常用连续概率分布
1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
o1分布的分布函数
o1分布的分布函数一、概念o1分布是一种连续型概率分布函数，其概率密度函数（PDF）可以用数学公式表示为：f(x) = λ * e^(-λx)其中，λ为正实数，代表分布的参数。
二、特点1. 对称性：o1分布在参数λ取不同值时，其概率密度函数具有对称性。
当λ越大时，分布越陡峭，当λ越小时，分布越平缓。
2. 单峰性：o1分布是单峰分布，即其概率密度函数在某一点处取得最大值，然后随着x的增大或减小而逐渐减小。
3. 指数衰减：o1分布的概率密度函数具有指数衰减的特点，即随着x的增大，概率密度逐渐减小。
4. 可靠性分析：o1分布常用于可靠性分析，用于描述产品或系统在给定时间内发生故障的概率。
三、应用1. 可靠性工程：o1分布常用于可靠性工程中，用于评估产品或系统的可靠性。
通过分析o1分布的特点和参数，可以预测产品或系统的寿命、故障率等指标，为产品设计和维护提供依据。
2. 生存分析：o1分布在医学和生物领域的生存分析中也有广泛应用。
生存分析是研究个体从某一起始时间到达终止状态的时间间隔的分析方法，而o1分布可以用来描述事件的发生概率，从而对生存时间进行建模和预测。
3. 风险分析：o1分布在风险分析中也有重要应用。
通过分析o1分布的参数，可以评估风险事件的概率和严重程度，为风险管理和决策提供科学依据。
4. 模拟和优化：o1分布可以用于模拟和优化问题。
通过生成服从o1分布的随机数，可以模拟实际情况下的随机事件，从而进行仿真和优化分析。
o1分布是一种常用的概率分布函数，具有对称性、单峰性和指数衰减的特点。
它在可靠性工程、生存分析和风险分析等领域有广泛应用。
通过分析o1分布的参数，可以评估产品或系统的可靠性、预测生存时间和评估风险概率，为决策和优化提供科学依据。
因此，深入理解和应用o1分布的分布函数对于相关领域的研究和实践具有重要意义。
连续性概率分布-正态分布
连续性概率分布-正态分布⼀、概率密度函数概率密度函数⽤于描述连续随机变量的概率分布，离散型分布中我们通常关注随机变量X取特定值时的概率，在连续型分布中关注X在某数值范围内对应概率。
连续随机变量的概率通过概率密度函数⾯积表⽰。
对于任何概率分布来说，总概率必须等于1，因此⾯积必须等于1。
⼆、正态分布-连续数据的“理想”模型1. 定义正态分布通常参数均值 和⽅差 2进⾏定义。
指出分布的中央位置， 指出分散性。
如果⼀个连续随机变量X符合均值为 、标准差为 的正态分布，通常写作：2. 性质正态分布具有钟型曲线，曲线对称，中间部位的概率密度最⼤。
越是偏离均值，概率密度减⼩， 越⼤，正态分布曲线越扁平、越宽。
⽆论图形怎样，概率密度永远不等于0。
3. 标准正态分布 Z~N(0,1)标准正态分布是符合均值为0，标准差为1的正态分布。
当需要计算正态分布对应概率的时，计算曲线下⾯积太过复杂，因此需要将正态分布转化为标准正态分布，通过概率表查找概率。
若X~N( ， 2)通过标准分变换则 Z~N(0,1)。
通过在概率表中查找标准分可求出正态概率，概率表给出的是⼩于等于这个数值的概率。
三、正态分布应⽤1. 线性变换正态分布的线性变换跟离散变量线性变换⼀致。
E(aX+b) = aE(X)+b Var(aX+b) = a2Var(X)若X符合正态分布 X~N( ， 2) ,线性变换aX+b也属于正态分布。
E(X) = ,E(aX+b) = a +bVar(X) = 2 ,Var(aX+b) = a2 2所以：aX+b ~ N(a +b,a2 2 )2. 独⽴观察值(可看作概率分布完全相同的独⽴随机变量)在离散随机变量中，对于独⽴观察值：E(X1 + X2 + ... +Xn) = nE(X) Var(X1 + X2 + ... +Xn) = nVar(X)同样，相同算法适⽤于连续随机变量，即，如果X符合正态分布 X~N( ， 2)X1 + X2 + ... +Xn ~ N(n ,n 2)。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的取值和对应的概率。
根据随机变量的类型和取值的特点，概率分布可以分为离散型和连续型。
本文将对这两种概率分布进行介绍和比较。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量的取值是有限个或可数个的情况下的概率分布。
离散型概率分布通常用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述。
概率质量函数表示随机变量取某个特定值的概率。
常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
以二项分布为例，它描述的是进行n次独立的二元试验，在每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，随机变量X表示成功的次数。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) =C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
离散型概率分布的特点是概率质量函数在取值点上有明确的非零值，而在取值点之间的概率为零。
离散型概率分布的图像通常是由一系列不连续的垂直线段组成。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量的取值是连续的情况下的概率分布。
连续型概率分布通常用概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
概率密度函数表示在某个取值范围内的概率密度。
常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。
以正态分布为例，它是自然界中最常见的概率分布之一，也称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ*√(2π))) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
连续型概率分布的特点是概率密度函数在取值范围内的某个点上的值并不表示该点的概率，而是表示在该点附近的概率密度。
连续型概率分布的图像通常是连续的曲线。
三、离散型与连续型的比较离散型概率分布和连续型概率分布在性质和应用上有一些显著的区别。
1. 性质上的区别：离散型概率分布的取值是有限个或可数个，而连续型概率分布的取值是连续的。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用1. 常数分布（Constant distribution）：概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为常数，表示特定区间内的概率相等。
这种分布常用于模拟实验或作为基线分布进行比较。
