高中数学第三章直线与方程3.3.2两点间的距离教案新人教A版必修2
高中数学 3.3.3点到直线的距离精品教案 新人教A版必修2
（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课概念形成1．点到直线距离公式点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为0022||Ax By CdA B++=+推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+ C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，由11002A x By CAx By C++=⎧⎨++=⎩通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法. 得0012,By C Ax Cx yA B----==所以0001||||||Ax By CPR x xA++=-=0002||||||Ax By CPS y yB++=-=22||RS PR PS=+=22||A BAB+00||Ax By C⨯++由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以0022||Ax By CdA B++=+可证明，当A = 0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离.解：22|3(1)2|5330d⨯--==+例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书例2 解：设AB边上的高为h，则221||2||(31)(13)22ABCS AB hAB=⋅=-+-=AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线方程为311331y x--=--即x + y– 4 = 0.点C到x + y– 4 = 0的距离为h2|104|5112h-+-==+，因此，1522522S ABC=⨯⨯=通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax+ By+ C1=l2：Ax + By + C2 = 01222||C CdA B-=+证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax+ By+ C1 = 0的距离为00122||Ax By CdA B++=+.又Ax0 + By0 + C2 = 0即Ax0 + By0= –C2，∴1222||C CdA B-=+教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3 求两平行线l1：2x + 3y– 8 = 0l2：2x + 3y– 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是22|243010|2131323d⨯+⨯-==+解法二：直接由公式22|8(10)|2131323d---==+课堂练习：已知一直线被两平行线3x+ 4y–7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.课后作业布置作业独立完成巩固深化备选例题例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.解得k = 0或12k =-.故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点. 若l ∥AB 且12AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0由P 点到两直线的距离相等，即=，所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离1d =到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d =所以d 1 = d 2=，所以12C =. 即l 的方程为：16802x y ++=. 例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【解析】已知BC 的斜率为23-，因为BC ⊥AC所以直线AC 的斜率为32，从而方程32(1)2y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||AC =，且||||AC BC ==.由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3B a a -，且点B 到直线AC2|32(2)7|a a ---=13|11|103a -= 所以1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =或313 所以6316(,)1313B -或324(,)1313B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113y x -++=--或242132(1)3113y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。
高中数学必修2-3.3.3点到直线的距离公式教案新人教A版必修2
课题：2.3.3.3点到直线的距离公式课型：新授课教学目标：知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程：教学过程一、情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:CBy Ax l 的距离为：22BACBy Ax d（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ⊥l可知，直线PQ 的斜率为AB （A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由02011CBy Ax C By x A 得BCAx y A CBy x 021,.所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x ｜＝A CBy Ax 00｜PS ｜＝｜20y y ｜＝BC By Ax 00ox yl d QSRP(x 0,y 0)｜ＲS ｜＝ABBAPSPR2222×｜C By Ax 00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS｜所以2200BA CBy Ax d可证明，当A=0时仍适用这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。
高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
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4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________． －32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
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2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由 例题知 BC 的中点为52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
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直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程， 再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确 定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
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2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
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【例 3】 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． 思路探究：(1) B，C两点坐标 两――点→式 求方程 (2) 求中点坐标 两――点→式 求直线方程
高中数学3.3.2两点间的距离全册精品教案新人教A版必修2
由图象可知： | PA| + | PC| ≥ | AC′ |
当 P是 AC′与 l 的交点 P(11, 26) 时“ =”成立， 77
∴ P(11, 26) . 77
例 3 如图，一束光线经过 P (2 ， 1) 射到直线 l ： x + y + 1 = 0 ，反射后穿过点 Q (0 ， 2) 求：（ 1）入射光线所在直线的 方程； （ 2）沿这条光线从 P 到 Q的长度 .
证明：如图所示，以顶点 A 为坐标原
第二步：进行有关代数运
点， AB边所在的直线为 x 轴，建立直 算 .
角坐标系，有 A(0 ， 0).
第三步：把代数结果“翻
设 B ( a， 0) ， D( b， c) ，由平行四边 译”成几何关系 .
形的性质的点 C的坐标为 ( a + b， c) ，
思考：同学们是否还有其
（三）教学方法
启发引导式
教学 环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习数轴上两点的距离公式 .
