湖南省2015届高三高考仿真模拟考试数学理试题 Word版含答案
2023年新高考数学必刷好题仿真模拟卷(新高考专用) 仿真卷02 Word版含解析
绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分仿真卷02本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数3211i ii z ⋅-+=，则复数z 的虚部为（ ）。
A 、53- B 、51 C 、53 D 、i 53 【答案】B【解析】i i ii i i i i i i i i i i i i i i z 51535341221)21)(21()21)(1(211)(211211223+=+=---+=+-+-=--=-⋅-+=⋅-+=， 虚部为51，故选B 。
2．设集合}01|{<-=xx x A ，}01|{>+=x x B ，则“A x ∈”是“B x ∈”的（ ）。
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】集合A ：)10(00)1(01，∈⇒⎩⎨⎧≠<-⇒<-x x x x x x ，集合B ：101->⇒>+x x ， ∴B A ⇒，但A B ≠>，∴“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件，故选A 。
3．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年。
某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）。
设第x 天时太阳直射点的纬度值为y ，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足：⨯=4392911.23yx 01720279.0sin 。
则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（ ）。
（精确到1）参考数据：6211.182********.0≈π。
【恒心】2015届湖南省湘中名校高三11月联考数学(理科)试题及参考答案【纯word版】
湖南省湘中名校2015届高三11月联考数学（理）试题本卷共150分，时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合22{y |1},{y |}A x y B y x =+===,则B A ⋂=（ ） A．{()}2222-- B．{}22-C ．[1,1]-D ．{1,1}- 2.下列命题是真命题的是（ )A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件B ．11,1＞是＞＞ab b a 的充分条件 C ．0,00≤∈∃x e R x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真 3.已知－9，a 1，a 2，a 3，－1，成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则132a ab -＝( ) A ．±43 B ．±23 C ．－43 D.434.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A. 2 B. 2- C.12- D.215..若ax 2+bx+c ＞0的解集为（-∞，-2）∪（4，+∞），则对f （x ）=ax 2+bx+c ，有（ ）A ．f （5）＜f （2）＜f （-1）B ．f （2）＜f （5）＜f （-1）C ．f （-1）＜f （2）＜f （5）D ．f （2）＜f （-1）＜f （5）6.已知点ααcos (sin -P ，)2在第二象限，则α的一个变化区间是（ ）（A ）,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,4ππ （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ （D ）⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 7.已知函数)(x f y =，将)(x f 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原的2倍,然后把所得到的图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与x y sin 3=的图象相同, 那么)(x f y =的解析式为（ ）A ．)42sin(3)(π-=x x fB ．)42sin(3)(π+=x x fC ．)42sin(3)(π+=x x fD ．)42sin(3)(π-=x x f8. 设S n 为等差数列{a n }的前项和， 1).(1)n aa S 1011*1n -<∈>++若（N S n n n ,那么当Sn 取得最小正值时，n 等于( )A. 11B. 17C.19D. 219.c b c a b a c b -=-∙-=∙==已知向量,0)2()(,2,,a 的最小值为( ) A.21-3 B.237- C.23 D.27 10. 已知函数f(x)=2211,(,)21ln(1),[,)2x x x x x +⎧∈-∞-⎪⎪⎨⎪+∈-+∞⎪⎩, g(x)=x 2-4x-4,设b 为实数，若存在实数a 使f(a)+f (b)=0，则b 的取值范围（ ）A.[-1,5]B.(-1,5)C.),5()1,(+∞⋃--∞D.),5[]1,(+∞⋃--∞ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(一)Word版含解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学（一）一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ） A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（ ） A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（ ）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cmD ．312900cm6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A B C D二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（ ） A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______． 14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x >的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． (1)判断ABC 的形状； (2)若3ab ，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1A CD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积； (3)求直线1BC 与平面1ACE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=． (1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围. 【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤ ∴{}12A B x x ⋂=≤< 故选：B. 2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-， 故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D. 3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数. 【详解】()523x +展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅； 当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C. 4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---, 故选：A. 5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果. 【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ， 所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm . 因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm . 故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==， 又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==， 故选：D . 7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可. 