韦伯预测(Weibull Forecast)
韦伯分析
Bathtub Curve
Failure Rate
β<1 β=1 β>1
t
早夭期
隨機失效期 磨耗失效期
(與時間無關)
7
何謂可靠度
早夭期(Infant Mortality):
產品於使用初期便發生失效，原因可能是設計、製造上等先天缺 陷導致產品在出場前就宣告失效。
隨機失效(Useful Life):
3
何謂 韋伯分布
韋伯分布（Weibull distribution）
是可靠性分析和壽命檢驗的理論基礎。 從機率論和統計學角度看，韋伯分配(Weibull Distribution)是連續性的機率分布。其有一簡單、封閉
的累積分配函數：F (t) = 1 − e−(t /η )β
β：斜率或形狀參數 表示失效型態的種類
100
17
鉚釘失效範例--失效數據(含中止)
朱路奧斯(Drew Auth)公式
排序修正值 = (反排序) *(前次的排序修正值) + (N +1) (反排序) +1
順序 時間(min) 反排序
排序修正值(i)
1
10S
2
30F
3
45S
4
49F
5
82F
6
90F
7
96F
8
100S
8
中止
7
[7*0+(8+1)]/(7+1)=1.125
ln(1/(1 − F (t))) = (t /η)β
ln(ln(1/(1− F (t)))) = β ln(t /η) ln(ln(1/(1− F (t)))) = β ln(t) − β ln(η)
最大降水量多年一遇计算方法及Matlab实现
box(axes1,'on');
hold(axes1,'all');
plot(Y1,'b',Y2,' -.',Y3,' r:');
legend (' 指 数 分 布 法 ',' 皮 尔 逊 III 分 布 法 ',' 耿 贝 尔 分 布 法 ',
'Location','SouthEast');
xlabel(' 重现期(年)');
东 气 象 ,2006,(1):25-28. [2] 杨 娟. 贵州年降水量和年最大月降水量多年一遇的 极 值 计 算[J].
贵 州 气 象 ,2008,(6):10-12. [3] 赵佩红，林国生，聂燕红.新会年和月最大日降水量多年一遇的极值
计 算 [J].气 象 ,2010,(2):88-89. [4] 李明杰，齐 鹏 ，侯 一 筠.山 东 沿 岸 多 年 一 遇 最 高 水 位 计 算[J].气 象,
强度出现在媒体口中。 那么如何计算和快速计算某一特定气象
要素值究竟是几年一遇呢？ 本文通过 Matlab 实例对比分析三种
常见的多年一遇的计算方法。 “几年一遇”在数学上实际上就是
概率与数理统计中极值分布问题。这类问题的解决，在城市建设
灾害防御规划中，有重要的社会和经济意义。
本 文 使 用 的 Matlab 版 本 为 7.10.0 (R2010a)， 以 阿 里 河 镇
需要指出的是无论用经验分布函数还是极值的?论分布函数研究实际极值问题其效果优劣主要取决于所采用的分布函数对实际资?的拟合程度本文没有通过实际数据对预测结果进?拟合
（机械制造及其自动化专业论文）轴承寿命预测及其可靠性分析研究
KEY WORDS: Weibull Distribution, Bayesian Method，Small Sample Dissertation Type: Applied Basic Research
III
t :随机变量 β :形状参数 η :尺度参数 r :位置参数 R :可靠度 Θ :总体样本 pi :累积失效概率
关 键 词：威布尔分布，贝叶斯方法，小样本
论文类型：应用基础研究
I
河南科技大学硕士学位论文
Subject: The Research about the Bearing Life Prediction and
Reliability Analysis
Specialty:
Machine Manufacture and Automation
L :产品寿命
L0 :最小寿命
L1 :特征寿命 σ :可靠度系数 nm :额定转速 C:基本额定动载荷 ε :寿命指数 PM :当量动载荷 R :评判矩阵 A :综合评判矩阵 J :权重集
符号表
符号表
IV
第 1 章 绪论
第1章 绪论
1.1 引言
概率分布正态化总结讲解
a
1 b
(
1
1)
b
0.5772
2
标准差
ab 23
x (e 2 1)e(2 2 )
1
ab
( 2 1) [( 1 1)]2
b
b
1 6
x
4 2
统计参数向分布参数的转化
第一章：为什么要研究随机变量的分布
目前概率论预测方法的应用已经遍及自然科学和社会科学 的各个领域。从电子、航空、宇航、核能等尖端工业部门扩展 到电机与电力系统、机械设备、动力、土木建筑、冶金、化工 等部门。可靠性的应用也从复杂航天器的设计推广普及到日常 生活中的机电产品设计之中,并贯穿于产品的开发研制、设计、 制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。
第二章：常见的随机变量的分布类型
正态分布 均匀分布 指数分布 对数正态分布 极值分布（ Gumbel ） 瑞利分布（Rayleigh） 韦伯分布（ Weibull ）
正态分布概要
正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一 类分布。在概率论中, 正态分布是几种连续分布和离散分布 的极限分布。各种各样的心理学测试和物理现象都被发现近 似地服从正态分布。
正态分布概要
由上图可以看出约68%的数值分布在距离平均值有1个标准 差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内 的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内 的范围。称为 "68-95-99.7法则"或"经验法则".