设问一：
复习 引入
同学们能否用以前所学知 识解决以下问题：
已知两点 P1 ( x1 ， y1) ， P2
设置情境 导入新课
( x2， y2) 求| P1P2|
过 P1、 P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂
在教学过程中，可以提出
因此
| PA | (1 2) 2 (0 2) 2 2 2
例 2 证明平行四边形四条边的平方
此题让学生讨论解决，再
和等于两条对角线的平方和 .
由学生归纳出解决上述问题的
分析：首先要建立直角坐标系，用坐
基本步骤：
标表示有关量， 然后用代数进行运算，
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式（教案）教学目的一. 考纲考情1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．二.知识梳理知识点一 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（ ）.l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，（ ）. (1)直线l 1与l 2相交的充要条件是 .(2) 怎么求这两条直线交点坐标？知识点二 几种距离公式(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝.三.考点自测1. 1.已知直线l 1:3x+4y -5=0与l 2:3x+5y -6=0相交,.3.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________．4.已知点A (1, 3)，B (3, 1)，C (－1, 0)，求△ABC 的面积.2222A +B 0≠2211A +B 0≠2.已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是，则直线l 1的 方程为_________________________.四.典例精讲热点一两条直线相交问题【例1】求经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程．【总结反思】跟踪训练;求经过两条直l1: x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0平行的直线l的方程.热点二距离问题例2（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________.【总结反思】五课后作业1直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．2.(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.3.求直线l1:3x-y+12=0和l2:3x4.点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________.5.(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________.6.对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )A．(2,3) B．(3,2) C．(－2,3) D．(3，－2)。
(完整版)高中数学：3.3.2《两点间的距离》教学案(新人教版A版必修2)
§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
高中数学 3.3.3点到直线的距离教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
《点到直线的距离》教案【课题】点到直线的距离【教材】普通高中课程标准实验教科书〔必修2〕一. 教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书〔必修二·人民教育〕，“§3.3直线的交点坐标与距离公式〞的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离〞的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离〞的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2. 学情分析高一年级学生已掌握了函数等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用启发引导法、讨论教学法．3.教学目标〔1〕知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．〔2〕数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．〔3〕情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，认识事物〔知识〕之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
二. 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．三．教学方法启发引导法、讨论法四．教学过程复习旧知:111(,)P x y ,222(,)P x y ,那么12||PP =问题引入:思考如图，点P 00(,)x y ，直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，如何求点P 到直线l 的距离？解法一：〔定义法〕0,0A B ≠≠1 当时，,PQ BQ l Q k A⊥=作P 于点则 000:()P Q Bl y y x x A-=- 00()()A y y B x x -=-即00()()0A y yB x x Ax ByC -=-⎧⎨++=⎩由得 000000()()0(1)()()(2)B x x A y y A x x B y y Ax By C⎧---=⎪⎨-+-=---⎪⎩()2222220000(1)(2)()()()A B x x y y Ax By C ⎡⎤++-+-=++⎣⎦2得22200002()()()Ax By C x x y y A B ++∴-+-=+2*d==即思考:当A=0,或B=0时,上述公式是否成立?0,0:||C CA B l y d yB B=≠=-=+2当时，此时满足*式0,0:||C CA B l x d xA A≠==-=+3当时，此时满足*式d=综上解法二：〔面积法〕利用直角三角形的面积公式的算法思路如下：教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材107P的证明方法．例1求点(1,2)P-到以下直线的距离：(1)2100;x y+-=(2)32;x=(3)37x y-+=; ()24(4)133y x-=-〔1〕解：根据点到直线的距离公式，得)yd===〔2〕解法①因直线32x=平行于y轴，所以25(1).33d=--=解法②根据点到直线的距离公式，得53d==(3):370l x y-+=解: 根据点到直线的距离公式, 得0.d==(4):4320.l x y--=根据点到直线的距离公式，得12.5d==注意：使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数A B、的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．.(1,3),(3,1)A B例2在平面直角坐标系内，已知两点(1)AB求直线的方程；(2)(1,0)C ABC-∆若点的坐标为，求的面积；(3)D,x ABD∆在轴求一点使的面积为7.BC:40C(1,0)ABx yh+-=-==解：(1)直线(2)点到直线的距离11||||522ABCAB S AB h∆==⨯⨯=⨯=又D(,0)AB|11||4x h ABS AB h x==∴=⨯⨯=⨯=-(3)设到直线的距离(3,0)(11,0)D D -故例3点P(m,n)在直线x + y=4上,O 是原点，那么|OP|的最小值是( )注意：等价于求原点O 到直线x + y=4的距离变式(1)：点P(m,n)在直线x + y=4上，那么m 2+ n 2的最小值是( )变式(2)：点P(m,n)在直线x + y=4( )小结本课主要学习了以下内容：〔1〕点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路： 利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法； 〔2〕点到直线的距离公式：点00(,)P xy 到直线0Ax By C ++=的距离d =说明：对于00A B ==或时的特殊情况公式仍然适用． 〔3〕数学思想方法：作业布置〔1〕书面作业：课本110P B 组 2、5 〔2〕课后尝试：(1,3),(3,1)20A B ax y a --=1.在平面直角坐标系内，已知到直线的距离相等，求的值..2B D 74=7,3,11ABC S x x x ∆=-=-=-又，所以解得或.4.8B C .2.4A B C课后反思1．数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。
高中数学 第三章3.3.1～3.3.2两条直线的交点坐标、两点间的距离导学案 新人教A版必修2
