36排列组合(高考讲义)
排列组合专项讲义(知识点+例题+练习含详解)
排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。
加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。
排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。
记做mn A 。
m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。
记座mn C 。
m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。
排列组合的讲义
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！排列组合的讲义一、排列组合定义1、什么是C公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。
即C（3，2）＝32、什么是P或A公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。
如果不大。
我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、排列组合常见的恒等公式1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。
万华：公考传奇缔造者！万华：公考培训黄埔军校！三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。
数学高考复习排列组合知识点讲解
数学高考复习排列组合知识点讲解陈列组合是组合学最基本的概念，查字典数学网为了协助考生们掌握最新资讯，特分享陈列组合知识点解说，供大家阅读!陈列组合公式/陈列组算计算公式陈列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的效果陈列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3团体，有几种分法.陈列把5本书分给3团体，有几种分法组合1.陈列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素依照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个陈列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的一切陈列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的陈列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规则0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的一切组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他陈列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环陈列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分红k类，每类的个数区分是n1，n2，...nk这n个元素的全陈列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数有限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).陈列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n区分为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n区分为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2021-07-0813：30公式P是指陈列，从N个元素取R个停止陈列。
排列组合讲义
排列组合讲义(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用!n n ++⋅=m n +- )1(n m ++ n m ⨯⨯ =r 002412n n n nC C C -+=+++=.解决排列组合一般思路1.审题要清常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
三.不相邻问题插空策略1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4431. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为3、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略1. 8人围桌而坐,共有多少种坐法A B C D E AE H G F2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法后 排八.排列组合混合问题先选后排策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种九.小集团问题先整体后局部策略1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种 十.元素相同问题隔板策略1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案一班二班三班四班六班七班2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少1个，有多少装法3. 100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数十一.正难则反总体淘汰策略1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和偶数,不同的取法有多少种2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法2、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法3、 10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人,但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略1.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2 人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有3. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略1. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不 能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有 多少种2.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法3号盒 4号盒 5号盒平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。
