假设检验的习题及详解包括典型考研真题

§假设检验

基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型

【例8.1】u 检验、t 检验都是关于 的假设检验.当 已知时，用u 检验；当 未知时，用t 检验.

【分析】 由u 检验、t 检验的概念可知，u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差2

σ为已知时，用u 检验；当方差2

σ为未知时，用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)X

N u σ，2,u σ未知，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，记

11n

i i x x n ==∑，21

()n

i i Q x x ==-∑，则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量

t = （用,x Q 表示）

；其拒绝域w = . 【分析】2

σ未知，对u 的检验使用t 检验，检验统计量为

(1)x t t n =

=-

对双边检验0010::H u u H u u =↔≠，其拒绝域为2

{||(1)}w t t n α=>-.

【例8.3】设总体211(,)X

N u σ，总体222(,)Y N u σ，其中22

12,σσ未知，设

112,,

,n x x x 是来自总体X 的样本，212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本，两样本独立，则

对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠，使用的统计量为 ，它服从的分布为 .

【分析】记1111n i i x x n ==∑，2

1

21n i i y y n ==∑,因两样本独立，故,x y 相互独立，从而在0H 成立下，()0E x y -=，2

2

12

1

2

()()()D x y D x D y n n σσ+=+=

+

，故构造检验统计量

(0,1)x y

u N =

.

【例8.4】设总体2(,)X

N u σ，u 未知，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，样本方

差为2

S ，对2201:16:16H H σσ≥↔<，其检验统计量为 ，拒绝域为 .

【分析】u 未知，对2σ的检验使用2

χ检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量

为2

2

2(1)(1)16

n S n χχ-=

-，从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.

【例8.5】某青工以往的记录是：平均每加工100个零件，由60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高（取0.05α=）？对此问题，假设检验问题应设为 【 】

()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.

【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为0:0.6H p ≤，相应的，对立假设为1:0.6H p >，故选()B .

【例8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm ，实际生产的产品，其长度服从

2(,3.6)N u ，考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值，按下列方式

进行假设检验：当|68|1x ->时，拒绝原假设0H ；当|68|1x -≤时，接受原假设0H . （1）当样本容量36n =时，求犯第一类错误的概率α； （2）当样本容量64n =时，求犯第一类错误的概率α；

（3）当0H 不成立时（设70u =），又64n =时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）当36n =时，2

23.6(,)(,0.6)36

x

N u N u =，

000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立

67686968

(

)[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6

--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.

（2）当64n =时，2

23.6(,)(,0.45)64

x

N u N u =

000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立

67686968

(

)[1()]0.450.45

--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.

（3）当64n =，又70u =时，2(70,0.45)x

N ，这时犯第二类错误的概率

(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=

69706770

(

)()( 2.22)( 6.67)0.450.45

--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.

【评注】01（1）（2）的计算结果表明：当n 增大时，可减小犯第一类错误的概率α；

02 当64n =，66u =时，同样可计算得到(66)0.0132β=.

03 当64n =，68.5u =时，2(68.5,0.45)x

N ，则

(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5(

)()(1.11)( 3.33)0.450.45

--=Φ-Φ=Φ-Φ-

0.8665[10.9995]0.8660=--=.

这表明：当原假设0H 不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时，β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)X

N u σ，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，对于检验

01:0:0H u H u ≤↔>，取显著性水平α，拒绝域为：{}w u u α=>，其中u =，求：

（1）当0H 成立时，求犯第一类错误的概率()u α； （2）当0H 不成立时，求犯第二类错误的概率()u β. 【解】（1）当0H 成立时，0u ≤，则

(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤

()|0}1()

(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤

因0u ≤，故()()1u u αααΦ≥Φ=-，从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=，即犯第一类错误的概率不大于α.

（2）(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>

()

(0)u u α=Φ>

因0u >，故当u →+∞时，()0u β→，即u 与假设0H 偏离越大，犯第二类错误的概率越

小；而当0u +

→时，()1u βα→-，即当u 为正值且接近0时，犯第二类错误的概率接近

1α-.

基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验

【例8.8】某天开工时，需检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验，其包装的质量在正常情况下服从正态分布2

(100,1.5)N （单位：kg ），先抽测了9包，其质量为： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5 问这天包装机工作是否正常？

【分析】 关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数学问题应为双边检验01:100:100H u H u =↔≠.

