2021-2022年高三数学一轮复习夯实基础练习题(1)
新教材新高考一轮复习人教B版 第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质 作业
第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。
专题56 二项式的定理-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通
专题56 二项式定理基础知识要夯实1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝0n C a n ＋1n C a n －1b ＋…＋k n C a n －k b k ＋…＋nn C b n (n ∈N *)❶；(2)通项公式：T k ＋1＝kn C a n －k b k ，它表示第k ＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为0n C ，1n C ，…，n n C ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指0n C ，1n C ，…，nn C ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是k n C ，而该项的系数是kn C a n －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.基本技能要落实一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项.( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1.二项式(x －2)5展开式中x 的系数为( ) A.5 B.16 C.80D.－80解析：选C 由二项式定理知，其展开式中含x 的项为T 5＝45C x (－2)4，故其系数为45C (－2)4＝80.2.x⎛ ⎝6的展开式中的常数项为( ) A.－150 B.150 C.－240D.240解析：选D x⎛ ⎝6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝6k C x 6－k ·⎛ ⎝k ＝6k C x 6－k ·(－2)k·x －2k ＝(－2)k 6k C x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·16C ＝240.3.二项式2x ⎫-⎪⎪⎝⎭10的系数是( ) A.152B.－152C.15D.－15解析：选B 22x ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭10的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝10rC 2⎛ ⎝⎭10－r ·2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭r＝(－1)r 22r－1035210rC x-，令5－32r ＝12，得r ＝3的系数是(－1)3·2－4·310C ＝－152. 4.若3x⎛ ⎝n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________. 解析：由题意，可知2n ＝128，解得n ＝7. 答案：75.若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________. 解析：(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为5n C (3x )5＝5n C 35x 5，展开式中含x 6的项为6n C 36x 6. 由两项的系数相等得5n C ·35＝6n C ·36，解得n ＝7. 答案：7典型例题剖析考点一 二项展开式中特定项或系数问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)22x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知x⎛ ⎝5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1) 22x x ⎛⎫+⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝25C ·(x 2)5－r ·2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭r ＝25C ·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为25C ·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·5r C ·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·5rC ·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r＝3，解得r ＝2，由(－1)2·25C ·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3.(3) 22xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5的展开式的通项公式为T r ＋1＝5r C x 5－r ·r⎛ ⎝＝5r C (－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝05C ×(－a )0＝1，B ＝25C ×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝rn C a n －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量[例2] (1)(1)6(1)4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(16的展开式的通项为6m C ·(m＝6m C (－1)m2m x ，(1)4的展开式的通项为4n C )n＝4n C 2n x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令2m ＋2n＝1，得m ＋n ＝2，于是(1)6(1＋)4的展开式中x 的系数等于06C ·(－1)0·24C ＋16C ·(－1)1·14C ＋26C ·(－1)2·04C ＝－3.法二：(1－)6(1)4＝[(1)(1)]4(1－)2＝(1－x )4(1－＋x ).于是(1－6(1)4的展开式中x 的系数为04C ·1＋14C ·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为46C a 2，含x 项的系数为56C a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－46C a 2＋56C a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2) 25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60(2)将44x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝15C (x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝25C (x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝3k C (x 2)3－k ·x k ＝3kC x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2153C C ＝30.(2)44xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3＝6展开式的通项是66kkkC -⎛⋅ ⎝＝(－2)k·6k C x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是36C (－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考点二 二项式系数的性质及各项系数和[师生共研过关][典例精析](1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )C.4D.