十色定理 四色定理
塞瓦定理 四色定理 十色定理
塞瓦定理四色定理十色定理
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞瓦定理载于1678年发表
的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。
塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。
四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜
色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆
的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面
任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之
一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区
域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就
不叫相邻的。
因为用相同的。
十色定理又叫Heawood定理。
人类在企图证明四色定理过程中，发现
了在曲面上作图构造10个区域两两相连的平面，反而更加容易。
四色定理数学证明过程
四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。
在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。
在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。
本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。
证明“四色定理”的方法是“规约法”。
即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。
步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。
通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。
这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。
步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。
通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。
然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。
这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。
步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。
这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。
总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。
它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。
通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
820 四色定理
四色定理Four Color Theorem“四色定理”——“一张各国地域连通，并且相邻国家有一段公共边界的平面地图上，可以用四种颜色为地图着色，使得相邻国家着有不同的颜色”它在图论发展史上起到过巨大的推动作用A1852年，佛朗西斯·古思里（Francis Guthrie）在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的分区颜色不同他将这个发现告诉了他的弟弟弗雷德里克·古思里弗雷德里克将他哥哥的发现作为一个猜想向老师德·摩根提出德·摩根对此很感兴趣，当天就和爱尔兰数学家哈密尔顿通信，将这个问题向他提出而哈密尔顿则与之相反，对它丝毫不感兴趣，他在三天后的回信中告诉德·摩根，他不会尝试解决这个问题1879年，肯普（Alfred Kempe）宣布证明了四色定理在1890年，希伍德（Heawood）指出了肯普的证明存在漏洞，而且他使用肯普的方法证明了“五色定理”。
直到1976年四色猜想才最终由数学家阿佩尔（Kenneth Appel）和哈肯（Wolfgang Haken）在科克（J. Koch）的帮助下证明他将地图上的无限种可能情况归纳为1936种状态再由电脑逐个检查过程共用了一千多个小时四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，但这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证在证明四色猜想过程中，研究者还发现了平面哈密尔顿图和面着色之间的一个有趣联系：哈密尔顿回路将平面分成若干个回路内部面和若干个回路外部面使用颜色A和B交替将内部面着色使用颜色C和D交替将外部面着色得到了一个使用4种颜色的面着色一般地讲，每个平面哈密尔顿图都可以使用4种颜色进行面着色E nd。
四色定理-
四色定理四色定理是数学领域的一道经典难题，也是著名的图论问题之一。
该问题能够被描述为：如果一幅地图被分为若干个不重叠的区域，且相邻的区域颜色必须不同，那么至多需要使用四种颜色才能使所有区域都被正确着色。
简言之，该问题需要解决的就是如何用最少的颜色来着色地图，而不发生相邻区域颜色相同的情况。
四色定理的历史可以追溯到18世纪，当时的欧洲地图繁多、国界复杂，着色问题引起了人们的兴趣。
1786年，欧洲地图着色问题第一次在数学界被提出。
自那时以来，许多数学家花费了大量的时间和精力来尝试解决它。
在数学家们的长期探索中，有两种主要的方法被使用：一种是通过手工着色，即一张一张地着色来探索它的规律；另一种是通过建模并使用计算机进行仿真模拟来验证其正确性。
如今，这两种方法已经发展到了一定的成熟程度，成为了研究四色定理的多种手段。
在20世纪初期，四色定理开始受到广泛的关注。
当时的一些数学家就开始思考这个问题，并通过手工着色和自动推断发现了许多有趣的规律。
例如，发现了不同类型的地图样式可以用同样的着色方法来解决问题：方格状地图只需要四种颜色，而其他的复杂地图则需要更多的颜色。
这一发现为解决四色定理提供了重要线索。
然而，在后来的研究过程中，四色定理的复杂性逐渐表现出来。
当时，数学家们尝试使用多种方法来证明其正确性，但不论是哪种方式，都需要很高的数学造诣和极度复杂的计算，使得这个问题变得异常艰深。
在20世纪40年代，数学家们开始逐渐发展出一种全新的数学研究方法：计算机模拟。
由于计算机的出现，许多数学问题的解决变得越来越容易。
此时，数学家们尝试了用计算机模拟方法来验证四色定理，他们用计算机对地图进行极其复杂的分割，最终发现所有的复杂分割都可以用最多四种颜色来着色。
这就是四色定理的重要结论：世界上任何一张地图都可以用最多四种颜色来着色。
四色定理是数学领域的一项里程碑式的成就，它不仅是数学史上重要的一个难题，也对计算机科学和其他领域产生了深远的影响。
10二部图及染色
四色问题(Four Color Problem)
四色问题(Four Color Problem)
n 1879, Kempe, 第一次“证明” n 1880, Tait, 另一个“证明” n 1890, Heawood 发现Kempe证明的错误 n 1891, Petersen发现Tait证明的漏洞(Tait
n 完全二部图： V1中的每个顶点均与V2中的所有 顶点相邻。Kr,s
二部图判定
n n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
点色数性质
n (G)=1 G是零图
n (Kn)=n n (G)=2 G是非零图二部图
n G是2-可着色 G是二部图 G无奇圈
n (Cn)= 2, n偶数 (Wn)= 3, n奇数
猜想) n 1946, Tutte发现Tait证明的错误(Tait猜想
反例)
四色问题(Four Color Problem)
n 1913, Birkhoff, 一个大贡献 n 1922, Franklin, 证明不超过22个区域的
地图四色猜想成立 n 1950,不超过35个区域 n 1960,不超过39个区域 n 其他人取得其他形式进展:1974,52区域
四色问题(Four Color Problem)
n 1936-50,Heesch,最终解决问题的两个要 素: 10000个情形,100年
n 约化(reducibility), n 放电(discharging).