【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中， 如图∴所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD =则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ， 则PH ⊥平面ABCD ， 又112AH AD ==， 所以在Rt PAH △中，3PH ===，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ， 连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心， 且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ， 所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形. 如图∴连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==， 在图∴中连接OB ，由112O B BD =所以在1Rt OO B 中，OB ==即四棱锥P ABCD -外接球的半径为R OB ==， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为： 221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C. 8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =， ∴12121612k k y y ==- ∴1232y y =-， ∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,)M y --，同理：24(1,)N y -- ∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==， 设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ，又∴1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =， ∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ， ∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9. 方法1：1211||1321||||888y y MN y y -==+≥⨯=1||y =.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN的面积的最小值为2. 方法2：12||||8y y MN -==∴20m ≥∴||MN ≥m =0时取得最小值.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN故选：D. 9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=. 故选：AD. 10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD ==，60DAB ∠=，2BD ∴=，OA OC ===()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，ACBD ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B ，()3,1AB =-，()3,1AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BA =-，31122OE BA ∴⋅=-+=-，C 错误； 对于D ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，915442OE AE ∴⋅=+=，D 正确. 故选：ABD. 11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误， 这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误， 这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误， 因为1()()35P AB P A ==， 所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===， 故D 正确， 故选：ABC. 12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-， 所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔ ()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781cc c x x x xx x c +=+-=--=-+ 对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x c +=-+>⨯-⨯+=. 即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'， 消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得： 123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值， ()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确. 故选：BCD. 13．710##0.7 【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦. 所以21475410s t ==.故答案为:710. 14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可. 【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切, 圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--=,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩, 且已知半径为1,所以圆的方程可以为: ()2221x y +-=或()2221x y ++=或2221x y故答案为: ()2221x y +-=(答案不唯一) 15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a=±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+， 解得：12e =. 故答案为：12. 16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x +，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x +，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =+-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数， 得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >； 当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 17．(1)1n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ； （2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a +成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩， 当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去； 12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++， ()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形 (2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得， 2sin cos sin cos sin C B B C A +=即()2sin sin B C A +=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c =， 又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos c B a === 在ABD △中，由余弦定理可得，22222242cos 2b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠===⋅解得AD =， 在ABD △中由余弦定理可得，222222242cos 02b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅19．