或4 (2)若21x x ⎛⎫-⎪⎝⎭n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是24C 22＝.(2) 21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝r n C (x 2)n －r ·1rx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝rn C (－1)r x 2n －3r ，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.[答案](1)A(2)255(3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--. [过关训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或1考点三 二项展开式的应用[师生共研过关][典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝02018C 522 018－12018C 522 017＋…－20172018C 521＋1， 又13整除52， 所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[过关训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3. 2.1－90110C ＋902210C －903310C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C 除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110C ＋902210C ＋…＋(－1)k 90k 10kC ＋…＋90101010C ＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋110C 889＋…＋910C 88＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1达标检测要扎实一、单选题1．（2020·河南省高三二模（理））已知23450123455(1)a a x a x a x a x x x a =++++++，则34a a +的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16【答案】C【解析】由题得5(1)x +的展开式的通项为515r r r T C x -+=令23553,2,10r r a C -=∴=∴==；令14554,1,5r r a C -=∴=∴==所以3410515a a +=+=.故选：C.2．（2020·辽宁省辽宁实验中学高三其他（理））()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为14，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】11n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()1111n rrrr r r nr nn T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故其常数项为()()111nnnn n T C +=-=-，包含1x -的项为()()111111111n n n n n T C x nx ------+=-=-，所以()1311nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为()()113114n n n --+-=.当n 为奇数时，有3114n -=，解得5n =； 当n 为偶数时，有3114n -+=，解得133n =-（舍） 故正整数n 的值为5.故选：B.3．（2020·山东省高三期末）二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．160【答案】A【解析】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-.故选：A 4．（2019·河北省辛集中学高三月考（理））将二项式6(x +展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式6(x +展开式通项为：36621662r r r r r rr T C x C x --+==，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式6(x +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有4345A A，所以所求概率P=43457727A A A =Ⅲ故选A ． 5．（2020·湖北省黄冈中学高三其他（理））已知622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项系数为20，则由曲线13y x=和ay x =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项为第4项且第4项为()3332462a T C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为系数为20，所以336C 202a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得2a =，由213x x =的0x =或1x =，所以封闭图形的面积为1412333010314135|2x x dx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，故选：A .6．（2020·湖南省雅礼中学高三其他（理））如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式()3*1n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式通项为()()334111kk n k k k n kk n n T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令340n k -=，则43n k =，由于展开式中存在正的常数项，则k 为偶数， 设()6k t t N*=∈，8n t ∴=，当1t =时，n 取最小值8.故选：C.7．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））在()8311x x ⎛- ⎝的展开式中，含21x 项的系数等于（ ） A ．98 B ．42 C ．98- D ．42-【答案】D【解析】81x ⎛- ⎝二项展开式的通项公式38821881()((1)rr r r r r r T C C xx --+==-, 令3852r-=-，得2r ，则含5x -项的系数为28C ， 令3822r-=-，得4r =，则含2x -项的系数为48C ， 故含21x与项的系数等于248842C C -=-.故选：D. 8．（2020·湖南省湖南师大附中高三三模（理））()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240C ．－80D ．180【答案】D【解析】由题意，62x⎫⎪⎭中常数项为2426260Cx⎛⎫=⎪⎝⎭，62x⎫⎪⎭中31x项为4246321240Cx x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()6321xx⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x⨯31240160180x-⨯=.故选：D9．（2020·湖南省长郡中学高三其他（理））(101-的二项展开式中，x的系数与4x的系数之差为（）A．220-B．90-C．90D．0【答案】D【解析】∵(101的二项展开式中，通项公式为()21101rrrrT C x+=⋅-，故x的系数与4x的系数之差为281010C C-=，故选：D.10．（2020·浙江省高三其他）多项式396xx⎛⎫+-⎪⎝⎭的常数项是（）A．216B．216-C．540D．540-【答案】D【解析】因为332669xx⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+-⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rr rr r rrT C C x--+⎛==-⎝，令30r-=，得3r=，所以常数项为：()3363540C-=-.故选：D.11．