n 1972-76, Appel, Haken, 1482个情形, IBM360, 1200小时, 论文139页+400页程 序, conjecture<agnograms<theorem
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
十色定理是什么原理的应用
十色定理是什么原理的应用什么是十色定理？十色定理（Ten Color Theorem）是图论中的一个定理，它是对于邻接矩阵较小的二分图中使用的一种有限可用的上界算法。
它提供了以有限的颜色数量对图中节点进行着色的方法。
十色定理的原理十色定理的原理基于图论中的对完备图的补图的染色问题。
对于一个完备图，也即任意两个节点之间都有边相连的无向图，十色定理指出，可以用至多10种不同的颜色对完备图的补图进行染色。
有限颜色的使用在十色定理中，我们需要理解的是每个节点可以用10种不同的颜色进行染色。
只有在补图中，也即存在边条不与两个节点相连时，才可以使用相同的颜色进行染色。
而任何两个相邻节点都不能使用相同的颜色。
可应用的场景十色定理的应用广泛，特别是在电路设计、任务分配、线路规划和计算机网络等领域。
这些领域对于图的染色问题提出了一系列的应用需求，并且十色定理提供了一种有效的染色算法。
十色定理的应用以下列点方式列举了十色定理的应用：•电路设计：在集成电路的设计过程中，十色定理可以用于解决布线问题。
通过按照十色定理的染色方法对电路中的节点进行染色，可以确保任何相邻节点都具有不同的颜色，从而避免电路中的冲突和干扰。
•任务分配：在任务分配问题中，十色定理可以用于将任务分配给不同的执行者。
通过对任务和执行者进行染色，可以确保同一个执行者不会同时执行具有相同颜色标记的任务，从而实现任务的平均分配和高效执行。
•线路规划：在网络通信中，线路规划是一个重要的问题。
十色定理可以用于规划网络中的线路分配。
通过按照十色定理的染色方法对不同的线路进行标记，可以确保同一线路上的传输不会干扰或冲突，从而实现高效的网络通信。
•计算机网络：在计算机网络中，十色定理可以用于解决路由问题。
通过按照十色定理的染色方法对网络节点进行染色，可以确保任何相邻节点之间的数据传输不会产生冲突和混乱，从而实现高效的数据传输和路由选择。
结论十色定理作为一种图论中的染色算法，通过有限的颜色数量对图中的节点进行染色，解决了一系列问题。
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十色定理四色定理
四色定理的尝试证明
0引言
百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边
界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为
不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”目前只有通过计算机经
过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试
书面证明。
1证明思路
1.1证明范围及限制条件
平面或球面地图，不考虑“飞地”。
1.2思路
将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们
能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均
四色足够，则命题得证。
1.3证明步骤
步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及
其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。
步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量
区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。
2证明步骤一
2.1建模
第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。
n=任意非0正整数。
第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。
n=任意非0正整数。
显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。
球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。
下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。
条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻；
当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述;
我们接下来继续证明n>3时的情况：
因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。
2.3证明步骤一构建的系统内四色足够
下面我们来尝试先去除条件2，也就是在原模型基础上增加A1……An 之间除依次相邻之外的相邻情况。