11.2排列组合-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共36张PPT)
题型二 组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿 者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两 个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共 有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏 解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间 接法求解.
题型三 排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包 只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共 有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进 行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他 元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写 答案)
答案：16 解析： 解法一 按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)． 解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在 三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共 有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.
高考复习指导讲义 第六章 排列组合、二项式定理
高考复习指导讲义第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构加法原理、乘法原理排列数排列排列数应用组合数排列组合综合应用组合合数应用二项式定理三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( )A.60种B.48种C.36种D.24种解：根据题的条件可知，A、B必须相邻且B在A的右边，所以先将A、B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故总的排法有P44=4×3×2×1=24(种).可知此题应选D.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).(三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 38×C 15×C 24×C 22=×5××1=1680(种).123678⨯⨯⨯⨯1234⨯⨯(四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x 2+3x+2)5的展开式中x 的系数为（ ） A.160 B.240 C.360 D.800 解：∵(x 2+3x+2)5=C 05(x 2+3x)5+C 15(x 2+3x)4×２+C 25(x 2+3x)3×22+C 35(x 2+3x)2×23+C 45(x 2+3x)×24+C 55×25. 在展开式中只有C 45(x 2+3x)×24才含有x ，其系数为C ４5×3×24=5×3×16=240.故此题应选B.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x ２的系数等于___________ 解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为=[]1)-(x 1)1(1)1(5+-++x x x61)-(x 1)-(x +在(x-1)6中含x 3的项是C 36x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中x 2的系数是-20. (五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为（ ）3A.1 B.-1 C.0 D.2 解：A.例9 把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有（ ） A.126种 B.84种 C.35种 D.21种 解：此种排法相当于6个元素的全排列，6!=720. ∴应选C.例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有( ）A.140种B.84种C.70种D.35种 解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形. ∵C 24·+C 25·C 14=5×6+10×4=70.∴应选C.例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（）A.27种B.48种C.21种D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：∵C13·C17+C23=3×7+3=24，∴应选D.例12 由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）.A.210个B.300个C.464个D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P55=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.1∴有×600=300个符合题设的六位数. 应选B.2例13 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）.A.70个B.64个C.58个D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1)的有4组.∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）.A.12对B.24对C.36对D.48对解：设正六棱锥为O—ABCDEF.任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.∴共有C16×4=24对异面直线.应选B.例15 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共___个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C37=35组.其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).