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在12202011xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中, 2x项的系数为( )A．10B．25C．35D．66【答案】D【解析】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1，所以其系数为21266C =.故选：D12．（2020·山东省高三其他）若nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ） A ．54 B ．81C ．96D ．106【答案】A【解析】因为nx⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，所以8(213)256n +==，解得4n =，因此4x⎛+ ⎝的展开式的通项是432442214433r r r r r r r r T C x x C x -----+==， 由3212r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224354C ⨯=.故选：A.二、填空题13．（2020·河南省高三三模（理））（3x ﹣2x）4的展开式中的常数项为_____． 【答案】216【解析】44421442(3)()3(2)---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅rrr r r r r r T C x C x x令420r -=，解得2r常数项为2422343(2)=216-=⋅⋅-T C故答案为：21614．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）已知()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______. 【答案】128【解析】由题意，通项为：7777177()(1)(1)k k k k k k kk T C ax a C x ----+=-=-， 由于()()7210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：57527(1)189a C --=-，解得：3a =， 故该二项式为27(31)x -，令1x =得展开式各项系数的和为：72128=． 故答案为：128．15．（2020·河南省高三其他（理））522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为40，则a =_________.【答案】1【解析】522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：()()5253515522 rrrr r r r r a T x a x x C C ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，令351r -=，解得2r．∵含x 项的系数是40，∴()2325240C a -=， 解得1a = ．故答案为：1．16．（2020·河南省高三二模（理））在2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，则2x 项的系数是___________.（用数字作答） 【答案】28【解析】因为2(1)nx x⎛++ ⎝的展开式中，各项系数的和为512，所以令1x =，得()(11)15112n++=， 即：1922n +=， 解得8n =，所以原式为：82(1)x x⎛++ ⎝，所以82x⎛+ ⎝展开式的通项为()516821882rr r r r r x xT C C -+-==，当51612r -=或51622r -=，符合题意， 解得6r =或285r =（舍去），所以2x 项的系数为：2828C =.故答案为：28 三、解答题17．（2019·山东省高三月考）设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，展开式21()m x y ++的二项式系数的最大值为b Ⅲa 与b 满足137a b =（1）求m 的值； （2）求2()()m x y x y +-+的展开式中27x y 的系数。
2023年高考数学(理科)一轮复习——二项分布与正态分布
5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
索引
法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
索引
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
索引
常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计 算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称 和曲线与x轴之间的面积为1解题.
专题02 四种命题的关系、充分条件与必要条件-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为()
A．①②B．②③
C．④D．①②③
【答案】D
【解析】①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
3．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
A B
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
A B
p是q的既不充分条件也不必要条件
p q且q p
A B且A⊉B
考点二充分、必要条件的判定
例2：(2020·济宁月考)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】法一：定义法
由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件，故选B.
2．“sinα＝cosα”是“cos 2α＝0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sinα＝±cosα，所以“sinα＝cosα”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝__2_π_r_l_____ S圆锥侧＝___π_rl____ S圆台侧＝____π_(_r1_＋__r_2_)l__
索引
3.空间几何体的表面积与体积公式
几何体
名称
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥)
Q
522＋62＝123.
索引
(2)已知正三棱锥 S－ABC 的侧棱长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球 的表面积是___6__4_π__.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O. ∵在正三棱锥 S－ABC 中，底面边长为 6，侧棱长为 4 3， ∴BE＝23× 23×6＝2 3， ∴SE＝ SB2－BE2＝6.
∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R， ∴OB＝R，OE＝6－R. 在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4， ∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
索引
感悟提升
(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所 示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截 面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在 Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
是( B )
A.158
B.162
C.182
D.324
索引
解析 由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可 以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一 个的上底为2，下底为6，高为3. 则底面面积 S＝2＋2 6×3＋4＋2 6×3＝27. 因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.