【解】由题意，提出假设检验问题：01:100:100H u H u =↔≠， 选取检验统计量(0,1)x u N =

当0.05α=时，0.0252

1.96u u α==

，又2

0.04 1.96u u α=

=<=，即接受原

假设0H ，认为包装机工作正常.

【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000h ，现从这批元件中随机抽取25知，测得平均寿命980X h =，标准差65S h =，试在水平

0.05α=下，确定这批元件是否合格.

【解】由题意，2

σ未知，在水平0.05α=下检验假设

0010:1000:1000H u u H u u ==↔<=

属于单边（左边）t 检验.

构造检验统计量 (1)x t t n =

-，其中25,65,980n S X h ===，查t 分布

表可得：0.05(1)(251) 1.7109t n t α-=-=，

又0.05|| 1.538(24) 1.7109x t t =

==<=.

即接受原假设0H ，认为这批元件是合格的.

【例8.10】某厂生产的一中电池，其寿命长期以来服从方差2

2

5000()σ=小时的正态分布，现有一批这种电池，从生产的情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机地抽取26只电池，测得寿命的样本方差2

2

9200()S =小时，问根据这一数据能否推断这批电池寿命

的波动性较以往有显著性的变化（取0.02α=）.

【解】 检验假设22

01:5000:5000H H σσ=↔≠，

选取统计量2

2

22

(1)(1)n S n χχσ-=

-，

由0.02α=，26n =，查2

χ分布表可得

220.012

(1)(25)44.314n αχχ-==，220.0912

(1)(25)11.524n αχχ--==， 又统计量2

2

2

0.012

(1)46(25)44.314n S χχσ-=

=>=，故拒绝原假设0H ，即认为这批电池

寿命的波动性较以往有显著性的变化.

【例8.11】 某种导线，要求其电阻的标准不得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得0.007S =（欧姆），设总体为正态分布，问在水平0.05α=下，能否认为这批导线的标准差显著性地偏大？

【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题

0010:0.005:0.005H H σσσσ==↔>=

选取统计量2

2

22

(1)(1)n S n χχσ

-=

-

当0.05α=，9n =时，查2

χ分布表可得：220.05(1)(8)15.507n αχχ-==，又题设

0.007S =，则统计量2

22

20.052

2

(1)80.00715.68(8)15.5070.005

n S χχσ-⨯=

==>=. 故拒绝原假设0H ，认为这批导线的标准差显著性地偏大.

【例8.12】 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不超过10克.某天开工以后，为了检查机器工作是否正常，从已包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其重量（克）为：

497，507，510，475，484，488，524，491，515

问这天自动包装机工作是否正常（显著性水平0.05α=）？ 【解】 设每袋盐重量为随机变量X ，则2(,)X

N u σ，为了检查机器是否工作正常，

需检验假设：01:500H u =及2

02:100H σ≤.

下面现检验假设0111:500:500H u H u =↔≠ 由于2

σ未知，故构造统计量(1)x t t n =

-

由于0.05α=，查t 分布表可得0.0252

(1)(8) 2.306t n t α-==，又由题设计算可得

499,16.03X S ==，故统计量取值

0.025||0.187(8) 2.306x t t =

==<=

即接受原假设01H ，认为机器包装食盐的均值为500克，没产生系统误差.

下面在检验假设22

0212:100:100H H σσ≤↔>

选取统计量2

2

22

(1)(1)n S n χχσ-=

-，由于0.05α=，查2χ分布表可得

2

20.05

(1)(8)15.5n αχχ

-==，而统计量2

2

2

0.052

(1)20.56(8)15.5n S χχσ

-=

=>=，故拒绝原

假设02H ，接受12H ，即认为其标准差超过了10克.

由上可知，这天机器自动包装食盐，虽没有产生系统误差，但生产不够稳定（方差偏大），

从而认为这天自动包装机工作不正常.

基本题型Ⅲ 两个正态总体的假设检验

【例8.13】 下表给出了两个文学家马克·吐温（Mark Twain ）的8偏小品文以及斯诺·特格拉斯（Snodgrass ）的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.

马克·吐温： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217

斯诺·特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201 设两组数据分别来自正态分布，且两总体方差相等，两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异（0.05α=）？

【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义，因而本题应属于未知方差，却知其相等的两正态母体，考虑它们的均值是否相等的问题.

【解】设题中两正态母体分别记为,X Y ，其均值分别为12,u u ,因而检验问题如下：

012112::H u u H u u =↔≠

选取统计量(2)X Y T t n m =

+-，

其中8,10n m ==，()()22

122112

w

n S m S S

n m -+-=

+-，

在0.05α=时，查t 分布表可得()()/20.025216 2.1199t n m t α+-==

由题设样本数据计算可得22

120.2319,0.2097,0.00021,0.00009X Y S S ====，

0.119w S ==

=.