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1～3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离一、两直线的交点问题活动与探究1求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．迁移与应用1．直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)2．求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．3．求经过点P (1,0)和两直线l 1：x ＋2y －2＝0，l 2：3x －2y ＋2＝0交点的直线方程．4．无论实数a 取何值，方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．(1)两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．(2)经过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)的交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0．反之，若直线方程可写为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，则该直线过直线l 1与l 2的交点．二、两点间的距离公式及其应用活动与探究2在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．迁移与应用1．已知△ABC 的三个顶点为A (3，－1)，B (2,2)，C (－3,3)，则AC 边上的中线长为__________．2．已知点A (4,12)，点P 在x 轴上，且点A 与点P 间的距离为13，则点P 的坐标为__________．3．已知三个点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状是__________．三、对称问题活动与探究3求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．迁移与应用1．两条直线x －2y ＋3＝0和2x －y ＋3＝0关于直线x －ay ＝0对称，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．－2D ．22．一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．当堂检测1．已知点P (x,2)，Q (－2，－3)，M (1,1)，且|PQ |＝|PM |，则x 的值为( )A ．－1B ．1 C．－92 D ．92 2．直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±13．点P (－4,2)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点P ′的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－85 4．直线2ax ＋y －2＝0过定点__________．5．过直线2x －y ＋1＝0与x －y ＋5＝0的交点，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程是__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．相交 交点的坐标 无公共点 平行预习交流1 0 平行 1 相交 无数 重合提示：不对．还有可能重合．2．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2预习交流2 提示：当直线P 1P 2垂直于坐标轴时，公式仍适用．当直线P 1P 2垂直于x 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|；当直线P 1P 2垂直于y 轴时，|P 1P 2|＝|x 1－x 2|．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方程，或用直线系方程求解．解法一：由方程组233=02=0,x y x y --⎧⎨⎩，++得3=,57=.5x y ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，∴直线l 的斜率k ＝－3．∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．解法二：设直线l 的方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0．∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝112．∴直线l 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋2×112－3＝0． 化简得15x ＋5y ＋16＝0．迁移与应用 1．C2．解法一：解方程组24=02=0,x y x y -⎧⎨-⎩+，+得交点P 坐标为(0,2)，又l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率为－43．由点斜式得y －2＝－43(x －0)，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0．即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．∵l ⊥l 3，∴3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为(1＋11)x ＋(11－2)y ＋4－2×11＝0．化简得4x ＋3y －6＝0．3．解：设所求直线方程为x ＋2y －2＋λ(3x －2y ＋2)＝0．∵点P (1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0．∴λ＝15．∴所求方程为x ＋2y －2＋15(3x －2y ＋2)＝0，即x ＋y －1＝0．4．解：由(a －1)x －y ＋2a －1＝0，得－x －y －1＋a (x ＋2)＝0．所以，已知直线恒过直线－x －y －1＝0与直线x ＋2＝0的交点．解方程组1=02=0,x y x ---⎧⎨⎩，+得=2=1x y -⎧⎨⎩，． 所以方程(a －1)x －y ＋2a －1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)．活动与探究2 思路分析：设出点P 的坐标，根据条件求出点P 的坐标，再求直线PM 的方程．解：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点的距离公式得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645．∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，即4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0． 迁移与应用 1． 52．(－1,0)或(9,0)3．等腰直角三角形活动与探究3 思路分析：求出l 1与l 的交点，再在直线l 1上取一点并求出该点关于直线l 的对称点，最后用两点式写出直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1，l 的交点M (3，－2)．在直线l 1上取点A (2,0)，设点A 关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)．由AA ′⊥l 及线段AA ′的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－1，3×x 0＋22＋4×y 02－1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0－3y 0－8＝0，3x 0＋4y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝45，y 0＝－85， 即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85． 所以，所求直线l 2的方程为y ＋2－85＋2＝x －345－3， 即2x ＋11y ＋16＝0．迁移与应用 1．B2．解：如图所示，设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线AO 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，∴两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y ＝3．【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．(0,2) 5．2x ＋y －17＝0。
高中数学第三章直线与方程两点间的距离教案新人教A版必修
3.3.2 两点间的距离
图1
在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.