新教材新高考一轮复习人教B版 第五章 第四节 复数 作业
第五章 第四节 复数基础夯实练1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.2．已知复数z ＝2i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD.12－12i 解析：选B ∵复数z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.3．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1D. 2解析：选C ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.4．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，32，在第一象限，故选A.5．已知α∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3解析：选C 法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3.故选C.法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋ii＝1－3i ，所以a ＝－3.故选C.6．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若1－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝(2a ＋1)＋2i 的模等于( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选D 因为1－i a ＋i ＝(1－i )(a －i )a 2＋1＝a －1a 2＋1－a ＋1a 2＋1i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.所以|z |＝|(2a ＋1)＋2i|＝|3＋2i|＝32＋(2)2＝11.故选D.7．(多选题)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( ) A ．|z |＝ 2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限解析：选AD 因为z (1－i)＝2，所以z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝2，所以A 正确；z ＝1＋i 的虚部为1，所以B 错误；z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ，所以C 错误；z ＝1＋i 在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D 正确．故选AD.8．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝______.解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.答案：－79．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是__________.解析：复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1，4)．答案：(－1,4)10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3综合提升练11．(多选题)已知复数z ＝8＋i1＋2i ，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．z 的模等于13B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限C ．z 的共轭复数为－2－3iD ．若z (m ＋4i)是纯虚数，则m ＝－6解析：选BD 因为z ＝8＋i1＋2i ＝2－3i ，所以|z |＝13，因此A 项错误；复数z 在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B 项正确；z 的共轭复数z －＝2＋3i ，C 项错误；因为z (m ＋4i)＝(2－3i)(m ＋4i)＝(2m ＋12)＋(8－3m )i 为纯虚数，所以2m ＋12＝0,8－3m ≠0，得m ＝－6，故D 项正确．故选BD.12．(多选题)设复数z ＝－12＋32i ，则以下结论正确的是( )A ．z 2≥0B ．z 2＝z －C ．z 3＝1D ．z 2020＝z解析：选BCD 本题考查复数的运算．因为z 2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－12－32i ，故A 错误，B 正确；z 3＝z 2·⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1，故C 正确；因为z ＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，z 3＝1，z 4＝－12＋32i =z ，所以z 2020＝z 3×673＋1＝z ，故D 正确．故选BCD.13．设复数z 满足|z －i|＝|z ＋i|，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为Z (x ，y )，则下列结论一定正确的是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C．x＝0 D．y＝0解析：选D因为满足|z－i|＝|z＋i|的点Z为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，所以Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.14．(2021·河北唐山二模)设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A．1 B. 3C. 5 D．3解析：选D设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以x2＋(y－2)2＝1，即x2＋(y－2)2＝1，所以复数z对应的点的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，所以|z|max＝2＋1＝3，所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.故选D.15．(多选题)设z为复数，则下列命题中正确的是()A．|z|2＝z·zB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2解析：选ACD对于A，设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，所以|z|2＝a2＋b2，z·z ＝a2＋b2，所以|z|2＝z z成立；对于B，z＝a＋b i(a，b∈R)，当a，b均不为0时，z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；对于C，|z|＝1可以看成以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P 到Q(0，－1)的距离，所以当P(0,1)时，可取|z＋i|的最大值为2；对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O、N重合时，|z|＝0最小，当O、M、N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.