∴三角形个数为35-3=32个.例16 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解：设2143表示第一人拿第二人的卡、第二人拿第一人的卡，第三人拿第四人的卡，第四人拿第三人的卡，它是符合题设的分配方法.第一人只能拿二、三、四人的卡之一(P13).设第一人拿的是第二人的卡，则2143，2341，2413是全部可能的分配方式，计3种，共有P 1 3·3=9种不同的分配方式∴应选B.例17 在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_______种(用数字作答).解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.∴C34·C246+C44·C146=4186(种)例18 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）.A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种解：先从10人中选2个承担任务甲(C210)再从剩余8人中选1人承担任务乙(C18)又从剩余7人中选1人承担任务乙(C17)∴有C210·C18C17=2520(种).应选C.例19 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）.A.24个B.30个C.40个D.60个解：末位数字只能是2或4(P12)剩下四个数字考虑顺序任取其2(P24)，∴共有P12·P24=24个偶数.应选A.例20 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有（）.A.C233197种B.C23C3197+C33C2197C.C5200-C5197D.C5200-C13C4197解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197.应选B.例21 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是（）.A.C58C38B.P12C58C38C.P58P38D.P88解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座.∴应有P88种不同的入座法.应选D.例22 7人并排站成一行，如果甲、乙必须不相邻，那么不同排法的总数是（）.A.1440B.3600C.4320D.4800解：7人的全排列数为P77.若甲乙必须相邻则不同的排列数为P22P66.∴甲乙必须不相邻的排列数为P77-P22P66=5P66=3600.应选B.例23 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲(C38)→乙(C15)→丙(C24).∴有C38C15C24=1680种承包方式.例24用1，2，3，4，四个数字组成没有重复的四位奇数的个数是_____个(用具体数字作答).解：末位数(C12)，前三位数(P33).∴有C12P33=12个四位奇数.例25 用1，2，3，4，四个数字组成的比1234大的数共有_____个(用具体数字作答).解：若无限制，则可组成4!=24个四位数，其中1234不合题设.∴有24-1=23个符合题设的数.例26 用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数中，是偶数的总共有（）.A.120个B.96个C.60个D.36个解：末位为0，则有P34=24个偶数.末位不是0的偶数有P 12P 13P 23=36个. ∴共有24+36=60个数符合题设. 应选C.例27 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：(1)C A ∪B ，且C 中含有3个元素；⊂(2)C ∩A ≠(表示空集).φφ解：∵A ∪B 含有12+12-4=20个元素； B 含12个元素，∴∩B 含20-12=8个元素，A 若C 中恰含A 中1个元素，则有C 112·C 28个，若C 中恰含A 中2个元素，则有C 212·C 28·C 28个， 若C 中恰含A 中3个元素，则有C 312个， ∴符合题设的集合C 的个数为 C 112C 28+C 212C 18+C 312=1084个.例28 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 解：从10点中任取4点的组合数为C 410=210.其中有4·C 46=60组点，每组中的四点恰为一个侧面上的点.其中任取同一棱上3点它们和相对棱的中点共面，即有6组这种情况应排除. 其中还有底面两棱中点和对面两棱中点共面，即有3组这种情况应排除. ∴符合题设的取法有150-6-3=141种. 应选D. 例29 已知(-)9的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为_______.x a 2x 49解：T k+1 =C k 9()9-k ( )kx a 2x =C k 9·a 9-k 2·x2k-29k k +-令k-9+=3，得k=8， 2k∴x ３的系数为C 89·a·2-4=. 49即a= ,得a=4. 16949例30 (-)6的展开式中的常数项为（ ） x x2A.-160B.-40C.40D.160解：T k+1 =C k 6()6-k (-)kx x2=C k 6·(-2)k ·x226kk --令-=0，得k=3 26k -2k∴常数项为C 36·(-2)3=--160 应选A.例31 (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，若系数a ＞1，那么a=_______.解：T k+1=C k 7(ax)7-k =C k 6a 7-k ·x 7-k . ∴T 6=C 57a 2x 2,T 5=C 47a 3x 3，T 4=C 37a 4x 4， 由已知有2C 47a 3=C 57a 2+C 37a 4， 由a ＞1，得2C 47a 3=C 57a 2+C 37a 4， 即35a 2-70a ＋21=0.解得a=1+(舍去a=1-).510510例32 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4展开式中x 2的系数等于_________.解：(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4=(x-1)-(x-1)2〔1-(x-1)+(x-1)2〕 =(x-1)-(x 2-2x+1)(x 2-3x+3) =……-(3+6+1)x 2+…. ∴x 2的系数为-10.例33 9192除以100的余数_________. 解：9192=(100-9)92≡992(mod 100).992=(10-1)92=1092-…+C 9092·100-C 919210+1≡-C 9192·10+1(mod 100)-C 9192·10+1=-920+1=-919≡-19(mod 100)， -19≡81(mod 100).∴9192除以100的余数是81.