在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.
因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，
所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.
由此得到两点
P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.
④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.
(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.
(c)猜想了任意两点间距离公式.
(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 应用示例
例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，
即(x+4)2+(3-8)2=132
，解得x=8或x=-16.
点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可。
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
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1
J 基础知识 Z 重点难点
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2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
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1 . 2
教学反 思
图2 解:设 B(x，3)，根据|AB|=13， 即(x+4) +(3-8) =13 ，解得 x=8 或 x=-16. 点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面 .也可
2 2 2
以引至到 A(-4，8)点距离等于 13 的点的轨迹(或集合)是以 A 点为圆心、 13 为半径的圆上与 y=3 的交点，应交出两个点. 例2 已知点 A(-1，2)，B(2， 7 )，在 x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并
图1 在直角坐标系中，已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图 1,从 P1、P2 分 别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、 P1N1 和 P2M2、 P2N2， 垂足分别为 M1(x1， 0)、 N1(0， y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△P1QP2 中，|P1P2| =|P1Q| +|QP2| . 因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|， 所以|P1P2| =|x2-x1| +|y2-y1| . 由 此 得 到 两 点 P1(x1,y1) 、 P2(x2,y2) 的 距 离 公 式 ：
3.3.2
两点间的距离
1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来 体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 教学 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角 目标 坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力 以及不断超越自我的创新品质. 教学 重、 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 (1)如果 A、B 是 x 轴上两点，C、D 是 y 轴上两点，它们的坐标分别是 xA、 xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求 B(3，4)到原点的距离.(3)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 提出问题 ①如果 A、B 是 x 轴上两点，C、D 是 y 轴上两点，它们坐标分别是 xA、xB、 教学过 程 yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点 B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距 离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的 (回忆 过程). 讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图，发现一个 Rt△BMO，应用勾股定理得到点 B 到原点的距离 是 5. ③ 教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
求|PA|的值. 解:设所求点 P(x，0)，于是有 ( x 1) 2 (0 2) 2 ( x 2) 2 (0 7+5=x -4x+11,解得 x=1.
2 2 即所求点为 P(1，0),且|PA|= (1 1) (0 2) =2 2 .
2 2 2 2 2 2
2 2 |P1P2|= ( x 2 x1 ) ( y 2 y1 ) .
④(a)我们先计算在 x 轴和 y 轴两点间的距离. (b)又问了 B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定 理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 应用示例 例 1 如图 2，有一线段的长度是 13，它的一个端点是 A(-4，8)，另一个 端点 B 的纵坐标是 3，求这个端点的横坐标.
2 2
知能训练 课本本节练习. 拓展提升 已知 0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
x 2 y 2 x 2 (1 y ) 2 (1 x) 2 y 2
(1 x) 2 (1 y ) 2 ≥2 2 中的等号成立的条件.
答案：x=y= 课堂小结 通过本节学习，要求大家: ①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程； ②能灵活运用此公式解决一些简单问题； ③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 作业 课本习题 3.3 A 组 6、7、8；B 组 6. 板书设 计