故选ACD.16．(多选题)(2021·山东济南十一学校联考)欧拉公式e x i＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是()A．复数e2i对应的点位于第三象限B ．e π2i 为纯虚数C ．复数e x i 3＋i 的模长等于12D ．e π6i 的共轭复数为12－32i解析：选BC 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， ∵2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos 2∈(－1,0)，sin 2∈(0,1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故A 错误；对于B ，e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，可得e π2i 为纯虚数，故B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i ＝(cos x ＋isin x )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ，可得其模长为⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42＝12，故C 正确；对于D ，e π6i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，可得e π6i 的共轭复数为32－12i ，故D 错误，故选BC.17．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为__________.解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋(6－b )i5，z 1z 2是实数，∴6－b 5＝0，∴b ＝6. 答案：618．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z ＋z ＝2；乙：z －z ＝23i ；丙：z ·z ＝4；丁：zz ＝z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z ＝________.解析：设z＝a＋b i(a＞0，b＞0)，则z＝a－b i，∴z＋z＝2a，z－z＝2b i，z·z＝a2＋b2，zz ＝z2a2＋b2.∵z·z＝4与zz ＝z22不可能同时成立，∴丙、丁两人的陈述不能同时正确；当z－z＝23i时，b2＝3＞2，∴zz ＝z22不成立，∴乙、丁两人的陈述不能同时正确；当甲乙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则丙也正确，不合题意；当甲丙两人的陈述正确时，a＝1，b＝3，则乙也正确，不合题意；当乙丙两人的陈述正确时，b＝3，a＝1，则甲也正确，不合题意；∴甲丁两人的陈述正确，此时a＝b＝1，∴z＝1＋i.答案：1＋i。
新教材新高考一轮复习人教B版 第一章 第二节 常用逻辑用语 作业
第一章第二节常用逻辑用语基础夯实练1．若b＝10a，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若a能被5整除，则b＝10a必能被5整除；若b能被5整除，则a＝b10未必能被5整除．故选B.2．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C(1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.充分性成立．(2)若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β，故α＝kπ＋(－1)kβ.必要性成立．故应为充分必要条件．故选C.3．(2021·山西大同摸底测试)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由m ⊂α，m ∥β得不到α∥β.由α∥β，m ⊂α，得m 和β没有公共点，所以m ∥β，即由α∥β能得到m ∥β.所以“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．故选B.4．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得－12<x －12<12，所以0<x <1.由x 3<1，得x <1.据此可知“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. 5．(2021·江苏杨州高邮第一中学月考)已知p ：|x －a |<2，q ：1x －2≥1.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)解析：选C 解不等式|x －a |<2，即－2<x －a <2，得a －2<x <a ＋2.解不等式1x －2≥1，即1－1x －2＝x －3x －2≤0，得2<x ≤3.由于p 是q 的必要不充分条件，因此(2,3](a －2，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤2，a ＋2>3，解得1<a ≤4.因此实数a 的取值范围是(1,4]．故选C. 6．(2021·四川绵阳中学月考)对于实数a ，b ，m ，有下列说法：①若a >b ，则am 2>bm 2；②若a >b ，则a |a |>b |b |；③若b >a >0，m >0，则a ＋m b ＋m >a b ；④若a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，则2a＋b 的最小值为2 2.其中是真命题的为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B 对于①，当m ＝0时，am 2＝bm 2＝0，所以①是假命题．对于②，当a >0时，a |a |>b |b |成立；当a <0时，因为b <a <0，所以a 2<b 2，所以a |a |>b |b |成立；当a ＝0时，b <0，所以a |a |>b |b |成立．所以②是真命题．对于③，因为b >a >0，m >0，所以a ＋mb ＋m －a b＝(a ＋m )b －(b ＋m )a (b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，所以a ＋m b ＋m >ab ，所以③是真命题．对于④，因为a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，所以a >1>b >0，且ln a ＝－ln b ，所以ab ＝1.所以2a ＋b ＝2a ＋1a ≥22，当且仅当2a ＝1a ，即a ＝22时取等号．