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积； （3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点， 因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1//BC ∴平面1A CD . （2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB == 222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ， 因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得AC BC CM AB ⋅==因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--==⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形11112333C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅==四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ， 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，()12,0,2CA =，()0,1,1CE =， 则1220n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,1,1n =-， 因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC n BC n BC n⋅<>==-=⋅因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望. 【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22145x y -=(2)y x =+y =【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =+用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程. 【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =--，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =， ∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R ，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =+()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--， 11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k kx xx x k k+=++++=-++=--，解得：k =252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：y x =y = 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1). (2)证明过程见详解【分析】(1) 因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞， 单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =； 当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页 (1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。
湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第三次模拟考试 数学(理) Word版含答案
益阳市箴言中学2015届高三第三次模拟考试数学（理科）时量：120分钟 总分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.) 1．设集合}02|{},01|{<-=>+=x x N x x M ，，则=N M （ ） A ．),1(+∞- B ．)2,1[- C ．)2,1(- D ．]2,1[-2. 复数iiz 21-=的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．已知βα,角的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数周期为π，其图像的一条对称轴是3π=x ，则此函数的解析式可以是（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 5．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A ．2a b =B ．//a bC ．13a b=- D ．a b ⊥ 6．方程()()2ln 10,0x x x +-=>的根存在的大致区间是（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．),2(eD ．)4,3(7．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=b=（ ） A．．2 C．．8．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞9．对于非零向量,，定义一种向量积：βββαβα∙=)4,0(,πθ∈，且 ,都在集合}|2{Z n n∈中。
则 = （ ）A ．23,25B ．23,21C ．21,25 D ．211A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)2,0(D ．)4,3( 4二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共30分.)11．函数()f x =的定义域为 。
【名师解析】湖南省长郡中学2015届高三月考试卷(三) 数学理试题 Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，解答：解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．2．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±2解答：解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．3．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097 B．2112 C．2012 D．2090解答：解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=2012，得a=212，是自然数．故选C．点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解答：解：∵2a＞2b等价于a＞b，当0≥a＞b或a＞0≥b时，lga＞lgb不成立；∴充分性不成立；又∵lga＞lgb等价于a＞b＞0，能得出2a＞2b；∴必要性成立；∴“2a＞2b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选A点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．8．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．解答：解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EF，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选D．点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4C．6D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，则===+为实数，得4m+6=0，则实数m的值为﹣．故答案为：点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=所求球的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：令t=2y，把原问题转化为在条件下求x2+t2的最小值，作出可行域后由点到直线的距离公式求出原点到直线2x+t=2的距离，则答案可求．解答：解：∵x2+4y2=x2+（2y）2，令t=2y，则问题转化为在条件下求x2+t2的最小值．作可行域如图，，则x2+t2≥．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列{a n}的通项公式．解答：解：∵S n+1=2S n+1，∴S n+1+1=2（S n+1），∵S1+1=a1+1=3≠0，∴．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3•2n﹣1，∴S n=3•2n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），n=1时，a1=2不满足上式，∴．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：①点P是抛物线y2=4x的焦点；②•=﹣2；③过A、B、O三点的圆的半径为；④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；⑤若=λ，则λ=3．在这五个命题中，正确的是①③④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=absinC=；④由△ABO的面积，即可判断；⑤=λ，即=，由A，F，B的坐标，即可得到．