从而t

统计量值为()0.025|| 3.964316 2.1199X Y T t =

==>=，

因而拒绝原假设0H ，认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.

【例8.14】据专家推测：矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些，下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.

矮个子（身高小于5英尺8英寸）

总统 Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 5’4” 5’6” 5’6” 5’7” 5’7” 寿命 85 79 67 90 80

高个子（身高大于5英尺8英寸）

总统 W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson 身高 5’8” 5’8” 5’8”5’8.5” 5’8.5” 5’9” 5’9” 5’10” 5’10” 寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 总统 T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler 身高 5’10” 5’10” 5’10” 5’11” 5’11” 5’11” 6’ 6’ 寿命 60 60 78 71 67 90 73 71 总统 Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt 身高 6’ 6’ 6’ 6’1” 6’2” 6’2” 6’2” 寿命

77 72 57 78 67 56 63

设两个寿命总体均为正态分布且方差相等，试问以上数据是否符合上述推测（0.05α=）？ 【解】设矮个子总统寿命为X ，高个子总统寿命为Y ，需检验012112::H u u H u u =↔>.

由于222

12σσσ==未知，故选用统计

量(2)X Y T t n m =

+-，其中

5,26n m ==，()()22

122112

w

n S m S S

n m -+-=

+-.由题设样本数据可得80.2,69.15,X Y ==

2

2124294.8,252183.215S S ==，故()()22

1221185.4492

w

n S m S S

n m -+-=

=+-，从而统计量

|| 2.448X Y T =

=，又当0.05α=时，查t 分布表可得

()()0.05229 1.6991t n m t α+-==，

即()0.05|| 2.44829 1.6991T t =>=，故拒绝原假设0H ，

即推测是正确的，认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些 【例8.15】总体21(,)X

N u σ，22(,)Y N u σ，112,,

,n x x x 与212,,,n y y y 分别时

来自总体,X Y 的样本，试讨论检验问题012112::H u u H u u δδ-≤↔->.

【解】取统计量

12(2)X Y T t n n =

+-，其中()()22

1122212112

w

n S n S S n n -+-=

+-， 则检验统计量为

X Y T =

，当1H 成立时，t 有偏大的趋势，故取拒绝域为12{(2)}w t t n n α=>+-.

【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定，算出两样本标准差

分别是210.0139S =，2

20.0053S =，问甲乙两段的标准差是否有显著性差异（0.05α=）？

【解】作假设001:H σσ=，由题设有

2502

11

501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑， 2

522

21521520.0053()0.00545215151

i

i S Y Y =⨯⨯-===-∑ 从而统计量2

1112222(1)0.0142

2.630.0054(1)

n S n F n S n -===-，当0.05α=，查F 分布表可得

0.0252

(501,521)(501,521) 1.7494F F α--=--=，

0.97512

(501,521)(501,521)0.5698F

F α-

--=--=，

因为0.0252.63(49,51) 1.7494F F =>=，故拒绝原假设0H ，即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.

【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试，过来一段时间后，又对学员进行了与前一次同样程度的考查，目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别（0.05α=），从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩，如下表

考试次数 考分 合计

平均分 （1） 80.5，91.0，81.0，85.0，70.0，86.0，69.5，74.0，72.5，83.0，69.0，78.5

940 78.5 （2）

76.0，90.0，91.5，73.0，64.5，77.5，81.0，83.5，86.0，78.5，85.0，960

80.0

73.5

【解】此为双正态总体的假设检验，两总体均值未知，先检验假设

2222

012112::H H σσσσ=↔≠.

选取统计量2

1122

2

(1,1)S F F n n S =--，由题设可计算得22

12

53.15,60.23S S ==，则统计量212253.15

0.882560.23

S F S ===，取0.05α=，查F 分布表可得

0.0252

(11,11)(11,11) 3.43F F α==,0.97510.0252

1

(11,11)(11,11)0.2915(11,11)

F

F F α-

===.

由于12

2

(11,11)0.8825(11,11) 3.43F

F F αα-

<=<=，故在0.05α=下，接受0H ，即认为两

次考试中学员的成绩的方差相等. 再假设012112::H u u H u u =↔≠.