因为22<1，不合题意，所以2a ＋b 的最小值不是2 2.因为⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2，a >1，所以⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2>0，所以y ＝2a ＋1a 是关于a 的增函数，所以2a ＋1a在a >1时没有最小值．所以④是假命题．故选B.7．下列命题，正确的个数是( )①“若α＝β，则tan α＝tan β ”为真命题；②已知m 为直线，α，β为平面，若m ⊂α，则“m ⊥β ”是“α⊥β ”的充分不必要条件；③“∀x >1，x 2>1”的否定为“∃x ≤1，x 2≤1”；④对于两个分类变量X ，Y ，随机变量χ2的观测值越大，则认为这两个变量有关系的把握越大．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中，若α＝β＝π2，则tan α，tan β无意义．③中，“∀x >1，x 2>1”的否定应为“∃x >1，x 2≤1”．故选B.8．(2021·河北张家口期末)已知命题：p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0.若p 为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，7)D ．(－∞，0)解析：选A 本题考查根据存在量词命题的真假求参数的取值范围．已知命题p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0为假命题，则綈p ：∀x ∈(－1,3)，x 2－a －2>0为真命题，所以a <x 2－2在x ∈(－1,3)时恒成立，即a <(x 2－2)min ＝－2.故选A.9．(2021·北京丰台一模)已知非零向量a ，b ，c 共面，那么“存在实数λ，使得a ＝λc 成立”是“(a ·b )c ＝a (b ·c )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 本题考查平面向量数量积的定义及应用，充分、必要条件的判断．假设存在实数λ，使得a ＝λc 成立，所以(a ·b )c ＝(λc ·b )c ＝λ|c ||b |cos 〈c ，b 〉c ， a (b ·c )＝λc ·|b ||c |cos 〈b ，c 〉， 所以(a ·b )c ＝a (b ·c )，故充分性成立． 若(a ·b )c ＝a (b ·c )， 则|(a ·b )c |＝|a (b ·c )|，即|a ||b ||cos 〈a ，b 〉||c |＝|a ||b ||c ||cos 〈b ，c 〉|， 所以|cos 〈a ，b 〉|＝|cos 〈b ，c 〉|. 因为〈a ，b 〉，〈b ，c 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉或〈a ，b 〉＋〈b ，c 〉＝π， 所以a ，c 方向相同或相反，所以存在实数λ，使得a ＝λc 成立，故必要性成立．故选C.10．若“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________.解析：因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以(m ，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m >3.答案：(3，＋∞)综合提升练11．(2021·江苏南通一中抽测)已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，43B.⎝⎛⎭⎫－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选B 本题考查绝对值不等式的求解，利用充分不必要条件求解参数．由题意，不等式|x －m |<1，解得m －1<x <m ＋1.因为不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1>12，解得－12<m <43，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，43.故选B. 12．(2021·江苏淮安期中)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 本题考查充分条件、必要条件的判定．由x 3>8，得x >2，则|x |>2；反之，由|x |>2，得x <－2或x >2，则x 3<－8或x 3>8.即“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件．故选A.13．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立解析：选ABD 原命题为存在量词命题，A 、B 、D 选项均为对应的存在量词命题，C 为全称量词命题，∴A 、B 、D 是原命题的表述方法，故选ABD.14．(多选题)下列式子，可以作为x 2<1的一个充分条件的是( ) A ．x <1 B ．0<x <1 C ．－1<x <1D ．－1<x <0解析：选BCD ∵x 2<1，∴－1<x <1，∴只要选项能推出－1<x <1即可，结合选项知选BCD.15．(多选题)命题p ：存在实数x ∈R ，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p 为真命题，则实数x 的取值集合可以为( )A ．{3,4,5}B ．{x |x >3}C ．{x |x ≥2}D ．{x |3≤x ≤6}解析：选ABD 根据中位数的定义可知，只需x ≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A 、B 、D 中的取值集合均满足x ≥3，故选ABD.16．(多选题)下列四个命题中，属于真命题的是( ) A ．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18B ．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等C ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切D ．∀x ∈R ，都有2x >x 2解析：选AC 对于A ，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18×43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于B ，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于C ，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确；对于D ，当x ＝4时2x ＝x 2，命题不正确．17．(2021·山东济南实验中学月考)已知p ：x －a <0，q ：向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.解析：本题考查向量的夹角，充分条件、必要条件的判断． 由x －a <0，得x <a .