解答：解：由图可得A（3，2），B（，﹣）①设P（a，0），过P的直线为y=k（x﹣a），联立抛物线方程消去y，得k2x2﹣（2ak2+4）x+k2a2=0，则3×=a2，a=1，即P（1，0）即为焦点F，故①对；②=（3，2）•（，﹣）=3×﹣2×=﹣3，故②错；③S△ABO=×1×（2）===，R=，故③对；④S△ABO=＞，＜，故④对；⑤若=λ，即=，λ==3，故⑤对．故答案为：①③④⑤点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：（本小题满分15分）（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（1）由圆N：（x+2）2+y2=8，知圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知，解得直线l的方程为y=x﹣2，由此能求出弦长|AB|．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得，解得此时直线l的方程为y=﹣x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2﹣2，则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．解答：解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2=8，∴圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x﹣y+m=0，∵直线l是圆N的切线，∴，解得m=﹣2，或m=6（舍去）此时直线l的方程为y=x﹣2，由，消去x得y2﹣2y﹣4=0，∴△=（﹣2）2+16=20＞0，y1+y2=2，y1•y2=4，，∴弦长|AB|=．（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0（k≠0），∵直线l是圆N的切线，∴，得m2﹣4k2﹣4mk﹣8=0，①由，消去x得ky2﹣2y+2m=0，∴△=4﹣4k×2m＞0，即km＜且k≠0，，，∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，﹣2），∴，，∵，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）=0，将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得，代入，，得，化简，得m2+4k2+2mk+4k=0，②①+②得2m2﹣2mk+4k﹣8=0，即（m﹣2）（m﹣k+2）=0，解得m=2，或m=k﹣2．当m=2时，代入①，解得k=﹣1，满足条件，且k≠0，此时直线l的方程为y=﹣x+2．当m=k﹣2时，代入①整理，得7k2﹣4k+4=0，无解．（ii）当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2﹣2．则得，y 1+y2=0，，即，由①得：=x1x2+y1y2+2（y1+y2）+4=20﹣12≠0，当直线l的斜率不存在时，不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=1﹣e﹣x，知f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），知≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′（x）=﹣a•e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．。
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与同向.（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a ta n =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B .(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因AC 与同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5）将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<. 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）. 设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，第11页 共11页且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.。
河北省保定市第一中学2015届高三上学期模拟演练(七)数学(理)试卷word版含答案
2015年高三模拟演练（七）理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设{|{|ln(1)}A x y B x y x ===+，则AB =（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．φ 2、函数2sin(2)14y x π=-+的最大值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3 3、已知1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也必要条件 4、若正实数,x y 满足2x y +=，则1xy的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、已知ABC ∆中，2,3AB AC ==，且ABC ∆的面积为32，则BAC ∠=( ) A ．150 B ．120 C ．60或120 D ．30或150 6、已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=（ ） A ．59 B ．125 C ．95 D ．5127、已知(,)Mx y为由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所确定的平面区域上的动点，若点A ，则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．．4 D ．8、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠， 都有1212()[()()]0x x f x f x --<，则（ ）A ．()()()321f f f <-<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()312f f f <<-9、在ABC ∆中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，且2O A O B O C ===，则ABC ∆的周长为（） A．．．10、若变量,x y 满足1ln 0yx -=，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）11、设点P 是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（ ） A ．2,3πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦ B ．3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ C ．2,23ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ D ．,32ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12、已知n S 是等差数列{}n a n N *∈的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中最大项为11S ；⑤67a a >， 其中正确命题的个数（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
湖南省衡阳市祁东县2015届高三月考试题(三)数学理(复读)试题 Word版含答案
湖南省衡阳市祁东县2015届高三复读月考试题（三）理科数学2014.10.30.一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上） 1. 命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tanα≠1 B ．若α=4π，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠4πD ．若tanα≠1，则α=4π2.已知复数1z ai =+()a ∈R （i 是虚数单位），3455z iz=-+，则a =A. 2B. 2-C. 2±D.12-3.如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A. c x >?B. x c > ?C. c b > ?D. b c >?4. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）5．设x x x a d )23(212-=⎰，则二项式261()-ax x展开式中的第4项为A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240- 6.在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n =A. 11B. 12C. 14D. 16 7. 