念与实例 §5-2 力对轴之矩 §5-3 空间任意力系向一点简化 §5-4 空间任意力系的平衡条件 §5-5 重心
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第五章 空间任意力系
z MO O x F'R y
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uu r uu r ′ FR = ∑ Fi′ = ∑ Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：
uur uur uu r M O = ∑ M O ( Fi )
Fy
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第五章 空间任意力系
z
Fz F B A(x,y,z) Fx Fy
uu r uuu r M z ( F ) = M O ( Fxy ) uu r uur = M O ( Fx ) + M O ( Fy ) = xFy − yFx
第五章 空间任意力系
二、空间汇交力系的平衡方程
∑F
∑F
x
= 0 ， Fy = 0，∑ Fz = 0 ∑
三、空间平行力系的平衡方程
z
= 0 ， M x (F ) = 0 ， M y (F ) = 0 ∑ ∑
四、 空间约束类型
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第五章 空间任意力系
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力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
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结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力 偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通 过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心 的主矩。 二、空间任意力系简化结果分析 空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： (1) F'R＝0，MO ＝ 0 (2) F'R＝0，MO≠0 ; (3) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (4) F'R ≠ 0，MO≠0 ;
3
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A = ∫ dA = ∫ 1 2 R dθ = R 2ϕ −ϕ 2
ϕ
第五章 空间任意力系
由面积形心坐标公式，可得
2 1 Rcosθ ⋅ R 2 dθ 2 sinϕ ∫ ydA = ∫−ϕ 3 2 yC = = R A R 2ϕ 3 ϕ