例34 由(x+)100的展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有（ ） 332A.50项B.17项C.16项D.15项解：T k+1=C k 100()100-k ()k332=C k 100·()100-k ()k ·x 100-k (k=0，1，2，…，100) 332由∈N ，∈N ，k ∈｛0，1，2，…，100｝，得 2k 3kk=0，6，12，18，…，96，共17项. ∴应选B.例35 在(3-x)7的展开式中，x 5的系数是________(用数字作答). 解：T k+1=C k 7·37-k ·(-x)k =C k 7·(-1)k ·x k ， ∴T 6=C 57·37-5·(-1)5x 5=-189x 5. 即x 5的系数是-189.例36 在(1-x 3)(1+x)10的展开式中，x 5的系数是（ ）. A.-297 B.-252 C.297D.207解：(1-x 3)(1+x)10=(1-x 3)(…+C 550x 5+…+C 210x 2+…) ∴x 5的系数为+C 550-C 210=207. 应选D.例37 求(2x 3-)15的展开式的常数项. 21x 解：T k+1=C k 5·(2x 3)5-k ·(-)k =(-1)k ·C k 5·25-k ·x 15-3k-2k21x令15-5k=0，得k=3∴常数项为T 4=(-1)3·C 35·25-3=-40. 例38 (-)8的展开式中，x 的一次项的系数为_________.3x x1解：T k+1=C k 8·()8-k ·(-)k =C k 8·(-1)k ·x3x x1238kk --令-=1，得k=2. 38k -2k∴常数项为T 3＝C 28(-1)2·x=28x. x 的系数为28.例39 在(x-)8的展开式中，x 4的系数与的系数之差是_________. x 141x解：T k+1=C k 8·(-x)8-k ·(-)k =C k 8·(-1)k ·x 8-k-k .x1令8-2k=-4，得k=6， ∴T 8=C 68·(-1)6=28·. 41x 41x∴x 4与的系数之差是28-28=0. 41x例40 已知(x+a)7的展开式中，x 4的系数是=-280，则a=_______. 解：T 4=C 37·x 4a 3=C 37a 3x 4.由已知C 37a 3=-28035a 3=-280，得a=-2.⇔例41 在(1-x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r+2项的二项式系数相等， (1)求r 的值；(2)写出展开式中的第4r 项和第r+2项.解：(1)第4r 项和第r+2项的二项式系数分别是C 4r-120和C r+120 C 4r-120=C r+1204r-1=r+1或4r-1+r=1=20， ⇔得r=4和r=(舍去) 32∴r=4(2)T 4r =T 16=C 1520·(-x 2)15=-15504x 30， T r+2=T 6=C 520(-x 2)5=-15504x 10例42 在(1+x+x 2)(1-x)10的展开式中，x 5的系数是________(用具体数字作答). 解：(1+x+x 2)(1-x)10=(1+x+x 2)(1-1x+45x 2-120x 3+210x 4-252x 5+…) =…+(-120+210-252)x 5+….∴x 5的系数是-120+210-252=-162.例43 已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7；那么a 1+a 2+…+a 7=________. 解：令x=1，代入已知式，得-1=a 0+a 1+…+a 7， 将x=0代入已知式，得1=a 0 ∴a 1+a 2+…+a 7=-1-a 0=-2.例44 如果n 是正偶数，则C 0n +C 2n +C 4n +…+C n-2n +C n n =（ ）. A.2n B.2n-1 C.2n-2 D.(n-1)2n-1 E.(n-1)2n-2 解：∵C 0n +C 2n +…+C n-2n +C n n =C 1n +C 3n +…+C n-1n ， 又(C 0n +C 2n +…+C n-2n +C n n )+(C 1n +C 3n +…+C n-1n )=2n ， ∴2(C 0n +C 2n +…+C n-2n +C n n )=2n ， C 0n +C 2n +…+C n-2n +C n n =2n-1. 应选B.四、能力训练 (一)选择题1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（ ） A.0 B.1 C.2 D.3(2)已知(ax+1)2n 和(x+a)2n+1的展开式中含x n 项的系数相同(a ≠0为实数，n ∈N)，则a 的取值范围是（ ）A.a=1B.a ＞1C.a ＜1D.a ≥13.在(+)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是31x 521x（ ）A.330B.462C.682D.7924.若x=，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（ ） 21A.第一项B.第三项C.第六项D.第八项5.n ∈N ，A ＝（+2）2n+1，B 为A 的小数部分，则AB 的值应是（ ）7A.72n+1 B.22n+1 C.32n+1 D.52n+16.从0，1，2，3，4，5六个数中任取四个互异的数字组成四位数，个位，百位上必排偶数数字的四位数共有（ ）A.52个B.60个C.54D.66个7.用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位不是3的没有重复数字的五位数，共有（ ）A.96个B.78个C.72个D.64个8.从1，2，3，4，5，6六个数字中，任取两个不同数作为一个对数的底数和真数，得到的不同的对数值的方法有（ ）A.20种B.17种C.25种D.21种9.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球投放在这5个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为（ ）A.20B.30C.60D.12010.用0，1，2，3，4，5，6这7个数字排成一个数字不重复且个位数最大，十位数次之，百位数最小的三位数的个数是（ ）A.10B.20C.30D.4011.要排一张5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两个合唱节目不相邻，则不同排法的种类是（ ）A.P 88B.P 55·P 33C.P 55·P 35D.P 55·P 38 12.3人坐在一排8个座位上，若每人左右两边都有空座位，则坐法种数是（ ） A.12 B.6 C.24 D.12013.设A ，B 分别为(1+x)n 展开式中的奇数项之和及偶数项之和，那么A 2-B 2的值为（ ）A.(1+x)2nB.(1+x)nC.-(1-x 2)nD.不是以上结果14.若x(1+x)n 的展开式中的每项的系数都用这一项的x 的指数去除，则得到的新系数和等于（ ）A.(2n+1-1)／(n+1)B.(2n -1)／(n+1)C.(2n-1+n-2)/(n+1)D.(n·2n +1)/(n+1) 15.设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 50x 50，则a 3的值是（ ）A.2C 350B.C 351C.C 451D.C 450(二)填空题16.