构造统计

量12(2)X Y

T t n n =

+-，其中()()22

1122212112

w

n S n S S n n -+-=

+-，

1212,12n n ==.由样本数据可得78.5,80.0,X Y ==22

12

53.1515,60.2273S S ==，故()()22

11222

121156.68942

w

n S n S S

n n -+-=

=+-，从而统计

量||0.488X Y T =

=，在

0.05α=下，查t 分布表可得()()120.0252

222 2.0739t n n t α+-==.

由于()0.025||0.48822 2.0739T t =<=，即认为两次考试中学员的平均成绩相等，从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.

基本题型Ⅳ 非正态总体参数假设检验

【例8.18】某产品的次品率为0.17，现对此产品进行了新工艺试验，从中抽取400件检查，发现次品56间，能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量（0.05α=）？ 【解】检验问题01:0.17:0.17H p H p =↔≠

由题设可知56

ˆ0.14400

m p

n ===，

构造统计量 1.597u =

=

=-，当0.05α=时，查正态分

布表可得0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为新工艺显著性地影响产品质量.

【评注】本题的理论依据时中心极限定理：当n 充分大时，在0H 成立时

，

u =

(0,1)N 分布.

【例8.19】 已知某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布()E λ，现抽查100个元件，得样本均值950()x h =，能否认为参数0.01λ=（0.05α=）？ 【解】由题设()X

E λ，故2

1

1

,EX DX λ

λ=

=

，当n 充分大时

，

1

((0,1)1x u x N λλ-=

=-，现在检验问题01:0.001:0.001H H λλ=↔≠

，则

((0.0019501)0.5u x λ=-=⨯-=，当0.05α=时，查正态分布表可得

0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为参数0.01λ=.

【评注】总体()X F x ，2,EX u DX σ==，则当n

充分大时，u =

从(0,1)N 分布.

【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验01:0.7:0.9H p H p =↔=，选出100个污点，设其中去除的污点数为x ，拒绝域为{82}w x =>. （1）当0.7p =时，求犯第一类错误的概率α； （2）当0.9p =时，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）由题设有

{82|0.7}1P x p α=>==-Φ

1(2.62)10.99560.0044=-Φ=-=.

（2

）{82|0.9}P x p β=≤==Φ

( 2.67)1(2.67)10.99620.0038=Φ-=-Φ=-=.

【评注】从计算分析，这一检验法的α，β皆很小，是较好的检验.

§历年考研真题评析

1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，计算得到平均成绩为66.5，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程.

【解】设该次考试的考生成绩为X ，则2

(,

)X

N ，设X 为从总体X 抽取的样本

容量为n 的样本均值，S 为样本标准差，根据题意建立假设

00

1:70;:

70H H .

选取统计量 0

70

36X X T

n

S

S

在

70时，2

(70,),(35)X T t .

选取拒绝域{||}R T ，其中满足{||}0.05P T ，即{||}0.95P T .

即

0.975(35) 2.0301t . 由0

36,66.5,

70,15n x

s 可以计算得统计量T 的值

|66.570|

||

36

1.4

2.030115

T .

因此不能拒绝0H ，即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.

§习题全解

1、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)X

N σ.一日测得5炉铁水含

碳量如下：

4.48，4.40，4.42，4.45，4.47

在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 【解】设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)X

N σ，从中选取容量为5的样本，测

得2

4.444,0.0011X S =

=.由题意，设原假设为0: 4.55H u = 构造检验统计量 |

|(4)X u t t S -=

，则7.051t =

=

在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512

(4)(4) 2.77647.051t

t α-

==<，

拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.

2、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,

,x x .经计算得

15

1

48i

i x

==∑, 15

21

156.26i i x ==∑.

试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）

【解】设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X

N u σ，从中选取容量为15的样

本，测得1511 3.215i i X x ===∑，22

2211

11()()0.1911n n

i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.

构造检验统计量(14)X t t =

，

则 1.777t ==，

在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.

3、某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2

(,)N μσ， 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？ 【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)X

N u ，从中选取容量为100的样

本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.

构造检验统计量||

(0,1)X u U N σ

-=

，则|55.0665|

18.07275.5U -=

=

在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..

4、某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？

【解】设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==

， 1.6σ==，从中选取容量为

200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠. 构造检验统计

量(0,1)X U N =

，

则 1.4142U =

=在显著性水平

0.05α=下,查表可得0.97512

1.96 1.4142U

U α-

==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有

受到显著影响.

5、某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2

(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05） 【解】设每箱重量为总体X ，则2(100,)X

N σ，从中选取容量为10的样本，测得

99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.