关于非正态分布需要转化的一些说明
由于正态分布具有上述一些优良的特性，而且工程界的大 多数参数都是服从正态分布的，因此在目前比较成熟的可靠 性分析方法中，很多方法（改进一次二阶矩方法，一次、二 次响应面法）往往都是针对正态分布展开的，因此我们对非 正态分布变量需要采用当量正态化。具体方法将在第三章中 详细介绍，为了能更好的理解各种分布类型的相关特性，对 实验数据的获得提供相应参考，本章将对一些常见的非正态 变量的分布类型分类进行简要阐述。
威布尔比例风险模型
威布尔比例风险模型
威布尔比例风险模型（Weibull proportional hazards model）是生存分析中常用的一种模型。
生存分析主要研究的是时间事件（如死亡、疾病发生等）的发生情况以及相关因素的影响，而威布尔比例风险模型是一种经典的生存分析模型之一。
在威布尔比例风险模型中，我们主要关心的是一个人或一组人在某些特征或因素影响下，某个事件（如死亡、疾病发生等）发生的概率。
这个模型假设个体风险是随时间变化的，而且不同个体之间风险增长的速度可能不同。
同时，我们还假设不同个体之间的风险增长速度服从同一种分布，这个分布就是威布尔分布。
在威布尔比例风险模型中，我们可以用一些变量来描述个体的特征或因素，如年龄、性别、体重、吸烟等等。
这些变量对个体的风险增长速度产生影响，我们可以使用模型来估计这些影响的大小（即回归系数），并计算出不同个体在不同时间点的风险比值（即比例风险）。
具体来说，在威布尔比例风险模型中，我们使用的是比例风险模型，也称为Cox 模型。
这个模型的基本假设是任何时刻两个个体的风险比值是常数，即比例风险假设。
通过这个假设，我们可以利用Cox回归方法来估计每个变量的回归系数，并计算出不同个体在不同时间点的比例风险。
总的来说，威布尔比例风险模型是一种常用的生存分析模型，它可以帮助我们了解不同因素对个体风险增长速度的影响，为我们预测个体事件发生的概率提供帮助。
威布尔分析方法
第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。
在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一,也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。
一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布,而情况并非如此。
他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。
1951年他发表了代表作,“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布,然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。
他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析.对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。
尽管如此,失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。
今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。
尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布,威布尔分析对预计产品寿命做了准备。
这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。
1.1.1威布尔分析的优点:威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。
威布尔分析最主要的优点在于它的功能:⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案.⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时，仍易于理解.⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。
⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
传染病数学模型-
• 模型参数定义如下：λ(a,t)为感染力；为从潜隐 期到短期HBV病毒血症的转变率；β(a)为从病毒血症 转变成HBV慢性携带的风险度；ε为从短期HBV病毒血 症到免疫者的单位时间转变率；υ(a)为HBV慢性携带 者的HBV清除率；τ(a)为HBV相关疾病的死亡率； μ(a)为与HBV无关疾病的年龄别死亡率；Vc(a,t)为 乙型肝炎疫苗免疫效果。按年龄构建的HBV房室模型 可写为 ：
23
五、西昌市静脉吸毒人群HIV/AIDS流行趋势
• 连续型HIV/AIDS传播动力学模型
24
25
• 变量和参数的含义
26
• 参数及初始值的确定
27
• 基本再生数
R 0 kbD
28
• 数值模拟结果
初始时间选为2002年，终止时间选为2010 年。数值模拟结果见图（在图2.1中，30％ 或70％的干预表示传染性系数降低30％或 70％；在图2.2中，30％或70％的干预表示 共用注射器比例降低30％或70％。同时， 干预的时间定为2003年底）。
22