在(+)100展开式中有_________个有理项.533517.今天是星期日，从今天起21991天后的第一天是星期________. 18.满足C x-4x+1＝P 3x+1的x 的值是________ 15719.1.0096精确到0.001的近似值是________ (三)解答题20.在10个数-9，-7，-5，-1，0，2，4，6，8中任取两个数构成虚数a+bi(a ≠b)，求(1)这样不同的虚数有多少个?(2)有多少个辐角主值θ∈(，π)的不同虚数?2π(3)有多少个模大于5的不同虚数.21.将数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，按从小到大次序排列，那么第25个数是什么?22.证明9·32n -8n-9能被64整除(n ∈N).23.在［(+］n 展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且已知第四项是1lg +x x6x 35000，试求：(1)次数n 是多少?(2)展开式中的x 是多少?24.已知(x 3+)n 展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x 项；(2)C 0n -C 1n +21x2141C 2n -C 3n +…+(-1)n ·C n n 的值.81n 2125.若(+)n 展开式的二项式系数中第二、第三、第四项的系数成一个等差数列，且展开22x 522x式第六项是21，求x.参考答案中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉(一)1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.A 10.B 11.C 12.C 13.C 14.A 15.C (二)16.1 17.四 18.10 19.1.055(三)20.(1)81，(2)20，(3)64 21.32150 22.略 23.(1)n=7，(2)x 1=或x 2= 24.(1)210，(2) 100143101024125.x=0。
排列组合公式讲义(学生版)
一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、 熟练掌握排列的定义和公式． 二、 熟练掌握组合的定义和公式． 三、 能够用排列组合解决简单的问题． 四、 初步区分排列和组合．一、 排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．3、0121112C +C __________.=4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；课堂例题方法精讲（4）0121010101010C C C C ++++；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．二、 排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？三、 组合问题10、从100个人中选出99人有___________种不同的选法．11、有9种不同颜色的吊坠，文雯想买2个不同颜色的吊坠，请问有______________种不同的买法．12、墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？13、在一个圆周上有8个点，那么以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？多少个角？14、有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？四、综合题目15、各位数字互不相同，且不包含0的三位数共有多少个？（2）各位数字互不相同，且不包含0的四位数共有多少个？（3）千位数字是1，且各位数字互不相同，不包含0的四位数共有多少个？（4）各位数字互不相同，不包含0，且比3000小的四位数有多少个？（5）各位数字互不相同，不包含0，且比4999大的四位数有多少个？16、“上升数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字大的多位数（如1234，3468，4679）．“下降数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字小的多位数（如5432，9531，7432）．“V型数”是指三位数．．．中，从左往右看数字先下降后上升的数（如546，308，212），问：（1）“上升数”中，四位数共有多少个？（2）“下降数”中，五位数共有多少个？1、如图所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？2、计算：（1）37A ；（2）3255A A -．3、有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？4、计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．红 黄 绿 蓝 白随堂练习5、阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？1、计算：（1）34A =________；（2）3255A A -=________．2、计算：（1）38C =________；（2）32752C C ⨯-=________；（3）211C =________．3、五个同学排成一排照相，有________种不同的照法．4、老师从五个校级优秀学生中选出两个评选市级优秀学生，老师有_______种不同的选法．课后作业5、要从海淀区少年游泳队的10名队员中挑选4名参加全国的游泳比赛，有________种不同的选法．6、10位小朋友上场做游戏，争抢4个不同的橡胶球．最后有4个人各抢到一个球，那么共有________种可能的争抢结果．7、在平面上有10个点，以这些点为端点，一共可以连出________条线段．8、海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？9、从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？其中比635小的有多少个？10、（思考题）有五张互不相同的扑克牌，现从中随意抽取若干张（既可以都拿也可以都不拿），有多少种不同的抽取方法？。
排列组合(讲义部分)
1、排列组合定义：题干当中给出两组或两组以上的对象或信息，在答案中需要考生对排列组合结果进行判断。
历年国考“排列组合”题量解题原则：1、最大信息优先2、确定信息优先3、顺藤摸瓜解题方法：一、带入排除法1.甲、乙、丙、丁是四位天资极高的艺才家，他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家，尚不能确定其中每个人所从事的专业领域，已知：（1）有一天晚上，甲和丙出席了歌唱家的首次演出。
（2）画家曾为乙和作家两个人画过肖像。
（3）作家正准备写一本甲的传记，他所写的丁传记是畅销书。
（4）甲从来没有见过丙。