构造检验统计量||(9)X u t t S -=

，

则0.5423t =

=，在显著性水平0.05

α=下,查表可得0.97512

(9)(9) 2.26220.5423t

t α-

==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显

著差异.

6、某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到

5

1

124i

i x

==∑, 5

21

3139i i x ==∑.

试问这批套筒直径的方差与规定的2

7σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=） 【解】设这批套筒直径为总体X ，则2(,)X

N u σ，从中选取容量为5的样本，测得

151124.815i i X x ===∑，22

221111()()15.9511n n

i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 由题意，设原假设为20:7H σ=，备择假设为2

1:7H σ≠.

构造检验统计量2

2

22

(1)(4)n S χχσ-=

，则2415.95

9.11437

χ⨯=

=，在显著性水平

0.01α=下,查表可得220.99512

(4)(4)14.86αχχ-==，22

0.0052

(4)(4)0.2070αχχ==，从而

22212

2

(4)(4)ααχχχ-<<. 即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的2

7σ=无显著差别.

7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布2

11(,)N μσ、

222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为

16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为

19,,y y ，经计算

得知：

6

1

204.6i

i x

==∑, 6

2

1

6978.9i i x ==∑，9

1370.8i i y ==∑，9

21

15280.2i i y ==∑.

问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？ 【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)X

N μσ、

2

22(,)Y

N μσ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得

61134.16i i X x ===∑22

22111

11()()0.40811n n

i i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 从总体Y 中选取容量为9的样本，测得

91141.29i i Y y ===∑22

22211

11()()0.40511n n

i i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22

012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.

构造检验统计量2

12

2

(5,8)S F F S =，则0.408

1.0070.405

F =

=，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512

(5,8)(5,8) 6.76F

F α-

==，0.0252

(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而

12

2

(5,8)(5,8)F F F

αα-

<<.

即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.

8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？ 【解】设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)X

N u ，从中选取容量为5的样本，测

得511 1.4145i i X x ===∑，2

211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.

构造检验统计量2

2

22

(1)(4)n S χχσ-=

，则22

40.0078

13.542(0.048)χ⨯=

=

在显著性水平0.1α=下,查表可得22

0.9512

(4)(4)9.487713.542αχχ-==<.

即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.

9、某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平α=0.05）? 【解】 设考试成绩为总体X ，则2(,12)X

N u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.

由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠. 构造检验统计量2

2

2

2

(1)(14)n S χχσ-=

，则2

2

2

141619.055612

χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512

(14)(14)26.1189αχχ-==，22

0.0252

(14)(14) 5.6287αχχ==，从

而22212

2

(14)(14)ααχχχ-<<.

即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.

10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：

甲：25，28，23，26，29，22； 乙：28，23，30，25，21，27.

假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？

【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ、2

22(,)Y N μσ，

从中均选取容量为6的样本，测得

61125.56i i X x ===∑，2

211

1()7.51n i i S x x n ==-=-∑， 61125.66676i i Y y ===∑，2221

1()11.06671n i i S y y n ==-=-∑， 由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.

构造检验统计量

12(2)X Y t t n n =

+-,其中22

21122

12(1)(1)9.2834(2)

w

n S n S S n n -+-==+-.

则0.0948t =

=，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512

(2)(10) 2.22810.0948t

n n t α-

+-==>.

即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.

由题意，在方差待定时，设原假设为22

012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.

构造检验统计量2

12

2

(5,5)S F F S =，则7.5

0.677711.0667

F =

=，在显著性水平0.1α=下,

查表可得0.9512

(5,8)(5,5) 5.0503F

F α-

==，0.052

(5,8)(5,5)0.1980F F α==，由

12

2

(5,5)(5,5)F F F

αα-

<<.

即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.

§同步自测题及参考答案

一、选择题

1、关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是 【 】

()A α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题. ()B 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动.

()C α即为检验结果犯第一类错误的最大概率. ()D 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正.

2、关于检验的拒绝域W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是 【 】

()A a 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述. ()B 事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件.

()C 设W 是样本空间的某个子集，指事件}|),,,{(021为真H W X X X n ∈ . ()D 确定恰当的W 是任何检验的本质问题.

3、设总体2

2

),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 【 】

()

A }C >. ()

B }/100{

C n S X <-. ()C }10

/100

{C S X >- . ()D }{C X >.