某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得的利润是100(5x ＋1－3x )元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的生产速度为A ．5千克/小时B ．6千克/小时C ．7千克/小时D ．8千克/小时 8．设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 A．2] B．2) C．)+∞ D．)+∞ 9.给定命题p ：函数sin(2)4y x π=+和函数3cos(2)4y x π=-的图像关于原点对称；命题q ：当2x k ππ=+()k ∈Z时，函数2cos2)y x x =+取得极小值. 下列说法正确的是 A. p q ∨是假命题 B. p q ⌝∧是假命题 C.p q ∧是真命题D.p q ⌝∨是真命题10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2014f 的值为（ ）A. 1256B. 1128C. 164D. 132二、填空题(本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题纸中的横线上).(一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）11.(选修4-l :几何证明选讲）如图所示，AB 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分12.(选修4-4:坐标系与参数方程）已知点P （3，m ）在以点F 为焦点的抛物线)(4,42为参数t t y t x ⎩⎨⎧==上，则|PF|= . 13 .（不等式选讲）设函数()|4|||f x x x a =-+- a (＞1），且()f x 的最小值为3，若()5f x ≤，则x 的取值范围 . （二）必作题（14~16题）14. 已知数列{}n a 是单调递增的等差数列， 从7654321,,,,,,a a a a a a a 中取走任意三项，则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率= . 15. 在锐角ABC ∆中，BC=1，B=2A ，则AACcos 的值等于 ；边长AC 的取值范围为 ； 16.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =____________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分） 在ABC ∆中,角,,A B C的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.18.（本题满分12分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，(1) 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2) 用x 表示至第二分钟末已办完业务的人数，球X 的分布列及期望.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，211-=a ，当2≥n 时，121-=-n n a a . (1) 求数列{}n a 的通项公式. (2) 设121+=n n nn a a b ,数列{}n b 前n 项的和为n S ,求证:2<n S .20.（本小题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．（1）求证：AF //平面CBD ；（2）求平面CBD 与平面DAE 所成锐角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，线段AB 为半圆ADB 所在圆的直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4||=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持||||PB PA +的值不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点N M ,，且M 在N D ,之间，设λDNDM=，求λ的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数)ln()(2a x x f += )0(>a(1) 若2=a ,求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程.（2） 令332)()(x x f x g -=，求证：在区间)1,0(a 上，)(x g 存在唯一极值点.(3) 令xx f x h 2)()('=,定义数列{}n x :)(,011n n x h x x ==+.当2=a 且]21,0(∈k x )4,3,2( =k 时,求证:对于任意的*∈N m ,恒有1431-+⋅<-k k k m x x .数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. C 7.B 8.A 9. B 10. B简答与提示：2.B 由题意可知,因此221315a a-=-+，化简得225533a a -=+，24a =则2a =±，由22415a a -=+可知0a <，仅有2a =-满足，故选B.3.A 由于要取a ，b ，c 中最大项，输出的x 应当是a ，b ，c 中的最大者，所以应填比较x 与c 大小的语句c x >，故选A.5.C由3312314a a a a q==与312456112a a a a q==可得93q =，333111324n n n n a a a a q --+⋅⋅=⋅=，因此36436813n q q -===，所以14n =，故选C.9.Bp 命题中3cos(2)cos(2)cos[(2)]44224y x x x πππππ=-=--=-- sin(2)4x π=-与sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中)s i n 2c o s 22s i n 24y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭取极小值时，2242x k πππ+=-，则38x k ππ=-()k ∈Z ，故q 为假命题，则p q ⌝∧为假命题，故选B.10. 【答案】D 【解析】由题意,分1n =或1m =两种情况:(1)1n =时,23m =,此时()f x 在[,]m n 上单调递减, 故2()log 13a f m m a ==⇒=(2)1m =时,43n =,此时()f x 在[,]m n 上单调递增,故3()log 14a f n n a ==⇒=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）83≤≤x 14. 53515.（1）2， （2）16.设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为2214S a ==，其内切球半径为正四面体高的14，即14r a a=，因此内切球表面积为22246a S r ππ==，则1226S S a =.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）17. 在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==由题知ab >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c=或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos BA B 18.（1） 设事件A ：“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形; ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理办理业务所需的时间为1分钟；③第一个顾客和第二个顾客办理办理业务所需的时间都为2分钟。
湖南省衡阳县第四中学2015届高三上学期周考(二)数学理试题 Word版含答案
湖南省衡阳县四中2014高三下期周考数学试题（二）本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 2. 复数z =iim 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π） C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）4. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）. 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月 C ．7月、8月 D.8月、9月5. 如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形6.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=， 则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9757、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，1112,4AC AA ==,则该几何体的表面积为（ ）(第7题图) （第8题图） 8、如图在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,AB mAM AC nAN == ，则mn 的最大值为（ ）A12B 1C 2D 4 9. 已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)10. 对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分． （一）必做题（11~ 13题）11. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．12. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是________________13. 设P （3，1）为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1x ff -=的图象的一个交点，则a=________________b=________________（二）选做题（14 ~ 16题，考生只能从中选做两题） 14. （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