下面哪一选项正确地描述了每个人的身份？（）A.甲是歌唱家，乙是作家，丙是画家，丁是舞蹈家B.甲是舞蹈家，乙是歌唱家，丙是作家，丁是画家排列组合（讲义部分）C.甲是画家，乙是作家，丙是歌唱家，丁是作家D.甲是作家，乙是画家，丙是舞蹈家，丁是歌唱家2.李老师、王老师、张老师在同一所大学教语文、数学和外语，按规定每人只担任其中一门课。
而且①李老师上课全部用汉语。
②外语老师是该校一个学生的舅舅。
③张老师是女教师，她的女儿考大学之前，经常向数学老师请教。
请判定他们各自上的课程是：A.李老师上语文，王老师上外语，张老师上数学B.王老师上语文，李老师上外语，张老师上数学C.张老师上语文，王老师上外语，李老师上数学D.王老师上语文，张老师上外语，李老师上数学解题方法：二、列表法3.小红、小兰和小慧三姐妹，分别住在丰台区、通州区、朝阳区。
小红与住在通州的姐妹年龄不一样大，小慧比住在朝阳区的姐妹年龄小，而住在通州的姐妹比小兰年龄大。
那么按照年龄从大到小，这三姐妹的排序是（）。
A.小红、小慧、小兰B.小红、小兰、小慧C.小兰、小慧、小红D.小慧、小红、小兰4.某办公室有三位工作人员：刘明、庄嫣和文虎。
他们三人中，一人是博士，一人是硕士，还有一人是本科毕业生。
已知博士比刘明大两岁；庄嫣与本科毕业生同岁，但是月份稍大；本科毕业生的年龄最小。
高中：排列组合讲义
排列组合基本知识点:1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合讲义
排列组合·概率与统计·二项式定理一、抽样（知道以预防基础知识考查） 1、简单随机抽样 ①抽签法 ②随机数法2、系统抽样（总体差异不明显）i ．编号；ii.确定分段间隔k ，对编号分段;iii.在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号m ； vi.按照m+k 、m+2k 、m+3k 等获取样本。
3、分层抽样（总体差异明显）i.总体按一定标准分层（数量不一定相等）； ii ．确定样本大小和总体个数比值k ；iii ．按各层数量和比值计算各层要抽取的样本数量； vi ．用简单随机抽样或系统抽样抽取个体组成样本。
二、排列组合 （一）、排列组合基本问题 1、组合： （m>n ） 组合是m 个物件拿出n 个的方法种数 2、排列：（m>n ） 排列是m 个物件拿出n 个来排列的方法种数⇒3、所以 并且m>n*4、并且：设集合M 有1n +个元素，其中一个元素是A 。
从M 中选1r +个元素11()r n C ++可以分情况选取①在除去A 元素的n 个元素中直接选取r+1个元素1()r n C +，则此时结果包括所有没有A 元素的选法；②在除去A 元素的n 个元素中选取r 个元素()rn C ，和A 元素一起构成r+1个元素，则此时结果包括所有含有A 元素的选法。
*（二）、排队、选人、染色、隔板、走路 1、排队Eg1：（捆绑）五人排队，甲乙相邻，有几种排法？ （2424A A ）Eg2：六人排队，甲不排头，乙不排尾，有几种排法？(504) 解：①直接法：甲在尾时有5A 甲不在尾时有4A②间接法：6AEg3（插空）：四男三女排队，女不相邻，有几种排法？（4A ） 2、选人Eg4：七人选三人，甲乙至少有一人选中，有几种选法？ 解： ①直接法：5C②间接法：3375C C -3、染色Eg5：田字格用四种颜色染色，相邻不同色（对角不相邻）,有几种染法？ 解： 染色数分类：（1）、用两色：2242C A (2 )、用三色：C(3 )、用四色：*Eg6：四棱锥P-ABCD 用五种颜色染色，一棱两端点不同色，有几种染法？(420) 解：①染色数分类：（1）、用三色：（2）、用四色：（3）、用五色：②对点色讨论：先染三角形PAB,有种。
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36排列组合（高考讲义）专题一：简单的组合排列1、[2012·辽宁卷理5]一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( C )A、3×3!B、3×(3！)3C、(3！)4D、9!2、[2012·课标全国卷理2]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( A )A、12种B、10种C、9种D、8种3、[2012·陕西卷理8]两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )A、10种B、15种C、20种D、30种4、（2009•江西）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ A ）A、70种B、80种C、100种D、140种5、（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）．A、40种B、60种C、100种D、120种6、[2012·全国卷理11]将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( A )A、12种B、18种C、24种D、36种7、（2010•湖北）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ A ）A、56B、65D、6×5×4×3×2C、5×6×5×4×3×228、（2010•湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ B ）A、10B、11C、12D、159、（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）A、891B、2591C、4891D、609110、（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ B ）A、14B、16C、20D、4811、（2009•湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ C ）A、85B、56C、49D、2812、（2011•陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ D ）A、136B、19C、536D、1613、（2011•安徽）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ D ）A、110B、18C、16D、1514、[2012·上海卷理11] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是____23____(结果用最简分数表示).15、（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 0.985 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）16、（2010•辽宁）三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 13 ．17、（2011•重庆）从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为730．18、（2010•上海）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名有 25 种选法．19、（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 36 种（用数字作答）．