4、设n X X X ,,,21 为来自总体2

(,)N μσ的样本,若μ未知, 100:20≤σH ,

2

1:

100,H 0.05a ,关于此检验问题,下列不正确的是 【 】

()A 检验统计量为

100

)(1

2

∑=-n

i i

X X

. ()B 在0H 成立时,

)1(~100

)1(22

--n x S n . ()C 拒绝域不是双边的. ()D 拒绝域可以形如})({1

2∑=>-n

i i k X X .

5、设总体服从正态分布2(,3)X

N μ，12,,

,n x x x 是X 的一组样本，在显著性水平

0.05α=下，

假设“总体均值等于75”拒绝域为12{,,,:74.0275.98}n w x x x x x =<⋃>，则样本容量n = 【 】

()A 36. ()B 64. ()C 25. ()D 81.

二、填空题

1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:

99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.3

99.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0

H

为 .

2、设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知，对于检验0010::H H μμμμ=↔= 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .

3、设12,,

,n x x x 是正态总体2(,)X

N μσ的一组样本.现在需要在显著性水平

0.05α=下检验假设2200:H σσ=.如果已知常数u ，则0H 的拒绝域1w =______________；

如果未知常数u ，则0H 的拒绝域2w =______________.

4、在一个假设检验问题中令0H 是原假设，1H 时备择假设，则犯第一类错误的概率

{______________}P ，犯第二类错误的概率{______________}P .

三、解答题

1、某批矿砂的5个样本中的镍含量，经测定为（%）

3.25，3.27，3.24，3.26，3.24

设测定值总体服从正态分布，问在0.01α=下，能否接受假设：这批矿砂的含量的均值为3.25.

2、已知精料养鸡时，经若干天鸡的平均重量为4公斤.今对一批鸡改用粗料饲养，同时改善饲养方法，经同样长的饲养期后随机抽取10只，的其数据如下：

3.7，3.8，

4.1，3.9，4.6，4.7，

5.0，4.5，4.3，3.8

已知同一批鸡的重量X 服从正态分布，试推断：这一批鸡的平均重量是否显著性提高.试就0.01α=和0.05α=分别推断.

3、测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出0.037%S =，设测定值总体为正态分

布，2

σ为总体方差，试在水平0.05α=下检验假设01:0.04%:0.04%H H σσ=↔<.

4、在70年代后期，人们发现在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ）.到了80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了在新老两种干燥过程中形成的NDMA 的含量（以10亿份中的份数计）

老过程 6，4，5，5，6，5，5，6，4，6，7，4 新过程

2，1，2，2，1，0，3，2，1，0，1，3

设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，两样本独立，分别以12,u u 记对应于老、新过程的总体均值，试检验假设（0.05α=）0111:2:2H u u H u u -=↔->.

5、检验了26匹马，测得每100毫升的血清中，所含的无机磷平均为3.29毫升，标准差为0.27毫升；又检验了18头羊，每100毫升血清中汗无机磷平均值为3.96毫升，标准差为0.40毫升.设马和羊的血清中含无机磷的量均服从正态分布，试问在显著性水平0.05α=条件下，马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异？

6、某种产品的次品率原为0.1，对这种产品进行新工艺试验，抽取200件发现了13件次品，能否认为这项新工艺显著性地降低了产品的次品率（0.05α=）？

7、设n X X X ,,,21 为总体(,4)X

N a 的样本，已知对假设01:1: 2.5H a H a =↔=，

0H 的拒绝域为{2}w X =>.

（1）当9u =时，求犯两类错误的概率α和β； （2）证明：当n →∞时，0α→，0β→.

同步自测题参考答案 一、选择题

1.()D .

2. ()C .

3. ()C .

4. ()B .

5. ()A . 二、填空题

1.100=μ.

2. 1.176.

3. 2

22

210.025

0.9752

2

1

1

001

1

{

()

()()

()}n

n

i

i

i i w x u n x u n χ

χσσ===->⋃

-<∑∑；

2

2

2220.025

0.9752

20

(1)(1){

(1)(1)}n S n S w n n χ

χσ

σ

--=>-⋃

<- .

4.

10{|}P H H 接受成立，01{|}P H H 接受成立.

三、解答题 1、接受0H .

2、0.01α=时，显著性提高；0.05α=时，没有显著性提高 .

3、 接受0H .

4、拒绝0H ，接受1H .

5、方差无显著性差异，均值有显著性差异，故有显著性差异.

6、 拒绝0H .

7、（1）0.0668α=，0.2266β=，

（2

）102

α=-Φ→

，(04β=Φ-→()n →∞.