由向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角，得a ·b >0且向量a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－x >0，2x ＋3≠0，解得x <6且x ≠－32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以{x |x <a }是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <6且x ≠－32的真子集，所以a ≤－32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32 18．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________. 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题， 当k ＝0时，则有－1<0，满足题意；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0. 综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]。
《以2022年新高考全国1卷17题为例》+说题比赛课件-2023届高三数学一轮复习
单选题
2022 2021
7
7
4、8 3
5
5
8
3、6 4、6
1
1
2
2
题型及题号
多选题
填空题
2022 2021
10、12
9
12
11
11
9
10
2022 2021 15 13、15
14、16 14
13
16
解答题
2022 2021
22 22
19 20
21 21
20 18
18
19
17 17
分值
占比（%）
夯实基础，熟练通法，聚焦考点，稳步提升
以2022年新高考全国1卷17题为例
一 真题再现 二 考点分析 三 命题立意与核心素养 四 解题思路
五 试题价值与推广
真题再现 考点分析 命题立意与核心素养 解题思路 试题价值与推广
真题再现
(2022全国1卷17题)记Sn为数列an的前n项和，已知a1 1,
an a1 3
3
Sn
n2 3
an ,
Sn
n
3
2
(
S
n
Sn1 )(n
2),
(n 2)Sn1 (n 1)Sn (n 2),
Sn1 Sn (n 2), n 1 n 2
S n 1
Sn
(n 2)
(n 1)n(n 1) (n 2)n(n 1)
数列
n(n
Sn 1)(n
2)
是常
数
列，且 1
2022 2021 2022 2021
32 27 21.3 18
27 22 18 14.7
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2021-2022年高三数学一轮复习夯实基础练习题（1）
注意事项：
1．选择题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题区域上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题后.不按要求填涂的答案无效．
2．填空题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题区域各题目
指定位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
3．答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效． 答题区域：
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合}23|{<<-∈=m m M Z ，，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知，且是第四象限的角，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数，与函数，即为“同族函数”．下面四个函数中能够被用来构造“同族函数”的是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等
的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么
这个几何体的体积为
A ．1
B ．
C ．
D ．
5．设、、是平面上的单位向量，且，则的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设函数的导数为，则数列（）的前 项和是
A ．
B ．
C ．
D ．
正视图俯视图侧视图第4题图
7．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数、作为点的坐标，则点落在圆内的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭
圆交于、两点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
9．的展开式中的常数项是 （用数字作答）．
10．已知（其中为虚数单位）．若，则 ．
11．过原点作曲线的切线，切点坐标为 ．
12．将棱长相等的正方体按图所示方式固定摆放，其中
第1堆只有一层，就一个正方体；第2，3，…，
堆分别有二层，三层，…，层，每堆最顶层都只
有一个正方体，以表示第堆的正方体总数，
则 ； （答案用表示）．
13．等比数列的公比为，前项和为，若，，成等差数列，则的值为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线：与：（其中，）交点的极坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点作圆
的割线、，是圆的直径，若，
，，则 ．
一、选择题答案：1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
一、填空题答案：9 10 11
12 ， 13 选做：14[ ] 15[ ] 14 15
部分试题略解：
5．由条件可设，，，
第12题图•O D C B
A P
第15题图
则)4sin(21)()(π+
α-==-⋅- c b c a ． 6．12)(1+≡+='-x a mx x f m ，所以，，，．
7．总共有36个基本事件．当时，符合题意的有3种；当时，符合题意的 有3种；当时，符
合题意的有2种．所以．
8．由已知得，，解得（舍去）或．
11．设切点坐标为，由，得切线方程为，
因为切线过原点，所以，解得，所以切点坐标为．
12．显然，，)(2
1)1()321()1()(2k k k f k k f k f ++-=+++++-= ， 从而[][][])1()()2()3()1()2()1()(--++-+-+=n f n f f f f f f n f
()()()n n +++++++=2222
1332122211 ()()n n +++++++++= 3212
1321212222 )1(2
121)12)(1(6121+⨯+++⨯=n n n n n ． 注：本题亦可以通过归纳猜想，得出结论．
14．由得，，而，所以．
15．由得，所以△为正三角形，
︒=∠=
∠302
1COD CBD ．7R 39468 9A2C 騬039106 98C2 飂T30007 7537 男21693 54BD 咽37320 91C8 釈m35896 8C38 谸34195 8593 薓x。