20、（2009•浙江）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 336 ．21、（2009•宁夏）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有 140 种（用数字作答）．22、[2012·上海卷] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是____23____(结果用最简分数表示).专题二:排列数字1、[2012·北京卷理6] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( B )A 、24B 、18C 、12D 、62、[2012·广东卷理7] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( D )A 、49 B 、13 C 、29D 、193、[2012·浙江卷6] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( D )A、60种B、63种C、65种D、66种4、（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ C ）A、432B、288C、216D、1085、（2009•陕西）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ C ）A、300B、216C、180D、1626、（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ B ）A、324B、328C、360D、6487、（2009•北京）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ C ）A、8B、24C、48D、1208、*（2010•四川）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ A ）A、36B、32C、28D、249、*（2010•四川）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ C ）A、72B、96C、108D、14410、（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14 个．（用数字作答）11、*（2009•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有324 个（用数字作答）专题三：平均分堆1、（2009•重庆）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ B ）A、155B、355C、14D、132、（2010•江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90 种（用数字作答）．专题四：相邻捆绑，不相邻插空1、（2010•北京）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ A ）A、A88A92B、A88C92C、A88A72D、A88C722、*（2009•四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ B ）A、60B、48C、42D、363、*（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ B ）A、15B、25C、35D、454、*（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ C ）A、504种B、960种C、1008种D、1108种5、（2009•重庆）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有72 种（用数字作答）．专题五：特殊问题特殊考虑1、[2012·全国卷文7] 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( C )A、240种B、360种C、480种D、720种2、*（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ C ）A、18B、24C、30D、363、*[2012·山东卷理11]现有16张不同的卡片，其中红色黄色蓝色绿色卡片各4张。
从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( C )A、232B、252C、472D、4844、*（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ C ）．A、30种B、36种C、42种D、48种5、*（2010•山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ B ）A、36种B、42种C、48种D、54种6、*（2009•广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ A ）A、36种B、12种C、18种D、48种7、*（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ B ）A 、152B 、126C 、90D 、548、[2012·重庆卷文15] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文数学外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为____15____(用数字作答).9、*[2012·重庆卷理15] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为____35____(用数字作答).10、*（2010•浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有 264 种（用数字作答）．专题六:疑难杂题1、*（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ C ）A 、1205秒B 、1200秒C 、1195秒D 、1190秒2、*[2012·安徽卷理10] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( D )A 、1或3B 、1或4C 、2或3D 、2或43、*[2012·四川卷理11] 方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( B )A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条4、*（2010•天津）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ B ）A、288种B、264种C、240种D、168种5、*（2010•上海）以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有36 种不同的选法．。