由于当n为偶数时3色足够，所以后面的证明我们将只考虑n为奇数的情况。
a：A1与A2……An之间均发生相邻关系。
b：A1与A2……An之间的部分依次相邻区域（如A5、A6、A7、A8、A9等）发生相邻关系。
c：A1与A2……An之间的一个区域发生相邻关系。
d：b、c情况同时存在，且同一种情况多处存在。
由于a情况不会发生更复杂的结果，而b、c两种情况均被包含在d 情况之中，所以我们我们直接证明d情况，如下图6：
图6:a情况
图6：d情况
我们来分析图6（d情况）：
（1）在A2……An之间，已经与A1建立相邻关系区域中属于上文b 情况且处于当中位置的，如Aj+1、Aj+2、
Aj+3、Aj+4及Aj+5区域，显然已无法再与其它区域建立相邻关系，4色足够，无需再证明。
（2）会出现有限多个像图中a空间、b空间及c空间等大小不等的被分割空间，这些空间内还有自由度可以建立新的相邻关系。
（3）以a空间为例，A1……Am中间的A2……Am-1这些区域已无法与Am+1……An这些区域建立相邻关系，只可以在A1……Am之间建立相邻
关系，b空间、c空间雷同。
所以，以a空间建立模型时，可以不考虑Am+1……An区域。
（4）被分割出来的a、b、c等空间存在三种情况：如a空间，A1与一不同颜色区域直接相邻构成；如b空间，A1与两种不同颜色区域直接相邻构成；如c空间，A1与两种同一颜色区域直接相邻构成。
经过针对图6的以上分析，以a空间为例，我们要证明的是：在图6（d情况）基础上，A1……Am区域之间随机建立原有相邻关系之外的任何相邻关系，则都遵序4色足够。
由此我们可以建立如下图7所示模型：a空间建模：图7
以此类推，则b空间建模如图8：
图8
C空间我建模后，发现与图7雷同，不在累述。
由图6（d情况）我们可以得知：m显然是偶数，而j是奇数，图7中被A0包围的区域个数为m个（不包含空白空间），是偶数；图8中被A0包围的区域个数为A1、Am……Aj，显然是一个奇数。
图9
显而易见，图9是4个区域之间两两相邻，必须4色且4色足够。
综上所述，我们现在可以得到第一个重要的结论。
结论1：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，必将存在与A0相邻的n（n=非0正整数，涵盖所有与A0直接相邻的区域个数）个区域，在不考虑新区域加入进来的情况下，不管A1……An之间存
在何种相邻关系，在A0与A1……An区域组成系统中，都遵循四色足够定理。
3证明步骤二
那么，接下来我们在结论1成立的基础上，去除限制条件1，也就是
我们让结论一所构建的系统之外的区域加入进来。
将平面任意地细分为不相重叠的区域，我们继续选取任一区域A0，
构建结论1所描述的系统，那么让新的区域加入进来后有两种情况：一种
与A0相邻，一种与A0不相邻。
与A0不相邻又分两种情况：（1）新加入
进来的区域互不相邻；（2）新加入进来的区域互相存在相邻关系。
3.1证明新加入区域与A0相邻时四色足够：
那我们现在选择一区域A0’加入到结论1所构建的系统中，一旦A0’与A0相邻，则A0’将直接进入结论1所构建的系统中，只不过与A0相
邻区域个数增加1个而已，此时显然4色足够；以此类推我们可以加入任
意数量m个与A0相邻的区域，将依然四色足够。
3.2证明新加入区域与A0不相邻且互不相邻时四色足够：
在结论1所构建的系统中，我们知道A0是与A1……An均存在相邻关系，所以如以上各图中，当A0是红色时，A1……An只能选用其它3色，
且3色足够。
如果新加入m个区域不与A0相邻且互不相邻，那么我们可以直接为
这m个区域填充上与A0相同的颜色，此时已然四色足够。
3.3证明新加入区域与A0不相邻且存在相互相邻关系时四色足够：
另外，我们知道在以A0为中心的结论1所构建的系统中，我们并没
有限制A1……An之间的任何相邻关系，因此在A0’为中心的结论1所构
建的系统中，这q个与A0’不相邻的区域是可以和除A0’外任何区域存
在相邻关系的。
因此，得证新加入任意数量个区域与A0不相邻且存在相互相邻关系
时四色依然足够。
3.4下面，我们在证明一个我们忽略的情况，那就是新加入区域Am+1
与A0及A0’……Am所有红色区域产生相邻关系时是否四色足够。
这个问题其实已包含在上述证明之中，我们只需要在3.1证明中先加
入区域Am+1使之四色足够，然后在3.2证明中加入A0’……Am区域并使
每个新加入区域均与区域Am+1相邻即可，显然四色依然足够。
综合结论1及证明步骤二所分析的各种情况，我们知道结论1系统中
A1……An区域之间是可建立平面内任何可以发生的相邻关系的，并且步
骤二证明过程中我们并没有限制新加入区域与A1……An区域之间的相邻
关系，由此我们可以得出结论2。
结论2：在结论1系统中，我们可以放入任何数量的新区域，并且可
以随意和任何区域建立平面内可发生的相邻关系，且4色足够定理均适用。
综上所述：A0为我们在平面内选取的任意一个区域，结合结论1及
结论2，我们已经证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻
情况的集合均四色足够。
为了更好地说明问题，我们可以把A0带入任意
区域，其它区域性质均不与A0性质相矛盾（临边只是普遍性质中的特例），因此命题得证！
本人并没有自信已证，但实在自己已找不到漏洞，希望有大神可以解惑！
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