在前面所讨论的传染性系数、共用注射器吸毒者所 占比例、吸毒人群的移入率等与行为因素有关的参数中， 无论是数值的确定还是变化规律的确定，都隐含着这样 一些前提条件：随着时间的推移，影响这些参数的社会 因素的变化是不大的。如果影响这些参数的社会因素在 未来几年变化较大，我们所确定的这些参数的数值或变 化规律将不再适用。 在参数的确定过程中，由于参考资料的缺乏，有些 参数的取值与实际情况相比会存在一定的差异。今后， 随着参考资料的不断充实和一些统计结果的出现，我们 将会对一些参数做必要的调整和完善。 在本模型中，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有 考虑其他途径（如经性），这样做将会使得预测的结果 存在一定的偏差。
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计标题：探索韦伯分布参数估计的方法与应用引言：韦伯分布是统计学中常用的概率分布之一，它在描述一些随机现象时具有广泛的应用。
韦伯分布的参数估计是在实际应用中非常重要的一步，它能够帮助我们更好地了解数据的分布特征和预测未来的趋势。
本文将深入探讨韦伯分布参数估计的方法和其在实际应用中的意义。
一、韦伯分布简介韦伯分布是由瑞士数学家韦伯于1951年提出的一种连续概率分布，通常用于描述正定随机变量的分布情况。
它的概率密度函数表达式为：f(x; k, λ) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，k是形状参数，λ是尺度参数。
二、韦伯分布参数估计方法在现实应用中，我们经常需要根据已有数据对韦伯分布的参数进行估计。
下面介绍两种常用的韦伯分布参数估计方法：1. 极大似然估计法（MLE）极大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它基于最大化观测数据的似然函数来确定参数值。
对于韦伯分布，我们可以通过最大化对数似然函数来估计参数。
具体步骤如下：（1）设定初始参数值。
（2）计算观测数据的对数似然函数。
（3）通过优化算法（如梯度下降法）求解最大似然估计的参数值。
（4）对估计的参数进行检验和验证。
2. 最小二乘估计法（LS）最小二乘估计法是另一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测数据与韦伯分布的拟合值之间的差异来确定参数值。
具体步骤如下：（1）设定初始参数值。
（2）根据当前参数值计算韦伯分布的拟合值。
（3）计算观测数据与拟合值之间的差异。
（4）通过优化算法（如牛顿法）求解最小二乘估计的参数值。
（5）对估计的参数进行检验和验证。
三、韦伯分布参数估计的应用韦伯分布参数估计在实际应用中具有广泛的意义，下面介绍两个应用案例：1. 风速分析在风电场建设中，韦伯分布常被用来描述风速的概率分布。
通过对已有的风速观测数据进行参数估计，可以帮助工程师更好地了解风速的性质，从而选择合适的风力发电机组和设计风险评估模型。
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参考书籍
书名: 书名:新韦伯分析手册 作 者:瓦拉第.韦伯 出 版 社:鼎茂出版社 出版日期:2007-03-15 版 本:4版 I S B N :9789574143658
. 相关网站:/blog/weibull4tw新韦伯分 析手册第四版副标题:可靠度与寿命预测,安全,存活, 风险,成本和保固理赔的统计分析.
韦伯分布 (Weibull distribution)
韦伯分布(Weibull distribution), 韦伯分布 又称韦氏分布 威布尔分布 韦氏分布或威布尔分布 韦氏分布 威布尔分布,是可靠 性分析和寿命检验的理论基础.
韦伯分布历史 韦伯分布
1. 1927年,Fréchet (1927)首先给出这一分布 的定义. 2. 1933年,Rosin和Rammler在研究碎末的分 布时,第一次应用了韦伯分布(Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.). 3. 1951年,瑞典工程师,数学家Waloddi Waloddi Weibull(1887-1979)详细解释了这一分布, Weibull 于是,该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution.
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韦伯分布应用 韦伯分布
生存分析 工业制造 极值理论 预测天气 可靠性和失效分析 雷达系统 拟合度 量化寿险模型的重复索赔 预测技术变革 风速
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预测技术Байду номын сангаас革
韦伯分析在分析和预测失效领域系全世界 最先进的方法.此法对於小样本仍可提供 精确的预测.本模式可计算最低成本时的 最适化零件汰换区间.也提供最精确的保 固理赔预测.由亚博纳希博士和Pratt & Whitney Aircraft同事共同开发的韦贝氏法, 提供小样本最精确的分析,比其他测试, 更符合成本效益.
Confidential
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韦伯分布定义
其中,x是随机变量,λ>0是比例参数 (scale parameter),k>0是形状参数 (shape parameter).显然,它的累 积分布函数是扩展的指数分布函数,而 且,Weibull distribution与很多分布都 有关系.如,当k=1,它是指数分布; k=2时,是Rayleigh distribution.