湖南省长沙一中2015届高三月考(一)数学(理)试题 Word版含答案
炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。
设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。
4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）BA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增；而()00f =，所以()00f x x >⇔>。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖南省2015届高三高考仿真
数学（理）试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真
核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上答题无效。
考生在答
题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分请按题号用2 B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
（2）非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
（3）请勿折叠答题卡。
保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
3．本试题卷共6页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={z ∈N | x≤6），B={x ∈R|x 2-3x>0），则A B=
A ．{3，4，5}
B ．{4，5，6}
C ．（x| 3<x≤6）
D ．{x|3≤x<6） 2．下列命题中，真命题是
A ．x R ∃∈，使得e x 0≤0
B ．22sin 3(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．函数2()2x f x x =-有两个零点
D ．a>l ，b>l 是ab>l 的充分不必要条件
3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为
A ．
B ．27
C ．36
D ．6
4．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>处取最大值，则
A ．(1)f x -一定是奇函数
B ．(1)f x -一定是偶函数
C ．(1)f x +一定是奇函数
D ．(1)f x +一定是偶函数 5．已知函数()cos 6x
f x π=，集合M 一{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从M 中任取两个
不同的元素m ，n ，则().()0f m f n =的概率为
A ．512
B ．712
C ．718
D ．79
6．运行如下图所示的程序框图，则输出的结果S 为
A ．1 008
B ．2 015
C ．1007
D ．-1007
7．已知抛物线2:4C y x =点P （m ，0），O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使
得∠OQP= 90°，则实数m 的取值范围是
A ．（4,8）
B ．（4,+ ∞）
C ．（0,4）
D ．（8,+ ∞） 8．设函数(),()()(),()f x f x p y f x f x p f x p
P ≤⎧==⎨>⎩在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函
数()p f x ，则称函数()f x 为“的p 界函数”若给定函数2()21,2f x x x p =--=
p=2，则下列结论不成立的是
A ．[(0)][(0)]p p f f f f =
B ．[(1)][(1)]p p f f f f =
C ．[(2)][(2)]p f f f f =
D ．[(3)][(3)]p p f f f f = 9．已知函数21()(,g x a x x e e =-≤≤e 为自然对数的底数）与h （x ）=21nx 的图象上存在关
于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是
A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦
C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
D ．22,e ⎡⎤-+∞⎣⎦
10．如图，已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，O
为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两
点P ，Q ．若∠PAQ= 60°且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为
A
．3
B
．2 C
D
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡
中
对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
11．如图，BD 是半圆O 的直径，A 在BD 的延长线上，AC 与半
圆相切于点E ，AC ⊥BC ，若
AE=6，则EC=
___ ．
12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为
直线pcos θ-psin θ-4=0上一点，点Q 为曲线2(14
x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则|PQ|的最小值为 ．
13．已知函数()2f x x k x k =-+-，若对任意的,()(3)(4)x R f x f f ∈≥=都成立，则是
k 的取值范围为 。
（二）必做题（14～16题）
14．设0(sin cos )a x x dx π
=+⎰
，则二项式6(的展开式的常数项是 。
15．如果实数a ，b 满足条件：2010,1a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则22a b a b ++的最大值是 。
16．平面向量a ，b ，e 满足| e|=l ，a ．e=l ，b ．e=2，|a-b| =2，则.a b 的最小值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个
白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
（1）求取出的3个球编号都不相同的概率；
（2）记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．
18．（本题满分12分）
已知函数()sin (0)f x m x x m =>的最大值为2．
（1）求函数()[0,]f x π在上的单调递减区间；
（2）△ABC
中，()()sin 44f A f B A B ππ
-+--=，角A 、B 、C 所对的边分别是以、b 、c ，且C=60°，c=3，求△ABC 的面积．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD= 60°，O 为
AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若PD ∥平面EAC ，并且二面角B-AE-C 的大小为45°，求PD ：AD 的值．
20．（本题满分13分）
已知数列{a n }中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩
为奇数为偶数
（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
（2）若S n 是数列{a n }的前”项和，求满足S n >0的所有正整数n ．
21．（本题满分13分）
已知离心率为的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 是圆22(1)1x y -+=的圆心，过椭圆上的动点P 作圆的两条切线分别交y 轴于M ，N （与P 点不重合）两点．
（1）求椭圆方程；
（2）求线段MN 长的最大值，并求此时点P 的坐标．
22．（本题满分13分）
设函数()1x f x ax nx
=-． （1）若函数()f x 在（1，+∞）上为减函数，求实数“的最小值；
（2）若存在212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的取值范围．。