2021高考数学一轮复习考点规范练28数列的概念与表示(含解析)

2021高考数学一轮复习考点规范练：28数列的概念与表示（含解析）基础巩固1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( )A .n2n +1 B .n2n -1C .n2n -3D .n2n +3答案:B2.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =n n +1,则1n 5等于( )A .56 B .65C .130D.30答案:D解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n n +1−n -1n=1n (n +1),则1n 5=5×(5+1)=30.3.已知数列{a n }满足a n+1+a n =n ,若a 1=2,则a 4-a 2=( ) A.4B.3C.2D.1答案:D解析:由a n+1+a n =n ,得a n+2+a n+1=n+1,两式相减得a n+2-a n =1,令n=2,得a 4-a 2=1.4.(2019广东六校第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n+1,b n =(-1)n a n (n ∈N *),则数列{b n }的前50项和为( )A.49B.50C.99D.100答案:A解析:由题意得,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n ,当n=1时,a 1=S 1=3,所以数列{b n }的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A .5.若数列{a n }满足a 1=12,a n =1-1nn -1(n ≥2,且n ∈N *),则a 2 018等于( )A.-1 B .12C.1D.2答案:A解析:∵a 1=12,a n =1-1n n -1(n ≥2,且n ∈N *),∴a 2=1-1n 1=1-112=-1,∴a 3=1-1n 2=1-1-1=2,∴a 4=1-1n3=1-12=12,……依此类推,可得a n+3=a n , ∴a 2018=a 672×3+2=a 2=-1,故选A .6.设数列√2,√5,2√2,√11,…,则√41是这个数列的第 项. 答案:14解析:由已知得数列的通项公式为a n =√3n -1. 令√3n -1=√41,解得n=14,即为第14项.7.(2019安徽合肥高三调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n+1=2S n (n ∈N *),则a 10= .答案:256解析:因为a 1=S 1=1,S n+1=2S n ,所以数列{S n }是公比为2的等比数列,所以S n =2n-1,所以a 10=S 10-S 9=29-28=28=256.8.(2019河北衡水中学摸底联考)已知数列{a n },若数列{3n-1a n }的前n 项和T n =15×6n-15,则a 5= .答案:16解析:根据题意,得a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =15×6n-15,故当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=15×6n-1-15,两式相减,得3n-1a n =15×6n-15×6n-1=6n-1.即当n ≥2时,a n =2n-1,故a 5=16.9.设数列{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)n n +12-n n n 2+a n+1·a n =0,则它的通项公式a n = .答案:1n解析:∵(n+1)n n +12-n n n 2+a n+1·a n =0,∴[(n +1)n n +1-nn n ](n n +1+n n )=0. ∵{a n }是首项为1的正项数列,∴(n+1)a n+1=na n ,即n n +1n n=nn +1,故a n =nn n n -1·nn -1n n -2·…·n2n 1·a 1=n -1n ·n -2n -1·…·12·1=1n. 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n =(-1)n+1·n ,求a 5+a 6及a n ; (2)若S n =3n+2n+1,求a n .解:(1)因为S n =(-1)n+1·n ,所以a 5+a 6=S 6-S 4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1).又a 1也适合于此式,所以a n =(-1)n+1·(2n-1). (2)当n=1时,a 1=S 1=6;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.① 因为a 1不适合①式,所以a n ={6,n =1,2·3n -1+2,n ≥2.能力提升11.已知数列{a n }满足a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m ,a 2=n ,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017的值为( ) A.2 017n-mB.n-2 017mC.mD.n答案:C解析:∵a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m ,a 2=n , ∴a 3=n-m ,a 4=-m ,a 5=-n ,a 6=m-n ,a 7=m ,a 8=n ,…, ∴a n+6=a n .则S 2017=S 336×6+1=336×(a 1+a 2+…+a 6)+a 1=336×0+m=m.12.已知函数f (x )是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x ,y 都有f (xy )=f (x )+f (y ).若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足f (S n +2)-f (a n )=f (3)(n ∈N *),则a n 等于( )A.2n-1B.nC.2n-1D .(32)n -1答案:D解析:由题意知f (S n +2)=f (a n )+f (3)=f (3a n )(n ∈N *), ∴S n +2=3a n ,S n-1+2=3a n-1(n ≥2), 两式相减,得2a n =3a n-1(n ≥2). 又当n=1时,S 1+2=3a 1=a 1+2,∴a 1=1.∴数列{a n }是首项为1,公比为32的等比数列.∴a n =(32)n -1.13.已知数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)·a n =(n-1)·3n+1+3(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n = .答案:3n解析:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)·a n-1+(2n-1)·a n =(n-1)·3n+1+3,把n 换成n-1,得a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得a n =3n.14.(2019辽宁五校联考)若数列{a n }满足a 1=-12,a n +a n+1=2n 2+2n ,则a 10= .答案:111110解析:(方法一)因为a n +a n+1=2n 2+2n ,所以a n +a n+1=2n (n +2)=1n −1n +2,所以a 1+a 2=1-13.因为a 1=-12,所以a 2=1-13+12;因为a 2+a 3=12−14,所以a 3=13−14-1;因为a 3+a 4=13−15,所以a 4=14−15+1;……所以a 10=110−111+1=111110.(方法二)因为a n +a n+1=2n 2+2n ,所以a n+1=2n (n +2)-a n .因为a 1=-12=11×2-1,所以a 2=23+12=76=12×3+1;a 3=22×4−76=-1112=13×4-1;a 4=23×5+1112=2120=14×5+1,……归纳,可得a n =1n (n +1)+(-1)n,所以a 10=110×11+(-1)10=111110.15.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ≠3),a n+1=S n +3n,n ∈N *,b n =S n -3n. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)若a n+1≥a n ,求a 的取值范围.解:(1)因为a n+1=S n +3n,所以S n+1-S n =a n+1=S n +3n, 即S n+1=2S n +3n,由此得S n+1-3n+1=2(S n -3n),即b n+1=2b n .又b 1=S 1-3=a-3,故{b n }的通项公式为b n =(a-3)·2n-1. (2)由题意可知,a 2>a 1对任意的a 都成立. 由(1)知S n =3n+(a-3)2n-1.于是,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-212(32)n -2+a-3.当n ≥2时,由a n+1≥a n ,可知12(32)n -2+a-3≥0,即a ≥-9.又a ≠3,故所求的a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).高考预测16.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+12n-32,其前n项和是S n,则对任意的n>m(其中m,n∈N*),S n-S m的最大值是.答案:10解析:由a n=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)>0得4<n<8,即在数列{a n}中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0,因此S n-S m的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.。