2. 均匀分布（Uniform distribution）：概率密度函数为一个常数，表示在特定区间内的各个取值的概率相等。
均匀分布经常用于随机抽样，以确保样本的代表性。
3. 二项分布（Binomial distribution）：概率密度函数描述了进行n次独立二类试验中成功次数的概率分布。
二项分布在实验设计、质量控制和市场研究中广泛应用。
4. 泊松分布（Poisson distribution）：5. 正态分布（Normal distribution）：概率密度函数为指数函数形式，常用来描述自然界中众多连续变量的分布，例如身高、体重等。
正态分布在统计学和金融学中广泛应用。
6. χ2分布（Chi-square distribution）：概率密度函数描述了n个独立标准正态分布随机变量的平方和的分布，是假设检验和方差分析中常用的分布。
7. t分布（t-distribution）：概率密度函数描述了标准正态分布随机变量与一个自由度为n的卡方分布随机变量的比值的分布。
t分布在小样本推断和回归分析中常用。
8. F分布（F-distribution）：概率密度函数描述了两个自由度为m和n的卡方分布随机变量的比值的分布。
F分布在方差分析、回归分析和信号处理中常应用。
9. 负二项分布（Negative binomial distribution）：概率密度函数描述了进行一系列独立二类试验中直到第r次取得第k 次成功的概率。
负二项分布在可靠性工程和传染病模型中常用。
10. 伽马分布（Gamma distribution）：概率密度函数描述了多个指数分布随机变量的和的分布，常被用于描述连续事件的时间间隔。
连续型随机变量的概率分布
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
5.1 第三章 常用概率分布10.14
相等。
设有一个总体 ，总体平均数为 μ,方差为σ2，总 体中各变数为 x， 将 此总体称为原总体。现从这个 总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个 x 含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小， 不尽相同，与原总体平均数μ相比往往表现出不同程 度的差异。这种差异是由随机抽样造成的 ，称为 抽 样误差(sampling error)。 显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分 布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的 总体称为样本平均数的抽样总体。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出 下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地 计算有关概率：
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05
P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
（二）一般正态分布的概率计算
正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区
域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x
取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概
率为1。
若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ2)，则x
即大数定理
x2 2. 若随机变量x服从平均数是 μ，方差是 σ2的分布(不是正态分布)； x1， x 2 ，…， x n 是 x 由此总体得来的随机样本，则 统 计 量 x =Σx／n的概率分布，当n相当大时逼近正态分 布N(μ,σ2／n)。这就是中心极限定理。
常用离散分布与连续分布函数
函数
p(
x
)
C
x n
p
x
q
n
x
,
x 0,1, 2n
其中 0 p 1, p q 1,
为二项分布. 记作： B(n, p)或b(n, p)
二项分布在第一章中已经专门介绍过。除了已经讲述过 的例子以外，二项分布还有最大概率值性质
设X ~ B(n, p),则 （1）若(n 1) p是整数，则 P(X (n 1) p)和P[X (n 1) p 1] 是其概率最大值。 （2）若(n 1) p不是整数，则当 k [(n 1) p]时P(X k)为其概率 的最大值。
到第X k次才发生（即前 k 1次A发生）的概率分布为几 何
分布，记作 G( p).即：P( X k) qk1 p, k 1,2,。X服从几何
分布，记作 X ~ G( p). 3.超几何分布：源自产品质量抽检，可用二项分布近似计算。
第三讲 二项分布与离散随机变量
4.二项分布
记X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则称X的概率
最大。即有3门或2门课获得优秀的概率最 大。
例3-4-1 已知X ~ B(2, p),Y ~ B(3, p),若P( X 1) 5 ,求P(Y 1)的值
9
分析：因为Y ~ B(3, p),所以求P(Y 1)关键是求p.
解：由P( X 1) 5 求p. P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0) 9
四、常用的离散随机变量概率分布
1.0-1分布：设随机变量 X只能取两个数值0和1,则称 P(X=1)=0，P(X=0)=1-q.为0-1分布。其概率分布为：
X
0
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常用的连续概率分布如下：（1）正态分布。
其特点是密度函数以均值为中心对称分布，这是一种最常用的概率分布，其均值为，方差为，用表示。
当，时，称为标准正态分布，用N(0，1)表示。
正态分布适用于描述一般经济变量的概率分布，如销售量、售价、产品成本等。
（2）三角型分布。
其特点是密度数是由最大值、最可能值和最小值构成的对称的或不对称的三角型。
适用描述工期、投资等不对称分布的输入变量，也可用于描述产量、成本等对称分布的变量。
（3）β分布。
其特点是密度函数为在最大值两边不对称分布，适用于描述工期等不对称分布的变量。
（4）经验分布。
其密度函数并不适合于某些标准的概率函数，要根据统计资料及主观经验估计的非标准概率分布，它适合于项目评价中的所有各种变量。
（5）指数分布。
指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、无线电元器件寿命等等。
指数分布的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。
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